讨论了在木材工业计算机集成制造系统中抽象出的一类含不确定因素的非线性系统的鲁棒渐进跟踪问题,其中的未知参变量是时变的,且取值于一紧集Ω上。当未知参变量以线性和非线性形式出现时,给出了鲁棒渐进跟踪问题的自校正控制器的设计。
In this paper, the problem of nonlinear systems robust tracing containing uncertain diathesis, which abstracted from Computer Integrated Manufacturing Systems (CIMS) in wood industry was discussed. Where, unknown parameters taken value from a compact set Ω are time-varying. Furthermore, self-tuning controller of a robust tracking problem is given when unknown parameters appear both linear and nonlinear style.
全 文 ：第 v|卷 第 u期
u s s v年 v 月
林 业 科 学
≥≤∞× ≥∂ ∞ ≥≤∞
∂²¯1v| o²1u
¤µqou s s v
一类含不确定因素的非线性系统鲁棒跟踪
周玉成 程 放 肖天际 杨建华
k中国林业科学研究院木材工业研究所 北京 tsss|tl
摘 要 } 讨论了在木材工业计算机集成制造系统中抽象出的一类含不确定因素的非线性系统的鲁棒渐进
跟踪问题 o其中的未知参变量是时变的 o且取值于一紧集 8 上 ∀当未知参变量以线性和非线性形式出现时 o
给出了鲁棒渐进跟踪问题的自校正控制器的设计 ∀
关键词 } ¼¤³∏±²√函数 o鲁棒渐进跟踪 o非线性不确定系统 o控制器
收稿日期 }ussu p sz p s| ∀
基金项目 }中国林科院特殊人才基金 !/十五0攻关基金 !科技部基金资助课题 ∀
Ρ ΟΒΥΣΤ ΑΣΨΜΠΤΟΤΙΧ ΤΡΑΧΙΝΓ ΟΦ Α ΚΙΝ∆ ΟΦ ΝΟΝΛΙΝΕΑΡ ΣΨΣΤΕΜΣ
ΧΟΝΤΑΙΝΙΝΓ ΥΝΧΕΡΤΑΙΝ ∆ΙΑΤΗΕΣΙΣ
«²∏≠∏¦«¨ ±ª ≤«¨ ±ªƒ¤±ª ÷¬¤² ׬¤±¬ ≠¤±ª¬¤±«∏¤
k Τηε Ρεσεαρχη Ινστιτυτε οφ Ωοοδ Ινδυστρψo ΧΑΦ Βειϕινγtsss|tl
Αβστραχτ } ±·«¬¶³¤³¨µo·«¨ ³µ²¥¯ °¨ ²©±²±¯¬±¨ ¤µ¶¼¶·¨°¶µ²¥∏¶··µ¤¦¬±ª¦²±·¤¬±¬±ª∏±¦¨µ·¤¬±§¬¤·«¨¶¬¶oº«¬¦«¤¥¶·µ¤¦·¨§
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Κεψ ωορδσ} ¼¤³∏±²√ ©∏±¦·¬²±o²¥∏¶··µ¤¦®¬±ªo²±¯¬±¨ ¤µ∏±¦¨µ·¤¬±¶¼¶·¨°o≤²±·µ²¯¯¨µ
从木材工业计算机集成制造系统中 o我们抽象出一类含不确定因素的多变量非线性不确定系统 }
¾ξ φkξl n θk ξ oΗkτll n ≈ γk ξl n γkξl Θk ξ oΗkτll υ ψ ηk ξl o
此为系统kt1tl ∀其中 }状态变量 ξ Ι Ρν o输入 υ Ι Ρ o输出 ψ Ι Ρ o未知参变量 Ηkτl为时变的 !分段连续
的 o且取值于一紧集 8 上 oφk ξl和 γk ξl为标称或未被扰动的解析向量 o且 γk ξl Ξ s o对 Π ξ Ι Ρν oηk ξl
是 Ρν 上的实函数 oΘkξ oΗl是定号非零函数 o即有 }Θk ξ oΗkτll s或 Θk ξ oΗkτll s o对 Π ΗΙ 8 oξ Ι
