全 文 ：第 wu卷 第 tt期
u s s y年 tt 月
林 业 科 学
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‘²√ qou s s y
植树挖坑机钻头主轴扭转振动数学建模与求解
于建国t 孟庆华t ou
kt1 东北林业大学 哈尔滨 txssws ~ u1天津体育学院 天津 vssv{tl
摘 要 } 介绍国内外机械化植树造林机械发展状况 o指出国内植树用挖坑机研究重点 o利用空间运动学和机械振
动理论以及弹性动力学原理着重分析建立钻头主轴扭转振动模型并用数值方法进行求解 o同时系统地分析钻头主
轴下端部件与土壤的相互作用力 !钻头主轴重力及惯性力等因素的影响 o给出动态的准随机边界条件和初始条件 ∀
为下一步的钻头动力学特性仿真及整机动态特性研究 o合理预测和控制钻头的运动规律 o改善钻头的动力学特性 o
提高钻头工作效率及改进设计方法提供新的理论依据 ∀
关键词 } 挖坑机 ~钻头主轴 ~扭转振动 ~数值解
中图分类号 }≥zzy1uyn u 文献标识码 }„ 文章编号 }tsst p zw{{kussyltt p tst p sx
收稿日期 }ussy p sw p tu ∀
基金项目 }教育部博士点基金项目kusswsuuxssxl ∀
Τορσιοναλ ςιβρατιον Ματηεµατιχαλ Μοδελινγ οφ ΑυγερpΒιτ Πρινχιπαλ Αξισ οφ
∆ιγγινγ Μαχηινεφορ Τρεε Πλαντινγ ανδ Ιτσ Σολυτιον
≠∏¬¤±ª∏²t  ±¨ª ±¬±ª«∏¤tou
kt1 Νορτηεαστ Φορεστρψ Υνιϖερσιτψ Ηαρβιν txssws ~ u1 Τιανϕιν Ινστιτυτε οφ Πηψσιχαλ Εδυχατιον Τιανϕιν vssv{tl
Αβστραχτ} Œ± ·«¨ ³¤³¨µo¬±·µ²§∏¦¨§ §¨√¨ ²¯³°¨ ±·²© °¨ ¦«¤±¬½¤·¬²± ©²µ¨¶·¤·¬²± ©²µ·µ¨¨ ³¯¤±·¬±ª¬± ²∏µ¦²∏±·µ¼ ¤±§²·«¨µπ¶o
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Κεψ ωορδσ} §¬ªª¬±ª°¤¦«¬±¨ ~¤∏ª¨µp¥¬·³µ¬±¦¬³¤¯ ¤¬¬¶~·²µ¶¬²±¤¯ √¬¥µ¤·¬²±~¶²¯∏·¬²± ²©±∏°¨ µ¬¦¤¯ √¤¯∏¨
我国现有林的面积 t1vvz亿 «°u o森林蓄积量 ts tvz亿 °v o人均占有森林面积和蓄积量分别只有世界人
均水平的 ty h和 tu h o森林覆盖率仅有 ty1xx h o远低于世界平均水平 o而且土地日趋沙漠化 ∀因此 o提高森
林覆盖率 !保护生态环境 !防风固沙 o必须从植树造林开始 ∀利用机械化加速植树造林 o早日实现绿化祖国的
/ ut世纪中国亚马逊工程0有重大的实现意义k潘天丽等 ousssl ∀
植树用挖坑机作为机械化造林设备以其结构简单紧凑 !体积小 !质量轻 !土地适应性强 !对地形反应不敏
感 !工作可靠 !寿命长 !便于维修等突出优点而被广泛使用k∞µ¨°¬± ετ αλqot|zx ~ ∏·«∏®µ¬¶«±¤ ετ αλqot||x ~
≥«¤º ετ αλqot||xl ∀多年来 o科技工作者对挖坑机的生产效率 !工作部件的结构参数做过大量研究k关晓平
等 oussx ~俞国胜等 ousstl o尤其是主要工作部件钻头的几何尺寸 !螺旋升角等问题研究的更为深入 o形成了
整套理论和公式k茅也冰等 ot||t ~usswl ~但整机的振动特性 o特别是钻头主轴的振动特性对机器的寿命和工
作品质影响较大 ∀然而由于问题的复杂性和价值成本等原因使得这部分内容研究不多 o近年来部分专家对
挖坑机振动问题有所突破k杨有刚等 ot||z ~ussxl ∀而用系统的动力学理论对挖坑机主要工作部件进行动力
学仿真分析及建模求解 o在国内研究中尚未见报道 ∀由于问题的复杂性 o难以用一个确定函数关系表示其运
动规律k…µ¤§¯ ¼¨ ετ αλqot||vl ∀为了便于分析研究 o在对钻头主轴进行振动分析时 o可将其分解为扭转振动 !
