全 文 ：第 49 卷 第 11 期
2 0 1 3 年 11 月
林 业 科 学
SCIENTIA SILVAE SINICAE
Vol. 49，No. 11
Nov．，2 0 1 3
doi:10．11707 / j．1001-7488．20131120
收稿日期: 2013 － 10 － 11; 修回日期: 2013 － 10 － 28。
基金项目: 林业公益性行业科研专项(201204703)。
* 马晓君为通讯作者。
木制门套线横截面曲线的数学模型与仿真*
齐英杰1 马晓君1，2 胡万明1
(1．东北林业大学 哈尔滨 150040; 2．佳木斯大学 佳木斯 154007)
摘 要: 门套线是一种型面曲线加工的木制典型工件。为了解决依据靠模加工复杂空间曲面成型困难的问题，
建立具有 L 型卡条的门套线横截面曲线数控加工的数学模型，通过 VC + + 6． 0 对门套线横截面曲线形状进行仿真
验证。结果表明:所建立的数学模型具有良好的精确性、通用性和实用性，为门套线数控加工系统的开发奠定理论
基础。
关键词: 木制门; 门套线; 横截面曲线; 数控; 数学描述; 模拟仿真
中图分类号: TS652;S777 文献标识码: A 文章编号: 1001 － 7488(2013)11 － 0141 － 05
Mathematical Model and Simulation of Cross Section Curve for Wooden Door Casing
Qi Yingjie1 Ma Xiaojun1，2 Hu Wanming1
(1 ． Northeast Forestry University Harbin 150040; 2 ． Jiamusi University Jiamusi 154007 )
Abstract: Wooden door casing is a kind of typical wooden work-pieces with complex-shape curve． In order to solve the
problem of machining complex-shape curve by profiling，the mathematical model of cross section curve of the wooden door
casing with L-shaped clamping strip was established． The simulation program was writing by using VC + + 6． 0，which
could prove the accuracy，versatility and practicability of the mathematical model，which laid the theoretical basis for NC
machining of door casing．
Key words: wooden door; door casing; cross section curve; numerical control; mathematical descriptions;
analogue simulation
门套线 (门边线、门口线) 作为木门的配套产
品，广泛应用于家装家庭、办公场所等环境的装饰
中。木制门套线以其木材的天然纹理和装饰美感受
到人们的青睐(徐杨，2009; 马晓君等，2011a)。随
着我国建筑产业的快速发展，木门的刚性需求量稳
定增加、城镇化步伐的加快和出口量的稳定增加等
为木门产业的发展带来了新的机遇与挑战 (吕斌
等，2008)。
门套线是一种型面曲线加工的木制典型工
件，在现行生产中，加工方法基本是铣削靠模加工
(马岩，2008)，多工序、多工位、加工精度低、效率
差、批量生产互换性差(马岩，2006a)。利用现代
数控技术，开发出门套线图形参数驱动数控加工
系统，将各种门套线的横截面形状集成在机床控
制器内，通过图形对话的方式(孟令联等，2009)，
利用门套线截面曲线图形参数驱动的通用性(马
晓君等，2011b)，直接由数学模型输入门套线横
