全 文 ：作物学报 ACTA AGRONOMICA SINICA 2008, 34(9): 1489−1493 http://www.chinacrops.org/zwxb/
ISSN 0496-3490; CODEN TSHPA9 E-mail: xbzw@chinajournal.net.cn

基金项目: 国家高技术研究发展计划(863计划)项目(2006AA10Z1C3); 国家自然科学基金项目(30671298); 国家科技支撑计划项目(2006BAD02B04)
作者简介: 莫惠栋(1934–), 男, 浙江温岭人, 教授, 博士生导师, 研究方向: 生物统计学和数量遗传学。E-mail: mhd28993@yahoo.com.cn
Received(收稿日期): 2008-04-02; Accepted(接受日期): 2008-06-14.
DOI: 10.3724/SP.J.1006.2008.01489
田间试验的一种新设计——数独方
莫惠栋 许如根
(江苏省作物遗传和生理学重点实验室 / 扬州大学, 江苏扬州 225009)
摘 要: 数独是近年流行的一种益智游戏, 其最常见模式是在一个 9 行×9 列又再分成 9 区共 81 个小格的方中, 填
入适当的数字, 使每一行、每一列、每一区都含有数字 1~9, 不重复。通过一般化地研究数独方的构成、设计、数学
模型和统计分析方法, 使之成为田间试验的一种新设计。这种设计能够安排重复 k次的 k个处理或一个试验因素的 k
个水平, 能在行、列、区 3个方向控制土壤-环境的变异性, 其处理平均数之间的比较将比拉丁方设计更为精确。
关键词: 数独方; 设计与分析; 田间试验
Sudoku Square—A New Design in Field Experiment
MO Hui-Dong and XU Ru-Gen
(Jiangsu Provincial Key Laboratory of Crop Genetics and Physiology / Yangzhou University, Yangzhou 225009, Jiangsu, China)
Abstract: Sudoku is a game with incremental intelligence and is popularizing in many countries of Asia, Europe, and America.
Its most common pattern is to fill the digits 1 through 9 into a square with 9 rows by 9 columns and subdivided 9 boxes, so that
each digit appears once, and only once, in every row, column, and box. In the present paper, we investigated the basic properties
of Sudoku in the general sense, and then make it a new design in field experiment.
A necessary condition for constructing a Sudoku square is k = pq and p, q ≥ 2, where k = number of rows, columns, and
boxes in a k × k square, p = number of box-rows (the row consists of boxes) and q = number of box-columns (the column
consists of boxes). Therefore, only non-prime number k can construct a Sudoku square and the prime number k can not. Table 1
lists 15 Sudoku squares in the case of k ≤ 20.
To design a Sudoku square, 4 steps are required as follows: (1) To write a k×k Sudoku square with restricted randomization ,
the procedure is to draw the random numbers of p or q sets each contains every number from 1 through k with no repeat, and then
write down cyclically the first set numbers according to the order they appear into the first box-row or box-column, the second
one into the second box-row or box-column, and so on and so forth. Note that any number must be shifted to the end of the series
of random numbers if it has appeared in the column or row. (2) To randomize the order of box-rows and rows within each box-row.
(3) To randomize the order of box-columns and columns within each box-column. (4) To assign randomly the k numbers to k
treatments or k levels of a factor. Above mention indicates that a Sudoku square can layout k treatments with k replications and
control 3-way (box, row, and column) soil-environment variations.
The linear model of data from a Sudoku square design is
= + + ( , , , =1, 2, ... , ),(ij)lm i j l m (ij)lmY i j l m kµ τ β ρ γ ε+ + +
where Y(ij)lm is an observed value of the plot in the lth row and mth column, subjected to the ith treatment and jth box; µ is the
overall mean; τi, βj, ρl, and γm are the main effects to the ith treatment, jth box, lth row, and mth column, respectively, and they
may be fixed or randomized; ε(ij)lm is random error and ε(ij)lm ~ N (0, 2eσ ). Sudoku square can remove three sources of variation
from experiment error. Accordingly, the mean of treatment should be more precise with smaller error than that in Latin square.
Sudoku square design may be applied to multifactor experiments. The basic method is that the rows and/or columns may be
substituted by experimental factors each consists of k levels, and hence the components ρl and γm in the model become main
effects of the factors. In such design, many effects and interactions have been confounded each other, but the main effects are
orthogonal and hence the estimate of one main effect is not influenced by the other main effects.
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Keywords: Sudoku square; Design and analysis; Field experiment
近年在亚、欧、美洲许多国家流行一种益智填
数游戏, 称为“数独”(Sudoku)[1-2]。该词已作为一
个热门新词入选美国 2007年版的《韦氏大词典》[3]。
数独的一种最常见模式是：在一个划分成 9 行、9
列、9区(box)共 81小格的方中, 填入适当的数字, 使
每一行、每一列和每一区都含有数字 1~9(不重复)。
图 1 就是一个填成的数独方, 其中粗体字是已知数
字, 其余是玩家填入的数字。数独方的基本特征, 如
果加以一般化, 完全可能应用于田间试验, 成为可
从行、列、区三向控制土壤-环境变异性的新设计。



