全 文 ：第 !" 卷 第 #$ 期
% $ # $ 年 #$ 月
林 业 科 学
&’()*+(, &(-.,) &(*(’,)
./01!"!*/1#$
2345!% $ # $
测树因子二元概率分布% 以毛竹为例
刘恩斌6周国模6施拥军6葛宏立
"浙江农林大学环境科技学院6临安 8##8$$#
摘6要!6应用二元联合熵函数!仿照一元最大熵函数的推导过程!构建测树因子二元最大熵概率密度函数!指出
该函数实际上是二元多参数指数族分布!其幂是二维连续函数空间基的线性组合& 一元与二元最大熵函数的构建
可以得出% 这种构建模型的方法可以推广到测树因子二元以上概率分布的情形& 对二元最大熵函数与二元
iMHTJ0分布模型做对比分析!并指出前者具有更广的适应性& 对已有二元函数如二元 &FF函数与二元 FM49函数做
了概述!介绍 &FF函数初值选取方法!并指出二元 &FF函数能反映 % 个随机变量的相关程度& 用二元最大熵函数(二
元 &FF函数与二元 FM49函数分别测量浙江省域尺度毛竹胸径(年龄联合分布信息!结果表明前 % 者的测量精度非常
高!都适合于描述毛竹胸径(年龄联合分布规律!回归离差平方和(!% 与柯尔莫哥洛夫检验统计量依次为
717?" ??M=$A!$177" $!$1777 @8& $1$$$ @!!$17"! $$!$17?7 7@& 二元 FM49函数测量精度最低!函数初值选取与变
量区间变换还有待于进一步研究$
关键词%6二元最大熵函数& 二元 &FF函数& 二元 FM49函数& 胸径 =年龄& 测树因子
中图分类号! &?#@1A666文献标识码!,666文章编号!#$$# =?!@@"%$#$##$ =$$%7 =$@
收稿日期% %$$7 =$# =%$& 修回日期% %$#$ =$" =%A$
基金项目% 国家自然科学基金项目"8$??#?#A# !浙江省科技厅项目"%$$@’#%$"@# $
N-K&5-&’(B"(#5(’-;I&$(#4M#$# N&6,## Z#5($’
-HJ )NTHN6lL/J WJ/;/6&LHO/N" F&’--6-.<)G+%-)9")*$6F&+")&"#$)? U"&’)-6-50![’"4+$)5 25%+&,6*,%"$)? /-%"#*%0I)+G"%#+*06E+)\$) 8##8$$#
;,$’5&<’%6:S/T9TH0H4VUHP4SHTJ4H/N />^MV>934/SPHN >/SMP4;MNPJS94H/N Z9P[MSVH;R/S49N4HN 4LM;9N9HPR//SJNUMSP49NU 4L94;9HN [9SH9T0MP;J04HYUHP4SHTJ4H/N />>/SMP4;MNPJS94H/N HN 4LM>/SMP4M3/0/UHP4SHTJ4H/N ;/UM0/>;9HN [9SH9T0MP/>>/SMP4;MNPJS94H/N Z9PHN4S/UJ3MU HN 4LHPR9RMS5iMTJH0U JR 9TH[9SH94M;9QH;J;
MN4S/RVRS/T9TH0H4VUMNPH4V>JN34H/N JPMU TH[9SH94MJNH4MMN4S/RV>JN34H/N!9NU PH;J094HN>JN34H/N5+LHP9RRS/93L UM;/NP4S94MU H4Z9PTH[9SH94M9NU MQR/NMN4H90UHP4SHTJ4H/N >/S;9NVR9S9;M4MSP5(4ZH0RS/;R4
4LS/JTH[9SH94M3/NPM3J4H[M>JN34H/N UH;MNPH/N5iM9N90VKMU 9NU 3/N4S9P4MU 9TH[9SH94M
;9QH;J;MN4S/RV>JN34H/N 9NU 9TH[9SH94MiMHTJ0UHP4SHTJ4H/N!9NU R/HN4MU /J44LM>/S;MSL9U ZHUMS>0MQHTH0H4V5+LM
TH[9SH94M&FF>JN34H/N 9NU 4LMTH[9SH94MFM49>JN34H/N ZMSMHN4S/UJ3MU 9NU 4LMPM0M34H/N />&FF>JN34H/NrPHNH4H90[90JML9U
TMMN M09T/S94MU 9NU 90P/R/HN4MU /J44L944LMTH[9SH94M&FF >JN34H/N 3/J0U SM>0M344LM4Z/S9NU/;[9SH9T0MPrP3/SSM094H/N&
TH[9SH94M;9QH;J;MN4S/RVRS/T9TH0H4VUMNPH4V>JN34H/N!TH[9SH94M&FF>JN34H/N 9NU 4LMTH[9SH94MFM49>JN34H/N SMPRM34H[M0V
ZMSMJPMU 4/;M9PJSM4LM4Z/YUH;MNPH/N HN>/S;94H/N />UH9;M4MSY94LM>/S;MS
4Z/;M4L/UPZMSM[MSVLH4LMT9;T//UH9;M4MSY
9/STH[9SH94M;9QH;J;MN4S/RV% ;HNH;J;[9SH9N3MZ9P717?" ??M=$A!!% f$177" $!,5\5)*+,*-*.*/P494HP4H390
]J9N4H4VZ9P$1777 @8!>/STH[9SH94M&FF>JN34H/N% ;HNH;J;[9SH9N3MZ9P$1$$$ @!!!
