全 文 ：书贴现因素对牧民草地承包后期
放牧行为的影响分析
辛永亮，孙春宝，宋波
（北京科技大学土木与环境工程学院环境工程系，北京１０００８３）
摘要：本研究将贴现影响引入牧草生长－消费模型，针对草地承包后期牧民可能采取的几种放牧行为进行比较分
析。当社会存在正贴现率时，牧民为获取最大收益，倾向于在承包期内适度放牧，在临近承包期结束时，采取最大
放牧强度的放牧策略。与不考虑贴现时情况相比，此策略过度放牧开始时间有所提前，提前程度与贴现率正相关。
经历２０多年经济高速发展后，我国贴现率处于较高水平，因此政府应根据贴现率变化提前与牧民续签合同，防止
草地大幅破坏的情况发生。
关键词：生长－消费模型；草地承包后期；放牧行为；贴现率；草地管理
中图分类号：Ｓ８１２．９５；Ｆ３２６．３　　文献标识码：Ａ　　文章编号：１００４５７５９（２００９）０２０１６３０６
　 草地是畜牧业发展的基础资源，更是重要的绿色生态屏障。草地退化不仅导致生态环境恶化，还会引发一系
列严重的社会经济问题［１］。学术界对天然草地退化机理进行深入研究，许多学者已达成共识：认为过度放牧是造
成草地退化的首要因素［２～５］。因此，如何合理利用草地，成为解决问题的关键。
许多学者对草地放牧系统进行模拟与优化，取得了一些成果［６～８］，杨则和边馥萍［９］建立可再生资源开发的合
作对策模型，提出资源开发最优策略。Ｎｏｙ［１０，１１］将草地放牧系统分为牧草生长与消费２个过程，并通过数学模型
进行比较分析，Ｃｏｎｗａｙ和Ｋｉｌｅｎ［１２］利用线性模型方法对草场生产经营方式进行了优化，李自珍等［１３］以云贵高原
人工草地为例组建了牧草资源保护性利用的最大持续产量模型。赵立纯等［１４］根据脉冲微分方程周期性理论和
最优控制原理，给出所研究系统的最佳控制周期和相应的最优捕获量。还有学者通过建立草地生态系统安全评
价指标体系，对草地生态安全进行分析和评价，进而确定适宜放牧系数［１５，１６］。
为使不同时期发生的支付可以相互比较而设计的方法称为贴现，贴现率是将未来支付折算为现值所使用的
比率。由于任何经济活动的实施都有一个时间上的延续过程，不同时间获取同样收益在价值上是不相等的，利用
贴现率将未来收益折算为现值，可以很好的解决未来经济活动在今天如何评价的问题。贴现率为正值，说明未来
１块钱没有现在的１块钱重要，而且收益出现得越迟，它的价值也就越低［１７］。本研究采用假定贴现率为０，通过
建立牧草生长－消费模型，重点分析特定草地管理政策下，牧民为获取最大收益可能采取的放牧行为，当牧民对
草地使用权预期不高时，会出现草地使用的“非理性”现象，生态环境破坏严重［１８］。然而从经济学角度考虑，不同
时间获取同样的收益在价值上是不相等的［１９］，牧民获取的利益，不是历年放牧收入简单加和，而应以贴现后获得
的货币总量来衡量。本研究在之前研究基础上，将贴现率引入牧草生长－消费模型，探讨贴现因素对牧民草地承
包后期放牧行为的影响，以期为我国草地资源管理提出可供操作的政策建议。
１　材料与方法
１．１　模型的基本假定
假设草地草量的自然增长服从Ｌｏｇｉｓｔｉｃ规律，在连续过度放牧情况下，牧草能全部被牲畜啃食，放牧对牧草