图 1 一个 9行、9列、9区(粗线围成)的数独方及其
行、列、区编码
Fig. 1 A Sudoku square with 9 rows, 9 columns, and 9 boxes
surrounded by thick lines, and the codes of the rows,
columns, and boxes
1 数独方的定义和性质
1.1 数独方的基本概念
一个k行×k列的方, 再分成k个形状和面积相同
的区, 填入自然数 1~k; 若任一数字在每一行、每一
列和每一区都出现 1 次,且仅出现 1 次, 就称该方为
数独方。以试验设计用语则可表述为：k2个试验单
元(小区)分为k行、k列和k区, 使每行、每列和每区
都含有k个试验单元, 可安排处理 1~k。该设计就称
为数独方设计, 它的每一处理都是k次重复。
为便于一般化描述, 对数独方的行、列、区进
行编码。定义行序为从上而下记作 1~k, 列序为从左
到右记作 1~k; 并引入新词“区行”(box-row)和“区
列”(box-column), 区行是指由区组成的“行”, 从
上而下记序为 1~p; 区列是指由区组成的“列”, 从
左到右记序为 1~q。这样, k、p、q就成为数独方的
3个基本参数, 例如, 图 1即具有 k = 9, p = q =3。
1.2 构成数独方的必要条件
一个 k×k 方要能再分成 k 个区, 就必须满足条
件 k = pq; 而 p或 q如果为 1, 就退化为行或列, 也
不能构成数独方中的区。所以, 构成一个数独方的
必要条件是:
k = pq (p, q ≥ 2) (1)
在自然数中, 所有质数, 如 2、3、5、7、11、
13等, 仅有因子 1和其自身; 而所有非质数则除了 1
和其自身外, 至少还能被另外一个≥2的因子整除。
因此, 所有非质数的 k 都能构成数独方, 有些还能
构成两种或更多种数独方; 而质数的 k 都不可能构
成数独方。
1.3 数独方中区的组成
区的组成是指区的大小和小区(试验单元)的配
置方式, 可用区所包含的行数×列数, 即区行内的
行数×区列内的列数表示。例如 3×3表示每区包含
3行 3列, 共 9个小区, 正方形(图 1); 3×2表示每区
含 3行 2列, 共 6个小区, 直长方形; 2×3表示每区
含 2行 3列, 也是 6个小区, 但为横长方形(图 2)。3
×2和 2×3, 区的容量相同但小区配置方式不同。



图 2 一个 k=6, p=3, q=2的有限随机化数独方
Fig. 2 A Sudoku square with restricted randomization in k=6,
p=3, q=2

由于 k = pq, 故当数独方的区行数为 p时, 其每
区行数一定是 k/p = q, 列数一定是 k/q = p; 又, 在同
一 k 下, 若 p≠q, 则 p 和 q 的互换即形成小区的不
同配置方式。表 1列出 k≤20的 15种数独方设计及
其区的组成, 供选择使用。
2 数独方的设计和分析
2.1 设计
设计一个数独方需经 4 个步骤：(1)根据试验处
理数 k和区行数 p (这时 q亦已被决定, 因为 k = pq),

第 9期 莫惠栋等: 田间试验的一种新设计——数独方 1491

表 1 k≤20 的数独方设计及区的组成
Table 1 Design of Sudoku squares in k≤20 and the
box composition
设计参数 Design parameters

k p q
区的组成(行数×列数)
Box composition (rows×
columns)
4 2 2 2×2
6 3 2 2×3 3×2*
8 4 2 2×4 4×2*
9 3 3 3×3
10 5 2 2×5 5×2*
12 4 3 3×4 4×3*
12 6 2 2×6 6×2*
14 7 2 2×7 7×2*
15 5 3 3×5 5×3*
16 4 4 4×4
16 8 2 2×8 8×2*
18 6 3 3×6 6×3*
18 9 2 2×9 9×2*
20 5 4 4×5 5×4*
20 10 2 2×10 10×2*
* 由p和q互换得到。* Obtained from p and q exchange.

