全 文 ：第 v|卷 第 w期
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林 业 科 学
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压缩弯曲木平面机器人弯曲曲线形成理论研究
马 岩
k东北林业大学 哈尔滨 txsswsl
摘 要 } 采用高次方程回归和三次样条函数插值法进行压缩弯曲木平面中心曲线的数学模拟 o为平面弯曲
木弯曲机器人软件设计提供基础理论和程序编制的数学计算方法 o并解决在弯曲木构件生产中方程不收敛
的问题 o提出合理的计算方法及各种方法存在的优缺点 ∀利用平面弯曲木弯曲机器人可以大幅度减少弯曲木
加工过程中模具的数量 o可以使弯曲木加工实现数控化 ∀
关键词 } 压缩弯曲木 o弯曲点 o机器人 o数控
收稿日期 }ussu p sv p us ∀
基金项目 }国家自然科学基金资助项目kvstzszxtl和国家/ {yv0高技术研究发展计划资助项目kusst„„wuuwssl ∀
ΡΕΣΕΑΡΧΗ ΟΝ ΦΟΡ ΜΙΝΓ ΤΗΕΟΡΨ ΟΦ ΒΕΝ∆ΙΝΓ ΧΥΡ ς Ε ΟΦ
ΧΟΝΣΤΡΙΝΓΕΝΤ ΦΛΕΞΥΡΑΛ ΩΟΟ∆ ΠΛΑΝΑΡ Ρ ΟΒΟΤ
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k Νορτηεαστ Φορεστρψ Υνιϖερσιτψ Ηαρβινtxsswsl
Αβστραχτ} ׫¬¶³¤³¨µ¶¬°∏¯¤·¨§·«¨ ¦¨±·¨µ¦∏µ√¨ ²©¦²±¶·µ¬±ª¨±·©¯ ¬¨∏µ¤¯ º²²§ ³¯¤±¤µ°¤·«¨ °¤·¬¦¤¯ ¼¯ ¥¼ ∏¶¬±ªµ¨ªµ¨¶¶
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Κεψ ωορδσ} ≤²±¶·µ¬±ª¨±·©¯ ¬¨∏µ¤¯ º²²§o≤∏µ√¨ ¶³²·o•²¥²·o≤‘≤
压缩弯曲木是丹麦木制品研究所发明的一种木材弯曲的新方法k≥¤¯¬¥∏µ¼ot|{xl o这种工艺是在高
温高压处理完木材后 o将木材沿轴向加压 o使木纤维产生轴向预变形 ∀这样压缩后的弯曲木在进行常温
常压变形处理时 o木纤维可以进行任意形状的弯曲 o压缩预变形不同 o弯曲的角度也不一样 ∀处理后的
木材在进行大变形弯曲后 o绝不出现劈裂 o甚至可以将木材弯曲成弹簧的形状 o而且可以保持设计要求
的曲线 ∀本文将讨论在压缩弯曲木木纤维弯曲过程中利用机器人进行弯曲时弯曲点的选取和进给行程
的确定理论和方法 o以及形成弯曲曲线时各弯曲点坐标变化的数学描述理论 ∀
t 压缩弯曲木两端固定端固定形成的讨论
在压缩弯曲木的弯曲过程中 o弯曲木必须有一个确定的夹紧方式 o从机械学和力学的理论出发就是
必须有一个可靠的固定端 o才能保证弯曲出确定的设计曲线 ∀固定端的形成往往决定曲线的端部形状
和曲线弯曲点位置的选择 ∀
压缩弯曲木端部的平面固定按力学方式的理想中线固定 o分为下列常见的几种形式 }ktl可转固定
端 限定了 ξ和 ψ方向的位移 o允许沿 ζ轴的转动 o具体简化的力学模型见图 t ~kul完全固定端 限定
了 ξ和 ψ方向的位移和沿 ζ轴的转动 o见图 u ~kvl可移动固定端 限定了 ξ或 ψ方向的一个位移和沿 ζ
