全 文 ：第 38 卷 第 8 期
2016 年 8 月
北 京 林 业 大 学 学 报
JOUＲNAL OF BEIJING FOＲESTＲY UNIVEＲSITY
Vol． 38，No． 8
Aug．，2016
DOI:10． 13332 / j． 1000--1522． 20150491
天然云冷杉针阔混交林单木胸径树高空间自回归模型研究
娄明华1，2 张会儒1 雷相东1 卢 军1
(1 中国林业科学研究院资源信息研究所 2 宁波市农业科学研究院)
收稿日期:2015--12--11 修回日期:2016--03--29
基金项目:“十二五”国家科技支撑计划课题(2012BAD22B02)。
第一作者:娄明华，博士生。主要研究方向:森林可持续经营。Email:mhlou1987@ 163． com 地址:100091 北京市海淀区东小府 1 号中国
林业科学研究院资源信息研究所。
责任作者:张会儒，研究员，博士生导师。主要研究方向:森林可持续经营。Email:huiru@ ifrit． ac． cn 地址:同上。
本刊网址:http:j． bjfu． edu． cn;http:journal． bjfu． edu． cn
摘要:林木间普遍存在着空间自相关，这直接关联着林木间的竞争与相互作用。单木胸径树高模型是森林生长、收获与预
测的基础，忽略林木间的空间自相关将会导致胸径树高模型的普通最小二乘(OLS)回归违背残差独立分布假设，导致犯
第一类错误的可能性变大，以及模型参数标准差的有偏估计和回归模型估计的有效性降低。因此，本文选择我国东北地
区主要森林类型即天然云冷杉针阔混交林为研究对象，考虑林木间的空间自相关，选用合适的线性化单木胸径树高 OLS
模型为基准模型，利用 3个同步自回归(SAＲ)模型即空间滞后模型(SLM)、空间误差模型(SEM)和空间 Durbin 模型
(SDM)，构建该混交林的单木胸径树高模型。与此同时，每个 SAＲ模型分别采用 5个不同的空间加权矩阵即 Delaunay三
角网(DT)矩阵、逆距离一次幂(ID1)、逆距离二次幂(ID2)、逆距离五次幂(ID5)和高斯变异函数(GV)矩阵，利用极大似然
(maximum likelihood)估计 3个 SAＲ模型的参数。对 OLS和 3个 SAＲ模型的回归参数进行 t检验，对 3个 SAＲ模型的自
回归参数进行似然比检验。选择Moran’s I(MI)指数比较分析4个模型的残差空间自相关，选择决定系数(Ｒ2)、均方根误
差(ＲMSE)和 Akaike信息准则(AIC)3个拟合指标比较分析这 4个模型的拟合效果，选择均方误差(MS)检验模型预测效
果。结果表明:未考虑空间自相关的 OLS模型残差存在正空间自相关;3个 SAＲ模型拟合效果均优于 OLS，SDM和 SEM
的拟合效果最好，SLM最差;无论使用哪个空间加权矩阵，SLM均不能消除模型残差空间自相关，但可降低空间自相关，在
一定程度上提高了模型的拟合效果;5个空间矩阵应用于 SDM和 SEM时，均可以消除模型残差空间自相关，但空间加权
矩阵 GV只适用于 SEM;ID2是 5个空间加权矩阵中最好的空间加权矩阵，将 ID2应用于 4个模型进行预测时，SDM和
SEM的预测效果明显优于 SLM，但 3个 SAＲ模型的预测效果均优于 OLS。利用 3个 SAＲ模型提高了单木胸径树高模型
拟合和预测的精度，为合理经营天然云冷杉针阔混交林提供了理论基础。
关键词:空间自相关;胸径;树高;自回归模型
中图分类号:S758. 5 + 2 文献标志码:A 文章编号:1000--1522(2016)08--0001--09
LOU Ming-hua1，2;ZHANG Hui-ru1;LEI Xiang-dong1;LU Jun1 ． An individual height-diameter
model constructed using spatial autoregressive models within natural spruce-fir and broadleaf
mixed stands． Journal of Beijing Forestry University (2016)38(8)1--9［Ch，50 ref．］
1 Ｒesearch Institute of Forest Ｒesources Information Techniques，Chinese Academy of Forestry，Beijing，
100091，P． Ｒ． China;
2 Ningbo Academy of Agriculture Sciences，Ningbo，Zhejiang，315040，P． Ｒ． China．
Spatial autocorrelation is a common phenomenon in forestry． It directly connects competition and
interaction among individuals． Individual height-diameter models are fundamentally important for forest
growth，yield modeling and forecasting． Violation of residual independent distribution assumption in
ordinary least squares (OLS)will inflate type 1 errors，lead to biased estimates of the standard errors of
model parameters，and decrease the efficiency of estimation in a regression model， if the spatial
autocorrelation among the individuals is ignored． Therefore，three simultaneous autoregressive (SAＲ)
models，including spatial lag model (SLM)，spatial error model (SEM)and spatial Durbin model
(SDM)within five spatial weight matrices，including Delaunay triangulation (DT) ，inverse distance
raised to one power (ID1) ，inverse distance raised to two powers (ID2) ，inverse distance raised to five
powers (ID5)and Gaussian variogram (GV) ，were applied to construct individual height-diameter
北 京 林 业 大 学 学 报 第 38 卷
models of natural spruce-fir and broadleaf mixed stands which are the main forest type in northeast China，
with linearization individual height-diameter OLS model as a benchmark model． Model parameters of
three SAＲ models were estimated by maximum likelihood． Model coefficients of OLS and three SAＲ
