全 文 ： 第 vz卷 第 x期u s s t年 | 月
林 业 科 学
≥≤Œ∞‘׌„ ≥Œ∂ „∞ ≥Œ‘Œ≤„∞
∂²¯1vz o‘²1x
≥ ³¨qou s s t
混沌动力学在森林工程中的应用初探
董 军 窦 邃
k西南林学院林业工程学院 昆明 yxsuuwl
摘 要 } 文中简述了混沌动力学的发展状况 o进一步以森林工程学为背景提出了诸如非线性森林工程动力
系统等概念及有关研究对象 !方法 o并通过一个简单的模型算例加以说明 o最后对混沌动力学在森林工程中的
应用提出了展望 ∀
关键词 } 混沌动力学及应用 o森林工程 o非线性森林工程动力学系统
收稿日期 }t|||2sz2uu ∀
ΣΤΥ∆ΙΕΣ ΟΝ ΤΗΕ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝ ΟΦ ΧΗΑΟΤΙΧ
∆ΨΝΑΜΙΧΣ ΙΝ ΦΟΡΕΣΤΡΨ ΕΝΓΙΝΕΕΡΙΝΓ
⁄²±ª∏± ⁄²∏≥∏¬
k Χολλεγε οφ Φορεστρψ Ενγινεερινγ o Σουτηωεστ Φορεστρψ Υνιϖερσιτψ Κυνµινγyxsuuwl
Αβστραχτ } ׫¨ §¨ √¨ ²¯³°¨ ±·¶²©·«¨ ¶·∏§¬¨¶²±¦«¤²·¬¦§¼±¤°¬¦¶¤µ¨ ¶¬°³¯¼¶∏°°¤µ¬½¨ §¬±·«¬¶³¤³¨µqƒ∏µ·«¨µ¶∏¦«
·«²∏ª«·¶¤¶±²±p ¬¯±¨ ¤µ§¼±¤°¬¦¶¶¼¶·¨°¶²©©²µ¨¶·µ¼ ±¨ª¬±¨ µ¨¬±ªo·«¨ ¶·∏§¬¨§²¥­¨¦·¶¤±§ °¨ ·«²§¶¤µ¨ §¬¶¦∏¶¶¨§o
¤±§²±¨ ¶¬°³¯¨ °²§¨¯¤µ¨ ¦²±¶¬§¨µ¨§qƒ¬±¤¯ ¼¯·«¨ ³²¶¶¬¥¯¨¤§√¤±¦¨ °¨ ±·¶²©·«¨ ¶·∏§¬¨¶²±·«¨ ¤³³¯¬¦¤·¬²± ²©¦«¤²·¬¦
§¼±¤°¬¦¶¬±©²µ¨¶·µ¼ ±¨ª¬±¨ µ¨¬±ª¤µ¨ °¨ ±·¬²±¨ §q
Κεψ ωορδσ} ≤«¤²·¬¦§¼±¤°¬¦¶¤±§¬·¶¤³³¯¬¦¤·¬²±oƒ²µ¨¶·µ¼ ±¨ª¬±¨ µ¨¬±ªo‘²± p ¬¯±¨ ¤µ§¼±¤°¬¦¤¯ ¶¼¶·¨°¶²©©²µ2
¶¨·µ¼ ±¨ª¬±¨ µ¨¬±ª
正当人类向 ut世纪迈进之时 o以非线性理论研究为中心的自然科学领域中正在发生着一次无比深
刻的科学革命 ∀zs年代出现在非线性科学领域内的混沌学正在科学的舞台上扮演着越来越重要的角
色 o正如混沌科学的倡导者之一  q≥«¯ ¶¨¬±ª¨µ所说 }/ us世纪科学将永远铭记的只有 v件事 o那就是相对
论 !量子力学与混沌 ∀0混沌是 us世纪物理学上第 v次最大的革命 o它与相对论及量子力学一样冲破了
‘¨º·²±力学的教规 ∀事实上 o相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想 o量子力学消除了关于可控测量
过程的 ‘¨º·²±的梦 o而混沌则消除了 ¤³¯¤¦¨ 关于决定论式可预测性的幻想k王东升等 ot||xl ∀以混沌
学为主题之一的非线性科学也因此而令人瞩目 o它们横跨于众多的学科间 o探索大自然中复杂的非线性