抽取 p组各含随机数 1~k (不重复)的数列, 用每一组
随机数数列循环地写出一个区行。在用第 1 组随机
数写第 1 区行时, 都可以按随机数的出现顺序依次
直接录入; 但用第 2 组及以后各组随机数写第 2 及
以后各区行时, 就可能遇到某随机数与列上已写入
的数字相同, 这时必须将该随机数移至随机数列的
末尾, 延后再写。这样就得到一个有限随机化的 k
行、k列、k区的数独方。如果 q < p, 则可以抽取 q
组随机数 , 用每组数列写出一个区列 , 方法类同 ,
但较为简便。(2)以有限随机化数独方为基础, 随机
排列区行和区行内的行; (3)随机排列区列和区列内
的列; (4)将 k个处理随机编码为 1~k, 设计完成。
上述(2)~(4)的随机化与通常设计, 特别是与拉
丁方设计的随机化[4-5]相似, (1)则是数独方设计所特
有的, 下面用例子详加说明。
例 1 设 k = 6, p = 3, q = 2, 抽取 q = 2组 1~6
的随机数为 5, 4, 1, 6, 3, 2; 2, 1, 4, 3, 6, 5。将其直接
写入第 1、第 2区列, 即得到有限随机化的数独方于
图 2。此例在写第 2区列时, 没有碰到与第一区列相
同的数字。
设以随机数 3、2、1作区行随机化, 2、1, 1、2,
1、2作区行内的行随机化; 1、2作区列随机化, 1、3、
2, 2、3、1作区列内的列随机化(图 2), 则得到随机
化的数独方于图 3。将 6个试验处理随机编码为 1~6,
此数独方设计即告完成。

3 1 5 4 6 2
2 6 4 3 5 1
1 5 3 2 4 6
6 4 2 1 3 5
4 2 6 5 1 3
5 3 1 6 2 4

图 3 一个 k = 6, p = 3, q = 2的数独方设计
Fig. 3 A Sudoku square design in k = 6, p = 3, q = 2

例 2 设 k = 12, p = 3, q = 4, 写出一个有限随机
化的数独方。以随机数列 8、10、5、2、12、9、6、
1、4、11、3、7循环写出区行 1; 以随机数列 7、5、
12、8、1、3、9、10、6、4、11、2循环写出区行 2(在
第 5行上, 当写至第 4列时上方已有“8”, 故“8”
被移至数列末而填“1”; 当写至第 5列时上方已有
“3”, 故“3”又被移至数列末而填“9”; 依此类
推。这样, 依次被移到数列末尾的随机数共有 8; 3; 6;
8); 以随机数列 5、7、3、10、8、9、12、4、6、1、
11、2循环写出区行 3(依次移至数列末的随机数有 9、
12、4; 1、11、2; 12; 11、2; 11)。由此得到图 4的结
果。



图 4 一个 k = 12, p = 3, q = 4的有限随机化数独方
Fig. 4 A Sudoku square with restricted
randomization in k = 12, p = 3, q = 4

2.2 分析
数独方设计试验结果的线性数学模型为:
= + + ( , , , =1, 2, ... , )(ij)lm i j l m (ij)lmY i j lµ τ β ρ γ ε+ + + m k (2)
式中, Y(ij)lm为第l行第m列的小区观察值, 属于第i处
理第j区; µ为总平均数; τi、βj、ρl和γm依次为第i处理、
第j区、第l行和第m列的主效应, 可以是固定或随机

1492 作 物 学 报 第 34卷

=
的 [ 固 定 模 型 时 具 有 限 制
, 随机模型时, 假定τ
1 1
k k
i jτ β= =∑ ∑
1 1 0
k k
l mρ γ=∑ ∑ i、βj、ρl和γm依
次分别遵循N (0, 2tσ )、N (0, 2bσ )、N (0, 2rσ )和N (0,
2
cσ )]; ε(ij)lm为随机误差, 遵循N (0, 2eσ )。根据这一模
型, 数独方试验资料的方差分析列于表 2。
表 2中各 SS的定义为:
2
2 2
1
2 2
1
2 2
1
2 2
1
2 2
( )
1
/ ( / )
/ ( / )
/ ( / )
/ ( / )
( / )
k
t t
k
b b
k
r r
k
c c
k
T ij lm
e T t b r c
SS T k T k
SS T k T k
SS T k T k
SS T k T k
SS Y T k
SS SS SS SS SS SS
⎫= − ⎪⎪⎪⎪= − ⎪⎪⎪= − ⎪⎬⎪⎪= − ⎪⎪⎪= − ⎪⎪⎪= − − − − ⎭
∑
∑
∑
∑
∑
(3)
式中, Tt、Tb、Tr、Tc和T依次为各处理、各区、各行、
各列和全试验的总和数。

当F= MSt/MSe为显著时, 处理平均数的标准误
yS 和处理平均数差数的标准误 y yi iS − ′ 为：
/
2 /
i i
y e
y y e
S MS k
S MS′−
=
= k (4)
2.3 优缺点
与拉丁方设计[5-6]相比, 数独方设计增添了一项
区效应βj, 即可以将区间变异从试验误差中分离出
来。因而可期望, 数独方应用于田间试验, 将比拉丁
方更能控制土壤环境变异, 从而使处理平均数间的
比较更为精确。在具有团块状变异的试验地上做较
为精密的试验, 数独方设计将特别值得推荐。
但是, 数独方设计也存在缺点。除了与拉丁方
设计共有的缺点(如试验地要方整、处理数不宜太多
或太少等)外, 还有另外一个限制, 即质数的 k 能够
构成拉丁方, 却不能构成数独方。所以数独方只能
是某些情况下的一种备择设计。