截面曲线数学描述参数，即可获得加工所需的尺
寸。因此，以数学方法充分描述门套线的横截面
曲线形状是实现门套线数控加工图形参数驱动设
计的基础 (齐英杰等，2008; 2010 )。通过门套线
数控加工的数学模型，建立门套线加工的数控软
件，实现门套线数字化加工。
1 门套线数控加工的编程方法
门套线数控加工过程中，采用“行切法”依据
实际加工精度确定行距(胡海峰等，2008)。利用
门套线横截面曲线的数学模型，获得门套线数控
加工时横截面曲线各关键节点坐标变化的描述参
数及相应图形参数驱动方法。门套线横截面形状
林 业 科 学 49 卷
建模中，目前常用的编程方法有 2 种: 一种是手工
编程，另一种是自动编程。随着数控技术的飞跃
发展，自动在线编程技术在车床、铣床上得以广泛
应用。自动在线编程是在生产现场和数控装置
上，利用数控装置控制的计算机、显示屏和图形对
话功能直接进行编程，具体过程是在数控装置上
采用图形对话的方式输入工件的图形和尺寸参
数，确定机床、工件坐标系、换刀位置并确定刀具，
然后在零件图上确定加工工序，并选定加工工艺
参数。自动在线编程是一种具有发展前景的编程
方法(朱晓春，2009)。
门套线数控加工时，在满足门套线专用数控
加工机床加工工艺的前提下，本文采用的方法是:
根据图纸要求，依据门套线横截面曲线的数学模
型，计算出门套线数控加工时横截面曲线各关键
节点坐标变化的描述参数，利用自动在线编程方
法，采用图形对话的方式实现门套线加工 (马晓
君，2012)。
2 门套线横截面曲线数学模型的建立
门套线是一种型面曲线加工的木制典型工件，
常见的门套线有具有门套压条的门套线和具有 L
型卡条的门套线，门套线零件如图 1a，b 所示。本文
主要研究具有 L 型卡条的门套线的数学模型，对于
具有门套压条的门套线或其他门套线可参照具有 L
型卡条的门套线数学描述进行建模。
图 1 门套线零件
Fig． 1 Work-piece of wooden door casing
a．具有门套压条的门套线 Wooden door casing with strip;
b．具有 L 型卡条的门套线 Wooden door casing with
L-shaped clamping strip．
门套线数控加工编程时，首先建立门套线横截
面曲线的数学模型，然后按曲线方程进行编程的数
值计算(马岩，2006b)。在实际生产中，刀具的轮廓
曲线形成门套线的包络曲面，其包络曲线 (门套线
横截面曲线)的运动轨迹为直线运动，加工时包络
曲线是不变的(齐英杰等，2006)。以数学方法对门
套线横截面曲线进行数学建模，是将包络加工法与
门套线加工工艺结合，使传统工艺方法数学化，可为
门套线数控加工理论及图形参数驱动提供理论依据
以及为视频再现提供数学方法 (马岩，2008; 张云
秀等，2004; 徐达丽等，2004)。
从数学的角度看，任何几何体的基本形状由
点、线、面 3 个要素构成，门套线横截面形状是直
线形 型 面，门套 线 的 展开 面为 平面 (吴 智 慧，
2004)，门套线横截面曲线是由直线、圆弧组成的
包络曲线，在数学分析的基本假设的基础上，用数
学符号描述门套线截面曲线参数变量的数学关
系，建立门套线横截面曲线的数学模型 ( Vinokuro
et al．，2010; 王文波，2006)。
设门套线横截面曲线为理想形状，用解析法
截得的垂直于门套线长度方向的截面形状所定
义的门套线横截面曲线类型进行数学建模。数
学模型坐标系的变量为 X，Y，门套线横截面数学
描述时建立门套线横截面坐标系原点，原点设在
门套线横截面 2 条直线的交点处。木制门套线
横截面曲线的数学模型如图 2 所示。具有 L 型
卡条的门套线是由直线段、圆弧组成的轮廓曲
线，为了便于描述，设每段圆弧的中心点坐标为
O 1 ( X 1，Y1 )，O 2 ( X 2，Y2 )，O 3 ( X 3，Y3 )，O 4 ( X 4，
Y4 )，O 5 ( X 5，Y5 )，O 6 ( X 6，Y6 )，O 7 ( X 7，Y7 )，具有 L
型卡条的门套线横截面曲线的数学描述如式
(1) ～ (9)所示:
图 2 具有 L 型卡条的门套线横截面曲线的数学模型