的消费量正比于牧草的生物量（牧草生物量的大小决定动物获取食物的方便程度），对牧草生长与消费模型作如
下简化：
第１８卷　第２期
Ｖｏｌ．１８，Ｎｏ．２
草　业　学　报
ＡＣＴＡＰＲＡＴＡＣＵＬＴＵＲＡＥＳＩＮＩＣＡ 　　
１６３－１６８
２００９年４月
 收稿日期：２００８０７０４；改回日期：２００８１０１３
作者简介：辛永亮（１９８４），男，山东青岛人，在读硕士。Ｅｍａｉｌ：ｙｏｎｇｌｉａｎｇ１０１０＠１６３．ｃｏｍ
通讯作者。Ｅｍａｉｌ：ｓｏｎｇｂｏ＠ｐｋｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
犱犞
犱狋＝犵犞
（１－犞犞犿
）－犫犞 （１）
式中，犞 为牧草生物量，犵为牧草相对生长速率，犞犿 为最大牧草生物量，犫为放牧系数，狋为放牧时间，犵犞（１－犞犞犿
）
为牧草瞬时生长量，犫犞为牧草瞬时消耗量。
为简化问题，可忽略牲畜个体生长差异等情况，并假设扣除通胀因素后，畜牧产品价格稳定，这样就可把牧草
消费量按时间贴现后视为牧民收益，设贴现率为狉，则狋时刻牧民瞬时收益为犫犞犲－狉狋，０～狋时间段内牧民贴现后累
计收益犙 为：
犙＝∫狋０犫犞犲－狉狋犱狋 （２）
１．２　考虑贴现率的适度放牧系数
牧草生长量与牧草消费量相等时，草地达到均衡状态，此时牧草生物量可视为稳定不变。Ｄｙｅｒ和Ｔｕｒｎｅｒ［２０］
认为，草地牧草产量与放牧强度是非线性的，因此存在牧草产量的最大值。朱桂林等［２１］认为在保持草地持续生
态效益和社会效益同时，通过合理利用可以发挥其最大经济效益。假定牧草相对生长速率不变，由公式（１），每一
个放牧系数都对应一个均衡状态。前期研究表明，当不考虑贴现（即贴现率狉＝０）时，采用恒定放牧系数犫＝犵２
，
牧草生长能力达到最大，牧草生物量稳定在犞＝犞犿２
，此时牧民累计收益最大［１８］。下面讨论贴现率狉＞０时使牧民
长期累计收益最大的放牧系数。
为论述方便，定义当前贴现率水平下，使牧民长期收益最大的放牧系数为适度放牧系数，记为犫犕，采用该放
牧系数的放牧行为称为适度放牧，达到均衡状态时的牧草生物量称为经济最佳牧草生物量，记为犞犕。
设０～狋时间段内贴现后累计收益为犙，放牧系数为犫，牧草生物量为犞，牧草瞬时生长量为犳（犞），最大牧草
生物量为犞犿，建立方程组：
ｍａｘ犙＝∫∞０犫犞犲－狉狋犱狋
狊．狋．　　　　　　
犱犞
犱狋＝犳
（犞）－犫犞
犳（犞）＝犵犞（１－犞犞犿
） （３）
该问题可归结为求使犙达到最大值的最优控制，定义该问题 Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数犎（犞，犫，λ，狋）＝犫犞犲－狉狋＋λ［犳（犞）
－犫犞］，由最大化定理，经济最佳牧草存量犞犕＝
犞犿
２
（１－狉犵
），可见经济最佳牧草生物量犞犕 与贴现率狉负相关。
若承包期足够长，牧民为获取最大收益，趋于将牧草生物量稳定在犞犕＝
犞犿
２
（１－狉犵
），此时犱犞
犱狋＝０
，即犵犞（１－犞犞犿
）
－犫犞＝０，可解得使牧民长期收益最大的放牧系数，即适度放牧系数犫犕＝犵＋狉２
。与不考虑贴现情况时的适度放牧
系数犫＝犵２
［１８］