横向振动和纵向振动 v个系统分别进行研究 ∀
本文将利用空间运动学和机械振动理论以及弹性动力学原理着重分析建立钻头主轴扭转振动模型并用
数值方法进行求解 o同时考虑钻头主轴与土壤互作用等复杂因素 o将其处理成不确定的 !动态的 !准随机边界
情形 o从而很好地把各种主要因素合理地融为一体 o所建系统动力学模型及求解过程将为下一步挖坑机钻头
主轴系统动力学特性的仿真研究打下基础 o为提高钻头工作效率及改进设计方法提供了新的理论依据 ∀
图 t 挖坑机钻头主轴扭转振动结构简图
ƒ¬ªqt ≥·µ∏¦·∏µ¨ ¶®¨·¦«²©·²µ¶¬²±¤¯ √¬¥µ¤·¬²±
²©¤∏ª¨µp¥¬·³µ¬±¦¬³¤¯ ¤¬¬¶²©§¬ªª¬±ª °¤¦«¬±¨
t 钻头主轴扭转振动模型的建立
111 基本假设
钻头主轴为均质弹性直杆 o钻头螺旋翼片与主轴刚性连接且翼片
半径与主轴半径差距不大 ~坑轴线与钻头主轴轴线重合 o忽略钻头主
轴的弯曲变形 ~钻头主轴顶部与连接处及挖坑机支架简化为刚度为 Ž
弹簧 ~主轴上端输入的转速为常量 ~振源来自钻头主轴下端的刀片切
削土壤时所产生的扭矩 ∀
112 数学模型的建立
假设钻头主轴长度为 Λ扭转时 o每一横截面绕通过截面中心的轴
线转动一个角度 Ηo横截面仍保持平面 o扭转振动时扭转角 Η不但依赖
于空间坐标 ξ o而且依赖时间 τ o横截面上每一点的位移由该截面的扭
转角唯一确定 o扭转角 Η可以作为截面的广义坐标 o在坐标为 ξ 的截
面处 o取一长度为 §ξ的微段 o轴的单位长度转动惯量 ϑk ξl和横截面的
极惯性矩 ΙΠkξl是坐标 ξ的函数 o剪切弹性模量为 Γk邵忍平 oussxl ∀
在时刻 τ o由于扭转振动 o在距端点 ξ处截面的转角为 Ηk ξ oτl o扭
矩为
Μk ξ oτl € ΓΙΠkξl 9Ηkξ oτl9ξ ktl
在 ξ n §ξ处截面的转角 Ηkξ n §ξ oτl o扭矩为
Μkξ n §ξ oτl Υ Μkξ oτl 99ξ ΓΙΠkξl
9Ηkξ oτl
9ξ §ξ kul
假定 o单位长度结构阻尼系数为 Ηo微分单元上的阻尼力矩为
Η 9Ηkξ oτl9τ §ξ kvl
微分单元的惯性力矩为
ϑk ξl 9
u Ηkξ oτl
9τu §ξ kwl
若摩擦力矩为空间坐标 ξ和时间 τ的函数 o单位长度上的摩擦力矩为 Πk ξ oτl o则作用于微分单元上的
激励力矩为
Πk ξ oτl§ξ kxl
根据 ⁄. „¯ °¨¥¨µ·原理列出轴的扭转振动的运动方程
ϑkξl 9
u Ηkξ oτl
9τu §ξ n Η
9Ηk ξ oτl
9τ §ξ n Μkξ oτl € Μk ξ n §ξ oτl n Πk ξ oτl§ξ kyl
分别将ktl !kul式 o代入kyl式整理 o得
ϑkξl 9
u Ηk ξ oτl
9τu n Η
9Ηkξ oτl
9τ p ΓΙΠkξl
9u Ηkξ oτl
9ξu € Πkξ oτl kzl
再整理kzl式 o得
9u Ηk ξ oτl
9τu n
Η
ϑk ξl #
9Ηkξ oτl
9τ p
ΓΙΠk ξl
ϑk ξl #
9u Ηk ξ oτl
9ξu €
Πk ξ oτl
ϑkξl k{l
分别令
Η
ϑk ξl € Γkξl 假设钻头主轴匀速转动 o则 Γkξl为常量 ~
ΓΙΠk ξl
ϑk ξl € θkξl 假设钻头主轴匀速转动 o则 θkξl为常量 ~
ust 林 业 科 学 wu卷
Πkξ oτl
ϑk ξl € γk ξl 假设钻头主轴与土壤切削不均匀 o则 γkξl为 ξ函数 ∀
则k{l式为
9u Ηk ξ oτl
9τu n Γ #
9Ηkξ oτl
9τ p θ #
9u Ηkξ oτl
9ξu € γ k|l
tl边界条件
9Ηkξ oτl
9τ ξ € λ € Ξs ~ Τ p Ε
v
ι € t