models were tested by t-test，the autoregressive parameters of three SAＲ models were all tested by
likelihood ratio test． Moran’s I (MI)was selected to compare autocorrelation of four model residuals．
Three statistical indices，i． e． coefficient of determination (Ｒ2)，root mean square error (ＲMSE)and
Akaike information criterion (AIC) ，were regarded as the appropriate criteria to identify the model fitting
among OLS，SLM，SDM and SEM． Mean square error (MS)was selected to identify the predictive
validity among four models． Ｒesults show that residuals of OLS were positive spatial dependence for
ignoring the spatial autocorrelation among individuals． The model fittings of three SAＲ models were better
than that of OLS． Among the three SAＲ models，model fitting of SLM was worse than those of SDM and
SEM． SLM do not remove but reduce the spatial autocorrelation of model residuals，and slightly improve
the model fitting，no matter which spatial weight matrices are used in SLM． All of the spatial weight
matrices used in SDM and SEM could remove the spatial autocorrelation of residuals;however，GV was
only applicable to SEM． Among all spatial weight matrices，ID2 was the best spatial weight matrix． Using
ID2 into four modes，the predictive validity of SDM and SEM was superior to that of SLM，while the
predictive validity of three SAＲ was better than that of OLS． Using three SAＲ models，fitting and
prediction of individual diameter at breast height and height models were improved，and it may provide a
theoretical basis for reasonable management of natural spruce-fir and broadleaf mixed stands．
Key words spatial autocorrelation;diameter at breast height;height;autoregressive model
单木胸径树高模型是森林生长、收获与预测的
基础［1
--3］，广泛用于林木材积估计［4
--5］、林分中林木
地位确定［6］、优势高确定及立地生产力指数计
算［5，7
--8］、林分生长及其演替规律的描述［9--10］等。传
统单木胸径树高模型均假定林木间是相互独立的，
通常采用普通最小二乘(ordinary least squares，
OLS)进行估计。然而，研究者们逐渐意识到林木间
的关系不是相互独立的［11
--13］，这是因为林木间存在
空间自相关，林木间的空间自相关直接关联着林木
间的竞争和相互作用［14
--16］。根据著名的 Tobler 地
理学第一定律(Tobler’s first law of geography)，可知
相邻林木间的空间自相关程度强于相离林木间的空
间自相关程度［17
--20］。从林学角度上看，忽略林木间
的空间自相关关系即林木间的竞争和相互作用关
系，将使构建的单木胸径树高模型与实际的单木胸
径树高生长规律存在着较大偏差，从而导致人们对
森林生长、收获与预测的有偏估计［16］;从统计学角
度上看，忽略林木间的空间自相关也会使 OLS 回归
违背残差独立分布假设，导致犯第一类错误可能性
变大［18，21
--24］、模型参数标准差的有偏估计及回归模
型估计有效性的降低［15，25
--28］。因此，林木间的空间
自相关不能忽视。
为了考虑林木间的空间自相关，国外已有学者
将空间自相关模型加入到单木胸径树高模型中，而
在国内尚无报道。目前，空间自相关模型有地理加
权回归(geographically weighted regression)模型［29--30］
和同步自回归(simultaneous autoregressive，SAＲ)模
型［16，31］等。其中 SAＲ 模型是基于空间自相关过程
发生在模型应变量、模型解释变量及模型误差的可能
性而构建的，直接将林木变量和林木间的空间自相关
结构镶嵌于模型中，因此是最为常用的空间自相关模
型［16，24，31］。具体来说，SAＲ 模型包括空间滞后模型
(spatial lag model，SLM)、空间误差模型(spatial error
model，SEM)和空间Durbin模型(spatial Durbin model，
SDM)，其中 SLM假设空间自回归过程只发生在应变
量，SEM假设该过程只发生在模型误差项，SDM假设该
过程同时发生在应变量和解释变量［32
--33］。
天然云冷杉林是我国寒温带分布最广的森林类
型，也是我国东北地区主要森林类型之一，具有重要
的生态、经济和社会效益［34--35］。其中，云冷杉针阔
混交林是东北地区重要的用材林和风景林，在水土
保持和水源涵养方面发挥着重要作用［36
--37］。因此，
本文以东北地区的天然云冷杉针阔混交林为研究对
象，考虑林木间的空间自相关，利用 SAＲ 模型研究
该混交林的单木胸径树高模型，为合理经营管理天
然云冷杉针阔混交林提供理论基础。
1 材料与方法
1. 1 研究区概况与数据
研究区位于吉林省东部的汪清林业局金沟岭林
2
第 8 期 娄明华等:天然云冷杉针阔混交林单木胸径树高空间自回归模型研究
场，其地理坐标为 130°0553″ ～ 130°1955″E，43°17
31″ ～ 43°2526″N。属长白山系老爷岭山脉雪岭支
脉，地貌为低山丘陵，海拔 300 ～ 1 200 m，坡度一般
在 5° ～ 25°。研究区属季风型气候，年均气温 3. 9 ℃
左右，年均降水量 600 ～ 700 mm，且集中在夏季，占
全年总降水量的 80%。土壤以暗棕壤为主，平均厚
度在 40 cm左右。该区植被属长白山植物区系，群
落结构复杂，植物种类较多。主要树种有云杉
(Picea asperata)、冷杉(Abies fabri)、长白落叶松
(Larix olgensis)、白桦(Betula platyphylla)、红松
