全 文 ：收稿日期:2015 年 9 月
［3］姜增辉，王琳琳，石莉，等．硬质合金刀具切削 Ti6Al4V的
磨损机理及特征［J］．机械工程学报，2014，50(1) :178 －
184．
［4］何光春，王丽娟． 超细硬质合金刀具 YW2A 车削
06Cr19Ni10 不锈钢的切削性能［J］． 机床与液压，2014，
27(2) :33 － 35．
［5］江丙武，蔡海燕，宋耀强，等． 国内外路面铣刨刀具用硬
质合金的现状与发展趋势［J］．硬质合金，2014，31(3) :
194 － 200．
［6］王新刚，李鹤，吕春梅，等． 硬质合金刀具的动态可靠性
灵敏度研究［J］．兵工学报，2014，35(1) :114 － 119．
［7］邹伶俐． Ti(C，N)含量对硬质合金脱 β 层的形成及其
CVD涂层刀具切削性能的影响［J］． 粉末冶金技术，
2015，33(2) :116 － 120．
［8］尚自河，李安海，赵军，等． 超细晶粒硬质合金刀具材料
的研究进展［J］．工具技术，2015，29(2) :3 － 8．
［9］范依航，郝兆朋．硬质合金刀具切削钛合金 Ti6Al4V界面
摩擦特性研究［J］．润滑与密封，2015，16(6) :65 － 69．
［10］娄长胜，张尧，吕逍，等． 强流脉冲电子束辐照 YW2 硬
质合金刀具的响应面法优化［J］． 功能材料，2015，24
(10) :10138 － 10143．
［11］徐晅，刘欣，梁良，等． WC － 10wt． % Ni3Al硬质合金刀具
与 0Cr18Ni9 不锈钢的元素扩散研究［J］．现代制造工程，
2015，28(3) :11 － 15，43．
［12］陈善华，罗金华，尹志勇，等．抑制剂对超细硬质合金组
织与性能的影响［J］． 热加工工艺，2009，38(16) :53 －
55．
［13］刘暐，刘朋和，姜增辉，等．复合喷雾冷却条件下高速车
削 TC4 钛合金硬质合金刀具磨损的研究［J］． 制造技术
与机床，2014，38(12) :128 － 131．
第一作者:郭娟，安阳职业技术学院，455000 河南省安
阳市
First Author:Guo Juan，Anyang Vocational and Technical
College，Anyang，Henan 455000，China
倒锥花键直齿轮插齿刀的设计
刘胜军
重庆工具厂有限责任公司
摘要:介绍了倒锥花键直齿轮插齿刀设计的三种方法，因各有其特点，需要根据机床的功能、加工材料和倒锥
花键直齿轮的齿形精度要求进行选择。
关键词:倒锥花键直齿轮;啮合原理;插制安装角;当量齿厚;当量压力角;插齿刀
中图分类号:TG713;TH132;TB332 文献标志码:A
Design of Inverted Cone Spline Gear Shaper Cutter
Liu Shengjun
Abstract:Three ways to design the inverted cone spline gear shaper cutter are introduced． Because of each own
characteristics，the machining method should be chosen according to the precision of tooth profile of machine function，pro-
cessing materials and inverted cone spline gear．
Keywords:inverted cone spline gear;meshing principle;slotting angle;equivalent thickness;equivalent pressure
angle;gear shaper cutter
1 引言
倒锥花键直齿轮插齿刀是一种新型专用的加工
倒锥花键直齿轮的插齿刀，以往加工要获得高精度