Fig． 2 Mathematical model of cross section curve of the
wooden door casing with L-shaped clamping strip
241
第 11 期 齐英杰等: 木制门套线横截面曲线的数学模型与仿真
F X，( )Y =
X2 ≤ L2( )2 2
Y ≤ L1( )2




 2
0 ≤ X ≤ L2，0 ≤ Y ≤ L( )1 ( )1
X2 ≥ L3 － L2( )2 2
Y ≥ L1( )2




 2
L2 ≤ X ≤ L3，0 ≤ Y ≤ L( )1 ( )2
X － X( )1
2 + Y － Y( )1
2 ≤ R21 0 ≤ X ≤ X2，Y1 ≤ Y ≤ Y1 + R( )1 ( )3
X － X( )2
2 + Y － Y( )2
2 ≥ R22 X2 ≤ X ≤ X3， Y2 + L1 － R( )2 ≤ Y2 + L( )[ ]1 ( )4
X － X( )3
2 + Y － Y( )3
2 ≤ R23 X3 ≤ X ≤ X4， Y3 + L( )1 ≤ Y ≤ Y3 + L1 + R( )[ ]3 ( )5
X － X( )4
2 + Y － Y( )4
2 ≥ R24 X4 ≤ X ≤ X5， Y4 + L1 － R( )4 ≤ Y ≤ Y4 + L( )[ ]1 ( )6
X － X( )5
2 + Y － Y( )5
2 ≤ R25 X5 ≤ X ≤ X6， Y5 + L( )1 ≤ Y ≤ Y5 + L1 + R( )[ ]5 ( )7
X － X( )6
2 + Y － Y( )6
2 ≥ R26 X6 ≤ X ≤ X7， Y6 + L1 － R( )6 ≤ Y ≤ Y6 + L( )[ ]1 ( )8
X － X( )7
2 + Y － Y( )7
2 ≤ R27 X7 ≤ X ≤ L3， Y7 + L( )1 ≤ Y ≤ Y7 + L1 + R( )[ ]7 ( )





9
上述方程中 (3 )、(4 )，(4 )、(5 )，( 5 )、( 6 )，
(6)、(7)，(7)、(8)，(8)、(9)圆弧切点的约束方程
为式(3)减去式(4)，式(4)减去式(5)，式(5)减去
式(6)，式(6)减去式(7)，式(7)减去式(8)，式(8)
减去式(9)，约束方程如式 (10) ～ (15)所示:
2 X2 － X( )1 X + 2 Y2 － Y( )1 Y + X
2
1 +
X22 + Y
2
1 + Y
2
2 － R
2
1 + R
2
2 = 0; (10)
2 X3 － X( )2 X + 2 Y3 － Y( )2 Y + X
2
2 +
X23 + Y
2
2 + Y
2
3 － R
2
2 + R
2
3 = 0; (11)
2 X4 － X( )3 X + 2 Y4 － Y( )3 Y + X
2
3 +
X24 + Y
2
3 + Y
2
4 － R
2
3 + R
2
4 = 0; (12)
2 X5 － X( )4 X + 2 Y5 － Y( )4 Y + X
2
4 +
X25 + Y
2
4 + Y
2
5 － R
2
4 + R
2
5 = 0; (13)
2 X6 － X( )5 X + 2 Y6 － Y( )5 Y + X
2
5 +
X26 + Y
2
5 + Y
2
6 － R
2
5 + R
2
6 = 0; (14)
2 X7 － X( )6 X + 2 Y7 － Y( )6 Y + X
2
6 +
X27 + Y
2
6 + Y
2
7 － R
2
6 + R
2
7 = 0。 (15)
式中:L1为卡条的长度;L2为卡条的宽度;L3为门套
线的宽度;YA为门套线 L 型装饰边的厚度;YB为门
套线装饰边的厚度。式(1) ～ (9)构成了理想具有
L 型卡条的门套线横截面曲线的包络空间，确定了
YA，YB，L1，L2，L3和定位尺寸的关系，由 5 个条直线
段和 7 段圆弧线平滑连接包络形成具有 L 型卡条的
门套线横截面曲线的数学模型。
3 门套线横截面曲线的计算机仿真
3． 1 门套线横截面曲线实测参数的采集
