全 文 ：第 12 卷 第 26 期 2012 年 9 月
1671—1815(2012)26-6661-05
科 学 技 术 与 工 程
Science Technology and Engineering
Vol. 12 No. 26 Sep． 2012
2012 Sci. Tech. Engrg.
基于有限元关键节点的大叶
杨枝条运动的模拟
肖 彬1，2 黄心渊1
(北京林业大学信息学院1，北京 100083;北方工业大学计算中心2，北京 100141)
摘 要 为了真实模拟阔叶树在风中运动情况，重点研究了大叶杨枝条受风场作用。因为枝条是运动的主体。首先提出了
关键节点的方法处理枝条。然后对节点段进行有限元建模和受力分析。给出并简化了梁元刚度矩阵。利用节点位移数据
库，真实模拟枝条在风场中的运动姿态。
关键词 关键节点 风场 矩阵 有限元
中图法分类号 TP391. 75; 文献标志码 A
2012 年 5 月 28 日收到 国家林业局 948 项目(2009AA2346)资助
第一作者简介:肖 彬(1974—) ，男，汉族，湖北仙桃市人，讲师，研
究生。研究方向:计算机应用、图形图像。E-mail:xiaobin0910 @
126． com。
树木随风摆动，这是在日常生活和自然界中很
常见的生动景象。然而利用计算机来模拟这种情
况是一件很复杂的事情。因为在树的动态模拟中，
牵涉到的知识很多包括:空气动力学知识、材料力
学、物理学等知识，所以它是一个综合性的研究课
题，并富有挑战性。
树木动态模拟上，人们主要工作集中于基于过
程和基于物理这两个方面。Wejchert［1］等用 Navier-
Stoke方程计算简单的线性化流合成风场在模拟风
中的落叶与纸片时取得不错的效果。Ono［2］采用
Perlin噪声函数生成湍流风场，通过在模型各个小
段间用弹簧相连来仿真树在风中的形变，构成树的
模型时采用递归过程函数构造整棵树及 Ota 等利用
随机法的混合方法及噪声技术，也是通过弹簧单元
模拟枝条运动实现植物的动态变化，但由于弹簧模
型总体自由度较少，模拟出来的运动较为粗糙，也
没有考虑到具体的受力情况。冯金辉［3］等模拟了
柳树在风中的运动，树的枝条采用基于波动理论的
模型，基于波动理论的模型仅适合于模拟柳树这样
的“软”枝条树，对于大叶杨这种比较“硬”的枝条波
动理论不适合。
本文提出了关键节点方法处理枝条，对节点段
进行有限元建模和受力分析，给出并简化了梁元刚
度矩阵［4，5］，真实有效地模拟枝条在风场中的运动
姿态，比其它一些方法更加接近于运动的本身。
1 树枝物理模型
一般情况下，树枝的物理结构都是其中一端生
长在其母干上，另一端是自由的。对于单根树枝，
其受力不管是重力还是风力，它们作用的平面都在
重力或风力与树枝轴线所组成的平面内，那么从材
料力学的角度讲，树枝是一种梁，而且可以归结为
悬臂梁，如图 1 所示。
图 1 悬臂梁结构
但是在实际的树枝和主干枝有一个生长角度
θ，如图 2 所示。为了模拟其真实效果，可以将重力
分解两个分量 F1(沿着树枝的轴向)和 F2(垂直与
树枝方向) ，这样就可以将树枝受力模型完全将问
题简化为如图 3 所示:Fwind是风力。
图 2 实际的树枝结构 图 3 实际的树枝结构
2 树枝关键节点处理模型
树枝作为树木的主体部分，如果全部利用有限
元模型处理，那么计算量将非常大。可以首先将树
枝这样处理: (1)树枝是由一段段的单位长度单元
组成;(2)单位长度单元的连接是铰链连接，连接点
可以看成是关键节点，风作用的力和重力都作用在
节点上;(3)树枝的直径是按线性变化，截面是圆柱
形的，如图 4 所示。
图 4 将树枝分成有关键节点的单元
3 对关键节点有限元分析
3. 1 运动方程
结构离散化以后，在运动状态中各个节点的动
力平衡方程如下:
Fi + Fd + P(t)= Fe (1)
式(1)中，Fi、Fd、P(t)分别为惯性力、阻尼力和动
力载荷，Fe 为弹性力。弹性力矢量可用节点位移 δ
和刚度矩阵 K表示:Fe = Kδ式中，刚度矩阵 K的元
素 Kij 为节点 j的单位位移在节点 i引起的弹性力。
根据达朗贝尔原理，可利用质量矩阵 M 和节点
加速度
2δ
t2
表示惯性力如下:
Fi = － M
2δ
t2
(2)
式(2)中，质量矩阵的元素 Mij为节点 j 的单位加速
度在节点 i引起的惯性力。黏滞阻尼可用阻尼矩阵
C和节点速度 δt 表示阻尼力
:
Fd = － C
δ
t
(3)
式(3)中，阻尼矩阵的元素 Cij为节点 j 的单位速度
在节点 i引起的阻尼力。将各力带入式(1)中得到
运动方程如下:
M
2δ
t2
+ C δ
t
+ Kδ = P(t) (4)
设 δ = δt
;δ¨ =
2δ
t2
。
则运动方程可写成:
Mδ¨ + Cδ + Kδ = P(t) (5)
3. 2 质量矩阵
公式中用 m表示单元质量矩阵，M 表示整体质
量矩阵。当求出单元质量矩阵后，进行组合即可得
到整体质量矩阵。从运动的结构中取出一个微小
部分，根据达朗贝尔原理，在它的单位体积上作用
的惯性力为:
Pi = － ρ
2 r
t2
(6)
ρ材料的密度。
在对结构进行离散化以后，取出一个单元，并
采用如下形式的位移函数
r = Nδe (7)
则