Μι € ϑ# kt n κl Ε
v
ι € t
&Ηks oτl p t [ κ  s o Ε
v
ι € t
Μι € Ε
v
ι € t
Φι # λι ∀
式中 } Ξs为钻头主轴上端转速为常数 ~ Τ为钻头主轴下端输入扭矩 ~ Ε
v
ι € t
Μι为钻头主轴下端阻力扭矩 ~ κ为
钻头主轴下端转动角加速度的随机修正系数 ~ Ε
v
ι € t
Φι 为钻头主轴下端各部分扭转合力 ~ λι 为钻头主轴下端
各部分到轴线距离 ~ ι € t ou ov为钻头主轴下端各个部分标注 ∀
ul初始条件
Ηk ξ osl € s 9Ηk ξ osl9τ € s
由此可得挖坑机钻头主轴扭转振动模型
9u Ηkξ oτl
9τu n Γ #
9Ηk ξ oτl
9τ p θ #
9u Ηkξ oτl
9ξu € γ
9Ηk ξ oτl
9τ ξ € λ € Ξs o Τ p Ε
v
ι € t
Μι € ϑ# kt n Κl Ε
v
ι € t
&Ηks oτl p t [ κ  s
Ηk ξ osl € s o 9Ηkξ osl9τ € s
ktsl
u 挖坑机钻头主轴扭转振动模型求解
由于钻头主轴扭转振动模型中边界条件的不确定性 o很难用解析法求出 o因此本文采用数值解法中的差
分法来求解此扭转振动模型 ∀
211 钻头主轴扭转振动方程的差分格式
用差分法求解微分方程的一个关键问题是将微分方程写成相应的差分格式 o然后再运用解差分方程的
计算公式求解 ∀因此本文首先将钻头主轴扭转振动的微分方程写成相应的差分方程 ∀为了差分计算方便去
掉等式右边项 o在计算受力时再加上去 ∀
考虑
9Ηιk ξ oτl
9τu n Γ #
9Ηιk ξ oτl
9τ p θ #
9u Ηιkξ oτl
9ξu € s kttl
采用二阶中心差分格式
9u Ηι
9τu kκoϕl €
Ηιkξκ oτϕntl p uΗιk ξκ oτϕl n Ηιkξκ oτϕptl
Σu p
Σu
tuΗ
kwl
ιτw kξκ ocτϕl ktul
9u Ηι
9ξu kκoϕl €
Ηιkξκnt oτϕl p uΗιkξκ oτϕl n Ηιk ξκpt oτϕl
ηu p
ηu
tu Η
kwl
ιξw kcξκ oτϕl ktvl
9Ηι
9τ kκoϕl €
Ηιk ξκ oτϕntl p Ηιkξκ oτϕl
Σ ktwl
为了书写方便 o将k ξκ oτϕl简记作kκoϕl o将 Ηιk ξκ oτϕl简记作 Ηιkκoϕl o由ktul ∗ ktwl式可将kttl式化作 }
Ηιkκoϕn tl p uΗιkκoϕl n Ηιkκoϕp tl
Σu p θ #
Ηιkκ n t oϕl p uΗιkκoϕl n Ηιkκ p t oϕl
ηu n
Γ # Ηιkκoϕn tl p ΗιkκoϕlΣ p
Σu
y Η
kvl
τv kκocτl p Σ
u
tuΗ
kwl
ιτw kκocτl n η
u
tu Η
kwl
ιξw kcξ oϕl € s
ktxl
令截断误差
vst 第 tt期 于建国等 }植树挖坑机钻头主轴扭转振动数学建模与求解
Ρktlηoτ € Σ
u
y Η
v
τv kκocτl p Σ
u
tuΗ
kwl
τw kκocτl n η
u
tuΗ
kwl
ξw kcξ oϕl ktyl
如忽略阶段误差ktyl式 o则ktxl式为
Ηιkκoϕn tl p uΗιkκoϕl n Ηιkκoϕp tl
Σu p θ #
Ηιkκ n t oϕl p uΗιkκoϕl n Ηιkκ p t oϕl
ηu n
Γ # Ηιkκoϕn tl p ΗιkκoϕlΣ € s ktzl
令 }σ€ Ση o因此方程ktzl可改写为
Ηιkκoϕn tl € θσ