% f$17"! $$!,5\5)*+,*-*.*/
P494HP4H390]J9N4H4VZ9P$17?7 7@54LMRSM3HPH/N />4LMTH[9SH94MFM49>JN34H/N Z9P0/ZMP4!4LMPM0M34H/N />H4PHNH4H90[90JM
9NU 4LM[9SH9T0MS9N/S;94H/N ZMSM>JS4LMSSMPM9S3LMU5
=(0 >#53$%6 TH[9SH94M;9QH;J; MN4S/RV>JN34H/N& TH[9SH94M&FF >JN34H/N& TH[9SH94MFM49>JN34H/N& UH9;M4MSY9>/SMP4;MNPJS94H/N
66测树因子的概率分布对森林生物量估算及现代
森林经营活动起着非常重要的作用!它可以预估树
木各径阶(各龄阶株数与蓄积变化!生长量测定(产
量预估(枯损量计算等!还可以对抚育间伐设计与森
林 业 科 学 !" 卷6
林碳库估算提供科学依据$ 在林业与生态实践中!
研究较多的是测树因子的一元概率分布 "洪利兴
等! #77A& 周 国 模 等! #77"& DH9NM"*$65! %$$@&
-HNUP9V"*$65!#77"& i9N<"*$65!%$$A& 吴承祯等!
#77@& 刘君然等!#77?#!但一元概率分布只能描述
一个测树因子的概率分布规律!不能全面反映林分
测树因子的联合概率分布状况$
\9>0MV等"#7?"#(&3LSMJUMS等"#7??#应用二元
&FF函数研究了林分胸径(树高分布信息!结果显示
二元 &FF函数非常适合描述胸径(树高联合分布规
律& -H等"%$$%#用二元 FM49函数也研究了林分胸
径(树高分布规律!经卡方检验表明二元 FM49函数
适合于描述胸径(树高分布规律& i9N<等"%$$?#应
用二元 &FF(二元 FM49等 ! 个函数再次研究了林分
胸径(树高分布信息!结果表明二元 &FF函数拟合精
度最高!要优于二元 FM49函数& 葛宏立等"%$$@#应
用二 元 iMHTJ0 分 布 函 数 研 究 了 浙 江 毛 竹
"J’06-#*$&’0#"?,6+##胸径(年龄分布规律!表明二元
iMHTJ0分布函数具有较高的测量精度& 还有文献
介绍的测树因子二元概率密度函数是通过修改一元
iMHTJ0概率密度函数 8 参数得到的!不满足概率模
型的性质 "周国模等!%$$" #$ 从以上研究可以看
出!已有测树因子联合分布的研究不是建立在充分
利用现有数据提供信息的基础上!而是事先指定一
种概率模型!然后用它来测量测树因子的概率分布
状况!如果测量精度高!则说明该分布适合描述测树
因子的联合分布规律!这样做的缺点是事先指定的
概率模型不一定是最佳模型!因为适合描述测树因
子联合分布的概率模型可能有很多$ 因此!在最大
限度地利用现有资料提供信息的基础上!如何构建
适应范围更广(测量精度更高的测树因子概率模型
值得研究$ 熵是信息论中的一个基本概念!是用以
度量信息源不确定性的量!熵最大就意味着获得的
总信息量最少!即所添加的信息最少!故本文对测树
因子二元最大熵函数做了详细推导!并用构建的模
型与已有二元 &FF函数(二元 FM49函数分别测量了
浙江毛竹胸径(年龄联合分布信息!旨在说明二元最
大熵函数的优越性$
综上所述!本文研究测树因子二元概率分布具
有如下意义% ## % 个测树因子的联合分布是全面认
识林分结构(精确估算区域尺度生物量的有力工具&
%# 可以更精确(更全面地预估树木各径阶(各龄阶
株数与蓄积变化等& 8# 在林业生产实践中!要作出
科学的决策需要 % 个测树因子的联合分布信息!故
只研究测树因子的一元概率分布不能满足现代林业
实践的需求& !# 构建了测数因子二元最大熵函数!