Ρν o假设 θkξ oΗkτll为向量函数 o并且和函数 Θk ξ oΗkτll包含了系统的所有不确定性 ∀
我们的控制目的就是寻找一个光滑的半全局k局部l状态反馈控制器 o使得对于给定的理想输出 ψδ
有 ¬¯°
n ψ ]
kψp ψδl s o同时保证闭环系统是有界的 o且对于 Π ΗΙ 8 都成立 ∀
对于这类问题的研究 o周玉成等kt||y ~t||z ~t||{α~t||{βl已经做了一些工作并取得了一些有益的
结果 ∀ ≤²µ¯¨ ¶¶等kt|{tl在严格匹配条件的假设下得出了一些早期的结果 ∀ ¤±¨ ¤¯®²³²∏¯²¶等kt||tα ~
t||tβ ~t||vl在扩展匹配条件下给出未知参变量为常数时扩展的直接控制方法 o又在参数严格反馈条件
下 o讨论了未知参变量为常数时的不确定非线性系统 o并给出了自适应控制器的系统设计方案kƒµ¨ °¨¤±
ετ αλqot||v ~¶¬§²µ¬ot|{|l ∀但是 o按上述方法设计的控制器 o存在如下的具体问题 }
抽象出的系统模型不能保证其标称系统反馈线性化的条件必须是 Θ ν ~
所设计的鲁棒控制器沿某些曲线 o当 + ξ + ψ ] o局部反馈增益 9υ9ξν ψ ] o即鲁棒控制器失效 ~
当系统中未知参变量为时变的且取值于未知紧集上时 o系统的鲁棒跟踪控制问题将不再成立 ∀
因此 o本文所讨论的含不确定因素的非线性系统并不要求未知参变量必须是常数 o即 }未知参变量
为时变的 o且可以非线性形式出现 o同时并不要求满足匹配条件或扩展匹配条件 ∀所以 o讨论的不确定
性更具有一般性 ∀最后给出的具有优良的/软0性品质的鲁棒调节器的设计方法 o克服了当 + ξ + ψ ] o
沿某些曲线 o局部反馈增益 o9υ9ξν ψ ] 的失控情况 ∀
t 基本知识和条件
下面将给出本文要用到的一些条件和知识 ∀
考虑系统ku1tl }
¾ξ φkξl n γk ξl υ ψ ηkξl ∀
假设 u qt }存在 ν p Θ个光滑函数 ⊥5 ιk ξl oΘn t [ ι [ ν使得坐标变换ku1ul
ζt ηkξl ζu Λφηkξl , ζΘ ΛΘptφ ηkξl ζι ⊥5 ιkξl oΘn t [ ι [ ν o
是局部微分同胚变换 o使系统ku qtl变为ku1vl
¾ζt ζu ¾ζιpt ζι oι v o, oΘ ¾ζΘ αkζl n βkζl υ ¾ζρ 5skψoζρl ψ ζt
其中 βkζl Λγ ΛΘp tφ ηk ξl Ξs o对 Π ξ Ι Ρν oζρ kζΘn t o, oζνlΤ ∀
假设 u qu }存在 ν p Θ个光滑函数 ⊥5 ιk ξl oΘn t [ ι [ ν使得坐标变换ku qul为全局微分同胚变换 o且
使系统ku qtl全局变为ku qvl ∀
引理 u qt }k证明见 ¤±¨ ¯¯¤®²³²∏¯²¶ετ αλqot||tl考虑系统kt qtl o如果假设 u qt成立 o且 θk ξ oΗl Επ
ι t
Ηι
kξlθιk ξl ~π t ou o, oν ~参数严格反馈条件
≈ ξ oθϕ Ι γϕ oΠ ξ Ι γϕ os [ ϕ [ Θp u o
此为系统ku1wl o其中对合分布 γϕ Σπ¾γ oαδφγ o, oαδϕφγÀ os [ ϕ[ Θp u成立 o那么系统kt qtl局部等
价于ku1xl
¾ζϕ ζϕnt n Ε
π
ι t
Ηιkτl 5ϕoιkζt o, oζϕ oζρlϕ t ou o, oΘp t
¾ζΘ αkζl n Ε
π
ι t
Ηιkτl 5Θoιkζl n cβkζ oΗl υ k¤l
¾ζρ 5skψoζρl n Ε
π
ι t
Ηιkτl 5ιkψoζρl k¥l
ψ ζt ∀ k¦l