Pi = － ρN
2δe
t2
(8)
再利用荷载移置的一般公式求得作用于单位
节点上的惯性力为
Fei = ∫∫∫NTpidV = － ∫∫∫NTρNdV
2δe
t2
(9)
即:Fei = － mδ¨
e 可见，单元质量矩阵为
m = ∫∫∫NTρNdV (10)
假定单元的质量集中在它的节点上，质量的平
移和转动可同样处理。这样得到的质量矩阵式对
2666 科 学 技 术 与 工 程 12 卷
角矩阵。单元集中质量矩阵定义如下:
m = ∫∫∫ρφTφdV (11)
式(11)中，φ为函数 φi 的矩阵，φi 在分配给节点的
i的区域内取 1，在域外取 0。
4 运动模拟效果
树枝运动效果的模拟，其中比较难的地方主要
是对风载的处理。从空气动力学原理可以知道，空
气是一种典型的黏性流体，与地面发生相对运动时
受到地面的阻滞，风速沿竖直方向呈梯度变化:越
靠近地面，风速越小，且变化梯度大，离地面越远，
风速趋于均衡，如图 5 所示。为了简化计算，可以将
将风分为两种类型:定常风和脉动风。
定常风的处理过程比较简单，假设风力的变化
规律:P = μ1 + μ2y
m，其中 μ1、μ2、m为常量，y是高
度值。在实际的处理过程中，可以将风载作为变载
荷加载在梁结构上。
图 5 风载示意图
脉动风载处理，相关文献［6—8］提出脉动分速
V(t)模型通常用频率为(0. 1 ～ 10)Hz 的一系列谐
波综合来表示:V(t) = V［1 + ∑
k
Aksin(ωk t) ］+
Vc(t)。式中，V平均速度，Ak表示 k次谐波幅值，ωk
表示 k次谐波频率，Vc(t)为阵风风速。根据脉动
风的特点，在有限元中可以通过频率响应来分析来
实现树枝在脉动风运动的模拟。有限元中频率响
应分析主要是用于计算机构在周期震荡载荷作用
下对每一计算频率的动响应。计算结果分为实部
和虚部两部分，实部代表响应的幅度，虚部代表响
应的相角。
4. 1 定常风下枝条运动的模拟
对大叶杨枝条运动的模拟，在有限元建模中枝
条采用圆形变截面梁单元，经过试验反复验证生成
后的枝条有限元模型中每个枝条由 12 个关键节点
组成为最佳，节点太多计算量就成倍增加。据文献
［9—11］，不同树木的主干材料的弹性模量数据，绝
大部分在 5 GPa ～ 12 GPa 之间。为了研究的方便，
可以把大叶杨的枝条分成三个层次分别是主干，一
级枝条(直接生长在主干上) ，二级枝条(与一级枝
条连着)。以一年生的大叶杨为例，枝条的弹性模
型和直径大小如表 1 所示。
表 1 一年生大叶杨各部分弹性模量和直径的取值
弹性模量取值 /GPa 直径 / cm
主干枝条 10 10. 5
一级枝条 2 3. 2
二级枝条 0. 1 1
利用有限元软件，对枝条的处理如图 6 所示，设
定树枝的弹性模量为 8 GPa。图 7 是将非均匀分布
式风载施加在树枝上。计算结果如图 8 所示。图 9
是树枝位移的各帧动画显示。
从计算和运动的动画显示结果可以看出，在定
常风的作用下，枝条的运动状态表现为较大幅度的
晃动，但是由于树枝的弹性模量存在，树枝很快能
够自恢复到原来状态。
4. 2 脉动风中枝条运动的模拟
在实际的模拟中，对枝条一端施加以单位力，
其频率变化范围是 m Hz ～ n Hz 之间，步长为定常。
366626 期 肖 彬，等:基于有限元关键节点的大叶杨枝条运动的模拟
图 9 树枝各个关键节点 位移变化各帧显示
计算结果如图 10 所示，图 11 是节点 11 的位移显
示，图 12 是节点 5 的位移显示，图 13 是节点 1 的位
移显示。
图 10 脉动风下枝条运动状态
图 11 节点 11 的位移显示
从关键节点的位移图可以看出，在脉动风载的
作用下，枝条运动状态表现为小幅度的快速震动，
节点 11 的运动幅度和节点 5 的运动幅度相差不大，
开始震动的幅度稍大，周期最后位移为 0。节点 1
的位移在周期内的位移始终为 0，这符合悬臂梁的
特点。
图 12 节点 6 的位移显示
图 13 节点 1 的位移显示
图 14 是整个树枝在定常风和脉动风作用下的
渲染图，在图中可以看出，树枝在脉动风的作用下，
有小幅度的旋转运动，定常风产生大位移移动。
图 14 整棵树在风力作用下的运动帧
5 结论
以前关于树的动画方面的工作，往往注重于从
形式上来描述树枝在风中的运动效果，没有从本质
上来揭示和研究树枝运动的规律。为此，我们提出
新的方法及关键节点法来处理树在风中的运动情
况，一方面这种方法可以从力学物理方面来描述树
枝运动的真实规律，不脱离运动的本质，另一方面
也能够满足动画绘制的实时性。
4666 科 学 技 术 与 工 程 12 卷
参 考 文 献
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2 Shin O，Machiko T，Tadahiro F，et al. A hybrid method for real-time
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算机动画 . 计算机学报，1998;21(9) :767—773
4 张洪信 . 有限元基础理论 . 北京:机械工业出版社，2006
5 李万平 . 计算流体力学 . 武汉:华中科技大学出版社，2004