从而为精确测量测树因子概率分布信息提供了一种
新的途径$
#6理论与方法
?@?A测树因子二元最大熵函数构建
要构建测树因子的二元概率密度模型!必须有
一个构造的标准!那就是使所构造的模型在数据不
充分的情况下!既要与已知的数据相吻合又必须对
未知的部分做最少的假定!即对数据的外推或内插
采取最超然的态度$ 因此模型的构造过程可以认为
是从数据中提取信息的过程!而信息来自 % 个部分%
一是己知数据!二是由于数据不完全而不得不对未
知部分所做的假定!这种假定相当于人为地)添加*
了一些信息$ 由于熵可以用来度量测树因子的不确
定性!熵最大就意味着获得的总信息量最少!即所添
加的信息最少!所以最大熵是超然的$ 本文利用最
大熵超然的特点!仿照一元最大熵函数的推导过程
"朱坚民等!%$$A#!导出了二元最大熵函数!进而把
它作为测树因子的二元概率密度模型$
为了能在理论上导出测树因子二元最大熵概率
密度函数!在此先介绍几个相关的概念与性质$
#1#1#6相关概念与性质
9%# O<"=
%
#=
#
%# O&
!#!%
=%#=
#
%."=#!=%#U=# U=%! "##
"##式就是随机变量 =#!=% 的联合分布混合矩$
F"=#!=%# OP’
>
."=#!=%# Q
(N,."=#!=%#-U=# U=%! "%#
"%#式就是随机变量 =#!=% 的联合分布熵函数$
F"=## OP&
!#
:"=##(N,:"=##-U=#! "8#
"8#式就是随机变量 =# 的连续型熵函数$ 类似的可
定义随机变量 =% 的连续型熵函数为%
F"=%# OP&
!%
A"=%#(N, A"=%#-U=%! "!#
F=#"=%# OP’
>
."=#!=%# [(N ."=#!=%#:"=# ]# U=#U=%$"A#
"A#式就是在试验 =# 实现条件下的试验 =% 的条件
熵函数$
定理%
F"=#!=%# O
F"=## SF=#"=%# SF"=%# SF=%"=##
%
$ ""#
$8
6第 #$ 期 刘恩斌等% 测树因子二元概率分布% 以毛竹为例
因为 F"=#!=%# O F"=## S F=#"=%# O F"=%# S
F=%"=## !证明过程详见参考文献"李贤平!%$$"#$
#1#1%6二元最大熵概率密度模型构建6利用样本
信息的一种简便方法是计算样本的各阶矩$ 利用以
上的概念与定理!仿照一元最大熵函数的构建思路
"朱坚民等!%$$A#!本文详细推导了连续型随机变
量的二元最大熵函数%
F"=#!=%# OP’
>
."=#!=%# Q
0N,."=#!=%#-U=# U=% ( ;9Q$ "?#
66约束条件为%
’
>
."=#!=%#U=# U=% O#!
9%# O<"=
%
#=
#
%# O&
!#!%
=%#=
#
%."=#!=%#U=# U=%!
"%O#!%!0!9& #O#!%!0!)





#$
"@#
66通过调整."=#!=%# !使其熵达到最大!设 F为拉
格朗日函数!其余为拉格朗日乘子$
F OF"=#!=%# S""$ S## Q
’
>
."=#!=%#U=# U=% P( )# S%9
+O#
%
)
4O#
"+4
[
Q
&
!#!%
=+#=
4
%."=#!=%#U=# U=% PH ]+4 $ "7#
66"7#式中的 F"=#!=%# 用""#式替代!得%
F O

#
%
P&
!#
:"=##0N,:"=##-U=# P
&
!%
A"=%#0N,A"=%#-U=% P
’
>
."=#!=%# [0N ."=#!=%#:"=# ]# U=# U=% P
’
>
."=#!=%# [0N ."=#!=%#A"=% ]# U=# U= % S
""$ S## ’
>
."=#!=%#U=# U=% P( )# S
%
9
+O#
%
)
4O#
" [+4&
!#!%
=+#=
4
%."=#!=%#U=# U=% PH ]+4 $
66令 U FZU."=#!=%# 等于 $!求得%
P

#
% ’
>
,# S0N."=#!=%# P0N:"=##-U=# U=% S
’
>
,# S0N."=#!=%# P0NA"=%#-U=# U=%# S
""$ S##’
>
U=# U=% S
%
9
+O#
%
)
4O#
"+4&
!#!%
=+#=
4
% U=# U=% O$!
)’[
>
P(N."=#!=%# S
#
%
0N:"=## S
#
%
0NA"=%# S
"$ S%
9
+O#
%
)
4O#
"+4=
+
#=
4]% U=# U=% O$!
)P0N."=#!=%# S
#
%
0N:"=## S
#
%
0NA"=%# S"$ S%
9
+O#
%
)
4O#
"+4=
+
#=
4
% O$!
)0N."=#!=%# O
#
%
0N:"=## S
#
%
0NA"=%# S"$ S%
9
+O#
%
)
4O#
"+4=
+
#=
4
%$ "#$#
66在"#$#式中!把 :"=##!A"=%# 分别用 =#!=% 一
元 最 大 熵 函 数 的 统 一 表 达 式 ."=# O
MQR "$ S%
9
+O#
"+=( )+ 替代!得"###式%
."=#!=%# O
MQR $$ S%
9#
+O#
8+=
+
# S
%
)#
4O#
&4=
4
% S%
9
+O#
%
)
4O#
"+4=
+
#=
4% $ "###
66"###式就是本文提出的二元最大熵函数!该函
数的表达式符合指数族分布!因此可以把它看作是
二元多参数指数族分布$ 从"###式还可以看出!二
元最大熵函数的指数幂是二维连续函数空间基1#!
=#!=
%
#!0!=
9#
# !0!=%!=
%
%!0!=
)#
% !0!=
#
#=
#
%!0!=
9
#=
)
% !
02"当 =# 的阶矩取至 9#!=% 的阶矩取至 )#!=# 与
=% 的混合矩取至 9!) 时可达到精度要求#的线性组
合!这与一元最大熵函数类似$ 以此类推可以得到
二元以上最大熵函数!它可以作为 % 个以上测树因
子的概率密度函数$
?@DA二元 )NN函数
在已有的二元分布函数中!用二元 &FF函数研
究测树因子二元概率分布规律报道最多 "\9>0MV"*
$65!#7?"& &3LSMJUMS"*$65!#7??#!其函数表达式为%
:"7#!7%!## O, %0 # P#槡
%- P#MQR
{
Q
P#
%
"# P#%# P#"7%# P%#7#7% S7
%
% }# $
"#%#
其中%
7# O$# S%#(N10#Z"# P0##2!