门套线横截面曲线形状实测参数采集检测系统
的工艺流程如图 3 所示。门套线由传输链负载经滚
台匀速输入经过检测门、检测门位移传感器(探针)
跟踪并同时分层测量门套线轮廓边界曲线，门套线
横截面边界轮廓的变化使探针的位移变化，探针的
位移变化引起探针输出电压的变化，通过数据采集
卡将采样点电压变化进行采样，经计算机数据处理
后，得出所需的门套线横截面轮廓边界上采样点的
坐标值，并实时显示(马岩，2010)。将采样点进行
曲线拟合，采样点信息代入门套线横截面曲线的数
学描述方程，最终构造出门套线横截面几何模型
(马晓君等，2011)。
3． 2 门套线横截面形状的图形仿真
利用 Visual C + + 6． 0 开发工具，生成图形用
户界面(图 4)，门套线截面曲线参数设定处有 7 个
半径描述参数(R1，R2，R3，R4，R5，R6，R7 )，5 个直线
轮廓边界参数( L1，L2，L3，XA，XB )输入相应的参数
值，按开始仿真按钮，得到门套线横截面曲线形状图
形，再点击仿真效果图按钮，即可得到门套线横截面
形状的仿真效果图形。输入 3 组门套线截面曲线的
描述参数:第 1 组:L1 = 10，L2 = 10，L3 = 70，YA = 30，
YB = 20，R1 = 5，R2 = 5，R3 = 8，R4 = 10，R5 = 15，R6 =
5，R7 = 5;第 2 组:L1 = 5，L2 = 5，L3 = 70，YA = 30，
YB = 20，R1 = 5，R2 = 5，R3 = 5，R4 = 5，R5 = 8，R6 = 10，
R7 = 15;第 3 组:L1 = 20，L2 = 20，L3 = 70，YA = 30，
341
林 业 科 学 49 卷
YB = 20，R1 = 8，R2 = 10，R3 = 15，R4 = 5，R5 = 5，R6 =
5，R7 = 5。得到相应描述参数下门套线横截面形状的
仿真效果图形如图 5。
图 3 门套线横截面曲线实测参数采集检测系统的工艺流程
Fig． 3 Process flow of actual measurement parameters acquisition and
monitoring system of cross section curve of the wooden door casing
图 4 用户界面
Fig． 4 User interface
图 5 门套线横截面形状仿真效果
Fig． 5 Cross-section effect map of cross section
curve of the wooden door casing
图 6 为应用门套线截面曲线的数学模型获得的
门套线仿真模型实例，说明门套线横截面形状易于
实现数控加工，所建立的数学模型与图形参数驱动
仿真模型具有一定的精确性、通用性、实用性，为门
套线数控加工系统的开发奠定理论基础。
图 6 木制门套线的仿真模型
Fig． 6 Physical goods model of wooden door casing
4 结论
1) 本文为木制门行业门套线的数控加工提供
了数学建模与仿真理论，是将包络加工法与门套线
加工工艺结合起来，使传统的工艺方法数学化，为门
套线数控加工参数驱动设计以及视频再现提供
方法。
2) 运用数学分析的基本假设，建立了具有 L 型
卡条的门套线横截面曲线的数学模型，通过对门套
线截面曲线描述参数值的仿真结果分析，得到相应
描述参数下的门套线横截面形状仿真效果图。结果
表明，所建立的数学模型具有良好的精确性、通用性
和实用性，可为其他不同类型的门套线截面形状的
建模与仿真提供方法。
3) 利用门套线横截面曲线的数学模型获得门
套线数控加工时，各关键节点坐标变化的参数方程
及相应数控加工参数驱动方法可推进木门行业门套
线数控加工过程数学描述研究的开展，为门套线数
控加工系统的开发奠定理论基础。
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(责任编辑 石红青)
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