问题 o从不同的角度来揭示复杂自然现象中的规律性 ∀在发展的过程中 o混沌学思想的应用日益广泛 o
遍及力学 !天文学 !物理学 !生态学 !气象学 !生物学 !经济学 !电子学 !信息科学 o甚至音乐 !艺术等领域 ∀
混沌学在不同的学科领域中有不同的内涵 o这里所讨论的混沌是以非线性动力学混沌为基础 o具有
严格的科学定义 o并进一步以此为前提 o从森林工程科学的角度来进行讨论 o探索其在森林工程科学领
域中的应用及其发展前景 ∀
t 混沌动力学研究发展简述
混沌学的研究起始于本世纪 zs年代 o之后它以一种前所未有的广度和深度 o揭开了物理学 !数学乃
至整个现代科学发展的新篇章 o它将传统的确定论和概率论这两大科学体系相互联系起来 o促进了人类
对自然界复杂现象更深层次的认识 o揭示出一个形态和结构崭新的 !逼近于真实自然的物质运动世界 ∀
最近 us年来 o由于现代数学 !力学理论和计算机技术的飞速发展 o混沌学正迅速地发展并广泛地向其它
的学科渗透 o在科学的发展史上占据了举足轻重的地位 ∀
混沌学虽然起始于 zs年代 o但其渊源却可以追述到 t|世纪 ∀t|世纪的 ‘¨º·²±理论体系为 us世纪
科学的飞跃 ) ) ) 混沌学的创立准备了知识基础 ∀t|世纪 vs年代 o英国的数学物理学家 • q• q‹¤°¬¯·²±
引入了 ‹¤°¬¯·²±函数 o据此人们逐渐认识到在可积和不可积两类动力学系统中 o经典的 ‘¨º·²±理论实
际上是关于可积系统的理论 o而一般的动力学系统 o则都为不可积的 o这一认识是通向混沌大门的重要
一步 o因为混沌正是不可积系统的典型行为 ∀法国数学 !物理学家 ‹ q°²¬±¦¤µ¨被公认是真正发现混沌
的第 t位学者 o他以不可积的太阳系中的 v体运动为背景 o证明了周期轨道的存在性 o详细研究了周期
轨道附近流的结构 o发现了在所谓双曲点附近存在着无限复杂精细的/栅栏结构0 ∀他发现了 v体引力
相互作用能产生惊人的复杂行为 o确定性动力学方程的某些解有不可预见性 o这就是所谓的混沌动力学
现象 ∀但是由于当时的数学水平还不足以解决天体力学中的复杂问题 o因此 °²¬±¦¤µ¨曾致力于发展新
的数学工具 o他与¼¤³∏±²√一起奠定了微分方程定性理论的基础 ~为动力系统理论贡献了一系列重要概
念 o如动力系统 !奇异点 !极限环 !分岔 !稳定性 !同宿 !异宿等 ~提供了许多有效的方法和工具 o如小参数
展开法 !摄动方法 !°²¬±¦¤µ¨截面法等 ~他所创立的组合拓扑学是当今研究混沌学不可缺少的工具 ~现代
动力系统理论的几个重要的组成部分 o如稳定性理论 !分岔理论 !奇异性理论和吸引子理论等 o都发源于
°²¬±¦¤µ¨ 早期的研究 ∀
在 °²¬±¦¤µ¨ 之后 o一大批数学家和物理学家在各自的研究领域所做的出色工作进一步推动了混沌
动力学的发展 ∀ Š q⁄q…¬µ®«²©©在本世纪 us年代期间 o对 ‹¤°¬¯·²±微分方程组正则型求解 !不变环面的残
存等问题上及不可积系统的轨道特征 !遍历理论的研究都有重要贡献 ∀他在研究有耗散的平面环的扭
曲映射时 o发现了一种极其复杂的/奇异曲线0 o即为混沌学中的奇怪吸引子 ∀遍历理论在经过了长期的
积累之后也取得了重大的进展 o数学家们发现了不同层次的遍历性 o分别代表不同类型的复杂系统 ~同