引理 u qu }k证明见 ¤±¨ ¯¯¤®²³²∏¯²¶ετ αλqot||tl考虑系统kt qtl o如果假设 u qu成立 o且 θk ξ oΗl Επ
ι t
Ηι
kτlθιkξl ~参数严格反馈条件ku qwl成立 ~那么系统kt qtl可全局等价于式ku qxl ∀
引理 u qv }k证明见 ¤±¨ ¯¯¤®²³²∏¯²¶ ετ αλqot||tl考虑系统kt qtl o如果假设 u qt成立 ~参数严格反馈条
件ku qwl成立 o那么系统kt qtl局部等价于ku1yl
¾ζϕ ζϕnt n 5ϕkζt o, oζϕ oζρ oΗkτll ϕ t o, oΘp t¾ζΘ αkζl n 5Θkζ oΗkτll n cβkζ oΗkτll υ
¾ζρ 5skψy oζρl n 5kψoζρ oΗkτll
ψ ζt ∀
引理 u qw }k证明见 ¤±¨ ¯¯¤®²³²∏¯²¶ ετ αλqot||tl考虑系统kt qtl o如果假设 u qu成立 ~参数严格反馈条
件ku qwl成立 o那么系统kt qtl可全局等价于式ku qyl ∀
为了方便讨论系统kt qtl的局部鲁棒跟踪问题 o我们对式ku qxl和式ku qyl的 ζρ2子系统给出如下假
设 ∀
假设 u qv }系统ku qxl和ku qyl的 ζρ2子系统是以 ψ为输入的局部输入 p输出有界的 ∀
对于所要跟踪的理想输出 ψδ o我们给出如下假设 ∀
假设 u qw }理想输出 ψδ 以及它的前 Θ次导数是有界的 o且 ψδ 为时间 τ的已知函数 ∀
tvt 第 u期 周玉成等 }一类含不确定因素的非线性系统鲁棒跟踪
u 鲁棒自校正控制器的设计
本节讨论当未知参变量 Ηkτl以线性形式出现 o且在一未知紧集 8 上取值时的鲁棒跟踪问题的解 o
通过选择适当的 ¼¤³∏±²√函数 o给出了局部鲁棒跟踪控制器的设计 ∀
定理 v qt }考虑系统kt qtl o如果假设 u qu ou qv成立 o且 θk ξ oΗkτll Επ
ι t
Ηιkτlθιkξl oΘkξ oΗkτll关于
Η有界 o理想输出 ψδ 满足假设 u qw ~参数严格反馈条件ku qwl成立 ~参变量 Ηkτl Ι 8 o一未知紧集上 o那么
存在一鲁棒跟踪自校正控制器 o使得闭环系统的所有信号有界 o且 ¬¯°
n ψ ]
kψp ψδl s o对所有在 Ρν n Θπ的初
始值都成立 ∀
证明 }因为系统kt qtl满足假设 u qu o且参数严格反馈条件ku qwl成立 o由引理 u qu知 o系统kt qtl全局
等价于式ku qxl ∀
首先考虑子系统ku qxαl o通过构造适当的 ¼¤³∏±²√函数 o给出其自校正控制器的设计 ∀
≥·¨³s }令 cζt ζt p ψδ ~
≥·¨³t }定义 ¼¤³∏±²√函数 }ςtkcζtl tu
cζut n tu
hΛut o其中 hΛt Λt p ⊥Λt oΛt 为适当的未知常数 o⊥Λt 为待
定的自校正连续函数 ∀
令 cζu ζu p ζ 3u o其中 ζ 3u 为待定的光滑函数 o那么子系统ku qxαl的第一个方程表示为
cζ# cζu n ζ 3u n Ε
π
ι t
Ηιkτl 5t oϕkcζt p ζρl p ¾ψδ ∀
令 ζ 3u p χtcζt p σtkcζt oζρ o⊥Λtl n ¾ψδ o其中 χt 为大于 s的常数 oσt 为待定的光滑函数 ∀则 ¼¤³∏±²√
函数的时间导数为 }
¾ϖt p χtcζut n cζtcζu p cζt σt p Ε
π
ι t
Ηι 5t oι p ⊥Λ
# k Λt p ⊥Λtl ∀
因 ΗΙ 8 o一未知紧集上 o故可找到未知常数 Λt s o和光滑函数 Αtkcζt oζρl o使得 }
Ε
π
ι t
Ηιkτl 5t oι [ Λt Αtkcζt oζρl ∀