7% O$% S%%(N10%Z"# P0%#2& "#8#
0# O"@P&##Z"#!
#8
林 业 科 学 !" 卷6
0% O"2P&%#Z"%$ "#!#
66在式 "#%#中 #是 7#!7% 的相关系数!式 "#8#!
"#!#中 $#!$%!%#!%%!&#!&%!"#!"% 都是系数!@!2分
别是胸径与年龄$
在用二元 &FF函数测量测树因子二元概率分布
信息时!如果这 7 个系数的初值选取不当!迭代很难
收敛!经多次尝试!按如下初值选取方法迭代很快收
敛且测量精度很高% &#!&% 的初值一般取在 , $!
!1A-! &# S"#!&% S"% 的取值分别要大于 ;9Q"@4#
"4O#!%!0!)# 与 ;9Q"24#"4 O #!%!0!)#
"&3LSMJUMS"*$65!#7??#%
$+ OP.
]
+Z#+!%+ O#Z#+!
.]+ O%
)
4O#
.+4Z)!#
%
+ O#Z)%
)
4O#
".+4P.
]
+( )# %!
.+4O0N10+4Z"# P0+4#2!
0+4O"=+4P&+#Z"+$
这里 =#4O@4!=%4O24!以上各式中 +O#!%& 4O#!
%!0!) $
?@EA二元 N(’& 函数
二元 FM49函数有 A 参数形式与 8 参数形式 %
种"WJR49"*$65!#7@A#!A 参数二元 FM49分布密度函
数为%
."=#!=%#

O *
%
4O#
5"=4!!4!’4

#

Q
# S"*
%
4O#
1%>"=4!!4!’4# P#

2 !
"$ #$ "#A#
式"#A#中!5"=4!!4!’4# f
#
3"!4!’4#
=!4=#4 "# ==4#
’4=#!
其中 !4!’4k$!$ q=4q#$
8 参数二元 FM49分布密度函数为%
."=#!=%# O
1"!# S!% S!8#
1"!##1"!%#1"!8#
Q
=!#P## =
!%P#
% "# P=# P=%#
!8P#!
=#!=% # $!=# S=% $ #$ "#"#
66从以上 % 个 FM49函数的表达式可看出其自变
量的定义域在 $ 至 # 之间!而树种测树因子的取值
不完全在其自变量的取值范围内!因此需要先进行
变量的区间变换$ 在本文中经多次尝试!选取如下
变换公式%@
‘
f"#" =@#Z"@!2
‘
f"" =2#Z%A!@!2
分别是胸径与年龄$
?@FA二元柯尔莫哥洛夫检验
由于柯尔莫哥洛夫检验综合考虑了每一样本单
元累积频率值与其相应理论累积频率值的偏差!因
此它比 (% 检验精确 "北京林学院!#7?7#!故用柯尔
莫哥洛夫检验方法对 8 种函数做拟合优度检验$ 现
假设 /)"=!0#为随机样本 ) 次观察值的累积概率分
布& /"=!0#为理论分布函数!并定义 L""# f0H;
)(c
J
1PJR槡) /)"=!0# =/"=!0# q"2!其中 @) fPJR
/)"=!0# =/"=!0# 为二元柯尔莫哥洛夫检验统计
量!具体计算方法 "北京林业大学!#7?7#为% ## 计
算 @) 及 "f槡)@)!并查 @) 的极限分布表得 L""#&
%# 计算 # =L""#!如果它是一个很大的概率!则说
明所检验总体的分布遵从理论分布 /"=!0#$
下面用浙江省森林资源连续清查有关毛竹的样
地资料对本文介绍的 8 种二元概率函数进行检验与
分析!并根据方程 U)f" 3^3# =# 3^0!)"BC## f)"B# C
U)")为参数矩阵!3为自变量组成的矩阵!0为因变
量组成的矩阵!B为迭代次数#!用 &:&& 软件拟合 8
种函数的参数$
%6模拟案例
毛竹是浙江省的主要经济植物!在全省分布范
围很广!具有很强的固碳能力 "周国模等!%$$!&
%$$"#!还是浙江省农民经济收入的重要来源$ 在
我国!毛竹是一种特殊的地域性植物!与其他植物不
同的是% ## 毛竹的胸径生长与高生长在第 # 年内
完成& %# 对单株毛竹而言!当胸径生长与高生长完
成后!胸径与竹高不再发生变化!但其生物量还在变
化!生物量的这种变化主要是由年龄引起的$ 本文
研究省域尺度毛竹胸径(年龄分布主要基于以下 8
方面的考虑% ## 毛竹林是一种异龄林!故除胸径
外!年龄也是其林分结构的重要特征& %# 对于区域
尺度的毛竹林而言!由于立地条件等的不同!使得相
同胸径的毛竹!其年龄并不完全一样!相同年龄的毛
竹!其胸径也并不完全一样!这样区域尺度毛竹胸
径(年龄具有某种分布规律& 8# 由于胸径与年龄是
影响毛竹生物量的主要因素!故利用区域尺度毛竹
胸径(年龄的联合概率分布信息与毛竹径阶生物量!