时 o弄清了一批具体系统的遍历性和非遍历性 o并且建立了相应区分复杂系统和简单系统的定量判据 o
遍历理论最终成为了当今研究复杂系统的强有力的工具 ∀
在 us世纪 ws年代 o人们就从实际中发现 o一类有反馈回路的电子管线路 o可简化为受迫的 ∂¤± §¨µ
³²¯ 方程
§u ξ
§τu n κkξ
u p tl §ξ§τ n ξ € βϖꦲ¶k Ξτ n Αl ktl
当 κµ t时 o系统ktl能产生比外力周期 Τ€ uΠΞ大得多的周期振动 o例如有 wss倍周期 Τ的振动 o接着
人们又发现 o当 β参数改变时 o对某些 β值 oktl有两个不同周期的周期解 o当 β在另一些范围变化时 o
系统ktl时而有一个 o时而有两个稳定周期解 ∀这些现象首先引起了  qq≤¤µ·ºµ¬ª«·和q∞q¬·¯ º¨²²§
的注意 o在他们 t|wx年所发表文章中宣布ktl有许多有趣的性质 o例如当 ξ在某区间变化时 oktl 同时
有稳定的ku ν n tl Ξ和非稳定的ku ν p tl Ξ周期解 o系统 ktl 的非游荡集中有无穷多个周期解组成的集
合等 o也还有无穷多个非周期解组成的集合 o当时两个人的文章没有给出结果的证明 ∀
通过十多年的努力 o直到 t|zx年 q∞q¬·¯ º¨²²§发表了两篇文章 o每篇都长达 tss多页 o才最终证
明了他们所宣布的初步结果 ∀t|w|年 o‘q¨√¬±¶²±用分段线性函数代替ktl中的阻尼项 o将ktl改作等
价系统
Ε§
u ξ
§τu n 7 k ξl
§ξ
§τ n χξ € ⶬ±τ kul
其中 os  Ε t o接着又研究了方程
Ε§
u ξ
§τu n §ξ
§τ n Εξ € ⶬ±τ kvl
其中 o¿πkξl p 5kξl¿ ∃ o¿ξ¿Φ Σ o∃ € οk ¬¨³k p χΕu ll o5 € Θ
ξ
ο 统kvl ¨√¬±¶²±第 t个从数学上严格证明了当 β在ks otl中某个小区间上变化时 o若 s  Ε[ t okvl有无
穷多个周期解 o并且有任意大的周期解 ∀
tst 第 x期 董 军等 }混沌动力学在森林工程中的应用初探
随后在 xs年代和 ys年代 o¬·¯ º¨²²§又发表文章指出 oktl有稳定的 tt Ξ和非稳定的 ≥ Ξ周期解 o不
属于ku ν n tl Ξ与ku ν p tl Ξ的类型 o但直到 t|yv年 oktl 的解的全部结构如何 o都还不清楚 o其分岔与
混沌现象更是一无所知 ∀但不论如何 o上述作者关于方程ktl okul okvl所提供的张驰振子的研究 o为现
代微分动力系统理论的发展提出了刺激性的影响 ∀
t|yv年 o美国加利弗尼亚大学贝克利分校的动力系统专家 ≥ q≥°¤¯¨受到 ¨√¬±¶²±工作的启发 o为了
对 ¨√¬±¶²±等人的受迫 ∂¤± §¨µ³¯²方程的几何性质作数学描述 o构造了一个马蹄映射 o给出了具有无穷
多个周期点的结构稳定的微分同胚的第 t个例子 ∀马蹄映射是有一个具有不变的 ≤¤±·²µ集 q作为极限
集合 o并且映射 φ在 q上的作用等价于两个符号的 …¨ µ±²∏¯¯¬移位 ∀这充分说明了系统的随机性质 ∀
≥°¤¯¨马蹄映射揭示了事物的本质 o推动了动力系统复杂性研究的发展 ∀
在数学科学领域之外 o就在 t|yv年 o美国麻省理工学院的气象学家 ²µ¨±½教授在数值实验中发现 o