轴的转动 o见图 v ∀
图 t 可转固定端
ƒ¬ªqt ƒ¬¬¤·¬²± ²©µ²∏±§¬±ª
图 u 完全固定端
ƒ¬ªqu ƒ¬¬¤·¬²± ²© º«²¯¨
图 v 可移动固定端
ƒ¬ªqv ƒ¬¬¤·¬²± ²© °²√¬±ª
图 t中的边界条件是 }ξ € s o ψ€ s oΗζ Ξs ∀这种固定形式的弯曲是弯曲发生在起始部位 o在固定的
同时不能限制弯曲的发生 ∀这种弯曲形式往往需要两端固定 ∀
图 u中的边界条件是 }ξ € s oψ€ s oΗζ € s ∀这种固定形式的弯曲是弯曲发生在过起始部位一段以后
的部位 o在弯曲发生的起始部位不许发生弯曲 o在固定这种弯曲构件时既要固定又要限制弯曲的发生 ∀
这种弯曲形式往往可以是一端固定 o需要两端固定时另一端是辅助固定 ∀
图 v中的边界条件是 }ξ Ξs oψ€ s oΗζ Ξs ∀这种固定形式的弯曲是发生在某一部位 o在这一段加上
这样的一个约束以后 o这个部位可以产生一个特定的弯曲曲线 ∀这种弯曲的固定方式可以在起始和终
止位置 o也可能发生在曲线中间的某一个部位 o在固定这种弯曲构件时既要固定又要限制弯曲的发生 ∀
这种弯曲形式往往需要两端固定 ∀
u 压缩弯曲木六点弯曲曲线形成的基本条件
在压缩弯曲木的形成过程中 o弯曲的点越多 o形成曲线的模拟精度就越高 ∀在实际生产中 o一般家
具构件的弯曲弧段很少超过 v段 o所以用 y个点就可以完成绝大多数弯曲家具构件k¤ot|||l ∀
如果弯曲家具构件是图 u的固定形式 o即一端需要固定并保持垂直于固定端 o用数学的语言描述就
是 }弯曲家具构件固定端弯曲点处理论曲线相对弯曲机器人机架的 ξ和ψ方向的位移为零 o位移对 ξ方
向的导数也为零 ∀
假设 }家具理论廓线的中心线方程为 φkξ o ψl o设计时 oφkξ o ψl是连续曲线 o无尖点和折点k如果弯
曲后在外廓加工出尖点不影响它的连续性l ∀在实际弯曲时 o利用本文提供的方法 o最多采用 y个点对
设计曲线进行模拟 o这种家具材料是最常见的 ∀因此 o曲线的方程如果是高次方程 o它的方程次数最多
不能超过 x次 o如果用 v次样条函数进行曲线模拟 o采用 y个点可以建立 x个区段 o通过 y个点的 y个
ψι 值 !ξι 值kι € s ot o, ,xl和两个端点的边界条件 o就可以定出 v次样条的全部系数 ∀由于家具弯曲构
件设计时一般都是规则曲线 o模拟的精度一般要求不高 o因此采用高次方程模拟相对简单 ∀高次方程的
求解通用性差 o但分析方法简单 o处理精度高 ∀用 v次样条函数的通用性好 o程序设计有规范的理论和
方法 ∀因此 o在工业化生产中 o最好根据不同条件选用 v次样条函数或高次方程模拟 ∀
v 压缩弯曲木高次方程六点模拟回归的理论研究
如果家具平面弯曲构件的理论弯曲设计曲线弧段少于或等于 v段 o用 y个点模拟该曲线一般不会
出现问题的k¤ot|||l ∀假设 }理论弯曲曲线的模拟方程为k王梓坤 ot||tl
φkξιl € ψι € αs n αt ξι n αu ξιu n αv ξιv n αw ξιw n αx ξιx kι € s ot o, ,xl ktl
由于 φkξl可以保证曲线具有五阶连续函数导数并保证函数的连续性 o因此 o用 x次模拟方程 o模拟
理论弯曲的设计曲线是连续曲线 ∀图 w所示是一个平面弯曲家具构件的设计立体图 o图 x是该件中线
