全 文 ：第 12 卷 第 28 期 2012 年 10 月
1671—1815(2012)28-7354-04
科 学 技 术 与 工 程
Science Technology and Engineering
Vol. 12 No. 28 Oct． 2012
 2012 Sci. Tech. Engrg.
基于有限元的大叶杨树叶运动模拟
肖 彬1，2 黄心渊1
(北京林业大学信息学院1，北京 100083;北方工业大学计算中心2，北京 100141)
摘 要 对风场中树木的动态模拟研究，大多数都忽略了树叶的运动，最多也只是描述了其运动形式。采用有限元方法来分
析其真实物理运动形态，提出了使用有限元中壳体分析方法来研究大叶杨叶面结构。计算和模拟了其三种运动状态，从而得
到一片树叶真实的物理运动过程。同时提出以簇为单位分析一段树枝上树叶的整体运动，这样能够简化计算，又不失真实地
反映其运动过程。
关键词 有限元 壳体 簇 风场
中图法分类号 S792. 11 TP391; 文献标志码 A
2012 年 6 月 7 日收到 国家林业局 948 项目(2009AA2346)资助
第一作者简介:肖 彬(1974—) ，男，汉族，湖北仙桃市人，讲师。硕
士研究生。研究方向:计算机应用、图形图像。E-mail:xiaobin0910@
126． com。
叶都是以美学目的而存在的，更多的是在文学
作品中受到赞扬，很少有学科研究涉及树叶的物理
以及力学性质，更少研究其在风中受力运动姿态。
在计算机图形学以及计算机动画发展的近十年以
来，对于树木的动态模拟研究中，大多数也是忽略
了树叶的运动，而只是把它们作为一个附加的修饰
品。只有少数的研究涉及到了单独的叶片运动，但
是大都是模拟而已，没有提出能够让人信服的运动
模型。本文从一片真实树叶(如图 1 所示)运动的
实际出发，分析了树叶运动的三种情况，即沿着叶
面方向的摆动，垂直于叶面方向的叶面弯曲运动和
以叶柄为轴的转动。提出了使用有限元壳体分析
方法研究树叶的运动，推导了壳体的有限元公式，
建立了叶面有限元模型，实现了单片叶面的运动模
拟。为了简化运动过程和显示动画的实时性，又提
出了簇为单元(实际的叶簇如图 2 所示)来处理整
棵树的树叶，达到了比较理想的效果。
1 壳体分析方法的提出及分析
在有限元中，壳单元是针对一维尺度(厚度)远
远小于其他方向的尺度，并且垂直于厚度方向的应
力可以忽略的结构的单元类型［1，2］。壳单元在有限
元中往往使用四边形来构成，从侧面看为一个二维
实体，厚度作为一个属性如图 3 所示。壳单元的每
个节点都有 6 个自由度，如图 4 所示。从上面可以
看出，树叶的结构和特点很好符合壳单元的特点。
图 1 一片真实的树叶 图 2 实际的叶簇
图 3 壳体单元的示意图
壳体单元位移:
图 4 壳体有限元单元的运动分析
δe = ［ui，vi，uj，vj，um，vm，uk，vk］ (1)
节点坐标为(xi，yi)、(xj，yj)、(xm，ym)、(xk，yk)
在有限单元法中单元的位移模式采用多项式作为
近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数的
增加，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。
通过算式变化和计算，将单元位移函数表示成
节点位移的函数
u = Niui + Njuj + Nmum + Nkuk
v = Nivi + Njvj + Nmvm + Nkv
{
k
(2)
式(2)中 Ni ，Nj ，Nm ，Nk 为单元的插值基函数，是
坐标 x、y的一次函数。矩阵的表示形式为:
r = ( )uv = Nδe = (INiINjINmINk) (3)
式(3)中，I为单位阵。
应变为:ε = Bδe 式中 B为应变矩阵。
单位应力:δ =
δx
δy
δ


z
= Dε (4)
D为弹性矩阵:
D = E
1 － μ2
1 μ 0
μ 1 0
0 0 1 － μ

2
(5)
式(5)中 E和 μ是弹性模量。
分析其单元刚度矩阵:
单元节点力为 Fe，节点虚位移为 (δ* )e ，节点
虚应变为 (ε* )e ，平面单元的厚度为 t。应用虚位
移原理
( (δ* )e)TFe = ∫∫A(ε* )Tσtdxdy =
∫∫A(ε* )TDεtdxdy (6)
将 ε* = B(δ* )e 及 ε = Bδe 代入上式得到:
Fe = (∫∫ABTDBtdxdy)δe (7)
可得到单元刚度矩阵为:
Ke = ∫∫ABTDBtdxdy (8)
对于面积为 A的四边形单元，单元刚度矩阵为:
Ke = BTStA (9)
刚度矩阵进一步表示为:
Ke =
Kii Kij Kim Kik
Kji Kjj Kjm Kjk
Kmi Kmj Kmm Kmk
Kki Kkj Kkm K