（此时牧草生长量最大）相比较，显然，考虑贴现后的适度放牧系数有所增大，这意味着当社会存在
正贴现率时，使牧草生长能力最大的放牧系数并不能使牧民长期收益最优。
２　结果与分析
基于理性经济人假设，牧民在不同草场管理政策下，呈现出相异的放牧行为。政府自２００５年３月１日起施
行《草畜平衡管理办法》，对草原实行以草定畜，防止超载过牧。同时推行“双权一制”政策，和牧民签订草地承包
合同。但由于草地管理政策缺乏连续性和稳定性，牧民对草地的长期归属问题信心不足，在临近承包期结束时，
会加速消费牧草，直到承包期结束，我们将此阶段称为草地承包后期。下面讨论在此特定草地管理政策下，牧民
在草地承包后期为获取最大收益，可能采取的放牧策略。
牧民可选择的放牧策略有很多，如采用最大放牧系数犫ｍａｘ（犫ｍａｘ＞犫犕）放牧，或采用介于犫ｍａｘ和犫犕 之间的放牧
４６１ ＡＣＴＡＰＲＡＴＡＣＵＬＴＵＲＡＥＳＩＮＩＣＡ（２００９） Ｖｏｌ．１８，Ｎｏ．２
系数，或采取一系列变化的放牧系数等等。作为理性经济人，牧民最终将选择其中收益最大的路径，即经济最优
路径。下面探讨经济最优路径的形式。
若放牧不足（犫＜犫犕）牧民所获收益显然会低于适度放牧（犫＝犫犕）收益；只有选择过度放牧（犫＞犫犕）时，获得的
收益才有可能大于适度放牧所得。但过度放牧会使牧草生物量持续下降，从而使瞬时收益逐渐降低，因此存在某
一时刻，使得过度放牧与适度放牧瞬时收益相同，此时过度放牧与适度放牧所获总收益之差达到最大。定义犠
为过度放牧与适度放牧之差，函数表示为犠＝∫狋０犫犞犲－狉狋犱狋－∫狋０犫犕犞犕犲－狉狋犱狋。令初始值狋０＝０，犞０＝
犞犿
２
（１－狉犵
），可
以证得，当狋＝ １犵－犫ｌｎ
犵＋狉
２犫＋狉－犵
时，犠 取得最大值。以上结论说明，在一个时间段内，采取恒定牧草放牧系数（恒
定犫）的过度放牧策略所获收益比适度放牧要大。
假定牧民承包期时长为犜，牧民接手时牧草生物量为犞犕。如前所述，牧民不会选择放牧不足（犫＜犫犕），所以
只需考虑过度放牧（犫＞犫犕）的情况，下面分３种策略来探讨牧民在临近承包期结束时的放牧行为。分别记３种策
略下的牧草生物量函数为犞１（狋），犞２（狋），犞３（狋），犜时刻草场剩余草量为犞１（犜），犞２（犜），犞３（犜），贴现后累计总收
益分别为犙１，犙２，犙３，瞬时收益函数（总收益的导数）为犳１（狋），犳２（狋），犳３（狋）。
策略１：在时段０～Ｔ内采取恒定放牧系数犫１（犫１＞犫犕），使得狋＝犜时，瞬时放牧收益减少到适度放牧的瞬时
收益，即犳１（犜）＝犫１犞１（犜）＝犫犕犞犕。显然，犜时刻的草量犞１（犜）＜犞犕，前面已证明，此策略总收益犙１ 优于适度放
牧。采用该策略的牧草生物量和瞬时收益变化曲线如图１。
图１　策略１的瞬时收益（犃）和草地牧草生物量（犅）变化曲线示意图
犉犻犵．１　犛犽犲狋犮犺犿犪狆狅犳犻狀狊狋犪狀狋狆狉狅犳犻狋（犃）犪狀犱犵狉犲犲狀犫犻狅犿犪狊狊（犅）犻狀狊狋狉犪狋犲犵狔狅狀犲
策略２：若牧民采用最大放牧系数犫ｍａｘ，其瞬时放牧收益由犫ｍａｘ犞犕 衰减到犫犕犞犕 的时间为狋２＝ １犵－犫ｍａｘｌｎ
犵＋狉
２犫ｍａｘ＋狉－犵
。牧民一方面要充分利用牧草的生长能力，另一方面要最大程度地从草场中获得收益，因此狋∈（０～
