全 文 ：收稿日期：!""#$"%$&% 接受日期：!""#$"’$%&
基金项目：国际植物营养研究所（()*(，+,-./01&%）；福建省测土配方施肥专项经费资助。
作者简介：章明清（&23%—），男，福建永春人，研究员，博士，从事作物平衡施肥和污染生态学研究。415/.6：78/095:!""&;&3%< =>5
!"#$% &’()" 法在多元肥效模型参数估计和
推荐施肥中的应用
章明清&，徐志平!，姚宝全!，林 琼&，颜明娟&，李 娟&，陈子聪&
（& 福建省农业科学院土壤肥料研究所，福建福州 %?""&%；! 福建省农田建设与土壤肥料技术站，福建福州 %?"""%）
摘要：针对多元肥效模型大量存在非典型式的事实，本文应用“%@&@”田间试验结果，详细介绍 A>0BC D/E6>法的原理
以及在多元肥效模型参数估计、非典型肥效模型推荐施肥等方面的应用方法和步骤。结果表明，采用最小二乘法
回归建模，3’个二元和 ?2个三元肥效模型的典型式出现几率分别为 !%<&F和 &3<2F；而改用 A>0BC D/E6>法参数寻
优，典型式出现几率分别提高到 ?3<’F和 %’<%F，是最小二乘法的 !0BC D/E6>
法是在参数寻优时牺牲数学上偏差平方和最小的最优性，使待估参数达到专业上最优而数学上较优，从而提高典
型肥效模型的出现几率。对 A>0BC D/E6>法也不能得到典型式的晚稻磷钾非典型肥效模型，用产量频率分析法计算
推荐施肥量，表明只有一组磷钾肥用量组合入选，导致磷肥推荐用量偏高而钾肥偏低。在相同目标产量下，改用
A>0BC D/E6>法，平均推荐用量介于相同试验地所建立的氮磷、氮钾和氮磷钾典型肥效模型的推荐用量之间，结果明
显优于产量频率分析法。因此，A>0BC D/E6>法为多元肥效模型参数估计和非典型肥效模型推荐施肥提供了一种新
方法，提高了当前测土配方施肥田间试验的成功率。
关键词：肥效模型；典型式；非典型式；A>0BC D/E6>法；推荐施肥
中图分类号：G&%& 文献标识码：H 文章编号：&""#$?"?I（!""2）"!$"%33$"#
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植物营养与肥料学报 !""2，&?（!）：%33$%’%
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肥料效应函数法是我国推荐施肥技术的主要方
法之一［A］。但是，王兴仁在总结全国 ABC 个二元肥
料试验结果中，发现非典型式占到 DCEFG［HIJ］；章明
清等［K］在总结福建省 FC个水稻氮、磷、钾肥效试验
结果时，发现三元非典型式占 BLEKG。多元肥效模
型出现大量非典型式，严重影响了该法的推广应用。
为此，针对产生问题的原因，国内同行提出了许多改
进意见，例如，试验设计方案的选择或改进［DIL］、试
验设置重复和改进小区排列方式［B］、施肥模型数学
形式的选择［F］、多元肥效试验结果的归纳总结方
法［CIAM］等，这些改进方法都在一定程度上提高了典
型肥效模型的出现几率。近年来，农业部在总结已
有研究成果基础上，推荐了既吸收了回归最优设计
优点，又符合专业要求的“JKAK”试验设计方案，在当
前测土配方施肥中推广应用。但是，“JKAK”设计方
案的试验结果在建立多元肥效模型时，同样存在大
量非典型式［AA］。
当前，肥效模型参数估计都是采用最小二乘法
进行的。该法虽然在数学上是最优的，但是，田间试
验结果不可避免地受到许多不可控因素的干扰。最
小二乘法对这种数据波动过于敏感［AH］，导致在肥效
模型系数上出现异常结果；而 !"#$% &’()"法对这类
复杂问题的参数寻优却有明显的优势［AJ］。!"#$%
&’()"法是计算机模拟计算的一种研究方法，广泛应
用于生态学［AJ］、物理学［AK］和化学［AD］等学科中，但在
多元肥效模型参数估计中的应用还未见报道。为
此，利用福建省近年来完成的大量“JKAK”设计方案
的试验结果，应用该法探讨二元和三元二次多项式
肥效模型参数估计方法，以期进一步提高典型肥效
模型的出现几率，并探讨该法在非典型肥效模型推
荐施肥上的应用。
) 材料与方法
)*) 田间肥效试验
福建省在 HMMD!HMML 年的测土配方施肥技术
示范推广过程中，对水稻、甘薯和花生进行了大量的
田间肥效试验。试验采用“JKAK”设计方案，氮、磷、
钾各 K个水平，AK个处理，即：A）:M2M3M，H）:M2H3H，
J）:A2H3H，K）:H2M3H，D）:H2A3H，L）:H2H3H，B）:H2J3H，
F）:H2H3M，C）:H2H3A，AM）:H2H3J，AA）:J2H3H，AH）
:A2A3H，AJ）:A2H3A，AK）:H2A3A。其中，“H”水平表示
:、2HND、3HN 的“最佳用量”，“M”水平表示不施肥，
“A”水平的用量为“H”水平的 DMG，“J”水平的用量
为“H”水平的 ADMG。采用多点分散不设重复的试
验方法，每个试验点采用区组排列，小区面积 HM!