(Pinus koraiensis)、山杨(Populus davidiana)、榆树
(Ulmus pumila)、杨树(Populus spp．)、椴树(Tilia
tuan)、黑桦(Betula dahurica)、色木槭(Acer pictum)、
水 曲 柳 (Fraxinus mandshurica )、 黄 菠 萝
(Phelladendron amurense)等。
数据来源于 2013 年 7 月至 9 月中在金沟岭
林场设置的 12 块 100 m × 100 m 天然云冷杉针阔
混交林固定样地。利用罗盘仪将每块样地划分
为 100 个 10 m × 10 m 的网格单元，在每个网格单
元内，对胸径 5 cm 以上的树木进行每木调查，记
录树种，测量胸径、树高、枝下高、东西南北冠幅、
枯死原因等因子，并利用激光测距仪测定林木坐
标(X，Y)。本文选择坡度、坡位、坡向及海拔基
本一致的 2 块样地，一块样地数据作为建模数据
(图 1A)，另一块样地数据作为预测数据(图
1B)。2 块样地的坡度均为 5°，坡位均为下坡，坡
向均为东北坡，样地海拔 732 ～ 749 m。样地林分
特征见表 1。
图 1 林木分布图
Fig． 1 Individual distribution diagram
表 1 2 块样地林分特征
Tab． 1 Stand characteristics of two plots
数据
Data
株数
Number
of trees
平均胸径 ±标准差
(最小值，最大值)
Mean diameter at
breast height ± standard
deviation (min-value，
max-value)/ cm
断面积
Basal
area /m2
平均高 ±标准差
(最小值，最大值)
Mean height ± standard
deviation (min-value，
max-value)/m
树种组成(100 分法)
Species composition
建模数据
Modeling
data
796 18. 08 ± 8. 87(5. 0，55. 5) 0. 23
13. 21 ± 5. 74
(3. 4，34. 2)
23 冷杉 Abies fabri 14 红松 Pinus koraiensis 14 白桦
Betula platyphylla 11 落叶松 Larix olgensis 10 云杉 Picea
asperata 7 椴树 Tilia tuan 6 枫桦 Betula costata + 色木
Acer pictum －杨树 Populus spp． －榆树 Ulmus pumila －
水曲柳 Fraxinus mandshurica － 黄菠萝 Phelladendron
amurense －红豆杉 Taxus chinensis
预测数据
Validation
data
765 19. 06 ± 8. 63(5. 0，72. 0) 0. 26
13. 81 ± 5. 82
(3. 6，34. 4)
19 冷杉 A． fabri 15 红松 P． koraiensis 13 椴树 T． tuan
11 枫桦 B． costata 10 落叶松 L． olgensis 10 云杉 P．
asperata 6 杨树 P． spp． 5 色木 A． pictum + 白桦 B．
platyphylla －榆树 U． pumila －水曲柳 F． mandshurica －红
豆杉 T． chinensis
3
北 京 林 业 大 学 学 报 第 38 卷
1. 2 普通最小二乘回归模型
由于当前同步自回归(SAＲ)模型均是线性的，
而不是非线性的［16］，因此本文只考虑线性化的单木
胸径树高普通最小二乘回归(OLS)模型。根据建模
数据的胸径与树高散点图(图 2)，选用 8 个备选的
线性化模型(见表 2)。
图 2 胸径树高散点图
Fig． 2 Scatterplot of diameter at breast height against height
表 2 备选模型
Tab． 2 Alternative models
模型序号
Model No．
模型表达式
Model expression
参考文献
Ｒeferences
A ln H = β0 + β1 ln D + ε ［19］
B ln H = β0 + β1D + ε ［38--39］
C ln H = β0 + β1D － 1 + ε ［9］
D H － 1 = β0 + β1D － 1 + ε ［39］
E H = β0 + β1 ln D + ε ［9］
F H = β0 + β1D + β2D2 + ε ［9］
G H = β0 + β1D － 1 + β2D2 + ε ［9，38］
H H － 1 = β0 + β1D － 1 + β2D － 2 + ε ［9，38］
注:H表示树高;D 表示胸径;β0、β1和 β2表示回归系数;ε 表示模型
残差。Note:H means tree height，D diameter of breast height，β0，β1
and β2 regression coefficient，and ε model residule．
1. 3 同步自回归模型
本文选用同步自回归(SAＲ)模型处理林木间的
空间自相关。SAＲ模型包括空间滞后模型(SLM)、
空间误差模型(SEM)和空间 Durbin模型(SDM)，其
表达式［17，23，33，40
--41］如下:
Y = ρWY + Xβ + ε (1)
Y = Xβ + λWξ + ε (2)
Y = ρWY + Xβ +WXγ + ε (3)
式(1)、式(2)和式(3)分别表示 SLM、SEM 和
SDM。其中，Y表示应变量矩阵，X 表示解释变量矩
阵，W表示空间加权矩阵，β 表示回归系数，ε 表示
模型残差，ρ、λ 和 γ 均表示空间自回归系数，ξ 表示
空间相关残差。WY、WY 和 Wξ 为 3 个空间滞后变
量。当 ρ = 0 时，式(1)则变为线性回归模型;当 λ =
0 时，式(2)则为线性回归模型;当 ρ 和 γ 同时为 0
时，式(3)则为线性回归模型。同时，采用极大似然
(maximum likelihood)法估计 3 个 SAＲ模型的参数，
通过 Ｒ 统计语言［42］的 spdep 包的 lagsarlm 和
errorsarlm函数［43］实现。
1. 4 空间加权矩阵
空间加权矩阵(spatial weight matrix)是 SAＲ 模
型重要的组成部分。本文选取常用的空间加权矩阵
即相接邻近(contiguous neighbors)矩阵、逆距离幂
(inverse distances raised to some power)矩阵和地统
计(geostatistical)矩阵［31，44］。
相接邻近矩阵选用 Delaunay 三角网(Delaunay
triangulation，DT)矩阵［45］等。DT矩阵中，林木间为
相接邻近关系时，其空间加权值为 1，否则为 0。利
用 Ｒ统计语言的 spdep 包的 trib2nb 函数［43］计算空
间加权值。
逆距离幂矩阵包括逆距离一次幂(inverse
distances raised to one power，ID1)、逆距离二次幂
(inverse distances raised to two power，ID2)和逆距离
五次幂(inverse distances raised to five power，ID5)3
种形式［44，46］。公式如下:
wij =
1 /dnij i≠j
0{ 其他 (4)
式中:dij表示林木 i 与其相邻木 j 的距离，wij表示林
木 i与其相邻木 j 的空间加权值，当 n = 1 时，则为