≥¤¯·½°¤±在 t|yu年提出的简化的对流模型虽然是一个完全确定的 v阶常微分方程组 o但在一定的参数
范围内却给出了非周期的看起来是很混乱的结果 o²µ¨±½揭示了一系列混沌运动的基本理论 o如确定性
的非周期流 !对初值的敏感依赖性 !长期行为的不可预测性 o从而发现了今天称之为 ²µ¨±½吸引子的典
型例子k图 tl ∀
图 t ²µ¨±½吸引子
ƒ¬ªqt ²µ¨±½ ¤·µ¤¦·²µ
ys年代初 o„µ±²¯§和 ²¶¨µ独离地研究 Ž²¯ °²ª²µ²√在 t|xw年考虑过的接近可积系统的高阶 ‹¤°¬¯·²±
系统 o证明了当今称之为 Ž„ 定理的著名结果 o被后人称之为发生在以保守系统为研究对象的混沌学
研究中第 t个重大突破 o是人们用微扰动方法处理不可积系统所取得的一个最成功的结论 ∀ Ž„ 定理
被国际混沌学界公认为该学科的第 t个开端 ~我国著名的混沌学者郝柏林院士称 Ž„ 定理是/ ‘¨º·²±
力学发展史上最重大的突破0k郝柏林 ot|{z ~t|{vl ∀混沌学研究的第 u大突破是发现了存在于耗散系
统中的混沌 o耗散系统在相空间中的体积元是收缩的 o这一突破是以5论确定性的非周期流6k²µ¨±½o
t|yvl及其后来的 v篇论文为代表k吴详兴等 ot||yl ∀接着 „µ±²¯§又在 t|yw年进一步发现了 ‹¤°¬¯·²±扰
动系统中的随机运动 ) ) ) „µ±²¯§扩散 ∀这是确定性保守系统随机性的重要结论 o同时 o法国天文学家
‹ ±¨²±等也发现了两自由度不可积 ‹¤°¬¯·²±系统的轨线随能量增大而越来越随机 ∀
/吸引子k¤·µ¤¦·²µl0一词应用于数学中已有 ws多年的历史 ∀早在 t|xx年 o一些微分方程教材和文
献中就引入过此概念 o用于描述非线性微分方程组的稳定平衡点 !极限环等 ∀粗略地说 o给定一个微分
方程定义的动力系统 o若在相空间中存在一个不变集合 o使其中的某个邻域的所有轨道都逼近于此不变
集合 o就称其为吸引子 ∀t|zt年 o• ∏¨¯¯¨和 פ®¨ ¶的文章首先引入了/奇怪吸引子0的概念k• ∏¨¯¯¨ ετ αλqo
t|ztl o是为了解释流体力学中湍流发生的机制而引进这个概念的 o在流体中 o湍流是最引人注目的自然
现象之一 o如江河湖海中的涡旋 o强大的龙卷风 o跳跃的火焰 o扭曲的彩云 o等都是湍流的例子 ∀ /湍流是
如何发生 ‚0这个问题是流体力学中百年未解决的难题 ∀• ∏¨¯¯¨和 פ®¨ ¶所引入的/奇怪吸引子0的概念
发展了对湍流的研究 o他们指出 o不是拟周期的周期运动描述了湍流 o湍流发生时 o流体力学体系的行为
ust 林 业 科 学 vz卷
非常象有限维的通有的可微动力体系 o湍流的产生对应于可微动力系统中出现的某种奇怪吸引子 o即一
种对初始条件极敏感的非拟周期的有界运动集合 ∀
t|zx年 ¬k李天岩l和 ≠²µ®¨ 发表了著名的/周期 v意味着混沌k¦«¤²¶l0的文章k¬ετ αλqot|zxl o第
t次对 t维映射给出了/ ≤«¤²¶0的精确的数学的定义 ∀从此 o/ ≤«¤²¶0一词被广泛使用于文献中 ∀t|zy年
生态学家 ¤¼在/自然0杂志上为一个描述种群增长的差分方程的复杂动力系统行为写了 t篇综述 o这
篇文章起了很大的宣传作用 ∀t|z{ ∗ t|z|年 oƒ ¬¨ª¨ ±¥¤∏°和 ≤²∏¯¯ ·¨等人独立地发现了 v倍周期分岔中