的模拟曲线 ∀
|st 第 w期 马 岩 }压缩弯曲木平面机器人弯曲曲线形成理论研究
图 w 弯曲家具构件立体图
ƒ¬ªqw ≥²¯¬§§µ¤º¬±ª²©©¯ ¬¨∏µ¤¯ º²²§¦²°³²±¨ ±·
图 x 家具构件平面理论弯曲曲线
ƒ¬ªqx ≤∏µ√¨ ²©©∏µ±¬·∏µ¨ ¦²°³²±¨ ±·
各点的坐标为k ξι oψιl oι € s ot o, ,x o分别将k ξι oψιl代入ktl式可以得到下列方程k王梓坤 ot||tl
t ξs ξsu ξsv ξsw ξsx
t ξt ξtu ξtv ξtw ξtx
t ξu ξuu ξuv ξuw ξux
t ξv ξvu ξvv ξvw ξvx
t ξw ξwu ξwv ξww ξwx
t ξx ξxu ξxv ξxw ξxx

αs
αt
αu
αv
αw
αx
€
ψs
ψt
ψu
ψv
ψw
ψx
kul
如果将kul式写成矩阵的形式
≈ ξι ≈ αι  € ≈ψι  kvl
在方程kvl中≈ αι 式矩阵是未知数组 o如果¿ξ¿Ξ s o方程kvl就有确定的唯一解 ∀求出 αs oαt oαu o
, ,αx 以后 o将 αι 代入ktl式 o就构成了平面家具弯曲构件的理论弯曲曲线的模拟方程 ∀
在≈ αι 的求解中 o出现¿ξ¿€ s的情况极少 ∀如果¿ξι¿€ s o方程出现病态 o只要略为改变 ξι 的大小
就可以使¿ξι¿Ξs ∀由于家具弯曲构件的精度要求并不是太高 o所以略为改变 ξι 的初始选值点 o不会产
生太大的误差 ∀
求出 ξι 和 ψι 以后 o在弯曲曲率很大时 oξι 和 ψι 就是弯曲机器人 ξ和 ψ向的理论进给数值 o在 s点和
y点将家具构件夹紧的固定方式中由步进电机按 ψt o ψu o ψv o ψw o ψx 进给 o就可以弯曲出图纸规定的形
状 ∀如果弯曲曲率太小时 o或是图 u的固定方式就需要同时控制 ξt oξu oξv oξw oξx 和调节插值的区间 o
当然这些也没有什么技术上的难度 ∀
w 压缩弯曲木的三次样条函数模拟回归理论的研究
利用数学手段进行机器人运动曲线或曲面研究已经取得了一些成就k齐学义等 ousss ~李树军等 o
ussu ~徐礼钜等 ousss ~余永权 ousstl ∀本文采用三次样条函数也可以模拟家具平面弯曲构件的理论弯
曲设计曲线 ∀由于在三次样条函数方程常数确定时 o系数确定的矩阵可以保证收敛 o同时 o三次样条函
数计算有确定的计算方法和程序 o可以简化机器人数控系统的理论研究 ∀但三次样条函数只能保证函
数的二阶连续导数 o即只能保证最简单的连续 o特别是曲线复杂以后 o利用三次样条函数模拟的误差可
能大于高次方程 ∀
在用三次样条函数进行 y点模拟时 o要求 ξs  ξt  ξu  , ,  ξx oξι Ξ ξι n t o这是三次样条函数成
立的条件之一 o如果弯曲曲率太大时可能出现 ξι  ξι n tkι € s ot , ,xl ∀因此 o三次样条函数在进行模
拟的过程中是有条件的 ∀同时 o用三次样条函数进行模拟时最好先要按设计曲线的走向分段 o并剔除不
合理的曲率变化 ∀
在三次样条函数的模拟过程中 o在区间≈ ξs oξx 上有 ψ€ φkξl的三次样条插值函数 σk ξl o指的是在
每一个子区间≈ ξϕ o ξϕn t 上 oσkξl都是 v次多项式kϕ€ s ot o, ,wl ∀这样设置曲线的目的是保证曲线的