ID1;当 n = 2 时，则为 ID2;当 n = 5 时，则为 ID5。
Getis 等［44］ 利 用 满 足 本 征 假 设 (intrinsic
hypothesis)的变异函数构建了一个地统计矩阵，即
高斯变异函数(Gaussian variogram，GV)矩阵。公式
如下:
wij =
exp (－ d2ij / r
2) dij ＜ r
0{ 其他 (5)
式中:r表示变程。
利用 Ｒ 统计语言的 nlme 包的 corGaus 函数［47］
计算 GV矩阵的空间加权值。
本文采用 DT、ID1、ID2、ID5 和 GV 共 5 个空间
加权矩阵，应用于 3 个 SAＲ模型中。
1. 5 空间自相关检验指标
选择常用的 Moran’s I(MI)检验模型残差的空
间自相关程度。公式［48］如下:
MI =
n∑
n
i = 1
∑
n
j = 1
wij(yi － y)(yj － y
(
)
∑
n
i = 1
(yi － y) ) (2 ∑n
i = 1
∑
n
j = 1
w )ij (6)
4
第 8 期 娄明华等:天然云冷杉针阔混交林单木胸径树高空间自回归模型研究
式中:MI表示模型残差的空间自相关程度量化值，n
表示林木株数，yi和 yj分别表示第 i 株林木和第 j 株
林木的模型残差值，y表示平均模型残差，wij表示第
i株林木和第 j株林木的空间加权值。
其原假设为 MI等于期望值 MI0 = － 1 /(n － 1)，
表明不存在空间自相关。如果 MI 显著(α = 0. 01)
大于 MI0，则模型残差为正自相关，说明相邻林木间
的相似程度高;反之MI显著(α = 0. 01)小于MI0，则
模型残差为负自相关，说明相邻林木间的不相似程
度高。利用 Ｒ统计语言的 spdep 包的 moran. test 函
数［43］进行检验。
1. 6 模型拟合指标
为了方便比较模型之间的模型拟合程度，本文
选用决定系数(coefficient of determination，Ｒ2)、均
方根误差(root mean square error，ＲMSE)和 Akaike
信息准则(Akaike information criterion，AIC)3 个拟
合指标。
1. 7 模型预测指标
预测误差(ei)为预测数据的观测值与预测值之
差。其中，ei的平均值(e)表示模型预测准确度
(accuracy)，ei的标准差(σ)作为模型预测精确度
(precision)。均方误差(mean square error，MS)是模
型预测准确度和精确度的结合［31，49
--50］，公式如下:
MS = e2 + σ2 (7)
本文将采用 e、σ和 MS作为模型预测指标。
2 模型比较分析
选择最优的备选线性化模型作为本文的普通最
小二乘回归模型，然后与 SLM、SEM 和 SDM 3 个
SAＲ模型进行比较，分析其模型残差空间自相关、
模型拟合、模型参数估计效果及模型预测效果。
2. 1 普通最小二乘回归模型确定
利用 Ｒ2和 ＲMSE 2 个拟合指标，比较 8 个备选
模型。从表 3 可看出，备选模型 C 可作为最合适单
木胸径树高 OLS 模型，虽然其 Ｒ2略小于模型 F，
ＲMSE略大于模型 F，但从模型形式上看，模型 C 较
模型 F更为简单，因为模型 F增加了解释变量 D2。
表 3 备选模型的拟合指标
Tab． 3 Fitting index of eight alternative models
模型序号 Model No． Ｒ2 ＲMSE
A 0. 715 0. 237
B 0. 571 0. 290
C 0. 736 0. 228
D 0. 692 0. 233
E 0. 733 0. 228
F 0. 740 0. 226
G 0. 710 0. 251
H 0. 696 0. 226
2. 2 模型残差空间自相关
由表 4 可知，5 个空间加权矩阵的 OLS 残差 MI
值均显著(P ＜ 0. 01)大于期望值 MI0 = － 1 /(796 －
1)= － 0. 001 3，说明 OLS残差存在正空间自相关。
5 个空间加权矩阵的 SLM 残差 MI 值均显著(P ＜
0. 01)大于 MI0，但其 MI 值小于相同空间加权矩阵
的 OLS残差 MI值，说明 SLM 没有消除模型残差的
空间自相关，但是降低了空间自相关。除了 GV，其
他 4 个空间加权矩阵的 SDM残差 MI 值均与 MI0差
异不显著(P ＞ 0. 1)，说明选择合适的空间加权矩
阵，SDM可以消除模型残差的空间自相关，同时也
表明产生模型残差的空间自相关可能是由滞后变量
WY(即相邻加权树高)和滞后变量WX(即相邻加权
胸径)共同作用产生的。5 个空间加权矩阵的 SEM
残差 MI 值均与 MI0差异不显著(P ＞ 0. 1)，表明
SEM可以消除模型残差的空间自相关，但空间自相
关可能由滞后变量 Wξ(即相邻加权未观测的变量)
产生的，因为 SEM的前提假设是空间自相关过程来
源于模型误差;同时也表明 GV 空间加权矩阵适用
于 SEM，而不适用于 SDM。
表 4 4 个模型残差的空间自相关
Tab． 4 Test for spatial autocorrelation of four model residuals
空间加权矩阵
Spatial weight matrix
OLS SLM SDM SEM
MI P MI P MI P MI P
DT 0. 120 0. 000 0 0. 097 0. 000 0 － 0. 006 0. 820 6 － 0. 006 0. 831 2
ID1 0. 082 0. 000 0 0. 069 0. 000 0 － 0. 014 0. 345 2 － 0. 010 0. 505 9
ID2 0. 167 0. 000 0 0. 115 0. 000 0 － 0. 014 0. 616 8 － 0. 013 0. 637 2
ID5 0. 204 0. 000 0 0. 129 0. 000 9 － 0. 005 0. 920 8 － 0. 006 0. 910 6
GV 0. 568 0. 000 0 0. 385 0. 004 6 0. 342 0. 011 9 － 0. 066 0. 635 5
注:DT是 Delaunay三角网;ID1 是逆距离一次幂;ID2 是逆距离二次幂;ID5 是逆距离五次幂;GV是高斯变异函数。下同。Notes:DT，Delaunay
triangulation;ID1，inverse distances raised to one power;ID2，inverse distances raised to two power;ID5，inverse distances raised to five power;GV，
Gaussian variogram． The same below．
5
北 京 林 业 大 学 学 报 第 38 卷
2. 3 模型拟合
利用 Ｒ2、ＲMSE和 AIC 3 个拟合指标，比较分析
OLS与 3 个 SAＲ 模型即 SLM、SDM 和 SEM 的模型
拟合效果。由表 5 和表 3 可知:3 个 SAＲ 模型的 Ｒ2
均大于 OLS，ＲMSE 和 AIC 均小于 OLS，说明 3 个
SAＲ模型的拟合效果均优于 OLS。3 个 SAＲ 模型
中，SDM和 SEM拟合效果明显优于 SLM，这是因为
SLM没有消除模型残差的空间自相关，SDM与 SEM
的拟合效果基本相同。由表 5 还可以看出，依据
Ｒ2、ＲMSE和 AIC 3 个拟合指标，5 个空间加权矩阵
在 SDM 和 SEM 中的拟合效果比较结果是:ID2 最
好，DT排第二，ID1 和 ID5 并列第三，GV最差。
表 5 3 个 SAＲ模型的拟合