u≈Ηιkκ n t oϕl n uΗιkκoϕl n Ηιkκ p t oϕl  n ku n ΓΣlΗιkκoϕl p Ηιkκoϕp tl
t n ΓΣ kt{l
212 初始条件为差分近似
第一个初始条件
Ηιkκosl € Υkκoηl € s kt|l
第二个初始条件
9Ηι
9τ kκosl €
Ηιkκoϕn tl p Ηιkκoϕp tl
uΣ p
Σu
y Η
v
τv kκocτl € s kusl
忽略截断误差 o则得
Ηιkκoϕp tl € Ηιkκoϕn tl kutl
将kutl式代入kt{l式得第二个初始条件差分方程 }
Ηιkκoϕn tlτ€ s € θσ
u≈Ηιkκ n t oϕlpuΗκkκoϕl n Ηιkκ p t oϕl  n ku n ΓΣlΗιkκoϕl
u n ΓΣ kuul
213 边界条件的差分近似
上边界
9Ηιk ξ oτlξ € Λ
9τ €
Ηkκoϕn tl p Ηkκoϕp tl
uΣ € Ξs kuvl
下边界
Φ € ϑ# kt n ϑl Ε
v
τ€ t
Ηιk ξκnt oτϕl p uΗϕkξκ oτϕl n Ηιk ξκpt oτϕl
ηu ξ € st [ ϑ  s kuwl
214 收敛条件
利用差分进行数值计算的一个重要问题是其收敛性问题 o如果所采用的差分格式不收敛 o那么其计算结
果是不可靠的 o挖坑机钻头主轴扭转振动的差分格式是否收敛是进行差分计算之前必须研究的问题 ∀
由差分格式 o收敛原理可知 o令kt{l式中 Γ € s则有
Ηιkκoϕn tl € θσu≈Ηιkκ n t oϕl n Ηιkκ p t oϕl  n ukt p θσulΗιkκoϕl p Ηιkκoϕp tl kuxl
有限差分解的 Ηkκoϕl项的系数如果是负值的话 o则其解是不稳定的 o所以kt{l式有限差分解的收敛条
件是 }t p θ# Σ
u
ηu ∴s o即 θ # Σ
u
ηu [ t kuyl
也就是说kt{l式满足条件kuyl式的差分是收敛的 ∀
215 结论
由式kttl ∗ kuwl式得到挖坑机钻头主轴扭转振动模型相应的差分模型
Ηιkκoϕn tl € θσ
u≈Ηιkκ n t oϕl n uΗιkκoϕl p Ηιkκ p t oϕl  n ku n ΓΣlΗιkκoϕl p Ηιkκoϕp tl
t n ΓΣ
Ηιkκoϕn tlτ€ s € θσ
u≈Ηιkκ n t oϕl n uΗιkκoϕl p Ηιkκ p t oϕl  n ku n ΓΣlΗιkκoϕl
u n ΓΣ
Ηιkκosl € s o Ηιkκoϕp tlξ € Λ € Ηιkκoϕn tl p uΣΞs
Φ € ϑ# kt n ϑl Ε
v
τ€ t
Ηιkξκnt oτϕl p uΗιk ξκ oτϕl n Ηιk ξκpt oτϕl
ηu ξ € s p t [ ϑ  s
κ € t ou o, oν p t ~ ϕ € t ou o, oµs p t
kuzl
wst 林 业 科 学 wu卷
在利用误差为. kηul差分后求导公式求出k忽略截断误差l
9Ηι
9τ kκoϕl €
Ηιkκoϕn tl p Ηιkκoϕp tl
uΣ ku{l
9u Ηι
9τu kκoϕl €
Ηιkκoϕn tl p uΗιkκoϕp tl n Ηιkκoϕp tl
Σu ku|l
由kuzl !ku{l !ku|l式可以分别计算出挖坑机钻头主轴上每一时刻各节点的扭转振动位移 !扭转振动速
度和扭转振动加速度 ∀从而可以得到挖坑机钻头在挖坑过程中的扭转运动规律和部分动力学特性 o为进一
步对挖坑机钻头主轴的动力学仿真分析及其工作性能的研究奠定了坚实基础 o对研究挖坑机整机的动态特
性有重要的指导意义 ∀
v 结束语
随着林业资源的不断匮乏 o将对林业机械化的要求不断提高 o而有效地预测和控制植树挖坑机械的动力
