全 文 ：第 8卷 第 1期 湖南商学院学报 (双月刊) vo1.8 No.1
2001年 1月 JOURNAL OF HUNAN BUS INESS COLLEGE JAN.2001
解决葛粉包装中浪费问题的数学模型
秦松涛
(湖南武陵高等专科学校 , 张家界 427000)
〔摘 要〕 建立了食品包装中浪费问题的数学模型, 并由此将张家界市食品厂葛根宝包装中的浪费降至最低点 , 从而提高了生产效益。
〔关键词〕 食品包装;浪费问题;数学模型;目标函数;最优值
〔中图分类号〕 TS206 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1008—2107 (2001) 01—0111—02
一 问题的提出
葛根宝是张家界市食品厂的拳头产品 , 是纯天然绿色食
品 , 以清凉解热 , 味甜口爽 , 营养丰富等特点而闻名 , 是张家
界旅游地区的特色产品。该厂计划将葛根宝包装成标准重量 M
=2 公斤 1 袋出售。受众多因素的影响包装封口后一袋的重量
是随机变量 , 并且重量大致上服从正态分布 N (m , σ2=0.1),
其中均方差σ是由设备的精度决定的 , 无法随意改变 (该厂包
装设备中σ=0.1), 但均值 M 可以在包装过程中由包装机调
整。出厂检验时仪器精度很高 , 可以认定所测重量为准确值。
为了维护张家界旅游地区的形象 , 为了保证工厂的信誉 , 厂方
决定每袋重量多于标准重量 M 的仍按 M1 袋出售 , 因而厂方吃
亏;不足重量的打开封口返工或直接报废 , 这样厂方损失很
大。问如何调整包装机上的均值 m , 从而使厂方损失最小。
二 问题的分析
设包装后食品的重量为 x , 则 x 服从正态分布 N (m , σ2),
分布密度为
f (x)= 1
2πσe-
(x-m)2
2σ2 (-∞
定后 , 记 x≥M 的概率为 P , 即 P=P (x≥M)=∫+∞M f(x)dx
包装食品过程中的浪费由两部分组成:
①当 x≥M 时 , 包装时浪费重量 x-M ,
②当 x
设平均每包装 1 袋食品所浪费食品重量为W , 则
W=∫M-∞x f(x)dx +∫+∞M (x -M)f(x)d x
=∫+∞-∞xf(x)d x -M∫+∞M f(x)d x
由于∫+∞-∞ f(x)dx =1 , ∫+∞-∞xf(x)d x =m
所以 W =m -MP
包装的最终产品为合格品 ,浪费的多少不应以每包装 1袋产
品的平均浪费量来衡量 ,而应该以每得到1袋合格品的平均浪费
来衡量 , 所以应以每得到一袋合格品所浪费的平均食品重量为
目标函数。
三 数学建模与求解
假设共包装了 n袋食品(n 通常很大), 所用食品的总重量为
mn ,而 n 袋中可以包装成合格品的只有 pn 袋 , 合格品总重量为
Mpn , 于是共浪费总重量为:mn -Mpn
以每得到一袋合格品的平均浪费量 K 为目标函数 ,则
K = mn-Mpn
pn
= m
p
-M
由于M 为已知常数 ,所以目标函数 K等价于其右端第一项 ,
即
J(m)= m
P
= m
P(m) (1)
其中 P(m)表示概率 p =p(x ≥M)=∫+∞M 12πσ
e-(x-m)2
2σ2 dx , 它是 m 的函数。
设 F (x)为正态分布 N (m , σ2)的分布函数 , Υ(x)标
准正态分布的分布函数 ,
Υ(x)= 1
2π∫x-∞e-t22 dt
则 J (m)= m
P (m)= m1-F (M)= m
1-Υ(M-mσ )
设 u=mσ λ=Mσ (2)
则 (1)可表示为 J (u) = σu
1-Υ(λ-u)
令 t=λ-u (3)
则 (1)也可表示为 J (t)=σ(λ-t)
1-Υ(t)
用微分求函数的极值 , 易知极值点 (最优点) t 应满足方
〔收稿日期〕 2000—04—08
〔作者简介〕 秦松涛 (1964—), 男 , 湖南张家界市人 , 武陵高等专科学校讲师.