Tab． 5 Three SAＲ models fitting
空间加权矩阵
Spatial weight matrix
SLM SDM SEM
Ｒ2 ＲMSE AIC Ｒ2 ＲMSE AIC Ｒ2 ＲMSE AIC
DT 0. 737 0. 227 － 93. 188 0. 750 0. 221 － 121. 113 0. 749 0. 222 － 119. 047
ID1 0. 737 0. 227 － 92. 765 0. 748 0. 222 － 117. 564 0. 748 0. 222 － 116. 797
ID2 0. 739 0. 226 － 99. 366 0. 753 0. 220 － 127. 342 0. 753 0. 220 － 128. 421
ID5 0. 739 0. 226 － 98. 456 0. 748 0. 222 － 115. 410 0. 748 0. 222 － 117. 162
GV 0. 741 0. 225 － 106. 228 0. 742 0. 225 － 105. 994 0. 742 0. 225 － 104. 509
2. 4 模型参数
对 3 个 SAＲ模型及 OLS 的回归参数进行 t 检
验，对 3 个 SAＲ模型的自回归参数进行似然比检验
(likelihood ratio test)。由表 6 可知:无论用哪个空
间加权矩阵，3 个 SAＲ 模型的回归参数均显著不等
于 0(P ＜ 2. 2 × 10 －16)。3 个 SAＲ 模型的回归参数
β1均与 OLS的 β1比较相似，而回归参数 β0则不然。
SEM的 β0与 OLS的 β0相似，而 SDM和 SLM的 β0与
OLS的 β0不相似，β0随着空间加权矩阵的变化而发
生变化，这种不相似性在 SDM中表现尤为突出。事
实上，这种不相似性主要是因为 SDM 和 SLM 的模
型形式中增加了空间滞后变量 WY和 WX所致。
由表 7 可见，GV应用于 SDM中时，其自回归参
数 ρ和 γ 均不显著(P ＞ 0. 1)，说明 GV 不适用于
SDM。DI1 应用于 SLM 中时，其自回归参数 ρ 不显
著(P ＞ 0. 1)，说明 ID1 不适用于 SLM。自回归参数
ρ在 SDM 中的值均大于 SLM 的值(GV 除外)。在
SDM中，所有空间加权矩阵(GV 除外)的自回归参
数 ρ和 γ均显著不为 0，说明模型残差的空间自相
关是滞后变量 WY(即相邻加权树高)和滞后变量
WX(即相邻加权胸径)共同作用产生的。自回归参
数 γ远大于 ρ，这意味着应变量(如树高)的空间自
相关性显著强于解释变量(如胸径)的空间自相关
性。在 SEM中，所有空间加权矩阵(GV 除外)的自
回归参数 λ显著不为 0，说明空间自相关是由滞后
变量 Wξ(即相邻加权未观测的变量)产生的。
2. 5 模型预测
由 OLS、SLM、SDM和 SEM 4 个模型的模型残差
空间自相关、模型拟合及参数分析比较结果可知，
ID2 是最好的空间加权矩阵。因此，基于预测数据，
分别计算 ID2 构建的 4 个模型的 e、σ和 MS 模型预
测指标，以及预测残差的MI值及其 P值(见表 8)。由
表 8可知，3 个 SAＲ 模型的 σ 和 MS 均小于 OLS 相
应的预测指标值，3 个 SAＲ 模型的预测误差 MI 值
均小于 OLS的 MI值，说明 3 个 SAＲ 模型预测效果
均优于 OLS。在 3 个 SAＲ模型中，SDM和 SEM的 σ
和MS值基本相等，均明显小于 SLM的预测指标值，
同时 SDM和 SEM的预测误差MI值也相近，均比
表 6 3 个 SAＲ模型的回归参数
Tab． 6 Ｒegressive parameters of three SAＲ models
空间加权矩阵
Spatial weight matrix
SLM SDM SEM
β0 P β1 P β0 P β1 P β0 P β1 P
DT 3. 152 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 622 ＜2. 2 ×10 －16 2. 333 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 758 ＜2. 2 ×10 －16 3. 327 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 749 ＜2. 2 ×10 －16
ID1 3. 065 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 619 ＜2. 2 ×10 －16 2. 052 0. 0000 －8. 776 ＜2. 2 ×10 －16 3. 323 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 753 ＜2. 2 ×10 －16
ID2 3. 069 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 585 ＜2. 2 ×10 －16 2. 397 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 762 ＜2. 2 ×10 －16 3. 325 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 754 ＜2. 2 ×10 －16
ID5 3. 169 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 598 ＜2. 2 ×10 －16 2. 777 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 721 ＜2. 2 ×10 －16 3. 323 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 717 ＜2. 2 ×10 －16
GV 3. 313 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 733 ＜2. 2 ×10 －16 3. 315 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 760 ＜2. 2 ×10 －16 3. 318 ＜2. 2 ×10 －16 －8. 717 ＜2. 2 ×10 －16
注:OLS:β0 = 3. 318，P ＜2. 2 × 10 － 16;β1 = － 8. 650，P ＜2. 2 × 10 － 16。Note:OLS:β0 = 3. 318，P ＜2. 2 × 10 － 16;β1 = － 8. 650，P ＜2. 2 × 10 － 16．
6
第 8 期 娄明华等:天然云冷杉针阔混交林单木胸径树高空间自回归模型研究
表 7 3 个 SAＲ模型的自回归参数
Tab． 7 Autoregressive parameters of three SAＲ models
空间加权矩阵
Spatial weight matrix
SLM SDM SEM
ρ P ρ P γ P λ P
DT 0. 062 0. 094 3 0. 280 0. 000 0 3. 242 0. 000 0 0. 289 0. 000 0
ID1 0. 096 0. 123 2 0. 357 0. 000 0 4. 181 0. 000 0 0. 390 0. 000 0
ID2 0. 094 0. 002 7 0. 271 0. 000 0 2. 694 0. 000 0 0. 276 0. 000 0