选择设计常数 ∃ s ok在本定理的最后将给出 ∃的选择l o令 σt 和 ⊥Λt 分别满足如下条件 }
⊥Λ
#
t cζt Αtkcζt oζρl
σtkcζt oζρ o⊥Λtl
¿⊥Λt ¿Αtkcζt oζρl oº«¬¯¨cζt ∴ ∃
σstkcζt oζρ o⊥Λtl oº«¬¯¨p ∃ [ cζt ∃
p¿⊥Λt ¿Αtkζt oζρl oº«¬¯¨cζt p ∃
其中 σst 的选择为了保证 σt 是光滑函数 ∀
此时 ¼¤³∏±²√函数的导数为 }
¾ςt [ p χtcζut n cζtcζu p cζt σt n cζt Λt Αt p cζt Λt Αt n cζt ⊥Λt Αt
p χtcζut n cζtcζu p cζtkσt p ⊥Λt Αtl ∀
当 cζu s时 o显然有 ¾ςt s o其中¿cζt¿∴∃ o故可以对 ςt 再加上一项 tu
cζuu 以补偿到 cζu s的距离 o这种方
法也就是 ¤µ¬±²和 ײ°¨ ¬kt||vl曾用的构造方法 o但是这种方法可能会使局部反馈增益 9υ9ζΘ沿某些曲线
当 + ζ+ ψ ] 时趋于无穷 ∀事实上 o当 cζu Ξs时 o如 cζtcζu [ s且¿cζt¿∴∃时 o仍有 ¾ς s o利用这一点 o可以
在 cζtcζu p平面上设计一个新的目标域 o使 ¾ς在其上是负的 o那么新的 ¼¤³∏±²√函数可由 ςt 加上一项用
来补偿到新的目标域的距离得到 o而不是补偿到流形 cζu s的距离而得到 ∀这样做 o就能克服局部反馈
uvt 林 业 科 学 v|卷
增益趋于无穷的问题 ∀
新的目标域是通过选择光滑的正定函数 ρnt kcζtl和光滑的负定函数 ρpt kcζtl来设计的 o目标域为 }
Α ¾kcζt ocζul }¿cζt ¿∴ ∃ oρpt kcζtl [ cζu [ ρnt kcζtlÀ ∀
图 t 边界函数
ƒ¬ªqt
²µ§¨µ©∏±¦·¬²±
如图 t所示 o其中的 ρnt kcζtl和 ρpt kcζtl叫做边界函数 o它们满
足下面的条件
目标条件 }对 Πkcζt ocζul Ι Α存在正定函数 Ωtkcζtl o使得 ¾ς [ p
Ωtkcζtl ∀
技术条件 }对 Π¿cζt¿ ∃有 ρnt kcζtl ∃ oρpt kcζtl p ∃∀由于
边界函数 ρnt 和 ρtp总是存在的k≤²µ¯¨ ¶¶ ετ αλqot|{tl o因此可以进行
下一步 ∀
≥·¨³u }定义 ¼¤³∏±²√函数
ςukcζt ocζul ςtkcζtl n Νukcζt ocζul n tu
hΛuu o
其中 hΛu Λu p ⊥Λu oΛu 为大于 s的常数 o⊥Λu 为待定的连续自校正函
数 o且当kcζt ocζul Ι Α时 ⊥Λu 为常数 ∀ Νu 定义如下
Νukcζt ocζul
t
u k
cζu p ρnt kcζtllu oº«¬¯¨cζu ρnt kcζtl
s o º«¬¯¨ ρpt [ cζu [ ρnt
t
u k
cζu p ρpt kcζtllu oº«¬¯¨cζu ρpt kcζtl
令 cζv ζv p ζ 3v o其中 ζ 3v 为待定的光滑函数 ∀我们的目的是设计 ζ 3v 使得当 cζv s时 oςu 的时间导
数在区域 ΑoΒ oΧ上是负的 o但是在域 ∆ ¾kcζt ocζul }+kcζt ocζul + ] ∃À上 o¾ςu 的符号可能是不定的 ∀
在域 Α上 o由目标条件知 }
¾ςu ¾ςt [ p Ωtkcζtl ∀
在域 Β上 o考虑到当¿cζt¿∴∃ ocζu ρnt kcζtl时 o有 ¾ς [ p Ωtkcζtl o从而在 Β上 o当¿cζt¿∴∃时 o可以写
成 ¾ςtkcζtl [ p Ωtkcζtl n cζtkcζu p ρnt l o由此可得