JM *H，同一个试验点小区面积相同。试验地分布于
福建全省各地，选择当地具有代表性的土壤类型和
肥力水平的地块作为试验田。H 年完成 CL 个田间
试验。
水稻氮、磷、钾“H”水平的推荐施肥量分别为 :
ADM O1 P +*H、2HND LM O1 P +*H、3HN AMD O1 P +*H；甘薯试
验分别为 : AFM O1 P +*H、2HND LM O1 P +*H、3HN HHD
O1 P +*H；花生分别为 : BD O1 P +*H、2HND LM O1 P +*H、
3HN CM O1 P +*H。各试验地可根据土壤肥力状况和目
标产量水平对此施肥量进行调整，但各处理施肥量
按相应比例增减。氮肥用尿素（: KLG），磷肥用过
磷酸钙（2HND AHG）或磷酸二铵（: AKG，2HND KKG），
钾肥用氯化钾（3HN LMG）。施肥方法是：水稻和花
生基肥中氮、钾肥占总用量的 DMG，磷肥全做基肥，
余下的氮、钾肥在苗期做追肥；甘薯基肥中氮、钾肥
占总用量的 DMG，磷肥全做基肥，KMG氮肥在苗期
做第一次追肥，余下的氮、钾肥在薯块膨大前期做第
二次追肥。
试验区周围设 A *宽以上的保护行，其他的栽
培管理措施与大田生产一致。供试品种选用当地大
面积种植的良种。试验时间都在当地正常农业生产
季节内进行。试验实施前，分别取基础土样测定土
壤主要理化性质。收获时，各小区单收单称，分别记
录产量鲜重和晒干重。
)*+ ,%-." /0&1%法基本原理及其编程技术
AEHEA 基本原理 !"#$% &’()" 法的核心思想是用
计算机产生特定分布规律的随机数，这个随机数与
模拟的对象有相同的统计学规律，实现一个随机数
BLJH期 章明清，等：!"#$% &’()" 法在多元肥效模型参数估计和推荐施肥中的应用
对应一个随机事件［!"］。当计算机产生足够的“随机
事件”之后，研究对象的统计学规律也就表现出来。
#$%&’ ()*+$法进行优化计算的基本方法是根据研究
对象设定随机数范围，用众多随机数代入方程得到
随机解，然后从众多随机解中选择最接近解题研究
的结果。这种方法可用于解方程（组）、求极值、求定
积分等。该法特别适用于复杂方程的求解，即使有
些问题已有完善的理论求解方法，若改用#$%&’ ()*,
+$法也常能大大简化编程和计算过程。由于 #$%&’
()*+$法靠随机寻找，要达到足够精度需要较长的计
算时间，是一种以时间换取精度的简易方法。
随机解需要计算足够多的随机数才能得到稳定
且准确的结果，计算过程只能通过编写程序由计算
机来完成。本文采用计算机数学语言即#-./-0语
言，介绍 #$%&’ ()*+$法用于多元肥效模型参数寻优
的过程和编程技术。
!1212 肥效参数随机数初始取值范围 #$%&’ ()*+$
法进行优化计算的第一个步骤是根据研究对象设定
随机数取值范围。最简捷有效的方法是对试验结果
先进行最小二乘法回归建模，以回归模型各系数值
作为依据，设定某个变化幅度（例如 3 456）作为各
个参数的初始随机数取值范围。根据肥料效应的一
般规律和得到尽可能多的典型式，如果最小二乘法
所得回归方程的一次项系数为负数或者平方项系数
为正数，作为初始随机数取值范围，将一次项系数改
为在较小的正数范围内取值，平方项系数改为接近
于零的负数范围内取值。
!121" 肥效参数寻优方法与步骤 多元肥效模型
参数寻优估计和随机解推荐施肥程序结构由 "部分
组成（图 !）。首先，对试验结果进行最小二乘法回
归分析，进行统计显著性检验，舍弃未达统计显著水
平的回归方程。对通过显著性检验的回归方程进行
模型典型性判别，以确定是典型式还是非典型式。
然后，对非典型式进一步改用 #$%&’ ()*+$法参数寻
优。在已确定的随机数取样范围内，进一步确定随
机数采样数，一般在 45 万!!55 万较为合适。由于
二元和三元二次肥效模型的寻优参数分别达到 7个
和 !5个，通常需要 "!4步寻优才能得到满意的结
