全 文 ：灰色模型中 e- a展开式及其林业应用
　　　　关键词　GM( 1, 1)模型　马克劳林级数　灰色递增率
　　灰色 GM ( 1, 1)模型在许多领域具有极高的实用价值, 得到广泛应用,在林业预测分析研
究中也有重要作用。为了开发灰色信息的潜力,本文把 GM ( 1, 1)模型组成,按马克劳林级数展
开,并作应用分析。
1　e- a和马克劳林级数
　　利用GM ( 1, 1)模型进行预测分析,需经过还原计算,为此,根据建模过程:
一阶微分式: 　　　　　X∧ ( 1)( t) = ( X ( 0)( 1)- b/ a) e- a( t+ 1) + b/ a ( 1)
还原公式: X∧ ( 0)( t) = X∧ ( 1)(t+ 1) - X∧ ( 1)(t) ( 2)
则可以导出: 　　　 　X∧ ( 0)( k+ 1)= ( X ( 0)( 1)- b/ a) e- ak( 1- ea ) ( 3)
把 X∧ ( 0)( k) ( k= 1, 2, 3⋯)的逆级比定义为一个递增率, 为便于区别, 称为灰色递增率,用符号
C ( k+ 1)表示,即: C ( k+ 1)= X∧ ( 0)( k+ 1) / X∧ ( 0)( k) ( 4)
把 X∧ ( 0)( k+ 1)和 X∧ ( 0)( k)的表达式代入( 4)式,得:
C ( k+ 1) =
( X ( 0)( 1) - b/ a) e- ak( 1- ea)
( X ( 0)( 1)- b/ a) e- a( k- 1) ( 1- e a)
= e
- a= C ( 5)
即: X∧ ( 0)( k+ 1) = X∧ ( 0)(k) e- a ( 6)
或: X∧ ( 0)( k+ t)= X∧ ( 0)( k)e- at ( 7)
应用马克劳林级数展开公式,得:
C= e- a= ∑∞
n= 0
( - a) n
n!
= 1+ ( - a) + 1/ 2( - a) 2+ 1/ 6( - a) 3+ ⋯+ 1/ n! ( - a) n+ ⋯
( 8)
C= 1- a+ 1/ 2( a
2 ) - 1/ 6( a
3 ) + ⋯+ ( - 1) n1/ n! ( an) + ⋯ ( 9)
2　山东省林木蓄积的马克劳林表达式
　　山东省属少林省份,本研究选择有重要实
际价值的立木蓄积进行应用分析。立木总蓄积
量 x 1m和“四旁”树木蓄积 x 2m 的时间序列如
表 1。
表 1　山东省立木、“四旁”树蓄积(万 m3)
年　度 1976 1980 1984 1988 1992
x1m 2 301 2 785 3 516 4 797 6 186
x2m 1 455 1 803 2 434 3 445 4 465
　　应用GM ( 1, 1)建模,取不同时段的数据序列,可得到以下参数:
　　1976～1992时段:
　　a1m1= - 0. 269 97　　b1m1= 1 753　　a2m1= - 0. 298 39　　b2m1= 1 126
1980～1992时段:
林业科学研究　1998, 11( 2) : 229～230
Forest Research 　　 　　　
a1m2= - 0. 275 613　　b1m2= 2 372　　a2m 2= - 0. 295 3　　b2m2= 21 606
x 1m 和 x 2m 的马克劳林表达式:
c1m 1 = 1- a1m 1+ 1/ 2( a12m 1) - 1/ 6( a13m1) + 1/ 24( a14m1 ) + ⋯
= 1+ 0. 269 97+ 1/ 2×0. 269 972+ 1/ 6×0. 269 973+ 1/ 24×0. 269 974+ ⋯

1+ 0. 269 97+ 1/ 2×0. 073+ 1/ 6×0. 019 6
= 1- a1m 1+ 1/ 2( a1
2
m 1) - 1/ 6( a
3
1m1 )
c2m 1 = 1- a2m 1+ 1/ 2( a2
2
m 1) - 1/ 6( a2
3
m1) + 1/ 24( a2
4
m1 ) + ⋯
= 1+ 0. 298 39+ 1/ 2×0. 298 392+ 1/ 6×0. 298 393+ 1/ 24×0. 298 394+ ⋯

1+ 0. 298 39+ 1/ 2×0. 089+ 1/ 6×0. 026 6
= 1- a2m 1+ 1/ 2( a2
2
m 1) - 1/ 6( a2
3
m1)
同此过程也可得到:
c1m 2
1+ 0. 275 613+ 1/ 2×0. 275 6132+ 1/ 6×0. 275 6133
= 1- a1m 2+ 1/ 2( a12m 2) - 1/ 6( a13m2)
c2m 2
1+ 0. 292 53+ 1/ 2×0. 292 532+ 1/ 6×0. 292 533
= 1- a2m 2+ 1/ 2( a2
2
m 2) - 1/ 6( a2
3
m2)
3　模式选择和预测分析
　　两时段的精度分析见表 2。
表 2　精　度　分　析
模　　型 ( 7)　式 ( 1)　式
变　　量 x 1m x2m x 1m x 2m
时　　段 m1 m 2 m1 m2 m1 m 2 m1 m2
对残差值

%

1980
1984
1988
1992
相对残差均值( % )
验检　验差后
C
P
关联度
2. 046 - 1. 442 2. 077 - 0. 8138
- 1. 649 - 1. 905 - 1. 437 - 1. 848 - 1. 606 - 0. 886 - 0. 648 - 1. 801
2. 397 1. 396 3. 251 3. 589 2. 452 2. 599 4. 164 3. 632
0. 856 - 0. 921 - 0. 783 0. 313 0. 913 0. 517 0. 347 0. 381
0. 912 0. 476 - 0. 137 0. 684 0. 961 0. 742 0. 762 0. 737
0. 044 0. 047 0. 054 0. 068 0. 044 0. 049 0. 055 0. 069
1 1 1 1 1 1 1 1
0. 595 0. 892 0. 650 0. 818 0. 598 0. 882 0. 625 0. 815
　　从上表可知: C 值预测误差都较小, 均符合精度要求, 综合评价认为 C1m2 和 C2m1的精度
较高。以此进行预测, 到 2000年全省立木总蓄积和“四旁”树木蓄积将分别达到 10. 633万 m 3
和 8 071万m3。“四旁”树木蓄积占立木总蓄积的比重由1976年的 63%提高到75. 9% ,这一结
果反映山东少林和农区林业的特点。山东已基本消灭宜林荒山,林分(除经济林外的乔木有林
地)面积相对稳定,且林分中防护林占 70% ,其立地条件差,生长慢;而山东的“四旁”树木发展
快,潜力大,立地条件优越, 生长快,从而使“四旁”树木蓄积增长迅速,所占比重上升。
参　考　文　献
　　1　Huang Yeping , Wang Sheng. T he applicat ion of m ult iple grey models to cont rol problem. T he Journal of Grey S ys-
tem , 1995, 7( 4) : 299～314.
2　邓聚龙.灰色预测与决策.武汉:华中理工大学出版社, 1986. 101～134.
(山东省林业勘察设计院,李华润　山东省农业管理干部学院, 王萍香)
230 林 业 科 学 研 究　　　　　　　　　　　　　　　11 卷