全 文 ：第 50 卷 第 11 期
2 0 1 4 年 11 月
林 业 科 学
SCIENTIA SILVAE SINICAE
Vol. 50，No. 11
Nov．，2 0 1 4
doi:10．11707 / j．1001-7488．20141117
收稿日期: 2013 － 11 － 21; 修回日期: 2013 － 12 － 21。
基金项目: 江苏省高校优势学科建设工程项目资助(PAPD)。
测试木材剪切模量的自由板扭转振形法
王 正1 高子震1 顾玲玲2 刘 斌2 王亚磊2 杨 燕2
(1．南京林业大学材料科学与工程学院 南京 210037; 2．南京林业大学机械电子学院 南京 210037)
摘 要: 根据 ANSYS 程序和优化原理得到自由板一阶扭转振形函数，应用能量法导出木材剪切模量和自由板
一阶扭转频率的关系式。该关系式的正确性得到木材剪切模量的数学仿真、试验测试和静态试验 3 个方面的验
证。瞬态激励法测量西加云杉、国产马尾松、油松、杉木和蒙古栎自由板的频谱，且借助于互功率谱概念从频谱图
中识别出自由板的一阶扭转频率。
关键词: 自由板; 扭转振形; 扭转频率; 频谱; 剪切模量
中图分类号: TS643 文献标识码: A 文章编号: 1001 － 7488(2014)11 － 0122 － 07
Torsional Vibration Shape Method of Free Plate for Testing
Shear Modulus of Lumber
Wang Zheng1 Gao Zizhen1 Gu Lingling2 Liu Bin2 Wang Yalei2 Yang Yan2
(1 ． College of Materials Science and Engineering，Nanjing Forestry University Nanjing 210037;
2 ． College of Mechanical and Electronic Engineering，Nanjing Forestry University Nanjing 210037)
Abstract: According to ANSYS program and optimizing principle getting at the first order torsional vibration shape
function for free plate，the relation between lumber shear modulus and the first-order torsional frequency for the free plate
was induced by the method of energy． The correctness of this formula was verified by the three aspects of mathematical
simulation of lumber shear modulus，experimental test and static test． Transient excitation method can measure the
spectrum of Sitka spruce，domestic Pinus massoniana，Pinus tabulaeformis，Cunninghamia lanceolata and Quercus
mongolica wood free plates． With the aid of cross-power spectrum concept from the spectrum diagram we can identify first-
order torsional frequency of free plate．
Key words: free plate; torsional vibration shape; torsional frequency; frequency spectrum; shear modulus
在土木建筑、家具和木材加工行业中，锯材作
为木结构建筑、高档家具、木地板等产品的必备主
材，对其力学性能的检测及其优化设计尤为重要
(谭守侠等，2007; 孙友富，1999 )。木材弹性模
量动态测试工作在国内外开展得很活跃，比较成
熟，发表的文章也多; 而对于木材剪切模量的动态
测试工作具有一定难度，尚不太成熟，发表的文章
也少。胡英成等(2001a; 2001b)用测试表面波在
刨花板、胶合板内的传播速度及 TGH 法推算出剪
切模量( TGH 法实质上是以计入剪切力和回转惯
性力的 Timoskenko 梁方程为依据的方法) ; 周海
宾等 ( 2007 ) 借助计入剪切变形和旋转惯性的
Timoshenko 梁方程得到弹性模量 E 和剪切模量 G