果。在寻优过程中，后一步寻优的参数随机数取样
范围以前一步的结果为基础。随着寻优次数的增
加，逐步缩小取样范围，最后可得到稳定且准确的结
果。
在众多随机解结果中，如何在每步寻优中选择
“最优”参数组合是个重要问题。本程序是采用试验
处理实际产量与模型相应理论产量的偏差平方和
（88’）作为评判依据。在寻优时选择 88’ 最小的那
个随机数组合作为下一步寻优的初始值；在最后一
步寻优时，对每个随机解参数组合进行偏差平方和
图 ! "#$%& ’()*#法多元肥效模型参数估计和推荐施肥的"+,-+.程序流程图
/012! "+,-+. 3)#1)(4 5*#6 70(1)(4 5#) 3()(4&%&)8 &8%04(%0#$ ($7 5&)%0*09(%0#$ )&:#44&$7(%0#$ #5
4;*%0<()0(%& 5&)%0*09&) )&83#$8& 4#7&*8 => ;80$1 %?& "#$%& ’()*# 4&%?#7
97" 植 物 营 养 与 肥 料 学 报 !4卷
统计，寻找能达到统计显著水平的各个随机数组合，
相应的平均值作为最终参数估计结果，并对最终所
得方程进行统计显著性检验和模型典型性判别。在
这个过程中，计算程序采用 !"#$"%软件中运算速
度较快的数组计算技术，舍弃计算速度较慢的循环
语句。
程序的第 &部分是推荐施肥量计算。如果最小
二乘法或 !’()* +,-.’法所得肥效方程属于典型式，
则直接采用边际产量导数法，编写推荐施肥量计算
程序。若!’()* +,-.’法参数寻优估计所得肥效方程
属于非典型式，而且一次项系数为正数、平方项系数
为负数，并能达到统计显著水平，则采用与产量频率
分析法［/］类似的随机解寻找推荐施肥量。具体方法
是，在试验施肥量范围内采集众多随机数，分别代入
肥效模型计算各组随机施肥量所得的相应产量。然
后，寻找产量达到目标产量以上的那些随机施肥量
组合，分别求其平均值和标准差作为推荐施肥量。
一般情况下，随机数取 01万个左右就能得到稳定的
计算结果。
! 结果与分析
!"# $%&’( )*+,%法对多元非典型肥效模型参数估
计结果
以 211/年上杭县在晚稻上进行的 01个田间试
验为例，“&303”设计方案的平均试验产量结果见表
0。由于试验方案所具有的特点，处理（2）至（4）以及
处理（00）和（02）组成的 5个处理，可建立 67二元肥
效模型；与此类似，分别建立 68和 78二元肥效模
型；全部 03个处理建立 678三元肥效模型。根据
图 0的 !"#$"%语言程序流程，在 ! 9 :;.*窗口编写
最小二乘法和 !’()* +,-.’法肥效参数估计程序。运
行该程序，结果表明，用最小二乘法建立的 67、68
和 78二元肥效模型以及 678三元肥效模型均达到
统计显著水平，但模型典型性判别［3］表明，67、78
和 678的回归方程均属于非典型式，只有 68二元
方程属于典型式。
表 # 上杭县晚稻氮磷钾肥效田间试验结果
-*.,( # /0(,1 (23(+04(&’ +(56,’5 %7 89: 7(+’0,0;(+ +(53%&5( %& ,*’( +0<( =0(,1 0& >?*&@?*&@ <
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编号
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处理
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施肥量（=> ? @A2）
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产量
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）6 72FG 82F 6 72FG 82!!