ID5 0. 056 0. 004 5 0. 162 0. 000 0 1. 517 0. 000 0 0. 162 0. 000 0
GV 0. 039 0. 000 1 0. 018 0. 349 1 0. 609 0. 164 6 0. 265 0. 000 2
SLM的 MI 值小，说明 SDM 和 SEM 的预测效果相
近，SLM的预测效果最差。SLM 的预测效果明显比
SDM和 SEM差，其主要原因是 SLM 的预测误差 MI
值与 MI0具有显著差异(P ＜ 0. 01)，而 SDM 和 SEM
的预测误差 MI 值与 MI0差异不显著(P ＞ 0. 1)，这
说明了模型预测误差的空间自相关可以有效提高预
测效果。
表 8 模型预测指标及其预测误差的 MI值
Tab． 8 Model prediction index and MI of prediction residuals
模型 Model e σ MS MI P
OLS 0. 000 0 0. 227 6 0. 051 8 0. 167 2 0. 000 0
SLM 0. 000 0 0. 226 1 0. 051 1 0. 115 2 0. 000 0
SDM 0. 000 0 0. 220 0 0. 048 4 － 0. 013 9 0. 616 8
SEM 0. 000 0 0. 220 1 0. 048 4 － 0. 013 2 0. 637 2
3 结论与讨论
以线性化单木胸径树高 OLS 模型为基准模型，
利用 3 个 SAＲ 模型和 5 个空间加权矩阵构建基于
空间自相关的天然云冷杉针阔混交林单木胸径树高
模型，可得出以下结论:1)未考虑空间自相关的 OLS
模型残差存在正空间自相关;2)3 个 SAＲ 模型中，
SDM和 SEM的拟合效果最好，SLM 最差，但三者均
比 OLS 拟合效果好，这一结论与 Kissling 等［24］、
Meng 等［16］和 Lu 等［31］的结论类似;3)无论使用哪
个空间加权矩阵，SLM 均不能消除模型残差空间自
相关，但可降低空间自相关，在一定程度上提高了模
型的似合效果;4)5 个空间矩阵应用于 SDM和 SEM
时，均可以消除模型残差空间自相关，但空间加权矩
阵 GV只适用于 SEM;5)5 个空间加权矩阵中，ID2
是最好的空间加权矩阵;6)将 ID2 应用于 4 个模型
进行预测时，SDM 和 SEM 的预测效果明显优于
SLM，但 3 个 SAＲ模型的预测效果均优于 OLS。
从林分类型方面，本文只针对天然云冷杉针阔
混交林，将空间自回归模型应用于其他林分类型如
阔叶混交林和针叶混交林时，是否可以得出类似结
论，还有待进一步研究。对于分树种问题，本文只研
究了不分树种的单木胸径树高模型，这是由于分树
种构建空间自相关模型时，会改变林木间原有的空
间自相关结构，而林木间的空间自相关结构直接关
联着林木间的竞争和相互作用，如果原有的空间自
相关结构改变了，意味着林木间的竞争和相互作用
也改变了。将发生变化的林木间竞争和相互作用考
虑到胸径树高模型中，这样建立的模型将与实际不
符。因此，在不改变原有林木间空间自相关结构即
不改变林木间的竞争和相互作用条件下如何分树种
构建模型，是今后主要的研究工作。针对线性或非
线性模型问题，本文只用了线性化的空间自相关模
型，如何研究非线性的空间自相关模型，就目前来说
还是一个难题，也是今后的重点研究方向。
参 考 文 献
［1］ CALAMA Ｒ， MONTEＲO G． Interregional nonlinear height-
diameter model with random coefficients for stone pine in Spain
［J］． Canadian Journal of Forest Ｒesearch，2004，34(1):150--
163．
［2］ LEI X D，PENG C H，WANG H Y，et al． Individual height-
diameter models for young black spruce (Picea mariana)and jack
pine (Pinus banksiana)plantations in New Brunswick，Canada
［J］． The Forestry Chronicle，2009，85(1) :43--56．
［3］ GMEZ-GAＲCA E，FONSECA T F，CＲECENTE-CAMPO F，et
al． Height-diameter models for maritime pine in Portugal: a
comparison of basic，generalized and mixed-effects models ［J /
OL］． iForest，2015［2015--08--01］． http:/ /www． sisef． it / iforest /
pdf /?id = ifor1520--1008．
［4］ LASEＲN D Ｒ，HANN D W． Height-diameter equations for
seventeen tree species in Southwest Oregon［C］． Corvallis:Oregon
State University，1987．
［5］ JAYAＲAMAN K，LAPPI J． Estimation of height-diameter curves
through multilevel models with special reference to even-aged teak
stands［J］． Forest Ecology and Management，2001，142:155--
162．
［6］ COLBEＲT K， LAＲSEN D， LOOTENS J． Height-diameter
equations for thirteen midwestern bottomland hardwood species
［J］． Northern Journal of Applied Forestry，2002，19(4) :171--
176．
7
北 京 林 业 大 学 学 报 第 38 卷
［7］ HUANG S，TITUS S J． An index of site productivity for uneven-
aged or mixed-species stands ［J］． Canadian Journal of Forest
Ｒesearch，1993，23(3):558--562．
［8］ VANCLAY J K． Modelling forest growth and yield:applications to
mixed tropical forests ［M］． Wallingford:CAB International，
1994．
［9］ CUＲTIS Ｒ O． Height-diameter and height-diameter-age equations
for second-growth Douglas-Fir ［J］． Forest Science，1967，13:
365--375．
［10］ PENG C，ZHANG L，LIU J． Developing and validating nonlinear
height-diameter models for major tree species of Ontarios boreal
forests［J］． Northern Journal of Applied Forestry，2001，18(3) :
87--94．
［11］ FOＲD E D，DIGGLE P J． Competition for light in a plant