¾ςu [ p Ωtkcζtl n kcζu p ρnt l cζt n cζv n ζ 3 Βv n Ε
π
ι t
Ηι 5u oι p
9 ζ 3u
9 ζt n
9 ρnt
9 ζt ζu n Ε
π
ι t
Ηι 5t oι p 9 ζ
3
u
ψδ
&ψδ n 9 ρ
n
t
9 ζt
¾ψδ p ⊥Λ
#
uk Λu p ⊥Λul ∀
因 ΗΙ 8 o一未知紧集 o故可找到未知常数 Λu o¿Ηι¿[ Λu oι t o, oπ o和光滑函数 Αukcζt ocζu oζρl o使得
Ε
π
ι t
Ηι 5u oϕ n 9 ζ
3
u
9 ζt n
9 ρnt
9 ζt Ε
π
ι t
Ηι 5t oι [ Λu Αu ∀
令
⊥Λ
# Β
u kcζu p ρnt lΑu o
ζ 3 Βv p cζt p χucζu p σΒu kcζt ocζu oζρl n 9 ζ
3
u
9 ζt n
9 ρnt
9 ζt kζul n
9 ζ 3u
9¾ψδ
&ψδ p 9 ρ
n
t
9 ζt
¾ψδ ∀
其中 oχu s oσΒu ¿⊥ΛΒu¿Αu ∀所以在域 Β上 o当¿cζt¿时有¾ςu [ p Ωtkcζtl p χucζukcζu p cρnt l n cζvkcζu p ρnt l ∀
故可知在 Β上 o当¿cζt¿∴∃ ocζv s时 o有 ¾ςu s ∀
下面考虑在 Β上 o当¿cζt¿ ∃ ocζu ∴∃时的情况 o选择上面的 ζ 3 Βu o则可得到
¾ςu [ p χtcζut n Κt p χucζukcζu p ρnt l n cζvkcζu p ρnt l o
vvt 第 u期 周玉成等 }一类含不确定因素的非线性系统鲁棒跟踪
其中 Κt ∴s o由上面的技术条件 o即关于 ρnt 的假设知 o当¿cζt¿ ∃ ocζu ∴∃时有 cζukcζu p ρnt l s o故可选择
足够大的 Χt o Χu 使得 ¾ςu s ∀
最后考虑在域 Χ上 o¼¤³∏±²√函数 ςu 的时间导数的符号 ∀与在 Β上的情况类似 o令
⊥Λ
# χ
u kcζu p ρpt lΑu o
ζ 3 χv p cζt p χucζu n 9 ζ
3
u
9 ζt n
9 ρpt
9 ζt ζu n
9 ζ 3u
9¾ψδ
&ψδ p 9 ρ
p
t
9 ζt
¾ψδ p σχukcζt ocζu oζρl o
σχu p¿⊥Λχu ¿Αu o
从而有 ¾ςu s o其中kcζt ocζul Ι Χ∀
由于域 Β和 Χ之间的距离是严格正数 o故可选择一个能同时表示 ζ3 Βu 和 ζ 3 χu k分别在 Β和 Χ上l的
光滑函数 ζ 3u kcζt ocζu o⊥Λt o⊥Λul o使得 ¾ςu 在 Α!Β !Χ上 o当 cζv s时为负的 ∀
≥¨ ·³v }选择边界函数 ρnu kcζt ocζul和 ρpu kcζt ocζul定义新的目标域 Αχ如下 }
Αχ ¾kcζt ocζu ocζvl }+kcζt ocζu ocζvl + ] ∴ ∃且 ρpu kcζt ocζul [ cζv [ ρnu kcζt ocζulÀ o
其中 ρnu 为正定的光滑函数 oρpu 为负定的光滑函数 o且满足以下条件 }
目标条件 }对 Πkcζt ocζu ocζvl Ι Αχ o存在正定函数 Ωukcζt ocζul o使得 ¾ςu [ p Ωukcζt ocζul ∀
技术条件 }对 Π +kcζt ocζul + ] ∃ o有 }ρnu ∃ oρpu p ∃ o满足以上条件的边界函数 ρnu oρpu 总是存
在的k≤²µ¯¨ ¶¶ ετ αλqot|{tl ∀
定义 ¼¤³∏±²√函数如下
ςvkcζt ocζu ocζvl ςukcζt ocζul n Νtkcζt ocζu ocζvl n tu
hΛuv o