F
0 617181 1 1 1 4025 5 627281!! 0G1 /1 1 531&
2 617282 1 /1 01G 41/5 H 627280!! 0G1 /1 G2IG 5H0H
& 607282 4G /1 01G 5053 01 62728&!! 0G1 /1 0G4IG 5G/5
3 627182 0G1 1 01G 5512 00 6&7282!! 22G /1 01G H11H
G 627082 0G1 &1 01G 5HG5 02 607082!! 4G &1 01G 522/
/ 627282 0G1 /1 01G H01G 0& 607280!! 4G /1 G2IG 50&/
4 627&82 0G1 H1 01G H1/1 03 627080 0G1 &1 G2IG 5/H3
对于通过显著性检验的二元和三元肥效模型，
进一步采用!’()* +,-.’法参数寻优，过程和结果（表
2）表明，67二元肥效模型经过 2 次寻优，就得到肥
效模型系数稳定的典型式，68二元肥效模型用最小
二乘法可得到典型式，用 !’()* +,-.’法参数估计也
同样能得到典型式；但 78二元肥效模型由于交互
项的系数过大，经过更多次寻优，也不能得到典型肥
效模型，678三元肥效模型虽然有 01个待估计的肥
效系数，但也只要经过 &次寻优，就找到了模型系数
稳定的典型式。因此，采用!’()* +,-.’法参数寻优，
在同样满足统计显著性检验要求的条件下，可提高
典型肥效模型的出现几率。
最小二乘法参数估计在数学上要求偏差平方和
（JJ*）最小。表 2还表明，!’()* +,-.’法参数估计所
得的偏差平方和随着参数寻优次数的增多，JJ* 不
断减少，但最终都比最小二乘法的 JJ* 大，说明
!’()* +,-.’法是在参数寻优时适当放弃数学上偏差
平方和最小的最优性，使待估参数达到数学上较优，
而使部分模型的一次项和二次项系数正负值满足一
般作物的肥效特点，从而提高了典型肥效模型的出
现几率。
!’()* +,-.’法建立的肥效模型各系数值与最小
二乘法相比略有差异，其推荐施肥量是否可靠是个
重要问题。对最小二乘法建立的肥效模型（表 2）用
H/&2期 章明清，等：!’()* +,-.’ 法在多元肥效模型参数估计和推荐施肥中的应用
表 ! 最小二乘法和"#$%& ’()*#法对晚稻氮磷钾肥效参数寻优过程和结果
+(,*& ! -./ 0&)%1*12&) )&34#$3& 4()(5&%&) &3%15(%1#$ 4)#6&33 ($7 )&38*%3 #0 *(%& )16& ,9
831$: %;& *&(3% 3<8()&3 5&%;#7 ($7 %;& "#$%& ’()*# 5&%;#7
方法
!"#$%&
养分
’(#) *
寻优
次数
+,-".
（/）
参数寻优结果
01)1-"#"). ".#,-1#,%/ )".(2#. 3
4
偏差
平方和
55"
（ 6 789）
中选随机数（/）
31/&%-
/(-:")
."2";# *
模型
性质
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最小二
乘法
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8E8ACI4 D 8E89H’0 D 8E88G’I D 8E8H@0I
8ECB7C!! 4AE4A B4HA 3
注：方程中的 ’、0、I分别表示 ’、04KB、I4K施肥量，>表示产量（LM N $-4）；3和 ’3分别表示典型和非典型模型。
’%#"：’，0 1/& I ,/ "=(1#,%/. -"1/ 1OO2,;1#,%/ )1#" %P ’，04KB 1/& I4K，)".O";#,Q"2>，1/& > -"1/. >,"2&（LM N $-4）* 3 1/& ’3 -"1/ )"O)"."/#1#,Q" 1/&
/%/R)"O)"."/#1#,Q" -%&"2，)".O";#,Q"2>*
边际产量导数法求最高施肥量（表 H）表明，’0肥效
模型的推荐结果属于外推结论，0I和 ’0I肥效模