学性能及运动规律 o合理有效地解决提高钻头强度的关键问题的基础工作之一就是要建立可靠的钻头主轴
动力学模型 o才能找到挖坑机钻头运动规律和动力学特性 ∀本文根据挖坑机钻头主轴的实际振动状态 o分析
了钻头主轴扭转振动机理 o利用空间运动学和机械振动理论以及弹性动力学原理着重分析建立钻头主轴扭
转振动模型 o同时考虑了钻头与土壤互作用等复杂因素 o将其处理成不确定的 !动态的 !准随机边界情形 o从
而很好地把各种主要因素合理地融为一体 o所建系统动力学模型及求解过程将为下一步对挖坑机钻头主轴
系统动力学特性的仿真研究工作打下基础 o为提高钻头工作效率及改进设计方法提供了新的理论依据 o对分
析钻头的动力学特性研究具有重要的指导意义 o对林业与园林机械理论研究有一定指导意义和应用价值 o但
是由于影响挖坑机钻头动力学特性因素十分复杂 o目前还难以掌握 ∀因此 o本文在分析中仍然是在假设条件
基础上进行的 o还需进一步研究 ∀在今后工作中还将对钻头主轴振动系统中的横向振动和纵向振动分别建
模及求解 o并将其各子系统综合分析进行有效控制 ∀
参 考 文 献
茅也冰 o王乃康 o鲍际平 qt||t1 石质山地手提式挖坑机钻头的研制 q北京林业大学学报 otvkvl }wu p w|
茅也冰 o王乃康 o刘会敏 qussw1 挖坑机动态力学参数测试试验装置的研制 q北京林业大学学报 ouyktl }z| p {u
关晓平 o马 岩 o杨家武 qussx1 生态植树机松土机构运动性能理论分析 q机械工程学报 owtktsl }yt p yx
潘天丽 o王 蓝 qusss1 在退耕还林中应大力发展林业机械 q陕西林业科技 ow }x| p yw
邵忍平 qussx q机械系统动力学 q北京 }机械工业出版社
俞国胜 o顾正平 o钱 桦 o等 qusst1 半干旱沙地深栽造林钻孔机的性能试验与研究 q林业科学 ovzkvl }ttu p ttz
杨有刚 o刘迎春 qt||z1 挖坑机弯曲振动特征对的理论计算与实验验证 q农业机械学报 ou{kul }xt p xx
杨有刚 o刘迎春 o吕新民 qussx1 挖坑机扭转振动特征对的动力学分析 q农业机械学报 ovyk|l }xv p xx
…µ¤§¯ ¼¨ ⁄o≥ º¨¤µ§⁄o ¤±± o ετ αλqt||v1„µ·¬©¬¦¬¤¯ ¬±·¨¯ ¬¯ª¨ ±¦¨ ¬±·«¨ ¦²±·µ²¯ ¤±§²³¨µ¤·¬²± ²©¦²±¶·µ∏¦·¬²± ³¯¤±··«¨ ¤∏·²±²°²∏¶ ¬¨¦¤√¤·²µq „∏·²°¤·¬²± ¤±§
≤²±¶·µ∏¦·¬²±oukvl }utz p uu{
∞µ¨°¬± ∞ ∂ o„¶¤±²√ ∂ ∂ o×®¤¦«¨ ±®² ’ „ o ετ αλqt|zx1 ‘¨ º ¨´ ∏¬³°¨ ±·©²µ°¤®¬±ª³¯¤±·¬±ª«²¯ ¶¨q¨¶±²¨ Ž«²½¼¤¬¶·√²ox }zs p zu
∏·«∏®µ¬¶«±¤≥ ∂ o≥∏­¤·«¤ ≤ qt||x1 ׺¬¶·§µ¬¯¯ §¨©²µ°¤·¬²± ¤±§²³·¬°∏° §µ¬¯¯ ª¨²°¨ ·µ¼q≤²°³∏·¨µ¶i ≥·µ∏¦·∏µ¨¶oxzkxl }|sv p |tw
≥«¤º  ≤ o ’¬©²µ§≤ qt||x q ’±·«¨ §µ¬¯¯¬±ª²© °¨ ·¤¯¶ µ }·«¨ ·²µ´∏¨ ¤±§·«µ∏¶·¬± §µ¬¯¯¬±ªq×µ¤±¶oz| }tv| p tw{
• ¤±ª«∏¬qussu1’± °¬±¬°∏° ±²µ° ¦²±·µ²¯ ©²µ¤±§¨¯¤¶·¬¦µ²¥²·¶¼¶·¨° q≥¼¶·¨°¶≥¦¬¨±¦¨ ¤±§≥¼¶·¨°¶∞±ª¬±¨ µ¨¬±ªottkul }tx{ p tyv
k责任编辑 石红青l
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