表 2 k×k 数独方试验资料的方差分析
Table 2 ANOVA for the experimental data from a k×k Sudoku square design
EMS 变异来源
Source of variation
df SS MS
固定 Fixed 随机 Randomized
处理 Treatments k−1 SSt MSt 2 2 / 1e ik kσ τ+ −∑ 2 2e tkσ σ+
区 Boxes k−1 SSb MSb 2 2 / 1e jk kσ β+ −∑ 2 2e bkσ σ+
行 Rows k−1 SSr MSr 2 2 / 1e lk kσ ρ+ −∑ 2 2e rkσ σ+
列 Columns k−1 SSc MSc 2 2 / 1e mk kσ γ+ −∑ 2 2e ckσ σ+
误差 Error (k−1)(k−3) SSe MSe 2eσ 2eσ
总 Total k2−1 SST

3 数独方设计应用于多因素试验
数独方设计亦可应用于多因素试验, 其基本方
法是：在原试验处理因素(k 水平)的基础上, 再在行
向和 /或列向分别排入各具k水平的新试验因素R和
C。这实际上是k3(3个试验因素各有k个水平的缩写)
试验的 1/k实施[6], 但各试验因素每一水平的重复次
数都仍为k。
例 3 设图 2的 1~6是研究 6种氮素水平对玉
米产量效应的设计, 如果我们在行向按随机数字 3、
2、1、6、4、5排入 6种磷素水平, 在列向按随机数
字 3、1、5、4、6、2排入 6种钾素水平, 即成为数
独方设计的氮、磷、钾 3 个试验因素各 6 水平的试
验(图 3)。它是 63试验的 1/6 实施, 因为 3 因素各 6
水平可构成 6×6×6=216 个处理组合, 而现在只有
62=36个处理组合。
任何部分实施的试验, 都会带来效应间、互作
间、效应和互作间的混杂[6-7]。但在数独方设计中, 原
试验因素的每一处理(每一水平)与任一区、任一行和
任一列都是相遇 1 次, 且仅相遇 1 次。因此处理与
区、与行、与列都是正交的, 行与列也是正交的[8]。
这就保证了原试验因素与添加试验因素的主效应都
不会彼此混杂, 亦即任一因素的主效应都不受其余
因素主效应的影响[7]。因此, 在暂不考虑因素间的互
作时, 此种设计仍可以放心应用。
这一设计各试验因素每一水平的重复次数仍均
为 k, 故试验结果的分析可直接应用表 2和公式(2)~
(4), 仅需将“行”和“列”分别换成试验因素 R 和
C 即可。不过应该注意到, 行间、列间的变异(如果
存在的话)已与试验因素 R和 C相混杂, 故 R和 C的
试验精确度可能会比原试验因素差。
第 9期 莫惠栋等: 田间试验的一种新设计——数独方 1493

这一设计的一种变型是在行向和 /或列向也可
各排入 2 个试验因素。行向可有试验因素 P, 具 p
水平, 随机排入 p 个区行; 试验因素 Q, 具 q 水平,
随机排入每一区行内的 q 个行。列向可有试验因素
Q′, 具 q′水平, 随机排入 q 个区列; 试验因素 P′, 具
p′ 水平 , 随机排入每一区列内的 p 个列(p=p′, q=
q′)。在此情况下, P因素和 P′ 因素每一水平的重复
次数均为 qk, Q因素和 Q′ 因素每水平的重复次数均
为 pk, 而原处理因素的重复次数则仍为 k。
例 4 设图 4的数独方将用于 12个大麦品系的
产量比较试验。可在区行随机排入 p=3 水平的播种
期因素, 在区行内的行随机排入 q=4 水平的播种量
因素; 在区列随机排入 =4 的施肥期因素, 在区列
内的列随机排入 p′ =3的施肥量因素。
q′
这一设计有 5 个试验因素, 但主效应仍保持正
交, 可以帮助了解供试品系对播种、施肥时期和数
解因子平方和的公式[9]完全相同, 不赘述。
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将被再分解为dfP = p−1, dfQ = q−1和dfP×Q = (p−1)
(q−1); “列”的df = k−1, 也将被再分解为 = p−1,
= q−1和
Pdf ′
Qdf ′ P Qdf ′ ′× = (p−1) (q−1)。SS也要做相应的
分解, 其公式与二因素试验或二裂式裂区试验中分
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