的标度性和普适性 o于是研究方向迅速融为一体 o混沌现象引起了广大数学 !物理 !化学 !生物学工作者
的关注 ∀
另一方面 o物理 !化学实验 !流体力学中的湍流实验以及数值计算机模拟进一步揭示了确定性系统
存在的类似随机性的混沌现象是无处不在的 ∀混沌并非只是一大堆数学现象 o而是一类新的刚被人们
认识的自然现象 o从而使得这类现象的研究很快成了数学物理研究中的热门 ∀
在混沌的研究中 o横截同宿现象是一个很重要的概念 o本世纪 us年代 …¬µ®«²©©曾潜心研究这个问
题 o他证明了 u维系统中的横截同宿点的每个邻域有无穷多周期轨道 o因此显示了一类新的复杂性 ∀ys
年代 o≥°¤¯¨等人对上述问题进行了更广泛的研究 o并证明了 ≥°¤¯¨p …¬µ®«²©©定理 }对某个适当大的整数
Νo横截同宿点的存在 o意味着在离散轨道的某些迭代式中存在 ≥°¤¯¨马蹄 o而马蹄是结构稳定的 ∀一些
专家认为 o≥°¤¯¨的发现 o对于今天人们理解动力系统复杂的非周期的混沌性质 o起着划时代的作用 ∀
zs年代 o…q¤±§¨ ¥¯µ²·创立了分形学并用分形的观点来描述相空间中的复杂图形 o为混沌学的研究
提供了新的几何工具 ∀随之而来的是吸引了许多理论及实验工作者纷纷加入了混沌学的研究 o从此混
沌学的研究逐渐进入了一个活跃的时代 ∀
在我国的物理学界 o以郝柏林院士为代表的一批科学工作者对分岔和混沌的数值研究作出了很大
的成绩 ~在数学界 o许多动力系统分支与混沌理论研究的专家在理论上作出了重要贡献 ∀t|{w年朱照
宣教授在5力学进展6k朱照宣 ot|{wl上和郝柏林院士在5物理学进展6k郝柏林 ot|{vl上发表的两篇综
述报告 ot|{v年在桂林召开的全国数学家 !物理学家 !力学家等共同参加的混沌学术会议 ot|{y年由昆
明理工大学承办了的全国分岔与混沌讲习班 o目前国内的一批分岔与混沌研究的学科带头人都参加过
这个讲习班的活动 ∀这以后 o类似的学术会议不断地举办召开 o有关分岔与混沌方面的学术论文不断地
涌现 o并且有一定数量的专著出版 o包含分岔与混沌研究的非线性科学还被列入了国家重大攻关项目和
攀登计划 ∀黄克累 ≠ 在文中论述了混沌研究的历史和现状 o并展望了发展前景 ~陈予恕在文k陈予恕 o
t||ul中系统地总结了我国学者在分岔与混沌研究方面取得的众多成果 ~徐建学在文k徐建学 ot||ul中
总结了非线性动力系统大范围分析方面取得的进展 ∀此外 o在应用方面 o随着理论研究的不断深入 o其
应用领域也在不断拓广 o如在通讯中的应用k吴详兴等 ot||yl !在化学反应动力学中的应用k李后强等 o
t||v ~唐 云 ot||ul !在生物系统中的应用k井竹君等 ot||u ~陈兰孙等 ot||vl !在经济学中的应用k吴详
兴等 ot||y ~黄登仕 ot||ul等 ∀
u 森林工程科学中的非线性问题与混沌动力学
复杂性是非线性科学理论共同研究的最基本的内容 o森林工程根据它所研究的对象 o存在着许多
的复杂现象 o吸引着人们去探索 ∀森林工程科学是一个很综合的学科 o通常包括森林的生态森林采伐 !
木材运输 !木材贮存等几个阶段 o它们之间相互联系 o构成一个很综合的非线性系统 o具体又涉及规划 !