型无法求得推荐施肥量，只有 ’I肥效模型的推荐
施肥是可靠的。对 !%/#" J1)2%法建立的典型肥效模
型（表 4）用相同方法计算最高施肥量，结果表明，除
0I肥效模型属于非典型式，不能求得施肥量外，4
种方法建立的氮钾典型肥效模型的推荐施肥量之间
差异很小，’0和 ’0I肥效模型的推荐施肥量也属
于可接受的变化范围。其实，若 !%/#" J1)2%法的初
始随机数采样数进一步增加，这种差异还可进一步
缩小。
!=! 基于"#$%& ’()*#法参数估计的典型肥效模型
出现几率
目前，建立作物肥效模型都是采用最小二乘法
回归建模。用该法对完成的 C@个试验逐个进行回
归分析，表明能达到统计显著水平的二元肥效模型
有 @A个，三元肥效模型有 BC个（表 9）。模型典型性
判别［9］表明，二元肥效模型典型式只有 7B 个，出现
几率为 4HE7S；三元肥效模型典型式只有 78个，出
现几率为 7@ECS。典型式出现几率低于已报道的
统计结果［HF9］，与近年来“H979”方案的田间试验未设
重复，未能消除试验地土壤肥力差异引起的误差有
关。
对能通过显著性检验的肥效模型，改用 !%/#"
J1)2%法参数寻优。表 9表明，二元肥效模型典型式
有 HG个，典型式的出现几率达到 B@EAS，是最小二
乘法的 4EB倍。三元典型式有 44个，出现几率达到
HAEHS，是最小二乘法的 4E4 倍。说明 !%/#" J1)2%
法在不增加重复数或处理数等增加工作量的基础
上，能明显地提高多元典型肥效模型的出现几率。
对表 9的 74@个肥效模型的参数寻优还表明，最小
二乘法能得到典型式的试验资料，!%/#" J1)2%法也
8AH 植 物 营 养 与 肥 料 学 报 7B卷
表 ! 不同建模方法的推荐施肥结果比较
"#$%& ! ’()*#+,-(. /( 0&+/,%,1#/,(. +&2())&.3#/,(. ,. /4& 3,00&+&./ )(3&%,.5 )&/4(3-
方法
!"#$%&’
养分
()#*+",#’
模型性质
!%&"- .$/*/.#"*’
最高产量施肥量（01 2 $34）
566-+./#+%, */#" 7%* 3/8+3)3 9+"-&
( :4;< =4;
最小二乘法 (: 非典型式 (%,>*"6*"’",#/#+?" @AB @@@ —
C"/’# ’D)/*"’ (= 典型式 E"6*"’",#/#+?" 4BF — GH
3"#$%& := 非典型式 (%,>*"6*"’",#/#+?" — — —
(:= 非典型式 (%,>*"6*"’",#/#+?" — — —
!%,#" I/*-%法 (: 典型式 E"6*"’",#/#+?" @AB J< —
!%,#" I/*-% (= 典型式 E"6*"’",#/#+?" 4B< — G@
3"#$%& := 非典型式 (%,>*"6*"’",#/#+?" — — —
(:= 典型式 E"6*"’",#/#+?" 4BJ H4 AB
表 6 最小二乘法和7(./& ’#+%(法参数估计对多元肥效模型典型式和非典型式出现几率的比较
"#$%& 6 ’()*#+,-(. /( &)&+5&.2& *+($#$,%,/8 (0 +&*+&-&./#/,9& #.3 .(.:+&*+&-&./#/,9& );%/,9#+,#/& 0&+/,%,1&+ +&-*(.-& )(3&%-
$&/<&&. /4& %&#-/ -=;#+& )&/4(3 #.3 /4& 7(./& ’#+%( )&/4(3
肥效模型
!%&"-’
作物
I*%6’
模型数
!%&"-
,)3K"*’
（,）
最小二乘法
C"/’# ’D)/*"’ 3"#$%&
!%,#" I/*-%法
!%,#" I/*-% 3"#$%&
典型式
E"6*"’",#/#+?"
3%&"-’（,）
非典型式
(%,>*"6*"’",#/#+?"
3%&"-’（,）
典型式
E"6*"’",#/#+?"
3%&"-’（,）
非典型式
(%,>*"6*"’",#/#+?"
3%&"-’（,）
二元肥效模型 水稻 E+."