可以推算区域尺度的毛竹生物量$
D@?A资料来源
浙江省于 #7?7 年建立了森林资源连续清查体
系!以 A 年为一个复查周期$ 共设置固定样地 ! %A$
个!样点格网为 ! ^;p" ^;!样地形状为正方形!边
长 %@5%@ ;!面积 @$$ ;%$ 本研究利用 %$$! 年的调
查数据!选择基本为毛竹纯林的样地 %!A 个!每个毛
竹样地毛竹胸径从 A ‘#A 3;!年龄 # ‘! 度以上!毛
%8
6第 #$ 期 刘恩斌等% 测树因子二元概率分布% 以毛竹为例
竹株数 #@ ‘!"# 株不等$ 样地内 A 3;以上的竹子
均要调查记载!调查内容主要有量测胸径!测定年龄
"# 年生竹记为 # 度竹& % ‘8 年生竹记为 % 度竹!依
此类推#$ 本文研究的是全省区域的宏观模型!所
以将 %!A 个样地的数据合并统计!见表 #$
表 ?A浙江省毛竹林胸径%年龄样地统计数据!
B&,C?A)’&’-$’-<3&’& #/3-&6(’(5<*&$$&/3&9(<*&$$#46#$# ,&6,## -/["(O-&/9 !5#K-/<(
径阶
DH9;M4MS
309PP
龄阶 ,# % 8
! 及以上
! 9NU 9T/[M
株数
:09N4
NJ;TMS
累计株数
’J;J094H[M
R09N4NJ;TMS
株数
:09N4
NJ;TMS
累计株数
’J;J094H[M
R09N4NJ;TMS
株数
:09N4
NJ;TMS
累计株数
’J;J094H[M
R09N4NJ;TMS
株数
:09N4
NJ;TMS
累计株数
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R09N4NJ;TMS
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#A 8 #% $%7 ## %8 $"! % %? A"@ ! %7 7A#
66!由于在浙江省的毛竹林分中!几乎没有年龄为 A 度及 A 度以上的毛竹!故把 A 度及 A 度以上的毛竹合并到 ! 度竹中$ 在实际计算时!!
度及以上毛竹的度数龄阶用 ! 表示$ FM39JPMA 9NU 9T/[M/>T9;T//9MZHN 4LMlLMeH9N<"PT9;T//>/SMP4P! A 9NU 9T/[M/>T9;T//9;MST9;T//9T9;T//9D@DA结果与讨论
%1%1#6二元最大熵函数评价检验及其参数6一般
来说!胸径 =#(年龄 =% 阶数的取值范围为 %$=#!
=%$"!经多次尝试知!当胸径 =# 取至 A 阶矩与年龄
=% 取至 ! 阶矩时!&:&& 软件提供非线性最小二乘算
法的拟合精确最高!具体的拟合步骤为% ## 打开
&:&& 软件& %# 利用表 # 的株数值计算某径阶(某龄
阶实测概率!并以此实测概率为因变量!对应的胸
径(年龄为自变量& 8# 将因变量与自变量的值复制
到 &:&& 的 D949.HMZ表中!再把 .9SH9T0M.HMZ中
*9;M字段的相应单元格分别命名为概率(胸径与年
龄& !# 在 &:&& 任务栏中选择 ,N90VKM(IM(*/N0HNM9S& A# 将概率作为因变量导入 DMRMNUMN4
栏中!当 9fA!) f!!9# fA!)# f! 时!把"###式按
照 &:&& 软件语法输入到 X/UM0)QRSMPPH/N 框中!并
在 :9S9;M4MSP栏中设置每个参数的初始值& "# 点击
&9[M选项!并选择 :SMUH34MU [90JMP和IMPHUJ90P!点击
2R4H/N 选项!并选择 -M[MNTMS2E进行计算!系统运算后!在 D949.HMZ表中即可
得到毛竹在各径阶(各龄级上相应实测概率的估计
值与偏差$ &:&& 软件拟合的二元最大熵函数各参
数见表 %$
表 DA最大熵函数各参数
B&,CDAM&U-6+6(/’5#%0 4+/<’-#/\$%&5&6(’(5$
参数
:9S9;M4MS
参数值
:9S9;M4MSrP[90JM
参数
:9S9;M4MS
参数值
:9S9;M4MSrP[90JM
参数
:9S9;M4MS
参数值
:9S9;M4MSrP[90JM
$$ =!#1@$# A! "## %?1##$ !% "88 =$1%A8 %#
8# =!"17A? A7 "#% A%1"A8 8" "8! $1#$@ @@
8% 8"1"$@ "7 "#8 =!#1?$? %8 "!# =$1!7$ ##
88 =81@8@ ?$ "#! "1@@# "A "!% $1%## 87
8! $1%7$ @! "%# =A71$A8 !7 "!8 =$1$## #!
8A =$1$$" @7 "%% %8187" $$ "!! =$1$$8 7$
&# #7#1A%" A" "%8 $1$## ?% "A# $1$## ?%
&% =%!A1$!@ #% "%! =$1"@% %7 "A% =$1$$A #$
&8 ###1%$# 7$ "8# A17?? 8# "A8 $1$$$ 8$
&! =#A18#" %A "8% =#17@? @8 "A! $1$$$ $7
66此时毛竹估计株数为% %7 A?? "实际株数为 %7 7A##!回归离差平方和% 717?" ??M=$A!!% f
88
林 业 科 学 !" 卷6
$177" $$ 柯尔莫哥洛夫检验统计量 # =L""# f
$1777 @8!是个很大的概率!故二元最大熵函数适合
于描述浙江毛竹胸径(年龄分布规律$ 从表 % 可以
看出!8$ 号变量的系数几乎为 $!说明在用最大熵函
数描述毛竹胸径(年龄分布规律时!对应变量 =A#=
!