kk
(10)
2 单片叶面的有限元分析及模拟
在实际风吹树叶运动中，单叶片的运动包括三
种(1)沿着叶面和叶柄平面内的摆动。(2)垂直于
叶面和叶柄平面内的摆动运动。(3)以叶柄为轴的
转动。如果风力达到能够吹动三级枝条［3］，树叶的
运动效果要考虑到随着枝条的大位移运动情况。
在有限元中树叶的页面使用不规则的四边形
网格划分，如图 5 所示。
图 5 树叶的有限元网格
2. 1 沿着叶面和叶柄平面内的摆动
在运动的任一时刻，对于单片叶来说，它的叶
柄的末端固定在树枝上，可以看作是固定端。而树
叶则是受力的载体，大面积的叶片承载了绝大多数
的力。当叶面受到法向外力的作用运动时，由于叶
柄的柔韧性，必然会产生树叶向回到原位的方向运
动一个回复力。由于叶柄一般只是发生弹性变形，
553728 期 肖 彬，等:基于有限元的大叶杨树叶运动模拟
因此树叶的摇曳是进行一种类似于单摆的简谐振
动运动。在有限元软件中，对叶面实施切向外力，
叶柄的弹性模型为 0. 1 GPa左右［4］，在图 6 中，叶面
在切向外力的作用下，沿着叶面和叶柄所在的平面
向右运动，在图 7 中，由于叶柄的弹性存在，叶面向
左做回复运动。
图 6 叶面向右运动 图 7 叶面向左运动
2. 2 以叶柄为轴的转动
在对大叶杨树叶的观察中发现，如果叶柄的弹
性力足以支撑叶面的重量，也就是说叶面没有明显
的下垂时，在风场的作用下，不会产生以叶柄为轴
的转动，而在叶面明显下垂，特别是生长在树的下
部或阴面的树叶，这种运动明显存在，因此不能忽
略树叶的这种运动形式。
在有限元软件中，对叶面实施转动力偶，模拟
效果如图 8 所示。树叶的这种运动会导致树叶从树
枝上脱落，因为应力在底部集中非常明显。
图 8 叶面以叶柄为轴的转动
2. 3 垂直于叶面和叶柄平面内的弯曲运动
叶面在法向力(垂直于叶面的力)的作用下，往
往会产生叶面弯曲运动，但是由于叶面和叶柄存在
一定的韧性，往往能够回复到中心位置。
在有限元软件中，对叶面实施法向力，模拟运
动效果如图 9 所示和图 10 所示。叶面受力弯曲效
果非常明显，树叶的弯曲运动在三种运动中占主导
作用。
图 9 叶面受力向
右侧运动
图 10 叶面在弹性力的
作用下回复运动
3 簇单元
簇的假设的提出，据不完全统计一棵树上的树
叶数以万计，如果每片叶子都来计算和模拟，计算
量会巨大，并且在计算机中也无法实现，所以本文
中提出了簇单元的假设: (1)簇单元是树叶单元的
集合，集中反映了树叶的运动状态; (2)簇单元加载
在三级树枝上;(3)簇单元的运动由两部分组成，在
风力较大的情况下，簇单元随着主干枝有较大位移
移动，在风力较小情况下，簇单元的运动形式摆动
为主要运动，如图 11 所示，中间红色的点是叶簇的
摆动中心。
图 11 叶簇的绕中心的摆动
4 整棵树在风场中的模拟
有了前面的理论研究和有限元分析的基础，可
以利用关键节点数据库和叶簇运动数据库，来模拟
6537 科 学 技 术 与 工 程 12 卷
整棵树在风场的运动状态，如图 12、图 13 所示。
图 12 大叶杨模型
图 13 大叶杨在风场中的运动
5 结论
本文从叶面受力的物理方面对树叶进行了有
限元的分析，建立了叶面的有限元模型，模拟了树
叶的三种运动姿态，提出了壳体单元和簇单元来分
析树叶，从而达到了实时动态模拟整棵树在风场中
的目的。
参 考 文 献
1 张洪信 . 有限元基础理论 . 北京:机械工业出版社，2006
2 李万平 . 计算流体力学 . 武汉:华中科技大学出版社，2004
3 柳有权 . 基于物理的计算机动画及其加速技术的研究［博士论
文］. 北京:中科院软件所，2005
4 胡潇毅，李华锋，郭乙木，等 . 基于动力学有限元的树在风中摇曳
动画 . 计算机辅助设计与图形学学报，2007;19(9) :1166—1171
Computer Animation of Swaying Leaves Based on Finite Element
XIAO Bin1，2，HUANG Xin-yuan1
(School of Information Science and Technology，Beijing Forestry University1，Beijing 100083，P． R． China;
Computer and Network Center，University，North China University of Technology2，Beijing 100141，P． R． China)
［Abstract］ The study on dynamic simulation of trees in the air field mostly neglects the movement of leaves，on-
ly describes movement forms of leaves. The Finite Element Method (FEM)is adopted to analyze the real and phys-
ical movement forms，and put forward a new approach of shell analysis which is included in FEM to research the
structure of broad leaf，and simulate three movement forms. Thus the real and physical movement of a leaf is
drawn. At the same time，a method of leaf Cluster as basic unit is presented to study leaves of overall movement.
The method can not only simplify calculative process，but also can faithfully represent the movement process.
［Key words］ FEM shell analysis leaf cluster air field
753728 期 肖 彬，等:基于有限元的大叶杨树叶运动模拟