3%&"-’ 花生 :"/,)# J 4 H < L
合计 O)3 HG @< <4 LJ 4A
三元肥效模型 水稻 E+." FH F F4 @< L@
M$*"">,)#*+",#’ 甘薯 ON""# 6%#/#% H F 4 < @
3%&"- 花生 :"/,)# G 4 < 4 <
合计 O)3 一定能得到相同结论；最小二乘法回归分析能满足
统计显著性检验的绝大多数非典型式，!%,#" I/*-%
法也能找到既满足统计显著性要求又符合植物营养
对肥效模型系数正负值要求的典型式或非典型式。
但一次项系数为负数或者平方项系数为正数且数值
较大，或者一次项系数为负数同时平方项系数为正
数，或者交互项系数过大等极端情况，会使 !%,#"
I/*-%法难以找到系数正负值满足要求的肥效模型。
>?! 7(./& ’#+%( 法在多元非典型肥效模型推荐施
肥上的应用
表 L的统计结果表明，虽然 !%,#" I/*-%法提高
了典型式的出现几率，但仍然有约
肥通常采用产量频率分析法［F，H］。以表 4 的 !%,#"
I/*-%法建立的晚稻磷钾肥效模型为例，由于“LF@F”
试验方案的特点，产量频率分析法的二因素四水平
最多只有 @H种组合。但 !%,#" I/*-%法不受这一条
件限制，在磷钾肥试验用量范围内，可取众多均匀分
布随机数，组成磷钾肥用量的随机组合，分别代入磷
钾二元非典型肥效模型，计算各组随机数的相应产
量。表 < 是以该试验所得最高产量即处理（H）的
BQA<倍至 @QBB倍为目标产量，产量频率分析法和取
@B万个随机数的 !%,#" I/*-% 法能满足目标产量要
求的磷钾肥组合数、磷钾肥平均推荐用量、预报产量
以及标准差。结果看出，产量频率分析法的中选组
合数都太少，标准差较大；而 !%,#" I/*-%法中选组
合数达到数千至数万个，标准差较小，而且在这个随
机数样本下已能得到稳定结果。
对相同试验地建立的氮磷、氮钾和氮磷钾典型
肥效模型（表 4），用边际产量导数法得到磷肥推荐
用量为 H@QA!J
@GL4期 章明清，等：!%,#" I/*-% 法在多元肥效模型参数估计和推荐施肥中的应用
作为目标产量，!"#$% &’()"法推荐施肥的入选随机
数可达到 *+,-个，由此得到的磷钾肥平均推荐用量
介于边际产量导数法的推荐用量之间。但在这一目
标产量下，产量频率分析法只有一组磷钾肥用量组
合入选，作为推荐施肥的依据，组合数显然太少，而
且与氮磷、氮钾和氮磷钾典型式的磷钾肥推荐用量
相比，磷肥用量偏高而钾肥则偏低。结果表明，
!"#$% &’()"法推荐施肥优于产量频率分析法。
表 ! 产量频率分析法和"#$%& ’()*#随机解的晚稻磷钾肥推荐施肥结果比较
+(,*& ! ’#-.()/0#$ %# 123 4&)%/*/5(%/#$ )&6#--&$7(%/#$ /$ *(%& )/6&
,&%8&&$ %9& :/&*7 4)&;<&$6: ($(*:0/0 ($7 %9& "#$%& ’()*# -&%9#7
目标产量!
."’) /0%)1
（203%4）
产量频率分析法
50%)1 6(%78%#9/ ’#’)/404 3%$:"1
!"#$% &’()"法!