2 个非线性方程。
在测量刨花板的弯曲、剪切弹性模量试验中，测
试其剪切模量的依据是一端固定、另一端自由杆的
扭转振动方程，通过测试扭转频率推算出剪切模
量。试验对象是 1 220 mm 长、610 mm 宽、16 mm 厚
的定向刨花板(OSB)，得出扭转振动频率基本上能
够对静态剪切模量进行预测等结论。闫海成等
(2012)用悬臂梁自由振动的方法测试材料试件的
第一阶弯曲频率和对数减幅系数推算出剪切模
量，该方法是依据 Kelvin 黏弹性梁的动力学方程，
测试用材是木质的准各向同性材料。周海宾等
(2012)在《木结构墙体隔声和楼板减振设计方法
研究》一书中，引入弯扭法 (周海宾等，2007a;
2007b)用于测试定向刨花板的弯曲、剪切弹性模
量相关内容。
本文提出一个测试木材剪切模量的新方法，即
自由板扭转振形法。该方法包括木材剪切模量和自
第 11 期 王 正等: 测试木材剪切模量的自由板扭转振形法
由板一阶扭转频率间的关系式、自由板一阶扭转频
率测试及其在频谱图上的识别。自由板扭转振形法
从板的扭转振形出发，应用能量法导出了自由板一
阶扭转频率与木材剪切模量间的关系式，该关系式
是自由板扭转振形法测试木材剪切模量的依据。从
3 个方面验证了自由板扭转振形法测试木材剪切模
量的正确性: 对西加云杉(Picea sitchensis)、欧洲赤
松(Pinus sylvestris)、山毛榉 ( Fagus sylvatica)、白蜡
树 ( Fraxinus chinensis ) 和 桃 花 心 木 ( Swietenia
mahagoni)的剪切模量进行数学仿真，剪切模量仿
真值与其规范值一致; 用测试的国产马尾松(Pinus
massoniana )、油 松 ( Pinus tabulaeformis )、杉 木
( Cunninghamia lanceolata ) 和 蒙 古 栎 ( Quercus
mongolica)自由板的一阶扭转频率推算出的剪切模
量与规范值一致，即动态试验方面验证; 用静态方
板扭转试验验证，自由板扭转振形法和静态方板扭
转试验法测试的西加云杉剪切模量仅相差 2. 1%。
测试自由板频谱简单易行，从频谱图中正确识别出
一阶扭转频率是自由板扭转振形法测试剪切模量的
关键。根据对西加云杉、欧洲赤松、山毛榉、白蜡木
和桃花心木长宽比从 1 到 10 自由板的 ANSYS 模态
计算和对长宽比从 3 到 10 的西加云杉自由板的模
态试验结果(傅志方，2002)，推荐用简单易行的互
功率谱法来识别频谱图中的一阶扭转频率。最后要
提及的是本文仅对频谱图上的一阶扭转频率识别加
以讨论，从而推算出剪切模量。实际上从频谱图也
能识别出一阶弯曲频率，据此可推算出木材的弹性
模量 E(王正，2007; Wang et al．，2012; Ilic，2003)，
只不过推算公式不同而已，本文不涉及这方面
内容。
1 测试原理
1. 1 坐标系
设板长 l 、宽 b 、厚 h，坐标原点取在自由板中
心，x 轴沿板的轴线，其正向水平向右，z 轴铅直向
上为正，y 沿板宽度，其正向按右手规则确定，如图
1 所示。
1. 2 一阶扭转振形
根据 ANSYS 程序计算了不同树种、不同长宽比
和宽厚比的自由板一阶扭转振形，为满足跨中位移
等于零，考虑板长边 z 向位移 w，用如下的四次多
项式拟合:
w = Ax－ + B x－ 2 + C x－ 3 + D x－ 4，x－ = x / l。
其中的系数 A，B，C，D 由如下的目标函数取最小
值获得:
图 1 自由矩形板及其坐标系
Fig． 1 The free rectangular plate and the coordinate system
L(A，B，C，D) = ∑
n
i = 1
(A xi + B xi
2 +
C xi
3 + D xi
4 － wi)
2 = min。
式中: x
－ = x / l，0≤ x≤ l /2 ; wi为阶扭转振形沿板长
边的 z 向位移。
四次多项式拟合精度相当高，例如西加云杉
615 mm × 123 mm × 12. 2 mm 自由板，优化拟合的四
次多项式与 ANSYS 程序计算的板长边 z 向位移的
相关系数 Ｒ 达到 0. 999 998。
设自由板作一阶扭转振动的方程为:
w( x，y，t) = W( x，y) sinωt。 (1)
其中振形函数 W( x，y) 可表示为:
W( x，y) = kW( l /2，b /2)·( x + B /Ax2 / l +
C /Ax3 / l2 + D /Ax4 / l3)· y
lb
。 (2)
式中: 0 ≤ x≤ l /2，－ b /2 ≤ y≤ b /2，k 由 x = l /2，
y = b /2 的 z 向位移等于 W( l /2，b /2) 确定。
当自由板作一阶扭转振动时，其矩形截面扭
转角:
φ( x，t) = k W( l /2，b /2)lb
·( x + B /Ax2 / l +
C /Ax3 / l2 + D /Ax4 / l3) sinωt。 (3)
1. 3 剪切模量和自由矩形板一阶扭转频率的关系
自由板作一阶扭转振动的振形相对于板中间截
面 ( x = 0) 反对称，故计算板的动能和应变能可按
半板进行。
1. 3. 1 动能
T = 1
2 
s
ρ(w
t
) 2hdxdy。
式中: ρ 为材料密度。
Tmax =
k2 ρπ2 f2t W
2( l /2，b /2) bh
3 l2 ∫
l /2
0
( x + B /Ax2 / l +
C /Ax3 / l2 + D /Ax4 / l3) 2 dx。
式中: f t 为阶扭转频率。
1. 3. 2 应变能
扭矩
M n = GIn
kW( l /2，b /2)
bl
(1 + 2B /A·x / l +
321
林 业 科 学 50 卷
3C /A·x2 / l2 + 4C /A·x3 / l3) sinωt。
式中: In = βbh
3，β ≈ 116
［16
3
－ 3 ． 36 h
b
(1 － h
4
12b4
)］
(周海宾，2012; 徐芝纶，1982)。
应变能
U = ∫
l /2
0
M2n
GIn
dx;
Umax = G
k2W2( l /2，b /2)βh3
bl2 ∫
l /2
0
(1 + 2B /A·x / l +
3C /A·x2 / l2 + 4D /A·x3 / l3) 2 dx。
根据 Tmax = Umax，并设
∫
l /2
0
( x + B /A·x2 / l + C /A·x3 / l2 +
D /A·x4 / l3)dx = IT l
3，
∫
l /2
0
(1 + 2B /A·x / l + 3C /A·x2 / l2 +
4D /A·x3 / l3)dx = Iφ l。
则有
G =
π2 ρ ( l /2) 2 b2 f2t
γβh2
(4)
式中: γ =
3Iφ
4IT
，其称为与振形相关的系数，简称为
振形系数，下同。
1. 4 振形系数
1. 4. 1 振形系数计算方案 对于西加云杉、山毛
榉、欧洲赤松，根据自由板长宽比为 3，4，5，6，6. 83，
8，10 共 7 种，宽厚比 6. 83，10，13. 7 共 3 种的组合，
每个树种有 21 个计算方案，总计 63 个计算方案。
ANSYS 计算采用 solid45 单元，输入正交各向异性 9
个主向材料常数和密度。
1. 4. 2 振形系数计算结果 63 个计算方案可以得
到 63 个振形系数。对这 63 个振形系数，按树种对
振形系数进行二元回归，得
西加云杉:
γ( b / l，h / b) = 7 ． 085 0(1 + 0 ． 373 0b / l +
0 ． 062 1h / b) (Ｒ = 0 ． 993 5，n = 21)
山毛榉:
γ( b / l，h / b) = 7 ． 182 5(1 + 0 ． 264 5b / l +
0 ． 012 0h / b) (Ｒ = 0 ． 988 5，n = 21)
欧洲赤松:
γ( b / l，h / b) = 7 ． 083 7(1 + 0 ． 434 3b / l +
0 ． 051 4h / b) (Ｒ = 0 ． 998 4，n = 21)
不同树种，振形系数随 b / l，h / l 的变化规律不
同。对于各向同性材料，不同的材质，例如低碳钢、
轧制铝和玻璃的振形系数随 b / l，h / l 的变化规律却
是相同的。振形系数随 b / l，h / l 的变化规律随树种
而异，正反映了木材材料特性的各向异性。
为寻求适用于不同树种，即适用于木材的振形
系数随 b / l，h / l 的变化规律，将同一宽长比、同一厚
宽比下的 3 个树种振形系数取其平均值作为木材在
该宽长比、厚宽比下的振形系数，作二元回归分
析得:
γ( b / l，h / b) = 7 ． 115 3(1 + 0 ． 358 3b / l +
0 ． 041 7h / b)，( r = 0 ． 995 3，n = 21)。 (5)
于是，木材剪切模量和自由板一阶扭转频率之
间的关系式可表示为:
G =
π2 ρ ( l /2) 2 b2 f2t
γ( b / l，h / b)βh2
。 (6)
式中: γ( b / l，h / b) = 7 ． 115 3(1 + 0 ． 358 3b / l +
0. 041 7h / b) 。此时，振形系数只依赖于板的宽长
比和厚宽比，而与树种无关。
从式(6)可知: 只要能测出自由板的一阶扭转
频率，就可推算出木材的剪切模量。
2 木材剪切模量仿真计算
对于西加云杉、山毛榉、欧洲赤松、白蜡树和桃
花心木，仿真计算它们的剪切弹性模量以验证式
(6)的正确性。对表 1 所示的树种及自由板尺寸应
用 ANSYS 程序计算一阶扭转频率，将其代入式(6)