的倒锥花键直齿轮齿形，都采用该双连齿轮分离加
工。倒锥花键直齿轮一般用于机动车的传动变速
(或变换档)的双连齿轮上，主要使齿轮在转动时与
另一同轴(或同心)齿轮的内花键相啮合，在啮合转
动中具有良好的导向作用，广泛应用于机械转动中。
其结构如图 1 所示。
图 1 倒锥花键具齿轮结构图
倒锥花键直齿轮主要参数来自于大端的端面
上，如:模数 m，分圆压力角 αf，分圆侧后角 βf，顶圆
66 工 具 技 术
DOI:10.16567/j.cnki.1000-7008.2016.02.027
直径 de，分圆直径 d f，根圆直径 di，分圆齿厚 S f(或
公法线 Wk，跨棒距 Mdp)。其几何形成是在倒锥花
键直齿轮轴向上(或 B 的宽度上)的任意横截面
上，都是由同一基圆不同截面的渐开线(或不同分
圆齿厚)所形成，只是在分圆的轴截面上有一侧
后角。
2 设计原理
根据大端面平面啮合原理设计插齿刀、插制倒
锥花键直齿轮时，插齿刀应有与倒锥花键直齿轮轴
向平行运动和径向运动(见图 2) ;根据大端面平面
啮合原理设计插齿刀、插制倒锥花键直齿轮时，插齿
刀运动方向与倒锥花键直齿轮轴心线倾斜成 ψ 角
(见图 3) ;如图 4 所示，根据大端的斜面即 V － V 平
面啮合原理设计插齿刀，引用锥齿轮啮合原理(引
进当量参数)。分别列出三种设计方案。
(1)根据大端面平面啮合原理设计插齿刀(首
先确定插制斜角 ψ)
如图 2 所示，该设计方案与设计普通插齿刀相
同。
图 2 插制倒锥花键直齿轮
倒锥花键直齿轮渐开线函数:invαf = tanαf － αf
倒锥花键直齿轮分圆直径:df = Zm
倒锥花键直齿轮基圆直径:db = Zmcosαf
倒锥花键直齿轮变位系数:ξ =
Sf － 0． 5m
2mtab αf
插齿刀齿数:Zo
插齿刀变位系数:ξo
①根据平面啮合原理求大端面参数求啮合角
invαo =
2tanαf(ξ + ξo)
Z + Zo
+ invαf
中心距:
Ao =
mcosαf(Z + Zo)
2cosαo
插齿刀外圆直径:
deo = 2Ao － di
②根据平面啮合原理求小端面参数
倒锥花键直齿轮分圆弧齿厚为
Sfxiao = Sf － 2Btanβf
倒锥花键直齿轮变位系数
ξxiao =
Sfxiao － 0． 5πm
2mtabαf
求得啮合角
invαxiao =
2tanαf(ξxiao + ζo)
Z + Zo
+ invαf
中心距
Axiao =
mcosαf(Z + Zo)
2cos αxiao
倒锥花键直齿轮小端根圆直径
dixiao = 2Axiao － deo
插制安装角
ψ = tan(
di － dixiao
2B )
求得插制安装角后，其它参数按普通插齿刀
设计，只是该种插齿刀的后角为 αe = ψ + 6°。由于
加工原理所限，此插齿刀后角较大，齿顶强度较
差，一般用于加工较软的材料(如:塑料齿轮、铝合
金齿轮、铜合金齿轮等) ，应用较少，不宜用于钢件
加工。
(2)根据大端面平面啮合原理设计插齿刀
如图 3 所示，该设计方案与上述相同，只是插齿
刀后角与普通插齿刀一样(αe = 6°)。插制倒锥花
键直齿轮时，插齿刀运动方向与倒锥花键直齿轮轴
芯线成 ψ角(即插制安装角) ，插齿机工作台可作 ψ
角的调整。
图 3 插制倒锥花键直齿轮
该方案设计的插齿刀齿顶强度满足要求，但加
工的倒锥花键直齿轮齿形精度较差，适用于对精度
要求不高的倒锥花键直齿轮。
(3)根据大端的斜面即 V － V 平面啮合原理设
计插齿刀
引用锥齿轮啮合原理在 V － V 平面上啮合而
成，其基本参数是将倒锥花键直齿轮大端面参数转
换到 V － V 平面上即锥齿轮的当量参数，尺寸参数
如图 4 所示，空间啮合如图 5 所示。
762016 年第 50 卷 No． 2
图 4 倒锥花键直齿轮当量尺寸参数
图 5 倒锥花键插制空间啮合原理
当量模数
mv = m