其中 hΛv Λv p hΛv oΛv 为一未知常数 ohΛv 为待定的校正连续函数 o且当kcζt ocζu ocζvl Ι Α时 o⊥Λv 为常数 ∀
Νv kcζt ocζu ocζvl
t
u k
cζv n ρnu lu oº«¬¯¨ ρnu cζv
s o º«¬¯¨ ρpu [ cζv [ ρnu
t
u k
cζv p ρpu lu oº«¬¯¨cζv ρpu
令 cζw ζw p ζ 3w ocζ 3w o为待定的光滑函数 ∀
该步的目的是设计光滑函数 ζ 3w o使得当 }+kcζt ocζu ocζvl + ] ∴∃ ocζw s时 o¾ςv s o函数 ζ 3w 的设计方
法与 ≥·¨³u的方法相同 o此处不再重复 ∀
≥·¨³ ι okι w o, oΘp tl
¶·¨³ ι的设计与上面的方法相同 o故略去 ∀下面给出 ≥·¨³ Θ的设计 ∀
假设已经由上面的方法定义了 ¼¤³∏±²√函数 }ςΘp t kcζt o, ocζΘp tl并且选取了适当的光滑函数 oζ 3Θ
kcζt o, ocζΘp t o⊥Λt o, o⊥ΛΘp t o¾ψδ o, oψΘp tδ l和未知常数 Λι 以及校正函数 ⊥Λιkι t o, oΘp tl o使得在域
∆Θpv ¾kcζt o, ocζΘptl }+kcζt o, ocζΘptl + ] ∃À
以外的区域上 o当 cζΘ cζΘ p ζ 3Θ s时有 ¾ςΘp t s ∀
下面给出该步的具体设计 ∀选择边界函数 ρnΘp tkcζt o, ocζΘp tl和 ρpΘp tkcζt o, ocζΘp tl定义目标域 ΑΘp u
ΑΘpu ¾kcζt o, ocζΘl }+kcζt o, ocζΘl + ] ∴ ∃ +ρpΘpt [ cζΘpt [ cζΘ [ ρnΘptÀ o
其中 ρpΘp t为光滑的负定函数 oρnΘp t为正定的光滑函数 o这样的边界函数也总是存在的k≤²µ¯¨ ¶¶ ετ αλqo
t|{tl o且必须以下条件
目标条件 }对 Πkcζt o, ocζΘl Ι ΑΘp u o存在正定的函数 ΩΘp tkcζt o, ocζΘp tl o使得 ¾ςΘp t [ p ΩΘp t ∀
技术条件 }对 Π +kcζt o, oζΘp tl + ] ∃ o有 ρpΘp t p ∃ oρnΘp t ∃∀
定义 ¼¤³∏±²√函数 ςΘkcζt o, ocζΘl ςΘp tkcζt o, ocζΘp tl n ΝΘkcζt o, ocζΘl n tu
hΛΘ o
wvt 林 业 科 学 v|卷
其中 hΛΘ ΛΘ p ⊥ΛΘ oΛΘ为一未知大于零的常数 o⊥ΛΘ为待定的自校正连续函数 o且在 ΑΘp u上的取值为常
数 ∀
ΝΘkcζt o, ocζΘl
t
u k
cζΘ p ρnΘptlu oº«¬¯¨cζΘ ρnΘpt
s o º«¬¯¨ ρpΘpt [ cζΘ [ ρnΘpt
t
u k
cζp ρpΘptlu oº«¬¯¨cζΘ ρpΘpt
下面设计控制 υ ζ3Θn t o使得在域 ΑΘp t oΒΘp t和 ΧΘp t上有 ¾ςΘ s ∀在目标域 ΑΘp u上 o由目标条件知 }¾ςΘ ¾ςΘp t s o并且对任意的 ζ 3Θn t在 ΑΘp u上都有 ¾ςΘ [ p ΩΘp t ∀在域 ΒΘp u上 o考虑到当 +kcζt o, ocζΘp tl
+ ] ∴∃ ocζΘ ρnΘp t时 o有 ¾ςΘn t [ p ΩΘp t o故在 ΒΘp t上 o当 +kcζt o, ocζΘp tl + ] ∴∃时 o有 ¾ςΘp t [ p ΩΘp t ncζΘp tkcζΘ p ρnΘp tl ∀由此可知当 +kcζt o, ocζΘp tl + ] ∴∃时 o在 ΒΘp u上 o有
¾ςΘ [ p ΩΘpt n kcζΘ p ρnΘptl cζΘpt n αkζl n cβkζ oΗl υ n Ε