得表 1 第 4 列所示的剪切模量仿真值。表 1 还列出
5 个树种锯材的剪切模量规范值。从表 1 看到它们
的剪切模量仿真值与其规范值是一致的，从而从仿
真角度验证了本文提出的测试木材剪切模量的自由
板扭转振形法是正确的。
3 试验验证
3. 1 自由板一阶扭转频率测定及其识别
测试自由板一阶扭转频率用的是瞬态激励法得
到的频谱，在频谱图上有众多的高峰，如何从众多
的高峰中正确地识别出一阶扭转频率是测试木材剪
切模量的关键。
3. 1. 1 试验框图 测定自由板扭转频率的试验框
图如图 2 所示。瞬态激励自由支承的矩形板，振动
信号由加速度计接受转变为电信号输出，信号调理
仪将电信号放大滤波后，由采集箱将模拟信号 AD
转换为数字信号，经软件和计算机分析处理，显示出
自由板的频谱(王正等，2013; 2014)。
3. 1. 2 互功率谱法 瞬态激励法可以简单地测得
自由板频谱，频谱图的高峰频率确定了自由板的各
阶频率，每一个高峰频率对应着自由板的某阶模态
421
第 11 期 王 正等: 测试木材剪切模量的自由板扭转振形法
频率，因此自由板一阶扭转频率必存在于频谱图中，
如果能从频谱图上识别出一阶扭转频率，那么剪切
模量的测试就变得简单了。
表 1 西加云杉、山毛榉、欧洲赤松、白蜡树和桃花心木剪切模量数学仿真值
Tab． 1 Shear modulus value mathematical simulation by Picea sitchensis，Fagus sylvatica，Pinus sylvestris，
Fraxinus chinensis and Swietenia mahagoni
树种
Species
自由板尺寸
Freedom board
size /mm
一扭频率计算值
The first-order torsional
frequency calculated value /Hz
剪切模量仿真值
Simulation shear
modulus values /GPa
规范值
Specification
values /GPa
西加云杉 Picea sitchensis 1 230 × 123 × 12. 2 107. 24 0. 735 0. 72
西加云杉 Picea sitchensis 984 × 123 × 9 100. 45 0. 740 0. 72
西加云杉 Picea sitchensis 840. 5 × 123 × 12. 2 157. 78 0. 731 0. 72
西加云杉 Picea sitchensis 615 × 123 × 12. 2 217. 03 0. 728 0. 72
西加云杉 Picea sitchensis 369 × 123 × 9 271. 33 0. 709 0. 72
山毛榉 Fagus sylvatica 1 230 × 123 × 9 70. 27 1. 097 1. 06
山毛榉 Fagus sylvatica 738 × 123 × 18 230. 10 1. 082 1. 06
山毛榉 Fagus sylvatica 615 × 123 × 12. 2 191. 91 1. 094 1. 06
山毛榉 Fagus sylvatica 492 × 123 × 12. 2 241. 46 1. 091 1. 06
山毛榉 Fagus sylvatica 369 × 123 × 12. 2 324. 05 1. 075 1. 06
欧洲赤松 Pinus sylvestris 984 × 123 × 9 83. 22 0. 716 0. 68
欧洲赤松 Pinus sylvestris 738 × 123 × 18 216. 33 0. 703 0. 68
欧洲赤松 Pinus sylvestris 738 × 123 × 9 111. 89 0. 718 0. 68
欧洲赤松 Pinus sylvestris 492 × 123 × 18 325. 21 0. 687 0. 68
欧洲赤松 Pinus sylvestris 369 × 123 × 18 430. 32 0. 659 0. 68
白蜡树 Fraxinus chinensis 1 230 × 123 × 18 133. 11 0. 922 0. 90
白蜡树 Fraxinus chinensis 840. 5 × 123 × 18 196. 49 0. 923 0. 90
白蜡树 Fraxinus chinensis 615 × 123 × 12. 2 187. 45 0. 933 0. 90
白蜡树 Fraxinus chinensis 492 × 123 × 12. 2 235. 73 0. 928 0. 90
白蜡树 Fraxinus chinensis 369 × 123 × 9 235. 80 0. 920 0. 90