当量齿数
Zv =
Z
cosψ
当量外圆直径
dev =
de
cosψ
+［2B －(de － di)tanψ］sinψ
当量分圆直径
dfv = mZv
当量根圆直径
div =
di
cosψ
如图 6 所示，在 V － V 平面可由几何展开关系
式求得当量分圆齿形角 αfv。
因 sinψ = BOAB，tanβf =
BG
BO，cosψ =
AO
AB，tanαf =
EO
AO，有
tanαfv =
BD
AB =
BG + DG
AB =
BG + EO
AB =
BG
AB +
EO
AB =
BO
AB
tanβf +
AO
ABtanαf = sinψtanβf + cosψtanαf
齿轮当量基圆直径
dbv = mZvcosαfv
由倒锥花键直齿轮大端面参数计算出 V － V 平
面齿形，与 V － V 平面的当量参数计算出的齿形进
行比较是否重合，可证明用 V － V 平面当量参数设
计插齿刀是否正确，以下用空间坐标计算式来证明。
①用倒锥花键直齿轮大端面参数计算 V － V 平
面齿形
根据倒锥花键直齿轮大端面参数计算 V － V 平
面齿形在空间的坐标(见图 7)。
图 6 倒锥花键直齿轮几何展开图
图 7 倒锥花键直齿轮 V －V平面齿形坐标分析图
da = de +［2B －(de － di)tanψ］sinψcosψ
△d =
da － di
N (取点数 N = 1，2，3…n)
dn = da － N△d
Yn =(dn － di)tanψ
Sfn = Sf － 2Yn tanβf
Sn
dn
=
Sfn
df
+ invαf － sqr［(
dn
db
)2 － 1］+ tan sqr［(
dn
db
)2 － 1{ }］
Xn = 0． 5dncos
Sn
dn
△Xn = 0． 5dn － Xn
Xv = Xn +△Xn sinψsinψ
Yv = Yn －△Xn sinψcosψ
Sfsv = Sf － 2Yv tanψ
下式用牛顿叠代法求解:
f(dvn)=
Sfsv
df
+ invαf － tan sqr［(
dvn
2Xv
)2 － 1{ }］ －
sqr［(
dvn
db
)2 － 1］+ tan sqr［(
dvn
db
)2 － 1{ }］
f(dvn)= －
2Xv
dvn sqr［dvn
2 －(2Xv)
2］
－
sqr(dvn
2 － db
2)
dvndb
dvn = dvn －
f(dvn)
f(dvn)
86 工 具 技 术
Svn
dvn
=
Sfsv
df
+ invαf － sqr［(
dvn
db
)2 － 1］+ tan sqr［(
dvn
db
)2 － 1{ }］
V － V平面上 fv 点的坐标为
Xvn = 0． 5dvncos
Svn
dvn
Yvn =
da
2sin － Xvn tanψ
Zvn = 0． 5dvn sin
Svn
dvn
②用倒锥花键直齿轮 V － V 平面的当量参数计
算齿形坐标，关键是要求得分圆 dfv的弧齿厚 Sfv(见
图 8)。
图 8 倒锥花键直齿轮 V －V平面分圆弧齿厚求解图
倒锥花键直齿轮大端面与 S － S 平面及 V － V
平面相交点 f的高度为
Yf = 0． 5(df － di)tanψ
Sfs = Sf － 2Yf tanβf
Xfs = 0． 5df cos
Sfs
df
△X = 0． 5df － Xfs
在 fv 点投影的中心距 X fv为
Xfv = Xfs +△Xsinψsinψ
倒锥花键直齿轮大端面与 fv 点的高度 Yfv为
Yfv = Yf －△Xsinψcosψ
Sv － Sv 平面的 fv 点弧齿厚 Sfsv的直径 dsv为
Sfsv = Sf － 2Yfv tanβf
用牛顿叠代法求解下式
f(dsv)=
Sfsv
df
+ invαf － tan sqr［(
dsv
2Xfv
)2 － 1{ }］ －
sqr［(
dsv
db