犜－狋２）时，采取适度放牧行为犫＝犫犕；狋∈（犜－狋２～犜）时，采取最大放牧系数犫＝犫ｍａｘ。采用该策略的牧草生物量和
瞬时收益变化曲线如图２。
策略３：为比较策略１和策略２，特提出策略３。策略３与策略２类似，不同之处在于要保证犜时刻剩余草量
与策略１相等，即犞３（犜）＝犞１（犜）。欲实现这一目标，将采取最大放牧系数开始时间推迟到犜－狋３ 时刻，即狋∈（０
～犜－狋３），犫＝犫犕；狋∈（犜－狋３～犜），犫＝犫ｍａｘ。采用该策略的牧草生物量和瞬时收益变化曲线如图３。
比较策略２和策略３。放牧总收益可用瞬时收益曲线与狋＝犜 以及两坐标轴所夹面积进行比较，采用图示
法，２种策略的瞬时收益曲线如图４。
狋∈（０～犜－狋２），策略２和策略３瞬时收益曲线完全重合，仅需比较图形犃犅犆与图形犆犇犈犉 面积。将图形
犃犅犆向右平移狋２－狋３，使得点犃、犅、犇、犈共线，可以证得偏移后的图形犃犅犆与图形犆犇犈犉 有如下关系。
（１）当狋∈（犜－狋３，犜）时，向右偏移狋２－狋３ 的曲线犃犆始终在曲线犈犉 上方；
５６１第１８卷第２期 草业学报２００９年
（２）｜犃犅｜＞｜犇犈｜；
（３）弧长｜犅犆｜＞｜犇犆｜。
综合以上３点，可以证明图形犃犅犆面积大于图形犆犇犈犉 面积，因此策略２的累计收益优于策略３。
比较策略１和策略３。由公式（２），牧民贴现后累计总收益犙＝∫犜０犫犞犲－狉狋犱狋，由牧草生长－消费模型犱犞犱狋＝犵犞
（１－犞犞犿
）－犫犞，得犙＝∫犜０［犵犞（１－犞犞犿
）犲－狉狋－犱犞犱狋犲
－狉狋］犱狋，令犌＝犵犞（１－犞犞犿
）犲－狉狋，犎＝－犲－狉狋，则有犙＝∫犜０［犌＋犎
犱犞
犱狋
］犱狋＝∫犮（犌犱狋＋犎犱犞），其中犮是曲线犞＝犞（狋），狋∈（０，犜）。
图２　策略２的瞬时收益（犃）和草地牧草生物量（犅）变化曲线示意图
犉犻犵．２　犛犽犲狋犮犺犿犪狆狅犳犻狀狊狋犪狀狋狆狉狅犳犻狋（犃）犪狀犱犵狉犲犲狀犫犻狅犿犪狊狊（犅）犻狀狊狋狉犪狋犲犵狔狋狑狅
图３　策略３的瞬时收益（犃）和草地牧草生物量（犅）变化曲线示意图
犉犻犵．３　犛犽犲狋犮犺犿犪狆狅犳犻狀狊狋犪狀狋狆狉狅犳犻狋（犃）犪狀犱犵狉犲犲狀犫犻狅犿犪狊狊（犅）犻狀狊狋狉犪狋犲犵狔狋犺狉犲犲
图４　策略２和策略３的瞬时收益比较
犉犻犵．４　犆狅犿狆犪狉犻狊狅狀狅犳犻狀狊狋犪狀狋狆狉狅犳犻狋犫犲狋狑犲犲狀
狊狋狉犪狋犲犵狔狋狑狅犪狀犱狊狋狉犪狋犲犵狔狋犺狉犲犲
图５　策略１和策略３草地牧草生物量变化曲线示意图
犉犻犵．５　犛犽犲狋犮犺犿犪狆狅犳犵狉犲犲狀犫犻狅犿犪狊狊犻狀
狊狋狉犪狋犲犵狔狅狀犲犪狀犱狊狋狉犪狋犲犵狔狋犺狉犲犲
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　　故Δ犙＝犙３－犙１＝∫犜０（犌３＋犎３犱犞犱狋
）犱狋－∫犜０（犌１＋犎１犱犞犱狋
）犱狋
＝∫犃犆犅（犌犱狋＋犎犱犞）－∫犃犅（犌犱狋＋犎犱犞）
＝－犮∫犃犅犆（犌犱狋＋犎犱犞）
＝（犌犞－
犎
狋
）犱犞犱狋
根据格林定理，将犌＝犵犞（１－犞犞犿
）犲－狉狋，犎＝－犲－狉狋带入，得
Δ犙＝（犌犞－
犎
狋
）犱犞犱狋＝犲－狉狋（犵－２犵犞犞犿 －狉
）犱犞犱狋＞犲－狉狋［犵－２犵犞犿×
犞犿
２