%
提供信息较其他变量相对较少$
图 %6毛竹胸径在每一度上的二元最大熵函数曲线
aH<5%6DH9;M4MSUHP4SHTJ4H/N 3JS[M/>TH[9SH94M;9QH;J;MN4S/RV>/SM93L ;/P/T9;T//rP9%1%1%6二元最大熵函数测量结果的直观描述6由
于二元最大熵函数指数幂的组成很有规律!在此用
X9409T 软件根据表 % 参数绘制省域尺度毛竹胸径(
年龄二元最大熵概率密度图!见图 #$
图 #6省域尺度毛竹胸径(年龄二元最大熵概率密度
aH<5#6FH[9SH94M;9QH;J;RS/T9TH0H4VMN4S/RVUMNPH4V
UHP4SHTJ4H/N /N ;/P/T9;T//rPUH9;M4MSY9/SRS/[HN3MUH;MNPH/N
从图 # 可以看出% 虽然对单株毛竹而言!其胸
径(年龄的相关性不大!但由于立地条件等原因使省
域尺度毛竹胸径(年龄具有某种分布规律$ 图 % 可
以更直观地反应二元最大熵函数的测量精度$
从图 % 可以看出% 二元最大熵函数对浙江省域
尺度毛竹胸径(年龄分布信息的测量精度非常高$
由于二元 iMHTJ0概率密度函数比较复杂!所
以其图像与毛竹各径阶(各龄阶实测概率的直观描
述在此不便说明$
%1%186二元 &FF函数评价检验及其参数6利用表 #
株数值计算某径阶(某龄阶实测概率!用 &:&& 软件
提供的非线性最小二乘算法拟合 &FF函数各参数
为% "#!$#!$%!%#!%%!&#!&%!"#!"% # f" =$1!88 8"!
$1?#? ?"!$1!@7 87!%1%@@ A$!$1@@8 $#!$177# A#!
=#1A"8 7?!#A1!"$ 8@!"1"$7 ??#!此时回归离差平
方和为 $1$$$ @!!!% f$17"! $$!柯尔莫哥洛夫检验
统计量 # =L""# f$17?7 7@!是个很大的概率!故二
元 &FF函数适合于描述浙江毛竹胸径(年龄分布
规律$
%1%1!6二元 FM49函数评价检验及其参数6利用表
# 株数值计算某径阶(某龄阶实测概率!用 &:&& 软
件提供的非线性最小二乘算法拟合 A 参数 FM49函
数各参数为% "!#!!%! ’#! ’%!"# f" #1@@% "#!
"1$"# @7!$1A"% @A!!@1@$# A@! =$1@$8 !A#!此时回
归离差平方和为 $1$$" 7#!!% f$1?$# $$!柯尔莫哥
洛夫检验统计量 # =L""# f$1??" 8"$
拟合 8 参数二元 FM49密度函数参数为% "!#!
!%!!8# f"#1@%@ @8!%1A?? "%!$1%!@ ??#!此时回归
离差平方为 $1$$? %"!!% f$1"@? $$$ 可以看出!%
种二元 FM49函数的测量精度相差不大$
%1%1A6模型分析及对比6## 二元 &FF函数分析6
从回归离差平方和与 !% 可以看出% 该模型的测量
精度很高!故二元 &FF函数能精确描述浙江毛竹胸
径(年龄联合分布规律!原因在于二元 &FF函数具有
严格的概率模型性质!其边际分布是一元 &F分布
"\9>0MV"*$65!#7??& &3LSMJUMS"*$65!#7??#!而一元
&F分布能非常精确地描述一个测树因子概率分布
规律"\9>0MV"*$65!#7??#$ &FF函数还具有其他二元
!8
6第 #$ 期 刘恩斌等% 测树因子二元概率分布% 以毛竹为例
函数不具有的优点即可以说明 % 个随机变量的相关
性与独立性!这一特点可由参数 #反映$ 从 #的值
可以看出!浙江毛竹胸径与年龄的相关性不大!同时
也说明毛竹胸径(年龄分布不属于 % 个相互独立随
机变量的联合分布$ 故有关 % 个相互独立随机变量
联合分布的性质不适用于研究毛竹胸径(年龄分布$
%# 二元 FM49函数分析6从回归离差平方和与
!% 可以看出% 该模型测量精度最低!故二元 FM49函
数很少被用于研究测树因子的联合概率分布规律!
这也可以从二元 FM49函数的柯尔莫哥洛夫检验统
计量得出$ 估计精度低的原因是% ! 二元 FM49函
数初值选取不像二元 &FF函数一样形成了一套固定
的理论& 2 目前有关测树因子二元 FM49函数初值
给定的例子很少见报道!故本文对二元 FM49函数初
值的选取完全是盲目的!因此得出的参数可能不是
全局最优解& 3 在应用二元 FM49函数时!须先进行
变量的区间变换!但到底哪个变换公式最理论还未
见报道!本文的变换公式只是经多次尝试后确定的!