桃花心木 Swietenia mahagoni 984 × 123 × 18 136. 63 0. 487 0. 47
桃花心木 Swietenia mahagoni 738 × 123 × 18 183. 74 0. 486 0. 47
桃花心木 Swietenia mahagoni 615 × 123 × 12. 2 153. 65 0. 496 0. 47
桃花心木 Swietenia mahagoni 492 × 123 × 12. 2 193. 17 0. 493 0. 47
桃花心木 Swietenia mahagoni 369 × 123 × 18 371. 21 0. 472 0. 47
图 2 测定扭转频率的试验
Fig． 2 Diagram for the determination of torsional frequency testing
根据对西加云杉、欧洲赤松、山毛榉、白蜡树和
桃花心木自由板，其长宽比从 10 到 1、宽厚比为
6. 83，10 和 13. 7 的 ANSYS 模态计算(共 73 个计算
方案)得到: 1) 木材自由板的一阶扭转频率必在自
由板的最前两阶模态频率中，其中一阶模态是弯曲，
而另一阶模态是扭转; 2) 存在一个长宽比或宽厚
比，一阶扭转频率由自由板的第 2 阶模态频率转变
为第 1 阶模态频率。
本文进行的西加云杉自由板的模态试验验证了
ANSYS 计算的结论是正确的。
频谱图上高峰频率顺序与模态阶数相对应。
根据木材自由板的一阶扭转频率必在最前的两阶
模态频率中，一阶模态是弯曲，而另一阶模态则是
扭转的结论，在频谱图上识别出一阶扭转频率可
借助于互功率谱概念。所谓互功率谱识别是 2 个
简谐振动信号相位识别，实施也很方便，用 2 个相
同型号加速度计同向安装于自由板宽边的 2 个角
点上，敲击另一宽边的 1 个角点激振试件，两通道
采集数据，进行互功率谱分析，从互功率谱实部的
第 1 和第 2 高峰，若负高峰在前，一阶扭转频率对
521
林 业 科 学 50 卷
应频谱图上的第 1 高峰频率; 反之，一阶扭转频率
对应于频谱图上的第 2 高峰频率。这个方法实用
于各树种的自由板，对长宽比、宽厚比也不加限
制，互功率谱法确实能从自由板的前两阶模态频
率中识别出一阶扭转频率。
图 3 是长宽比为 6 的西加云杉自由板频谱图，
对照图 4 互功率谱图的实部曲线，频谱图第 1 高峰
频率 117. 5 Hz 对应互功率谱图的正峰值，故 117. 5
Hz 是一阶弯曲频率，而频谱图第 2 高峰频率 173. 75
Hz 对应互功率谱图负峰值，故 173. 75 Hz 是一阶扭
转频率。相同分析用于图 5 和图 6，对于长宽比为 3
的云杉自由板，342. 5 Hz 是一阶扭转频率，而
462. 5 Hz却是一阶弯曲频率。
互功率谱法在频谱图识别出一阶弯曲频率和一
阶扭转频率的前后顺序与所进行的模态试验结果完
全相同。
3. 2 西加云杉剪切模量测试
西加云杉自由板一阶扭转频率测量值见表 2 第
4 列，剪切模量测量值见第 5 列。
经计 算，得 到 西 加 云 杉 剪 切 模 量 平 均 值
0. 694 GPa，变异系数 CV = 4. 1%。西加云杉剪切
模量测量值与其规范值是一致的。
图 3 西加云杉自由板频谱(750 mm × 125 mm ×
12． 2 mm，长宽比 6∶ 1)
Fig． 3 Spruce free board spectrum (750 mm × 125 mm ×
12． 2 mm，length-width ratio 6∶ 1)
图 4 西加云杉自由板互功率谱(750 mm × 125 mm ×
12． 2 mm，长宽比 6∶ 1)
Fig． 4 Spruce free board cross-power spectrum (750 mm ×
125 mm × 12. 2 mm，length-width ratio 6∶ 1)
图 5 西加云杉自由板频谱(375 mm × 125 mm ×
12． 2 mm，长宽比 3∶ 1)
Fig． 5 Spruce free board spectrum (375 mm × 125 mm ×
12. 2 mm，length-width ratio 3∶ 1)
图 6 西加云杉自由板互功率谱(375 mm × 125 mm ×
12． 2 mm，长宽比 3∶ 1)
Fig． 6 Spruce free board cross-power spectrum (375 mm ×
125 mm × 12. 2 mm，length-width ratio 3∶ 1)
3. 3 国产马尾松、油松、杉木和蒙古栎剪切模量测
量值
马尾松、油松和杉木 3 种试件的长宽比均为 6，
厚度在 12. 2 ～ 12. 6 mm 之间，按式(6)计算的振形
系数 = 7. 581 8，密度实测。柞木试件长宽比为 7，厚