工程工艺 !生产技术 !机械以及生态环境等 ∀
森林工程中的动力系统模型是十分丰富的 o从大的系统到小的系统 o在环境的控制参数的控制下 o
表现出十分丰富的变化过程 ∀例如 o任何一个生物群体 o都必须不断地进行/吐故纳新0 o这个群体才会
兴旺发达 o森林也是如此 ∀多年的实践证明了的抚育性采伐将促进森林的生长 o问题的关键在于如何进
vst
≠ 黄克累 q混沌研究的历史 !现状和展望 q成都 }全国第六届非线性振动学术会议综述报告 ot||u ∀
第 x期 董 军等 }混沌动力学在森林工程中的应用初探
行抚育性采伐 o才能不破坏伐区的生态 o从而保持各种生物群体的相对稳定 o而且还有助于林木的生长 o
进而实现森林资源的永续利用和可持续性发展 ∀如何进行抚育性采伐 ‚按照我们今天人类对大自然的
认识 o绝不再是多采几根或少采几根木头的问题 o而是牵扯到采伐工艺过程 !作业技术 !采伐强度和动力
噪音 !环境污染以及生物种群和种群之间的相互作用 !种群和环境之间的相互作用等等 o这些繁杂的错
综的关系就是非线性问题在自然界中的具体表现 o这些关系在随时间的变化而变化 o所构成的系统就称
为非线性森林工程动力系统 o或称为非线性森林工程演化系统 o混沌动力学则是研究非线性森林工程
动力系统的一类理论工具 o动力系统的主要目标是研究随时间的长期发展下 o系统的状态是如何改变和
演化的 ∀
又如 o木材贮存中的腐朽降等 o通常采用物理或化学方法进行防腐 o具体到一个区域 !一个场地 !一
个楞头 o对一定的树种 o具备多大的温度 !水份和空气含氧量最适合木腐菌的生存与繁殖 ‚如果把温度 !
水份和含氧量作为所考虑系统的控制参数 o在找到适合描述上述问题的数学模型方程 o则这就是一个完
整的非线性森林工程动力系统模型 o一般说来 o这样的模型往往是由偏微分方程组或常微分方程组构
成 o需要采用现代动力系统的研究方法 o如混沌动力学方法 o对它进行理论上的定性分析和定量数值计
算 o便可得到模型随控制参数演化的过程 o同时得到最佳的控制参数 o反过来还能够科学地指导生产 ∀
伐木工人的职业病之一/白手病0 o是由于常年在低温条件下受汽油的熏染和机械的振动而形成的 o这实
际上也是一个参数控制下的非线性森林工程动力系统问题 ∀
在上面所提到的各个方面 o都存在着复杂的非线性行为 o无疑要探索清楚这些问题 o将会促进整个
森林工程学的发展 o同时使人们能够在现代科学的基础上认识森林工程这个学科 ∀然而要真正地搞清
这些复杂的非线性问题 o仅靠单一的学科是无能为力的 o即使不同的学科专家坐在一起 o也是各说各的
理 o原因是问题和问题之间k即系统和系统之间l的相互作用是非线性的 o整体并不等于部分之和 ∀要对
上述问题给予解答 o必须建立描述系统整体行为的理论体系 o而这样的体系绝不是各分支学科的简单组
合和对接 o而必须用非线性理论来建立它们之间的联系 o从而揭示出森林工程学中研究对象的内在规
律 ∀
如果我们假设某个问题变量k例如 Ξl是时间 τ !具体点的空间坐标 ξ及某些相互联系的控制参数 κ
的函数 o则根据一定的守恒规则或基本原理 o就可得到描述问题背景的模型方程
Φkτ oξkτl oΞk ξ oτl oκl € s kwl
其中 oξ表示具体的空间坐标 o可以是 t维的 !u维的 !v维的 oΞ所考虑问题的变量 o可以是单个变量 o也
可以是多个变量 ~控制参数 κ可以是单个参数 o也可以是多个参数 ~这里 Φ可能是一个由变量组成的相
互耦合的偏微分方程组k°⁄∞¶l o也可能是一个常微分方程组k’⁄∞¶l ∀根据微分方程理论可知 o当上述
微分方程组在一定的初边值条件下 o便可构成一个完整的定解问题k数学模型l o它表达了该系统在一定