)2 － 1］+ tan sqr［(
dsv
db
)2 － 1{ }］
f(dsv)= －
2Xfv
dsvqr［dsv
2 －(2Xfv)
2］
－
sqr(dsv
2 － db
2)
dsvdb
dsv = dsv －
f(dsv)
f(dsv)
Ssv
dsv
=
Sfsv
df
+ invαf － sqr［(
dsv
db
)2 － 1］+ tan sqr［(
dsv
db
)2 － 1{ }］
Xfsv = 0． 5dsv cos
Ssv
dsv
Sfsv(弦)= dsv sin
Ssv
dsv
dfv = 2sqr［(
Xfsv
cosΨ
)2 +(
Sfsv
2 )
2］= mZv
Sfv(弧)= dfv tan 1 /sqr［(
dfv
Sfsv
)2 － 1{ }］
ξv =
Sfv － 0． 5m
2mtanfv
V － V平面当量齿形坐标为
△d =
dev － div
N (取点数 N = 1，2，3…n)
dn = dev － N△d
Sn
dn
=
Sfv
dfv
+ invαfv － sqr［(
dn
dbv
)2 － 1］+ tan sqr［(
dn
dbv
)2 － 1{ }］
Xn = 0． 5dncos
Sn
dn
Yn =
da
2sin － Xn tanψ
Zn = 0． 5dncos
Sn
dn
从①、②的计算式中很难看出两条齿形曲线在
空间是重合的，但是将①、②的空间齿形坐标用 Au-
toCAD的样条曲线画出来、再用三维动态观察就可
看出，①、②计算的空间齿形曲线是重合的，而且②
的计算式中:dfv =mZv，这也证明了设计倒锥花键直
齿轮插齿刀用锥齿轮原理是合理的。由插齿刀基本
参数变位系数 ξo、齿数 Zo、前角 γ及齿顶后角 αe，根
据锥齿轮啮合原理求解插齿刀其余参数(见图 9)。
图 9 插制倒锥花键直齿轮啮合图
Invαo1v =
2tanαfv(ξv + ξo)
Zv + Zo
+ invαfv
Ao1v =
mcosαfv(Zv + Zo)
2cosαo1v
djv =
dbv
cosαo1v
djo =
dbo
cosαo1v
deo = 2Ao1v － div
dio = 2Ao1v － dev
962016 年第 50 卷 No． 2
αfo = tan(
tanαfv
1 － tanγtanαe
)
dbo = Zomcosαfo
距插齿刀前端面 2． 5mm处测量齿形为
ρeo = 0． 5sqr［(deo － 5tanαe)
2 － d2bo］
dqo = 2sqr{［Ao1v sinαo1v － 0． 5sqr(d
2
ev － d
2
bv) ］
2 +(0． 5dbo)
2}
ρio = 0． 5sqr［(dqo － 5tanαe)
2 － d2bo］
根据以上齿形坐标计算，可将倒锥花键直齿轮
的节圆投影到 XOZ平面上(dj = djv cosψ) ，再与插齿
刀节圆啮合作空间倒锥花键直齿轮齿形范成图，也
可证明用锥齿轮啮合原理来设计倒锥花键直齿轮插
齿刀是否合理。
3 倒锥花键直齿轮插齿刀设计实例
设计倒锥花键直齿轮插齿刀，首先要计算出插
制斜角 ψ值，再根据②的计算式求解倒锥花键直齿
轮的当量分圆弧齿厚 Sfv，最后用 V － V 平面啮合原
理求出插齿刀几何参数。
例:被加工设计倒锥花键直齿轮参数为:m1． 8、
αf20°、Z39、βf4°、de73． 45、di67、K5、Wk24． 88;插齿刀
基本参数为:Zo56、γ5°、αe6°、Sfo2． 696，求插齿刀几
何参数。
由设计倒锥花键直齿轮和插齿刀基本参数求
得:
(1)根据大端面平面啮合原理设计插齿刀(先
确定插制斜角)
invαf = tanαf － αf = 0． 01490438387rad
Sf = m［
Wk
mcosαf
－(K － 1)π － Zinvαf］= 2． 810988126mm
ξ =
Sf － 0． 5m
2mtanαf