程
λ-t=1-Υ(t)φ(t) (4)
其中φ(t)=Υ′(t)。解方程 (4)得根 t＊, 再代入 (2),
(3)即可得到 m 的最优值 m＊。
设 G (t)=1-Υ(t)φ(t) 易知 , 当 t<0 时 , ddt G (t)<0 , 因
此方程 (4)有唯一负根 t＊。还可证得d2J (t)
dt2
t＊<0 , 因此 t＊
使得 J (t)取极小值。
四 葛根宝包装的最优值
在张家界食品厂葛根宝包装过程中 , 已知标准重量 M =2
公斤/袋 , 各种因素决定的包装后食品重量均方差σ=0.1 公斤
代入 (2)得λ=20 , 解方程 (4)得 t=-2.1 , 代入 (2),
(3)得出u=2.21 公斤 , 即最优均值应调整为 2.21 公斤 , 还可
算出 P (m＊)=0.9821 , 每包装 1 袋合格品浪费葛粉平均重量
为
K= m
P (m)-M=0.25 (公斤)
五 模型的评价
该模型中假定包装产品重量小于标准重量时整袋报废 , 但
实际生产时这种情况往往打开封口返工 , 也能够减少浪费 , 但
不利于提高生产效益 , 按模型中的均值生产 , 既能减少浪费 ,
又能提高生产效益。
〔参考文献〕
〔1〕 周义仓 , 赫孝良.数学建模实验 [ M] .西安:西安交通大学出版
社 , 1999.
〔2〕 李尚志.数学模型竞赛教程 [ M] .南京:江苏教育出版社 , 1996.
〔3〕 费培之 , 程中瑗.数学模型实用教程 [ M ] .成都:四川大学出版
社 , 1998.
(责任编辑:一 新)
(上接第 96页)公权当然受到尊重;反之 , 则制约市场经济之发
展。政府对经济管制 , 集中在一般管理行为和行政处罚行为两
方面。就一般管理行为而言 , 行政法所确认的管理范畴 , 政府
应当强化管理职能;另一方面 , 政府必须远离非行政法所明确
的经济管理范畴。对于后者 , 我们必须提及一个现象 , 即行政
权上的地方保护主义的问题。从理论上讲 , 政府最大限度发挥
城内积极性 , 扩张经济增长力 , 就可能隐含对外埠经济行为的
域内歧视 , 造成市场秩序的混乱 , 制造不公市场秩序 , 影响国
内统一市场的基本构建。这是不符合现代市场经济体制之要求
的。我国过去几十年的经济教训表明 , 在中央和地方的行政权
力关系上 , 完全放权和完全集权都不能有利于经济的发展和效
率。只有充分下放一般权力 , 但同时又将某些专门权力归属中
央 , 才会有利于经济的发展。要使任何产品 、 资本和劳动力可
以在全国范围内跨域自由流动 , 建立我国统一的大市场 , 反对
地方保护主义的行政公权尤为必要。地方保护主义的行政公权
约束 , 我们一方面倡导地方政府不为地方利益驱动 , 并着眼于
未来国家利益。但是事实上地方政府是难以完全对此自我抑制
的 , 因为它总有一种保护地方经济利益的自然倾向。从根本
上 , 需要由中央政府解决 , 即通过一些新的管理制度的设计 ,
来打破地方保护主义。政府的行政处罚行为 , 应当受到法律的
严格制约。行政处罚文件的创制 , 需依我国行政处罚法规之规
定。地方保护主义的一种 , 就是从本地利益出发 , 通过行政处
罚手段 , 恶意排斥外地经济人行为 , 损害国内统一市场的秩序
追求。
法治蕴含对市场经济运行中司法现代化的示范作用。 经济
秩序中的经济争端是市场化演进的结果之一。司法解决经济争
端必须法治化。长期以来 , 我国的司法工作 (包括从立法到司
法)相对滞后 , 司法效率较低 , 与现代市场经济体制要求不
符。近年来 , 我国已从法治的标准 , 着力进行司法改革来探求
司法公正和司法效率。中共中央指出:“推进司法改革 , 完善
司法保障 , 强化司法监督 , 依法独立行使审判权和检察权 , 严
格执法 , 公正司法。” 其中 , 有效抑制司法权的行政化趋势 ,
建构科学的司法权范式 , 对市场经济秩序保护 , 打破地方保护
主义 , 意义重大。 笔者认为 , 美国的双层司法体制颇值借鉴。
美国的司法体制在地方这一层次上 , 有靠州财政支撑州司法体
系。独立于各州司法体系之外的是联邦司法体系 , 它依靠联邦
财政。联邦司法体系 , 从下至上 , 包括地区法院 、 巡回法院和
最高法院。地区法院的设置不完全与州重合 , 在 50 个州共有
约 90 个联邦地区法院 , 而巡回法院是跨州设置的 , 共 13 个。
最高法院只审理少数与宪法相关的案例。所有联邦法官均由总
统直接任命 , 完全不受州政府的影响。在我国当前的司法体制
改革中 , 司法权的行政化必须得到有效抑制 , 否则司法中地方
保护主义是无法根除的。司法组织及人员对地方政府 、 党委在
财政 、 人事等方面的绝对依附关系 , 决定了司法权对政府公权
和党的政策的绝对依附。这从根本上为地方保护主义培植了成
长的土壤。对此 , 从维护市场经济秩序的主旨出发 , 为根治地
方保护主义 , 维护司法的法治尊严 , 应对我国现有司法体制进
行重构 , 并可大胆吸收美国双层司法体制的合理之处。
(责任编辑:耳 东)
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