带有很大的主观随意性$
8# 测树因子二元最大熵函数与二元 iMHTJ0分
布函数对比分析6二元 iMHTJ0函数是分布函数而
不是概率密度函数!因此需要先计算各径阶(各龄阶
实测概率的累积值才能用二元 iMHTJ0分布模型!
其计算结果也是累积概率!故要做相应的减法运算
才能得到各径阶(各龄阶的概率& 而最大熵模型已
经是概率密度函数!可以直接使用各径阶(各龄阶的
实测概率$ 从二元 iMHTJ0分布的表达式可以看
出% 通过求 % 阶偏导得到的其概率密度函数相当复
杂$ 从与 iMHTJ0分布函数评价检验指标"回归离
差平方 %18"! %M=$$!!!% f$177$ ##!柯尔莫哥洛
夫检验统计量 $177" 7?#的对比可以看出% % 种方
法拟合结果都非常好!二元最大熵函数拟合结果比
二元 iMHTJ0分布略好!主要是由于二元最大熵函
数有更广的适应性且可以逼近二元 iMHTJ0概率密
度函数!这从以下分析可以得出!现用函数逼近理论
对二元最大熵函数的性质做如下推导%
)$ S%
9#
+O#
,+=
+
# S%
)#
4O#
54=
4
% S%
9
+O#
%
)
4O#
’+4=
+
#=
4
% S*"=#!=%# O
{MQR "$$ PB$# S%9#+O# "8+P6+#=+# S
%
)#
4O#
"&4PG4#=
4
% S%
9
+O#
%
)
4O#
""+4PC+4#=
+
#=
4
% }#
)MQR $$ S%
9#
+O#
8+=
+
# S%
)#
4O#
&4=
4
% S%
9
+O#
%
)
4O#
"+4=
+
#=
4( )% +
)$ S%
9#
+O#
,+=
+
# S%
)#
4O#
54=
4
% S%
9
+O#
%
)
4O#
’+4=
+
#=
4( )% MQR Q
B$ S%
9#
+O#
6+=
+
# S%
)#
4O#
G4=
4
% S%
9
+O#
%
)
4O#
C+4=
+
#=
4( )% $ "#?#
66在"#?#式中!*"=#!=%#是高阶无穷小$
对"#?#式的每一项再做同样的推导如%
’%8=
%
#=
8
% (MQR B$ S%
9#
+O#
6+=
+
# S%
)#
4O#
G4=
4
% S
%
9
+O#
%
)
4O#
C+4=
+
#=
4)% +
"%8=
%
#= (8% )$ S%
9#
+O#
++=
+
# S
%
)#
4O#
,4=
4
% S%
9
+O#
%
)
4O#
’+4=
+
#=
4)% MQR Q
,$ S%
9#
+O#
-+=
+
# S%
)#
4O#
.4=
4
% S%
9
+O#
%
)
4O#
/+4=
+
#=
4( )% $
66 从这里可以看出"#?# 式的每一项都含有 % 组
二维连续函数空间基的线性组合!即 )$ S%
9#
+O#
++=
+
# S
%
)#
4O#
,4=
4
% S%
9
+O#
%
)
4O#
’+4=
+
#=
4
% 与,$ S%
9#
+O#
-+=
+
# S%
)#
4O#
.4=
4
% S
%
9
+O#
%
)
4O#
/+4=
+
#=
4
%$ 根据矩阵理论!任意的二元连续函数
都可以表示为二维连续函数空间基的线性组合!这
就充分说明"#?#式的每一项都具有统一的结构形
式!故可以逼近二元 iMHTJ0概率密度函数对应的
项!而且这种逼近的精确随着 =#!=% 阶数的增大与
二元最大熵函数参数的增多而增加$ 二元以上
iMHTJ0分布表达式是什么形式未见报道!但二元以
上最大熵函数可以用相应连续函数空间基的线性组
合求得!并可作为测树因子二元以上概率密度函数$
86结论
由于毛竹的生物量与胸径(年龄都有关!一元概
率密度函数或分布函数不能全面反映毛竹林测树因
子的概率分布规律!因而不能精确估算区域尺度毛
竹生物量!而本文所述的 8 种方法可以弥补一元概
率函数的这一不足$ 综合本文的研究得到如下
结论%
## 本文在充分利用现有资料提供信息的基础
上构建了测树因子的二元概率密度函数即二元最大
熵函数!它的幂是二维连续函数空间基的线性组合!
是二元多参数指数族分布$
%# 二元最大熵函数的测量精度最高!适应范围
A8
林 业 科 学 !" 卷6
最广!二元 &FF函数的测量精度次之!二元 FM49函数
的测量精度最低!从本文模型评价检验与分析对比
可以得出二元最大熵函数是描述测树因子联合分布
信息的最佳模型$
8# 通常确定某种分布函数能不能反映毛竹胸
径(年龄联合分布规律的方法是假设检验!显然符合
假设检验的分布函数并不唯一!二元最大熵函数测
量精度优于其他函数的根本原因在于% 第一!二元
最大熵函数能最大限度地挖掘测量数据本身所固有
的规律& 第二!表达式所含参数比其他函数多$
!# 二元最大熵函数(二元 &FF函数的测量精度
都非常高!都适合于描述毛竹胸径(年龄联合分布规
律% 回归离差平方和(!% 与与柯尔莫哥洛夫检验统
计量依次为 717?" ??M=$A! $177" $! $1777 @8&
$1$$$ @!!$17"! $$!$17?7 7@$
A# 二元 FM49函数在林业上的应用还有待于进
一步研究$
"# 当考虑 % 个以上影响毛竹生物量的因素(估
算区域尺度毛竹生物量时!要用到测树因子的 % 元
以上概率密度函数或分布函数!而二元以上 iMHTJ0
分布函数与 &FF函数的表达式!作者查阅了大量有
关资料!还未发现有相关报道& 但从一元与二元最
大熵概率密度函数的组成!结合相关的理论!可以推
出二元以上最大熵概率密度函数的表达式即指数幂
是相应空间基的线性组合$
?# 从二元最大熵函数的表达式可以看出% 本
文构建的二元概率密度函数具有统一的结构形式!