的参数控制下 o随时间的变化过程 o这就是一个动力系统模型 o有的文献中也称之为演化系统模型 ∀当
然模型可能会存在各种各样的解 o例如周期解 !非周期解 ∀我们主要关心kwl式在参数变化下 o其解的性
质的变化 ∀非线性科学理论解决这类问题提供了新的思维方式和解决问题的方法 ~分形理论则为揭示
复杂现象提供了一种新型的几何工具 ∀
下面的一个简单模型可以清楚地说明上述思想 ∀可持续性发展的研究是人类对自然资源利用的一
个新的辩证观点 o在森林工程科学中是一个重要的研究分支 ∀我们考虑如下某个林区一个理想的可持
续性发展动力学模型
§ξ
§τ € ξ≈ δt p kκtt ξ n κtu ψ n κtv ζl 
§ψ
§τ € ψ≈ δu p kκut ξ n κuu ψ n κuv ζl 
§ζ
§τ € ζ≈ δv p kκvt ξ n κvu ψ n κvv ζl 
kxl
其中 o以 ξ o ψo ζ分别表示某伐区内的林木密度 !森林的采伐强度 !森林中生存动物的分布密度 o可以看
wst 林 业 科 学 vz卷
出在这个系统中 o变量之间是相互制约 !相互影响的 o以 κιϕ表示ϕ类密度对 ι类密度的约束参数因子 oδι
为适当的参数 o这是一个类似于 ²·®¤p ∂²¯·¨µµ¤模型的问题 o∂¤±¦¨ 曾揭示了其解的分岔与混沌的特性
k陈兰孙等 ot||vl o本文取参数为
δt € δu € p δv € t qs oκtt € κtu € κuu € s qsst oκut € s qsstx
κtv € s qst oκuv € s qsst oκvt € p s qssx oκvu € p s qssx oκvv € s
时 o经过数值计算 o得到了如图 u和图 v所示的混沌现象 o和 ∂¤±¦¨ 等人的理论分析结果是一致的 o模型
说明当参数维持在一定的范围内时 o系统将是可持续发展的 ~若参数变化超过一定的范围 o例如人类的
采伐行为过大时 o系统将出现多个周期的恶性循环 o即混沌现象 ∀
图 u 解 ξkτl oψkτl oζkτl的波形图
ƒ¬ªqu ≥²¯∏·¬²± ²© ξkτl oψkτl oζkτl
图 v 模型混沌解图
ƒ¬ªqv ׫¨ ¦«¤²·¬¦¶²¯∏·¬²± ²©·«¨ °²§¨¯ kxl
v 结论与展望
通过上面的例子说明了非线性森林工程动力系统研究的意义和重要性 o同时也揭示了分形与混沌
在森林工程科学中的应用前景 ∀森林工程学科的界定 o国际虽未形成统一的说法 ∀但我国该领域的学
者对森林工程k也称森林作业科学与技术或林业工学l学科内涵的描述是恰如其分的 ∀那就是 o森林工
程是森林资源建设与保护 !开发与利用中的非生物工程 ∀其研究对象是作业者 !作业设备 !森林环境 !作
业环境 !交通通讯及其网络等等 ~其研究目标为寻求一种或几种适宜的作业方案k包括工程l o使得森林
作业活动在森林可持续发展和环境生态效益指标约束下 o获得最优或次优的社会经济效益 ∀森林工程
大的前导工序是森林采伐 o它是人类直接作用和影响森林生物群体的一道工序 ∀直观地说 o就是通过
采伐 o把有生命的森林中的一部分树木使其死亡来服务于人类 ~由于部分生命的死亡 o反而使活着的生
命更好 o更健壮 o这就是森林资源的永续利用和可持续发展 ∀
生命现象远比物理 !力学现象要复杂得多 o它是包含有物理 !力学现象且还含有更复杂事物的一类
现象 ∀因此生命科学如果只停留在定性的研究水平上是不够的 o从定性研究发展到定量的研究 o是科学
发展的必然规律 ∀一门科学只有当它充分利用数学工具时才算发展到了比较完善的阶段 ∀一棵不采 o
不是科学 ~无限量地采伐下去 o更不是科学 ∀森林工程学的目的是如何利用科学采伐使森林越采越多 !