π
ι t
Ηι<Θoι p
ΕΘ
pt
ϕ t
9 ζ 3Θ
9 ζϕ ζϕnt n Ε
π
ι t
Ηι 5ϕoι p ΕΘι u
9 ζ 3Θ
9 ψιptδ ψ
kιl
δ p 9 ρ
n
Θpt
9 ζt ζu n Ε
π
ι t
Ηι 5ρoι p ¾ψδ p
ΕΘ
pt
ι u
9 ρnΘpt
9 ζι ζιnt n Ε
π
κ t
Ηκ 5ι oκ p Ε
ι
κ t
9 ζ 3ι
9 ζκ ζκnt n Ε
π
ϕ t
Ηϕ5 κoϕ p ⊥Λ
#
Θk ΛΘ p ⊥ΛΘl o
其中 ζ 3t s ∀
因为 ΗΙ 8 o一未知紧集 o故可找到一未知的常数 ΛΘ o¿Ηι¿[ ΛΘ oι t o, oπ o和一光滑函数 ΑΘkcζt o
, ocζΘl o使得
Ε
π
ι t
Ηι 5Θoι n ΕΘ
pt
ϕ t
9 ζ 3Θ
9 ζϕ Ε
π
ι t
Ηι 5ϕpt n 9 ρ
n
Θpt
9 ζt Ε
π
ι t
Ηι 5ρoϕ n
ΕΘ
pt
ι u
9 ρnΘpt
9 ζι Ε
π
κ t
Ηκ 5ι oκ p Ε
ι
κ t
9 ζ 3ι
9 ζκ Ε
π
ϕ t
Ηϕ5 κoΝ [ ΛΘΑΛ
设计控制器 νΒ ζ 3Θn t如下 }因为 Θk ξ oΗl为定号非 s函数 o且关于 Η有界 o故存在非 s函数 ⊥βkζl o使
得¿cβkζ oΗl¿[ ⊥βkζl o对 Π ΗΙ 8 ∀
令
υΒ ζ 3 ΒΘnt tβ¡kζl p
cζΘpt p χΘcζΘ p αkζl n ΕΘ
pt
ϕ t
9 ζ 3Θ
9 ζϕ ζϕnt n
ΕΘι u
9 ζ 3Θ
9 ψkιptlκ ψ
kιl
δ n 9 ρ
n
Θpt
9 ζt kζu p
¾ψδl n ΕΘ
pt
ι u
9 ρnΘpt
9 ζι ζιnt p Ε
ι
κ t
9 ζ 3ι
9 ζκ ζκnt p Σ
Β
Θkcζt o, ocζΘ o⊥Λt o, o⊥ΛΘl
⊥Λ
#
Θ kcζΘ p ρnΘptlΑΘ oΣΒΘ ¿⊥ΛΘ¿ΑΘ ∀
将上述的 ΣΒΘ o⊥Λ
#
Θ代入控制器 υΒ 中 o并将控制代入 ¼¤³∏±²√函数的时间导数的不等式中便可得到 }¾ςΘ [ p ΩΘpt p ΧΘcζΘkcζΘ p ρnΘptl o
而上式在 ΒΘp u中 o当 +kcζt o, ocζΘp tl + ] ∴∃时 o有 }¾ςΘ s ∀
在 ΒΘp u上 o当 +kcζt o, ocζΘp tl + ] ∃ ocζΘ ∴∃时 o选择上述控制 ΥΒ o则有如下结果 }
¾ςΘ [ p ΕΘι t Χιcζιkcζι p ρnιptl n Ε
Θpt
ι t
Κι o
其中 ρns s oΚι 是一个很小的正数 oι t o, oΘp t ∀由于 cζιkcζι p ρnι p tl s oι t o, oΘo所以如选取 Χι 足
够大 o则当 +kcζt o, ocζΘp tl + ] ∃ ocζΘ ∴∃时 o有 ¾ςΘ s ∀
在域 ΧΘp u上 o与在 ΒΘp u上的设计类似 o可以选取相应的控制器 Υχ o使得 ¼¤³∏±²√函数的导数在 Χ
xvt 第 u期 周玉成等 }一类含不确定因素的非线性系统鲁棒跟踪
上有¾ςΘ s ∀
在 ∆Θp u上 o¼¤³∏±²√函数的时间导数的符号可能是不定的 ∀因 ΒΘp u和 ΧΘp u之间的距离为严格大于
s的 o故总可以找到与 ΒΘp u上的控制 ΥΒ 和 ΧΘp u上的控制 Υχ 相一致的光滑函数 ζ 3Θn t k在 ΒΘp u和 ΧΘp u
上l o令控制器 ¾υ ζ 3Θn t则控制器 Υ使得 ¼¤³∏±²√函数 ςΘ在 ΑΘp u oΒΘp u oΧΘp u上都有 }¾ςΘ s o对任意的 Ε
s o如果令设计常数 ∃满足 }∃ Θ[ Ε∀则由此可知 }有¿cζt¿ Εo且ku qx¤l的闭环系统的所有信号在任