（１－狉犵
）－狉］犱犞犱狋＝０，即Δ犙＞０
故策略３优于策略１。同样思路容易证明，策略２不但在以上３种策略中最优，而且是所有放牧策略中最优的，
但也是生态破坏最严重的，因为采取此策略草地最后剩余的草量最少。
３　结论
考虑正贴现率的情况下，使牧民长期收益最优的适度放牧系数为犫犕＝犵＋狉２
，适度放牧系数与贴现率正相关。
当社会存在正贴现率时，牧民在草地承包后期为获取最大收益，将选择策略２，即在承包期内适度放牧，在临
近承包期结束时，采取最大放牧强度的放牧策略。
策略２中牧民过度放牧开始时间为狋＝犜－ １犵－犫ｍａｘｌｎ
犵＋狉
２犫ｍａｘ＋狉－犵
，与不考虑贴现时相比，该时间有所提前，
提前程度与贴现率正相关。经历２０多年经济高速发展后，我国贴现率处于较高水平，因此政府应根据贴现率的
变化提前与牧民续签承包合同，以避免草地大幅破坏的情况发生。
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７６１第１８卷第２期 草业学报２００９年
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犃狀犪犾狔狊犻狊狅犳狋犺犲犻狀犳犾狌犲狀犮犲狅犳犱犻狊犮狅狌狀狋犻狀犵狅狀犵狉犪狕犻狀犵犫犲犺犪狏犻狅狉
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ＸＩＮＹｏｎｇｌｉａｎｇ，ＳＵＮＣｈｕｎｂａｏ，ＳＯＮＧＢｏ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＥｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｉｖｉｌａｎｄＥｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｃｈｏｏｌ，
ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８３，Ｃｈｉｎａ）
犃犫狊狋狉犪犮狋：Ｂｙｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇａｄｉｓｃｏｕｎｔｅｆｆｅｃｔｉｎｔｏａｂｉｏｍａｓｓｇｒｏｗｔｈａｎｄｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎｍｏｄｅｌ，ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓａｎｄａ
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犓犲狔狑狅狉犱狊：ｇｒｏｗｔｈａｎｄｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎｍｏｄｅｌ；ｌａｔｅｒｇｒａｓｓｌａｎｄｃｏｎｔｒａｃｔｓｔａｇｅ；ｇｒａｚｉｎｇｂｅｈａｖｉｏｒ；ｄｉｓｃｏｕｎｔｒａｔｅ；
ｇｒａｓｓｌａｎｄｍａｎａｇｅｍｅｎｔ
８６１ ＡＣＴＡＰＲＡＴＡＣＵＬＴＵＲＡＥＳＩＮＩＣＡ（２００９） Ｖｏｌ．１８，Ｎｏ．２