光滑连续 o即在≈ ξs oξx 上保证 σk ξl有一至二阶的连续函数 ∀在子区间≈ ξϕ oξϕn t 上kϕ€ s ot o, ,wl且
k王梓坤 ot||tl
stt 林 业 科 学 v|卷
φkξl Υ σkξl € ≈vk ξϕn t p ξluΠηϕu p uk ξϕn t p ξlvΠηϕv ψϕ n ≈vkξ p ξϕluΠηϕu p u k ξ p ξϕlvΠηϕv ψϕn t
n ηϕ≈kξϕn t p ξluΠηϕu p kξϕn t p ξlvΠηϕv  Μϕ p ηϕ≈vkξ p ξϕluΠηϕu p ukξ p ξϕlvΠηϕv  Μϕn t kwl
在上式中 }ηϕ € ξϕn t p ξϕ
在 σkξϕl的方程中 }
Μϕ € σ. k ξϕl
Μϕ是由下列方程及边界条件确定出来的 }
kt p Αtl Μs n u Μt n Αt Μu € Βt
kt p Αul Μt n u Μu n Αu Μv € Βu
kt p Αvl Μu n u Μv n Αv Μw € Βv
kt p Αwl Μv n u Μw n Αw Μx € Βw
kt p Αxl Μw n u Μx n Αx Μy € Βx
kxl
式中 }Αϕ € ηϕp tΠkηϕp t n ηϕl
Βϕ € v≈kt p Αϕlkψϕ p ψϕp tlΠηϕp t n Αϕkψϕ p ψϕp tlΠηϕ 
利用三次样条函数求解从理论上分析是很复杂的 o从推导的过程中可以看出它成立的条件是有限
制的 ∀因此 o在工业化应用中它也不是可以 tss h的收敛 ∀
x 应用实例分析
从本文的理论分析可知 o高次方程和三次样条函数分析法模拟在理论上都是可行的 o各有各的优
点 ∀如果从通用性上讲 o三次样条函数的优点明显一点 o但从具体分析的明了和简洁方面分析 o高次方
程模拟的优点要明显 ∀限于篇幅本文仅讨论高次方程的模拟方法和应用示例 ∀
假设图 x的原料长度是 yxs °° o在弯曲前的初始位置是平均分布的 o弯曲木机器人的初始位置由
下表列出 ∀
表 1 弯曲木机器人初始位置数据表
Ταβ . 1 Πλαναρ φλεξυραλ ωοοδ βενδινγ ροβοτ σταρτ σεατ δατα °°
ξss ξst ξsu ξsv ξsw ξsx ψsϕ
数 值 ⁄¤·¤ s tvs uys v|s xus yxs s
弯曲的过程中 o表中 ξκϕ和 ψκϕ中 κ€ s是表示初始点 ok ξs oψsl点处于图 u的固定方式 ∀因此 o图 x的
边界条件是 }
ξs € s
ψs € s
§ψsΠ§ξs € s
kyl
由于 ξs € ψs € s o则方程kul的第一个式子已经无意义 o因此 o必须增加一个方程来确定另一个方程
中的待定系数 ∀将ktl式求导数可得 }
ψϕχ € αt n uαu ξι n vαv ξuι n wαw ξvι n xαx ξwι kzl
将kξst oψstl代入kzl式 o就可以得到一个方程 o从而可以求出所有的待定系数 ∀
按图 x的形式设计时要求各点的位置坐标见下表 o表中的 ξκι中 oκ€ t是表示弯曲后的数据 ∀
表 2 弯曲木机器人设计位置的数值表
Ταβ . 2 Πλαναρ φλεξυραλ ωοοδ βενδινγ ροβοτ δεσιγν σεατ δατα °°