= － 0． 01255082972
ξo =
Sfo － 0． 5m
2mtanαf
= － 0． 1
invαo1 =
2tanαf(ξxiao + ξo)
Z + Zo
+ invαf = 0． 01404195962rad
αo1 = 0． 34241944396rad
Ao1 =
mcosαf(Z + Zo)
2cos αo1
= 85． 2955475088mm
deo = 2Ao1 － di = 103． 5910950177mm
当插齿刀与倒锥花键直齿轮小端啮合时，倒锥
花键直齿轮的参数为
Sfxiao = Sf － 2Btanβf = 1． 901939571mm
ξxiao =
Sfxiao － 0． 5m
2mtanαf
= － 0． 706325935mm
invαxiao =
2tanαf(ξxiao + ξo)
Z + Zo
+ invαf = 0． 008725886rad
αxiao = 0． 293471786rad
Axiao =
mcosαf(Z + Zo)
2cosαxiao
= 83． 932212481mm
dixiao = 2Axiao － deo = 64． 273329944mm
ψ = tan(
di － dixiao
2B )= 0． 206746851rad = 11°5045″
(2)求倒锥花键直齿轮在 V － V平面的参数
dev =
de
cosψ
+［2B －(de － di)tanψ］sinψ = 75． 48172162mm
div =
di
cosψ
= 68． 45788673mm
αfv = tan(sinψtanβf + cosψtanαf)= 0． 35488423rad = 20°2000″
invαfv = tanαfv － αfv = 0． 015689228rad
齿轮当量齿数 Zv =
Z
cosψ
= 39． 84862063 齿时，
有
dfv = Zvm = 71． 727517139mm
齿轮当量基圆直径
dbv = dfv cosαfv = 67． 257940489mm
(3)根据②的计算式，求解倒锥花键直齿轮在 V
－ V平面的当量分圆弧齿厚 Sfv
Yf = 0． 5tanψ(df － di)= 0． 335590161mm
Sfs = Sf － 2Yfs tanβf = 2． 764054626mm
Xfs = 0． 5df cos
Sfs
df
= 35． 072795545mm
△X = 0． 5df － Xfs = 0． 027204455mm
Xfsv = Xfs +△Xsinψsinψ = 35． 073941905mm
Yfsv = Yfs －△Xsinψcosψ = 0． 330124636mm
Sfsv = Sf － 2Yfsv tanβf = 2． 764818999mm
dsv(初值)= df
f(dsv)=
Sfsv
df
+ invαf － tan sqr［(
dsv
2Xfv
)2 － 1{ }］
－ sqr［(
dsv
db
)2 － 1］+ tan sqr［(
dsv
db
)2 － 1{ }］
= 9． 875503784 × 10 －10
f(dsv)= －
2Xfv
dsv sqr［dsv
2 －(2Xfv)
2］
－
sqr(dsv
2 － db
2)
dsvdb
= 0． 36678376167
dsv = dsv －
f(dsv)
f(dsv)
= 70． 202291747mm
Ssv
dsv
=
Sfsv
df
+ invαf － sqr［(
dsv
db
)2 － 1］
+ tan{sqr［(
dsv
db
)2 － 1］}= 0． 039373002 rad
齿轮 S与 V两平面之弦弓高
Xsv = 0． 5dsvcos
Ssv
dsv
= 35． 073941905mm
齿轮 S与 V两平面之弦齿厚
Sfsv = dsv sin
Ssv