!"#$% &’()" 3%$:"1
组合数
&"3;0#’$"(0’) <"=
>?@+
（AB C :3?）
D?@
（AB C :3?）
产量 50%)1
（AB C :3?）
组合数
&"3;0#’$"(0’) <"=
>?@+
（AB C :3?）
D?@
（AB C :3?）
产量 50%)1
（AB C :3?）
EFG+ HE ,IFE J -+F? IGF- J ,GFI GE?* J H*I *K-*E ,GF- J ?+F, GHF- J -IFK IGEK J H--
EFGK * KEFE J -,FK *+FE J ,HF- GEKK J H,I K*H,H +EF- J ?+F- GHFK J -KFH IG-* J HH*
EFG* + KKFE J ?+FH I,FE J ?IFI GHEE J IK +--H, +-F* J ?,FH IGF+ J ??FE IG** J HEE
EFGI + KKFE J ?+FH I,FE J ?IFI GHEE J IK --+GE K,FH J H*F- I?FG J ?*FH GE-K J **
EFGG - IEFE J H*F- I*F+ J -EF- GH-* J KI HI,E- *-F? J HHFH *KF* J ??FE GEG+ J ++
HFEE H GEFE J E +?F+ J E GHKG J E *+,- IHFH J +FG *HF? J HKF- GH+? J -H
! 目标产量设为试验最高产量的倍数；!"#$% &’()"法的磷钾用量取 HEEEEE个随机数。2:% B"’) /0%)1 04 /0%)1 $03%4 "6 $:% :0B:%4$ %LM%(03%#$
/0%)1；> ’#1 D 9"3;0#’$"(0’) #83;%(4 ’(% $’A%# HEEEEE (’#1"3 #83;%(4 0# $:% !"#$% &’()" 3%$:"1=
= 讨论
众所周知，通过二点的直线是唯一的，通过三点
求一条二次曲线也是唯一的；而根据三个点以上求
一根直线或根据四个点以上求一根二次曲线的结果
数量是无限止的。同样，根据“-,H,”设计方案（H,个
处理）的试验结果去求一个二元或三元二次线性方
程，方程的系数组合也是无限的。这就表明当处理
数大于方程系数的个数时，方程的系数就有无限个
组合，也就是说无法确定。最小二乘法原理用于解
决这个问题，规定找出一组方程的系数，它能满足根
据这个方程推算得到的各个点的数值与实际数值之
差的平方和是最小，即所说的 NN%最小。
蒙特卡罗（!"#$% &’()"）方法，又称随机抽样或
统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在
?E世纪 ,E年代中期为了适应当时原子能事业的发
展而发展起来的，目前广泛应用于生态学［H-］、物理
学［H,］和化学［H+］等学科的参数估计中。采用该方法
去解决处理数大于方程系数个数时的解回归方程问
题时就可以得出无数个系数组合，这些系数的组合
计算得到的 NN%都将大于根据最小二乘法原理算得
方程系数的 NN%。本文提出可以从这大量的方程系
数组合中找到一些 NN%比较接近最小二乘法原理算
得方程系数的 NN%，而系数又能满足我们计算施肥
量需要的方程系数组合。虽然产生非典型肥效模型
的原因主要应从试验设计的合理性去探讨，但鉴于
目前试验设计方法的发展水平，!"#$% &’()" 法不失
为多元肥效模型参数估计提供了一种可供选择的途
径。本研究表明，该法对提供典型肥效模型的出现
几率是有益的，从而提高了当前田间肥料试验的成
功率。
本研究还表明，提高 !"#$% &’()"法参数估计准
确性的关键在于初始随机数取值范围和采样数大小
的确定以及不同寻优次数之间“最优随机数组合”的
选取。因而，建议对试验资料先用最小二乘法回归
建模，若得到非典型肥效模型，就以最小二乘法所得
方程系数的某个变化幅度（如 J +EO、J -EO）作为
初始随机数的取值范围。原则上讲，采样数越多，所
得结果就可能越准确，但采样数受到计算机性能的
限制。研究表明，一般采集 +E万至 HEE万个随机数
就可以了。“最优随机数组合”的选取依据可有不同
的方法，但研究表明，以 NN%作为评判依据是较简洁
的通用方法。本研究仅对水稻、甘薯和花生的 !"#$%
&’()"法建模方法进行了探讨，对于小麦、玉米等作
物由于肥效反应可能不同，如何科学有效地应用该
法，还需进一步研究和讨论。
> 结论
用最小二乘法对上杭县晚稻“-,H,”方案试验结
果建立二元和三元二次多项式肥效模型，典型性判
?*- 植 物 营 养 与 肥 料 学 报 H+卷
别表明，除 !"肥效模型属于典型式外，其余均属于
非典型式。#$%&’ ()*+$法在肥效参数寻优时适当放