度在 18. 3 ～ 12. 5 mm 之间。马尾松、油松、杉木和
蒙古栎剪切模量测量值如表 3 所示。
3. 4 自由板扭转振形法的静态验证
用西加云杉方板的静态扭转试验验证自由板扭
转振形法的正确性。考虑到同一树种，因产地不同
材料常数的差异性，静态扭转试验用的方板取自于
测试一阶扭转频率的自由板。
3. 4. 1 静态扭转试验测试原理 方板四角受集中
力的受力图如图 7 所示。
根据圣文南原理四角受集中力 P 方板静力等
效于方板四条边受大小为 P /2 的均匀分布扭矩作
用，其扭矩转向如图 8 所示 (徐芝纶，1990; 马功
勋，1996)。Myx，Mxy 表示单位长度的扭矩。方板在
Myx，Mxy 作用下受纯剪切变形(图 9)。
621
第 11 期 王 正等: 测试木材剪切模量的自由板扭转振形法
表 2 西加云杉剪切模量测量值
Tab． 2 The shear modulus values measured by Sitka spruce
序号
No．
试件编号
Specimen No．
试件尺寸
Specimen
size /mm
一阶扭转频率
The first-order
torsional frequency /Hz
剪切模量测量值
Shear modulus
measured values /GPa
规范值
Specification
values /GPa
1 1# 1 252 × 123 × 12. 2 101. 88 0. 653 0. 72
2 2# 1 252 × 123 × 12. 2 105. 00 0. 694 0. 72
3 3# 1 252 × 123 × 12. 2 102. 50 0. 661 0. 72
4 4# 1 252 × 123 × 12. 2 103. 75 0. 678 0. 72
5 5# 1 252 × 123 × 12. 2 103. 75 0. 678 0. 72
6 6# 1 252 × 123 × 12. 2 108. 75 0. 744 0. 72
7 7# 1 252 × 123 × 12. 2 107. 50 0. 727 0. 72
8 8# 1 252 × 123 × 12. 2 106. 25 0. 710 0. 72
9 9# 1 252 × 123 × 12. 2 106. 25 0. 710 0. 72
10 10# 1 252 × 123 × 12. 2 103. 75 0. 678 0. 72
11 1#a 501 × 123 × 12. 2 248. 13 0. 656 0. 72
12 2#a 502 × 123 × 12. 2 250. 00 0. 665 0. 72
13 3#a 503 × 123 × 12. 2 248. 75 0. 686 0. 72
14 4#a 503 × 123 × 12. 2 249. 38 0. 668 0. 72
15 5#a 502 × 123 × 12. 2 253. 13 0. 685 0. 72
16 6#a 501 × 123 × 12. 2 257. 50 0. 706 0. 72
17 7#a 502 × 123 × 12. 2 259. 69 0. 721 0. 72
18 8#a 501 × 123 × 12. 2 249. 69 0. 665 0. 72
19 1#b 749 × 123 × 12. 2 167. 50 0. 636 0. 72
20 2#b 748 × 123 × 12. 2 174. 38 0. 687 0. 72
21 3#b 746 × 123 × 12. 2 168. 75 0. 741 0. 72
22 4#b 748 × 123 × 12. 2 176. 25 0. 703 0. 72
23 5#b 747 × 123 × 12. 2 174. 38 0. 685 0. 72
24 6#b 747 × 123 × 12. 2 182. 50 0. 751 0. 72
25 7#b 747 × 123 × 12. 2 179. 38 0. 726 0. 72
26 8#b 747 × 123 × 12. 2 178. 13 0. 716 0. 72
27 2#c 625 × 123 × 12. 2 206. 31 0. 697 0. 72
28 2#d 375 × 123 × 12. 2 341. 25 0. 706 0. 72
29 2#e 250 × 123 × 12. 2 505. 63 0. 696 0. 72
表 3 国产马尾松、油松、杉木和蒙古栎剪切模量测量值
Tab． 3 The shear modulus values measured by domestic Pinus massoniana，Pinus tabulaeformis，