越采越好 o这就要用非线性森林工程动力系统的理论及有关数学工具来探讨生命科学中的混沌动力学
xst 第 x期 董 军等 }混沌动力学在森林工程中的应用初探
现象 ∀
诚然 o混沌动力学是探索复杂性的一种有效的方法 o但问题的关键还在于如何建立准确反映实际问
题背景的数学非线性森林工程动力系统模型 o这需要用到多学科知识的交叉 o这里面存在着相当多的问
题有待于人们进一步去探索 ∀有了完整的数学模型后 o就可以利用解决动力系统的一系列现代数学方
法 !计算机仿真方法等工具来分析系统 o找到其出现定性性质突变或分岔的参数点 o通向混沌的关键参
数值 o深刻分析这些参数的实际背景及意义 o从而对实际的生产作业等的给予理论上的指导 ∀我们相
信 o经过科学工作者的不断探索和努力 o数年前周恩来总理所提出的/越采越多 o越采越好 o青山常在 o永
续利用0的遗愿一定会得到实现 ∀
参 考 文 献
陈兰孙 o陈 键 q非线性生物动力系统 q北京 }科学出版社 ot||v oxv ∗ tts
陈予恕 q非线性振动 q分岔和混沌理论及应用 q振动工程学报 ot||u okvl
井竹君 o林怡平 q分岔理论在高维生物模型中的应用 q数学的实践与认识 ot||u okwl
郝柏林 q牛顿力学三百年 q科学 ot|{z ov|kvl
郝柏林 q分岔 o混沌 o奇怪吸引子 o湍流及其它 ) ) ) 关于确定系统中的内在随机性 q物理学进展 ot|{v okvl }v|u ∗ v|y q
黄登仕 q非线性经济学中的混沌和分形 o大自然探索 ot||u otskvzl
李后强 o汪富泉 q分形理论及其在分子科学中的应用 q北京 }科学出版社 ot||v ox{ ∗ {s
唐 云 q分岔理论方法在化学反应器研究中的应用 q数学的实践与认识 ot||u okvl
王东升 o曹 磊 q混沌 !分形及其应用 o中国科技大学出版社 ot||x ot ∗ uw
吴详兴 o陈 忠 q混沌学导论 q上海科学技术文献出版社 ot||y ot ∗ xy
徐建学 q非线性动力系统大范围分析 o见 }舒仲周主编 q稳定 !振动 !分岔与混沌研究 o中国科学技术出版社 ot||u oy ∗ tx
朱照宣 q非线性力学中的混沌 q力学进展 ot|{w okul
¬× ≠ ¤±§ ≠²µ®¨  „ q°¨ µ¬²§·«µ¨¨¬°³¯¬¨¶¦«¤²¶q„° q ¤·«q ²±·«¯¼ qt|zxk{ul }|{x ∗ ||u
• ∏¨¯¯¨ ⁄¤±§×¤®¨ ±¶ƒ q ’±·«¨ ±¤·∏µ¨ ²©·∏µ¥∏¯ ±¨¦¨ q≤²°°²±q¤·«q°«¼¶qt|zt okusl }tyz ∗ t|u okuvl }vwv ∗ vww
展示独特魅力 促进行业发展
欢迎订阅5林业机械与木工设备6月刊杂志
5林业机械与木工设备6是 t|yy年于北京创刊的国家级专业技术指导性刊物 ∀ 5林业机械与木工设
备6月刊以/传播可靠信息 !提供实用技术 !推广最新成果 !沟通产销渠道0为己任 o热情欢迎行业内外作
者为本刊撰稿 ~诚恳希望广大读者多提宝贵意见 ~殷切期盼厂家利用这块园地 o刊登广告 !宣传产品 o以
扩大影响 o增加效益 ∀
5木业机械与木工设备6为大 ty开本 o国内外公开发行 o每期定价 x元 o全年 ys元 o由各邮局征订
k邮发代号 tw p zwl ~如在当地邮局错过订期 o也可将款直接汇到编辑部 o由编辑部邮发 ∀
汇款方法 }由邮局汇款 o请寄哈尔滨学府路 vzw号ktxss{yl5林业机械与木工设备6编辑部收k电话
swxt p yyyvsut ~传真 }yy{stwsl ~由银行汇款 o请汇户名 }国家林业局哈尔滨林业机械研究所 o开户行 }工
商行哈尔滨和兴支行 o帐号 }wuts{|twy p wx ∀
yst 林 业 科 学 vz卷