monoculture modelled as a spatial stochastic process［J］． Annals
of Botany，1981，48:481--500．
［12］ TOMPPO E． Models and methods for analysing spatial patterns of
trees ［M］． Helsinki:The Finnish Forest Ｒesearch Institute，
1986．
［13］ MATEU J，USO J，MONTES F． The spatial pattern of a forest
ecosystem［J］． Ecological Modelling，1998，108(1) :163--174．
［14］ MAGNUSSEN S． Application and comparison of spatial models in
analyzing tree-genetics field trials［J］． Canadian Journal of Forest
Ｒesearch，1990，20:536--546．
［15］ FOX J C，ADES P K，BI H． Stochastic structure and individual-
tree growth models［J］． Forest Ecology and Management，2001，
154(1) :261--276．
［16］ MENG Q，CIESZEWSKI C J，STＲUB M Ｒ， et al． Spatial
regression modeling of tree height-diameter relationships ［J］．
Canadian Journal of Forest Ｒesearch，2009，39(12) :2283--
2293．
［17］ ANSELIN L． Spatial econometrics:methods and models ［M］．
Dordrecht:Kluwer Academic Publishers，1988．
［18］ LEGENDＲE P． Spatial autocorrelation trouble or new paradigm?
［J］． Ecology，1993，74:1659--1673．
［19］ LEGENDＲE P， LEGENDＲE L． Numerical ecology ［M］．
Amsterdam:Elsevier，1998．
［20］ MILLEＲ H J． Toblers First Law and Spatial Analysis［J］． Annals
of The Association of American Geographers，2004，94(2) :284--
289．
［21］ LENNON J J． Ｒed-shifts and red herrings in geographical ecology
［J］． Ecography，2000，23(1) :101--113．
［22］ LEGENDＲE P， DALE M Ｒ T， FOＲTIN M J， et al． The
consequences of spatial structure for the design and analysis of
ecological field surveys ［J］． Ecography，2002，25(5) :601--
615．
［23］ DOＲMANN C F，MCPHEＲSON J M，AＲAUJO M B，et al．
Methods to account for spatial autocorrelation in the analysis of
species distributional data:a review［J］． Ecography，2007，30
(5) :609--628．
［24］ KISSLING W D， CAＲL G． Spatial autocorrelation and the
selection of simultaneous autoregressive models ［J］． Global
Ecology and Biogeography，2008，17:59--71．
［25］ KＲMEＲ W． Finite sample efficiency of ordinary least squares in
linear regression model with autocorrelated errors［J］． Journal of
the American Statistical Association，1980，75:1005--1099．
［26］ WEST P W，ＲATKOWSKY D A，DAVIS A W． Problems of
hypothesis testing of regressions with multiple measurements from
individual sampling units［J］． Forest Ecology and Management，
1984，7(3) :207--224．
［27］ GＲEGOIＲE T G． Generalized error structure for forestry yield
models［J］． Forest Science，1987，33(2) :423--444．
［28］ ZHANG L， SHI H J． Local modeling of tree growth by
geographically weighted regression ［J］． Forest Science，2004，
50:225--244．
［29］ ZHANG L，BI H，CHENG P，et al． Modeling spatial variation in
tree diameter-height relationships ［J］． Forest Ecology and
Management，2004，189(1--3) :317--329．
［30］ ZHANG L，GOVE J H，HEATH L S． Spatial residual analysis of
six modeling techniques［J］． Ecological Modelling，2005，186
(2) :154--177．
［31］ LU J F，ZHANG L J． Modeling and prediction of tree height-
diameter relationship using spatial autoregressive models ［J］．
Forest Science，2011，57(3) :252--264．
［32］ CＲESSIE N A C． Statistics for spatial data［M］． Wiley Series in
Probability and Mathematical Statistics． New York:Wiley，1993．
［33］ HAINING Ｒ． Spatial data analysis:theory and practice ［M］．
Cambridge:Cambridge University Press，2003．
［34］李金良，郑小贤，王昕． 东北过伐林区林业局级森林生物多样
性指标体系研究［J］． 北京林业大学学报，2003，25(1):48--
52．
LI J L，ZHENG X X，WANG X． Study on forest biodiversity index