Cunninghamia lanceolata and Quercus mongolica
树种
Species
试件尺寸
Specimen size /mm
试件数量
The number
of specimens
气干密度(实测)
Air-dry density
(measured) /( kg·m － 3 )
剪切模量测量均值
Average shear
modulus /GPa
变异系数
Coefficient of
variation(CV) (% )
马尾松 Pinus massoniana 384 × 64 × 12. 4 12 472 0. 92 13. 4
油松 Pinus tabulaeformis 384 × 64 × 12. 4 12 475 0. 99 13. 4
杉木 Cunninghamia lanceolata 384 × 64 × 12. 3 12 390 0. 65 15. 7
蒙古栎 Quercus mongolica 910 × 130 × 18. 4 10 804 1. 40 14. 3
图 7 方板四角点受集中力 P 的受力
Fig． 7 Square plate the four point by trying to concentrated force P
图 8 方板四边受均匀扭矩 Myx，Mxy 受力
Fig． 8 Square plate edges under uniform torque by trying to Myx，Mxy
根据扭矩与剪应力关系、剪切胡克定律和纯剪
切状态下线应变和剪应变关系可得:
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林 业 科 学 50 卷
图 9 纯剪切应力状态
Fig． 9 Pure shear stress state
G = 3P
2 ε45° h
2。 (7)
式中: G 为剪切模量; h 为方板厚度。
测试时若采用四级等量增量加载 ΔP = 4 ． 9N，
相应的应变增量为 Δε45°，则 G 的计算式为:
G = 3ΔP
2 Δε45° h
2。 (8)
3. 4. 2 试件和试验装置 试件: 材质; 试件 (方
板)公称尺寸 123 mm × 123 mm × 12． 2 mm; 试件数
量 8 块。
试验装置: 测试仪器为 HPJY16C 型静态电阻
应变测试仪，灵敏系数 2; 应变片灵敏系数 2. 08。
砝码加载，砝码质量 0. 5 kg，加载载荷 4. 9 N，
四级加载，应变读取差值，取其平均值经过灵敏系数
修正后的数值作为表 4 中的 Δε45° 值。
3. 4. 3 静态试验结果 静态测得的西加云杉剪切
模量如表 4 所示，其平均值为 0. 676 GPa，标准离差
为 0. 052 6 GPa，变异系数为 7. 8%。
表 4 静态测试的西加云杉剪切模量
Tab． 4 Static testing spruce shear modulus
试件编号
Specimen
厚度 h
Thickness /mm Δ
P /N Δε45° / 10
－6
剪切模量
Shear
modulus /GPa
1# 12. 60 4. 9 64. 4 0. 704
2# 12. 20 4. 9 74. 3 0. 665
3# 12. 03 4. 9 74. 0 0. 686
4# 12. 15 4. 9 81. 5 0. 611
5# 12. 25 4. 9 67. 5 0. 726
6# 12. 23 4. 9 67. 3 0. 730
7# 12. 20 4. 9 70. 8 0. 697
8# 12. 20 4. 9 84. 0 0. 585
从表 2 和表 4 可知，自由板扭转振形法测试的
云杉剪切模量仅高于静态测试的剪切模量 2. 1%。
4 结论
1) 木材剪切模量和自由板一阶扭转频率关系
式的正确性不仅得到了西加云杉、山毛榉、欧洲赤
松、白蜡树和桃花心木等树种的剪切模量仿真验证，
还得到了西加云杉、国产马尾松、油松、杉木等锯材
的动态试验验证。
2) 自由板扭转振形法测试的西加云杉剪切模
量与静态方板扭转试验测试的剪切模量极为接近，
二者相差仅 2. 1%，故自由板扭转振形法测试剪切
模量的正确性又得到静态试验的验证。
3) 从频谱图上识别出一阶扭转频率的互功率
谱法简单易行。
4) 自由板扭转振形法测试木材剪切模量具有
快速、简单、重复性好和精度高的优点。
5) 自由板作为试件，在试验时易于实现自由支
承，用牛皮筋悬挂即可，经试验悬挂位置也不影响频
率的测量值，更重要的是自由悬挂，不像悬臂板试验
数据会受夹持力的影响。
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(责任编辑 石红青)
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