可作为研究测树因子二元概率分布信息的统一模
型!且这种统一形式可以根据数据类型与精度要求!
非常灵活地选用不同的样本阶矩!从而灵活选择不
同阶数的二元最大熵函数$
@# 在用二元 &FF函数测量毛竹胸径(年龄联合
分布时!其参数初值选取方法与胸径(树高参数初值
选取"&3LSMJUMS"*$65!#7??#相同!原因在于这种初
值选取方法是根据二元 &FF函数的结构特点与性质
提出的!按照该方法选取的初值在二元 &FF函数的
收敛域内!这从 &3LSMJUMS等 "#7??#与本文的研究
可以得到验证$
参 考 文 献
北京林学院5#7?75数理统计5北京% 中国林业出版社!#"? =#"@5
葛宏立!周国模!刘恩斌!等5%$$@5浙江省毛竹直径与年龄的二元
iMHTJ0分布模型5林业科学!!!"#%# % #A =%$5
洪利兴!杜国坚!张庆荣!等5#77A5天然常绿阔叶异龄幼林胸径的
iMHTJ0分布及动态预测5植物生态学报!#7"## % %7 =!%5
李贤 平5 %$$"5 概 率 论 基 础5% 版5 北 京% 高 等 教 育 出 版
社!%#$ =%#85
刘君然!赵东方5#77?5落叶松人工林威布尔分布参数与林分因子
模型的研究5林业科学!88"A# % !#% =!#?5
吴承祯!洪6伟5#77@5杉木人工林胸径的 iMHTJ0分布及其最优拟
合研究5江西农业大学学报!%$"## % @" =7$5
周国模!姜培坤5%$$!5毛竹林的碳密度和碳贮量及其空间分布5林
业科学!!$""# % %$ =%!5
周国模!刘恩斌!刘安兴!等5%$$"5iMHTJ0分布参数辨识改进及对
浙 江 毛 竹 林 胸 径 年 龄 分 布 的 测 度5生 态 学 报!
%""7# % %7#@ =%7%!5
周国模!王瑞铨!俞双群!等5#77"5庆元县人工杉木林直径分布的
研究5华东森林经理!"## % #@ =8%5
朱坚民!郭冰菁!王中宇!等5%$$A5基于最大熵方法的测量结果估
计及测量不确定度评定5电测与仪表!!%"@# % A =@5
DH9NM\E!)UUHMF!I90RL D!*5%$$@5(NUH[HUJ90Y4SMMUH9;M4MS;/UM0>/SPJ<9S;9R0M4SMMPHN JNM[MNY9P49NUPJNUMSPM0M34H/N PVP4M;5a/SMP4)3/0/%A"% #A?7 =#A@"5
WJR49,E!i/N<’a5#7@A52N 4LSMM9NU >H[MR9S9;M4MSTH[9SH94MFM49
UHP4SHTJ4H/NP5XM4SH^9!8%"## % @A =7#5
\9>0MVi -! &3LSMJUMS\ +5#7??5&494HP4H390UHP4SHTJ4H/NP>/S>H4HN<
UH9;M4MS9NU LMH!@# =!@?5
\9>0MVi -! &3LSMJUMS\ +5 #7?"5 &/;M N/NYN/S;90TH[9SH94M
UHP4SHTJ4H/NP9NU 4LMHSR/4MN4H90>/S>/SMP49RR0H394H/N5(N4MSN94H/N90
bNH/N a/SMP4 IMPM9S3L 2S<9NHK94H/NP! m.( i/S0U ’/N:S/3MMUHN-Ha!lL9N<-!D9[HP’G5%$$%5X/UM0HN<4LMe/HN4UHP4SHTJ4H/N />4SMM
UH9;M4MSP9NU LMHa/SMP4&3HMN3M!!@"## % !? =A@5
-HNUP9V& I!i//U WI!i//0/NPI’5#77"5X/UM0HN<4LMUH9;M4MS
UHP4SHTJ4H/N />>/SMP4P49NUPJPHN<4LMFJSSUHP4SHTJ4H/N5G/JSN90/>
,RR0HMU &494HP4H3P!%8""# % "$7 ="%$5
&3LSMJUMS\+!\9>0MVi -5#7??5, JPM>J0TH[9SH94MUHP4SHTJ4H/N >/S
UMP3SHTHN4SMMLMH88"8# % !?# =!?@5
i9NUH9;M4MS9NU LMHi9NHN4S/UJ3HN<4LM0/#8$A =#8#85
!责任编辑6石红青"
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