dsv
= 2． 763360896
07 工 具 技 术
计算齿轮 V － V分圆直径
dfv = 2sqr［(
Xfsv
cosψ
)2 －(
Sfsv
2 )
2］= 71． 72751706mmm
齿轮当量分圆直径
dfv = mZv = 71． 72751714mmm
该分圆直径与当量分圆直径相差
△dfv = 8． 28375 × 10
－8
齿轮当量分圆弧齿厚
Sfv(弧)= dfv tan{1 /sqr［(
Sfsv
dfv
)2 － 1］}= 2． 764044935mm
齿轮当量变位系数
ξv =
Sfv － 0． 5m
2mtanαfv
= － 0． 047515286
当量啮合角
invαo1v =
2tanαfv(ζv + ζo)
Zv + Zo
+ invαfv = 0． 011454857rad
当量啮合中心距
Ao1v =
mcosαfv(Zv + Zo)
2cosαo1v
= 85． 995152703mm
插刀外圆直径
deo = 2Ao1v － div = 103． 532418677mm
插刀根圆直径
dio = 2Ao1v － dev = 95． 788583781mm
插刀分圆直径
dfo = Zom = 100． 8
插刀测量齿形角
αfo = tan(
tanαfv
1 － tanγtanαe
)= 0． 357904781rad = 20°3023″
插刀基圆螺旋角
βbo = tan(sinαfo tanαe)= 0． 036802708rad = 2°07
插刀基圆直径
dbo = Zomcosαfo = 94． 412592337mm
距插齿刀前端面 2． 5mm处测量齿形:
插刀终止点展开长度
ρeo = 0． 5sqr［(deo － 5tanαe)
2 － d2bo］
= 20． 595408109mm≈25． 59mm
起始直径
dqo = 2sqr{［Ao1v sinαo1v － 0． 5sqr(d
2
ev － d
2
bv) ］
2
+(0． 5dbo)
2}= 97． 023443807mm
插刀起始点展开长度
ρio = 0． 5sqr［(dqo － 5tanαe)
2 － d2bo］
= 11． 178227234mm≈11． 17mm
以上倒锥花键齿轮和插齿刀计算的参数均采用
锥齿轮瞬间啮合原理，所绘制的空间插制范成图如
图 10 所示，插制过程为:插齿刀的刀刃紧贴倒锥齿
轮的法向齿形，并且插制后的倒锥齿轮齿形、齿向都
能满足倒锥齿轮的几何精度要求，这也证明了该设
计方法可行。
图 10 倒锥花键空间插制范成图
4 结语
根据锥齿轮 V － V 平面啮合原理，精确推导出
倒锥花键直齿轮插齿刀的合理设计方案;根据加工
材料、插齿机功能和倒锥花键直齿轮的加工精度，推
导出三种设计方案供设计人员选择。举例说明了倒
锥花键直齿轮插齿刀的设计原理和三个重要参数:
插制安装角 ψ、V － V 平面分圆压力角 αfv及分圆弧
齿厚 Sfv，还证明了两种计算倒锥花键直齿轮在 V －
V平面坐标齿形的重合性和分圆直径的重合性。插
制倒锥花键直齿轮时插齿机工作台安装角应为设计
的插制安装角 ψ。实验证明，采用第 3 种设计插齿
刀方案，插制的倒锥花键直齿轮齿形、齿向几何精度
足以满足用户要求(7 级精度)。
参考文献
［1］齿轮手册编委会． 齿轮手册［M］． 北京:机械工业出版
社，1990．
［2］袁哲俊，刘华明． 刀具设计手册［M］． 北京:机械工业出
版社，1999．
［3］张晋西． Visual Basic 与 Auto CAD 二次开发［M］． 北京:
清华大学出版社，2002．
作者:刘胜军，重庆工具厂有限责任公司，400055 重庆
市
Author:Liu Shengjun， Chongqing Tools Factory Co．，
Ltd．，Chongqing 400055，China
172016 年第 50 卷 No． 2