弃数学上偏差平方和最小的最优性，在满足统计显
著性检验的条件下，得到 !,、!" 和 !," 典型肥效
模型，但 ,"肥效模型由于交互项系数过大，既使采
用 #$%&’ ()*+$法，也不能得到典型式。
最小二乘法建立的 -.个二元和 /0个三元肥效
模型，典型式出现几率分别为 12345和 4-305。对
这些肥效模型改用 #$%&’ ()*+$法参数寻优，二元和
三元肥效模型的典型式出现几率分别提高到
/-3.5和 2.325，是最小二乘法的 13/倍和 131倍。
#$%&’ ()*+$法在相同条件下，能明显地提高典型肥
效模型的出现几率。
对晚稻磷钾非典型肥效模型，以试验最高产量
作为目标产量，用产量频率分析法计算推荐施肥量，
表明只有一组磷钾肥用量组合入选，导致磷肥推荐
用量偏高而钾肥偏低。改用#$%&’ ()*+$法在此目标
产量下，磷钾肥推荐用量介于相同试验地所建立的
氮磷、氮钾和氮磷钾典型肥效模型的推荐用量之间，
结果明显优于产量频率分析法。
参 考 文 献：
［4］ 金耀青 6 配方施肥的方法及其功能—对我国配方施肥工作的
述评［7］6 土壤通报，4080，19（4）：:-;:8，223
7<% = >6 ?$*@A+) B’*&<+
［1］ 王兴仁 6 二元二次肥料效应方程等产线图在科学施肥中的位
置（一）［7］6 土壤通报，408/，4-（4）：29;2:3
M)%N O P6 P$+’ $B G$%&$A* Q<’+E +<%’ B
［2］ 王兴仁 6 二元二次肥料效应方程等产线图在科学施肥中的位
置（二）［7］6 土壤通报，408/，4-（1）：8-;883
M)%N O P6 P$+’ $B G$%&$A* Q<’+E +<%’ B
［:］ 章明清，林仁勋，林代炎，等 6 极值判别分析在三元肥效模型
推荐施肥中的作用［7］6 福建省农科院学报，400/，49（1）：/: ;
/03
SD)%N # >，T<% P O，T<% U = !" #$ 6 ?A%G&<$% $B E
［/］ 陈伦寿，毛达如，张承东 6 关于推荐（配方）施肥中几个技术性
问题［7］6 土壤，4009，11（:）：4-0;4.1，4.-3
(D’% T L，#)$ U P，SD)%N ( U6 L’I’*)+ &’GD%$+$N
［-］ 吴平，陶勤南 6 氮磷钾肥效模型的研究及其应用［7］6 浙江农
业大学学报，4080，4/（:）：282;2883
MA ,，Z)$ > !6 X F&AEQ $B %<&*$N’%HRD$FRD$*AFHR$&)FF
［.］ 金耀青，张中原 6 配方施肥方法及其应用［#］6 沈阳：辽宁科
学技术出版社，40023 44:;4::3
7<% = >，SD)%N S =6 ?$*@A+)&<$% B’*&<+
;4::3
［8］ 毛达如，陈伦寿，张承东 6 肥料多点分散试验结果的动态聚类
［X］6 杨守春 6 黄淮海平原主要作物优化施肥和土壤培肥技术
［#］6 北京：中国农业科技出版社，40043 1.;213
#)$ U P，(D’% T L，SD)%N ( U6 UQ%)@
［0］ 杨守春，陈伦寿，张承东 6 黄淮海平原主要作物优化施肥和土
壤培肥研究总论［X］6 杨守春 6 黄淮海平原主要作物优化施肥
和土壤培肥技术［#］6 北京：中国农业科技出版社，400434 ;
1-3
=)%N L (，(D’% T L，SD)%N ( U6 L&AEQ R)%E’G& B$* $R&<@A@ B’*&<+H
［49］ 章明清，林代炎，林仁埙 6 福建水稻区域施肥模型和推荐施肥
研究［7］6 福建省农科院学报，400-，41（4）：/4;//3
SD)%N # >，T<% U =，T<% P O6 P’N<$%)+ B’*&<+
讨［7］6 植物营养与肥料学报，1991，8（:）：:90;:423
M)%N L P，(D’% O ,，_)$ O S !" #$ 6 L&AEQ $% F<@A+)&<$% $B“2:4:”
B’*&<+
［41］ 章明清 6 米氏肥效方程的灰色建模法［7］6 土壤通报，400.，
48（4）：48;40，1.3
SD)%N # >6 _*)Q @$E’+<%N @’&D$E $B #<&FGD’*+
［42］ 骆世明，彭少麟 6 农业生态系统分析［#］6 广州，广东科技出
版社，400-3 /.4;-483
TA$ L #， ,’%N L T6 XN*
［4:］ 马文淦 6 计算物理学［#］6 北京：科学出版社，199/3
#) M 76 !A@’*)&<$% RDQF
［#］6 北京：化学工业出版社，19913 48;/9 6
?*’%K)+ ‘ L@<&（Z*)%F+)&’E aQ M)%N M ( !" #$）6 [%E’*F&)%E<%N
@$+’GA+)* F<@A+)&<$%HB*$@ )+N$*<&D@F &$ )RR+