ξts ξtt ξtu ξtv ξtw ξtx ψts ψtt ψtu ψtv ψtw ψtx
数值 ⁄¤·¤ s ttx t|s vzx xsx yss s ux xs yx ux p zs
ttt 第 w期 马 岩 }压缩弯曲木平面机器人弯曲曲线形成理论研究
将表 u的数值代入修正后的kul式中 o就可以求出≈ αι kι € s ot o, ,xl o求解kul式以后 o就可以建
立该家具构件的弯曲中线的理论方程 ∀
φkξl Υ ψ € v1x ≅ tspv ξu p t1y ≅ tspx ξv n u1{ ≅ tsp{ ξw p u1s ≅ tsptt ξx
用该方程就可以回归出来设计曲线 o方称的常数是用kzl式假设 ξκι是正确的 o由 ξκι求出 ψκι o回归后
的 ξκι中 oκ€ u oι € y点是 ψuy近似等于零的点 ∀表 v给出回归的误差 ∀
表 3 弯曲木机器人回归数据和回归误差的分析
Ταβ . 3 Πλαναρ φλεξυραλ ωοοδ βενδινγ ροβοτ ρεγρεσσ δατα ανδ ερρορ °°
假设值 ׫¨ ²µ¨·¬¦¤¯ §¤·¤
ξus € s ξut € ttx ξuu € t|s ξuv € vzx ξuw € xsx ξux € yss ξuy € xv|1|x{
¼us ¼ut ¼uu ¼uv ¼uw ¼ux ¼uy
回归值 • ª¨µ¨¶¶§¤·¤ s uz1s xs1s yx1s ux1s p zs1s s1sss v
直接误差 ⁄¬µ¨¦·¨µµ²µ s u1sy p s1sss sx s1ssy t s1su s1sx p s1sss {
相对误差 ’³³²¶¬·¨ µ¨µ²µ z1s p s1s s1sst s1s| p s1sz
从上述误差分析 o完全可以满足家具工业的要求 ∀
y 结论
采用高次方程回归的弯曲精度完全可以满足家具工业的要求 ~高次方程回归的方法在方程出现正
收敛时可以通过调整 ξ方向的间距来改变收敛性 ~采用 v次样条函数也可以解决弯曲模拟的曲线回归
问题 ~机器人作为弯曲木的弯曲设备可以避免每生产一个元件生产一套模具的加工方法 o彻底解决加工
弯曲木需要生产大量模夹具的问题 ~弯曲木机器人可以使弯曲木生产数控化 ∀
参 考 文 献
李树军 o王 q一种求解 y p v构型并联机器人机构位置正解的逼近算法 o机械科学与技术 oussu
齐学义 o欧志英 o邬再新 q混流式水轮机叶片现场修形机器人运动轨迹的研究 o水力发电学报 ousss
徐礼钜 o范守文 q机器人奇异曲面及工作空间界限面分析的数字 p符号法 q机械科学与技术 ousss
王梓坤 q常用数学公式大全 q重庆 }重庆出版社 ot||t
余永权 q模糊控制技术及其应用 q计算机世界报 ousst
¤ ≠ q׫¨ µ¨¶¨¤µ¦«²©·«¨ ³¨ ¨¯¬±ª ²¯ª¶¬¬³²¬±·¶¦¨±·¨µ¬±ª·«¨²µ¼qtw·«Œ±·¨µ±¤·¬²±¤¯ • ²²§ ¤¦«¬±¬±ª≥¨ °¬±¤¯ o°¤µ¬¶ot||| }ywt p ywy
≥¤¯¬¥∏µ¼ Žq •²¥²·«¤±¶¤±§·«¨ °¨ ¦«¤±¬¦¶²© °¤±¬³∏¯¤·¬²±q׫¨ ×× °µ¨¶¶ot|{x
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