6 唐海波 . 国外工程风载与我国规范风载的换算 . 科技传播，
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7 钟轶峰，胡小伦，张亮亮 . 同时考虑塔、索、梁风载的随机脉动风
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室研究与探索，2009;28(07) :33—37
Computer Animation of Swaying Branch Based on Finite Element
XIAOBin1，2，HUANG Xin-yuan1
(School of Information Science and Technology，Beijing Forestry University1，Beijing 100083，P． R． China;
Compute and Network Center，University，North China University of Technology2，Beijing 100141，P． R． China)
［Abstract］ To realistically simulate the broad-leaved tree swaying in wind，the research of wind field in the
branches is focused on，because the branch is the body of movement. Firstly the key node method for processing
branch was put forward． Then the node finite element modeling and stress analysis given，and the beam element
stiffness matrix simplified. Using key nodal displacement database，it is very easy to simulated the motion of bran-
ches in the wind.
［Key words］ key node wind field matrix finite elem
檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸
ent
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Image Adaptive Enhancement Based on Mutational
Particle Swarm Optimization
WANG Min，YE Song，HUANG Feng，LIU Zhi-hua，DUAN Li-ming
(Institute of Meteorology，PLA University of Science and Technology，Nanjing 211101，P． R． China)
［Abstract］ Automatically obtain the best transformation parameters of image nonlinear enhancement function
based on the mutational particle swarm algorithm is proposed. This algorithm is based on particle swarm optimiza-
tion principle and using a new fitness function suit for image quality evaluation (including the variance，information
entropy，the firmness，the changing of signal and noise and the pixel difference) ，increasing the difference and
non-uniformity between the particles effectively，and breaking the equilibrium，thereby enhancing the power system
even to improve the efficiency of the system evolution. The experiments show that the algorithm has a higher self-
adaptive，convergence speed up，and enhance the quality assessment significantly improved.
［Key words］ image enhancement particle swarm optimization mutation fitness function
566626 期 肖 彬，等:基于有限元关键节点的大叶杨枝条运动的模拟