意的紧球域 + < Ρν n Θπ中是一致有界的 ∀
由于 Ε是任意小的正数 o故有 ¬¯°
n ψ ]
¿cζt¿ ¬¯°n ψ ] kψp ψδl s }又由于子系统ku qx¥l满足假设 u qv o而理
想输出 ψδ 满足假设 u qw o故可知 ψ有界 o从而可知 ζρ是有界的 o而系统kt qtl和ku qxl之间存在全局微分
同胚变换 o故可知系统kt qtl的鲁棒自校正跟踪问题可解 o且 }υ ζ 3Θn tkcζt o, ocζΘ o⊥Λt o, o⊥ΛΘlk⊥Λι 为自校
正函数l就是所设计的自校正鲁棒跟踪控制器 ∀
定理 v qu }考虑系统kt qtl o如果假设 u qt ou qv成立 o且 θkξ oΗk ξll Επ
ι t
Ηιkτl θιk ξl oΘk ξ oΗl o关于 Η
有界 o理想输出 ψδ 满足假设 u qw ~参数严格反馈条件ku qwl成立 ~参变量 ΗΙ 8 o一未知紧集上 o那么存在
局部的鲁棒跟踪自校正控制器 o使得闭环系统的所有信号有界 o且 ¬¯°
n ψ ]
kψp ψδl s o对所有在领域 Υs 的
初始值都成立 ∀
用构造上述情况一样的 ¼¤³∏±²√函数与类似定理 v qt的证明及设计过程 o可以设计出局部的鲁棒
跟踪自校正控制器 ∀
v 结论
讨论了非线性不确定系统的局部鲁棒跟踪问题 ∀当未知参变量以线性和非线性形式出现时 o给出
了局部鲁棒跟踪自校正控制器的设计 ∀在设计上克服了周玉成等kt||zl的方法给控制器带来的不良
/硬性0 o推广了 ≤²µ¯¨ ¶¶等kt|{tl的结果 o考虑的是更加一般的输入 p输出线性化系统的局部鲁棒跟踪问
题 ∀
参 考 文 献
周玉成 o刘晓平 q教育含约束的非线性不确定系统的鲁棒控制 q控制与决策 ot||{¤ou }z ∗ tx
周玉成 o刘晓平 q具有最小相位的非线性时变不确定系统的鲁棒镇定 q信息与控制 ot||y ox }tv ∗ ut
周玉成 o刘晓平 q一类离散时间广义非线性控制系统的动态不可测扰动解耦 q系统工程理论与实践 ot||{¥otu }ty ∗ uv
周玉成 o刘晓平 q一类离散时间非线性系统的局部状态反馈解耦 q信息与控制 ot||z oy }tz ∗ uy
≤²µ¯¨ ¶¶ o¨¬·°¤±± q≤²±·¬±∏²∏¶¶·¤·¨ ©¨ §¨¥¤¦®ª∏¤µ¤±·¨ ¬¨±ª∏±¬©²µ° ∏¯·¬°¤·¨ ¥²∏±§¨§±¨ ¶¶©²µ∏±¦¨µ·¤¬± §¼±¤°¬¦¶¼¶·¨°¶q∞∞∞ ≤ p uy ot|{t }t
tv| ∗ t tww
ƒµ¨ °¨¤± o®²®²·²√¬¦° ∂ q ⁄¨ ¶¬ª± ²© . ¶²©·¨µ. µ²¥∏¶·±²±¯¬±¨ ¤µ¦²±·µ²¯ ¤¯º¶q ∏·²°¤·¬¦¤ot||v ou| }t wux ∗ t wvz
¶¬§²µ¬ q²±¯¬±¨ ¤µ≤²±·µ²¯ ≥¼¶·¨°¶qu±§ ≥³µ¬±ª¨µ2∂ µ¨¯¤ªot|{|
¤±¨ ¯¯¤®²³²∏¯²¶o²®²·²√¬¦° ∂ o ¤µ¬±² 1 ± ¬¨·¨±§¶¦«¨ °¨©²µµ²¥∏¶·¤§¤³·¬√¨ ±²±¯¬±¨ ¤µ¦²±·µ²¯ q∏·²°¤·¬¦¤qt||t¤ouzkul }uwz ∗ uxx
¤±¨ ¯¯¤®²³²∏¯²¶o®²®²·²√¬¦° ∂ o ²µ¶¨ ≥ q≥¼¶·¨°¤·¬¦§¨¶¬ª± ²©¤§¤³·¬√¨ ¦²±·µ²¯¯¨µ¶©²µ©¨ §¨¥¤¦® ¬¯±¨ ¤µ¬½¤¥¯¨¶¼¶·¨°¶q∞∞∞ ≤ p vy ot||t¥}t uwt ∗
t uxu
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yvt 林 业 科 学 v|卷