system of northeast over cutting forest region based on forestry
bureau level［J］． Journal of Beijing Forestry University，2003，25
(1) :48--52．
［35］ 杨华，李艳丽，沈林，等． 长白山云冷杉针阔混交林主要树种
空间分布及其关联性［J］． 生态学报，2014，34(16):4698--
4706．
YANG H，LI Y L，SHEN L，et al． Spatial distributions and
associations of main tree species in a spruce-fir forest in the
Changbai Mountains area in northeastern China ［J］． Acta
Ecologica Sinica，2014，34(16) :4698--4706．
［36］ 李冰，樊金拴，车小强． 我国天然云冷杉针阔混交林结构特
征、更新特点及经营管理［J］． 世界林业研究，2012，25(3):
43--49．
LI B，FAN J S，CHE X Q． A review of studies on structural
features，regeneration features and management of natural spruce-
fir mixed stand of coniferous and broadleaved trees in China［J］．
World Forestry Ｒesearch，2012，25(3) :43--49．
［37］ 李艳丽，杨华，亢新刚，等． 长白山云冷杉针阔混交林天然更
新空间分布格局及其异质性［J］． 应用生态学报，2014，25
(2):311--317．
LI Y L，YANG H，KANG X G，et al． Spatial heterogeneity of
natural regeneration in a spruce-fir mixed broadleaf-conifer forest in
Changbai Mountains ［J］． Chinese Journal of Applied Ecology，
2014，25(2) :311--317．
［38］ HUANG S，TITUS S，WIENS D P． Comparison of nonlinear
height-diameter functions for major Alberta tree species ［J］．
8
第 8 期 娄明华等:天然云冷杉针阔混交林单木胸径树高空间自回归模型研究
Canadian Journal of Forest Ｒesearch，1992，22:1297--1304．
［39］ 李希菲，唐守正，袁国仁，等． 自动调控树高曲线和一元立木
材积模型［J］． 林业科学研究，1994，7(5):512--518．
LI X F，TANG S Z，YUAN G Ｒ，et al． Self-adjusted height-
diameter curves and one entry volume model ［J］． Forest
Ｒesearch，1994，7(5) :512--518．
［40］ CLIFF A D，OＲD J K． Spatial processes-models and applications
［M］． Economic Geography． London:Pion Ltd，1981．
［41］ FOＲTIN M J，DALE M Ｒ T． Spatial analysis: a guide for
ecologists［M］． Cambridge:Cambridge University Press，2005．
［42］ Ｒ Development Core Team． Ｒ:a language and environment for
statistical computing ［Ｒ /OL］． Vienna: Ｒ Foundation for
Statistical Computing，2010 ［2015--03--03］． http:/ /www． Ｒ-
project． org．
［43］ BIVAND Ｒ． SPDEP: spatial dependence:weighting schemes，
statistics and models:Ｒ package version 0． 5--88 ［Ｒ /OL］．
［2015--03--03］． http:/ /www． cran． r-project． org /web /packages /
spdep /spdep． pdf．
［44］ GETIS A，ALDSTADT J． Constructing the spatial weights matrix
using a local statistic［J］． Geographical Analysis，2004，36(2) :
90--104．
［45］ SMIＲNOV O，ANSELIN L． Fast maximum likelihood estimation of
very large spatial autoregressive models: a characteristic
polynomial approach ［J］． Computational Statistics and Data
Analysis，2001，35(3) :301--319．
［46］ LESAGE J P． Spatial econometrics［M/OL］． ［2015--07--03］．
https:/ /www． researchgate． net /publication /277298256 _ Spatial _
Econometrics．
［47］ PINHEIＲO J C，BATES D M，DEBＲOY S，et al． Nlme:Linear
and nonlinear mixed effects models:Ｒ package version 3． 1--120
［Ｒ /OL］． ［2015--03--03］． http:/ /www． cran． r-project． org /
web /packages /nlme /nlme． pdf．
［48］ PAＲADIS E． Morans autocorrelation coefficient in comparative
methods［M/OL］． ［2015--03--14］． http:/ /www． cran． r-project．
org /web /packages /ape /vignettes /MoranI． pdf．
［49］ AＲABATZIS A A，BUＲKHAＲT H E． An evaluation of sampling
methods and model forms for estimating height-diameter
relationships in loblolly pine plantations ［J］． Forest Science，
1992，38(1) :192--198．
［50］ ZHANG L J． Cross-validation of nonlinear growth functions for
modeling tree height-diameter distributions ［J］． Annals of
Botany，1997，79(3) :251--257．
(责任编辑 冯秀兰
责任编委 黄选瑞)
9