全 文 ：林 业科 学研 究 2010, 23( 4) : 481 鶫 486
Forest Research
文章编号: 1001-1498( 2010) 04-0481-06
Richards 多形地位指数模型研建新方法
———参数置换法
惠刚盈, 张连金, 胡艳波, 赵中华
( 中国林业科学研究院林业研究所 , 国家林业局林木培育重点实验室 , 北京 100091)
摘要: 以杉木为例, 探讨了基于导向曲线的 Richards 多形地位指数模型的研建新方法———参数置换法。研究发现: 利
用差分方程途径可以直接推导出全新的 Richards 多形地位指数模型。该模型在标准年龄较低( T = 4 a) 时能对优势高
生长进行正确预估, 并且其参数值与导向曲线的模型参数拟合结果非常接近。研究还进一步从绝对平均误差( MAE) 、
相对平均误差( MRE) 、均方根误差( RMSE) 、决定系数( R2) 和修正决定系数( R2adj) 等 5 个方面对导向曲线参数值替代
非同形曲线的模型参数值的有效性进行了分析。结果表明: 替代与否各指标间几乎无差异, 亦即用导向曲线参数值直
接替代非同形曲线的模型参数值是可行的。这一研究结果为在事先无地位指数表的情况下利用临时样地的年龄 - 树
高调查数据或间隔数据进行立地质量评价提供了可能, 还为直接通过导向曲线实现多形地位指数建模提供了方法。
关键词: 优势高生长模拟; 导向曲线; Richards-多形模型; 参数化方法
中图分类号: S711 文献标识码: A
收稿日期 : 2010-01-09
基金项目 : “十一五”林业科技支撑课题 ( 2006 BAD03 A0803)
作者简介 : 惠刚盈 ( 1961— ) , 男 , 陕西富平人 , 研究员 , 博士生导师 . 主要研究方向 : 天然林经营模拟 .
A New Method for Establishing Richards Polymorphic
Site Index Model: Parameter Replacement
HUI Gang-ying, ZHANG Lian-jin, HU Yan-bo, ZHAO Zhong-hua
( Research Institute of Forestry, Chinese Academy of Forestry; Key Laboratory of Tree Breeding and Cultivation,
State Forestry Administration, Beijing 100091, China)
Abstract: A new method for establishing Richards polymorphic site index model was developed. And the
Cunninghamia lanceolata was taken as an example. Data from stem analysis of 164 trees were used. It shows that
the Richards polymorphic site index model can be directly derived by using the difference equation. This model has
no systematic error when the base-age( T) is relatively low ( T =4) , therefore, be selected as the final model, and
its parameter values are close to the parameter values of the guide curve. So parameters of this model were replaced
by the parameters of guide curve. The five indicators: mean absolute error( MAE) , mean relative error( MRE) , root
mean squared error( RMSE) , coefficient of determination( R
2
) and adjusted coefficient of determination( R
2
adj) were
selected to analysis the validity of this parameters replacement. The results showed that they were almost identical a-
mong the various indicators before and after replacement. Hence, the method for using the parameters of guide curve
to directly replace the parameters of polymorphic curve model is feasible. This result provides a possibility for the
site quality evaluation by using the investigation data of age-height about temporary sample plot or interval data with-
out site index table in advance. And it also provides a method for establishing polymorphic site index model directly
through the guide curve.
Key words: dominant height growth model; guide curve; Richards-Polymorphic model; parameterization method
林 业 科 学 研 究 第 23 卷
优势高对于立地质量评价和森林产量预估具有
非常重要的意义, 尤其在天然林研究盛行的今天对
优势树种的优势高生长进行模拟显得更为重要。优
势高生长模拟始终是森林生长与收获预估模型系统
中的核心模块, 已有许多关于优势高生长模拟的研
究, 较为一致的结论是优势高生长与立地有关 [ 1 - 3] 。
根据在理论生长方程中导入立地指数方法的不
同, 可将优势高生长模型归为 3 类, 即导向曲线法、
差分方程法和参数预估法 [ 4 - 5] 。导向曲线法就是直
接用理论生长方程, 通过比例调节进行地位指数的
编制 [ 6 - 8 ] 。差分方程法利用了不同时点方程参数不
变性的特点, 通过已知的初始林分变量, 使三参数之
一受约束, 变三参数为二参数 [ 9 - 11 ] 。参数预估法即
将理论方程中的参数全部或部分地表达为立地指数
的函数, 这种方法的优点是能比较清晰地表达方程
的多形含义, 但往往存在标准年龄时树高与指数值
不一致以及很难直接导出立地指数的显式预估方程
的问题 [ 4 , 12 - 14 ] 。差分途径与参数预估途径模型本身
包含有立地变量, 与差分途径和参数预估途径相比,
导向曲线法既能充分反映出林分优势木平均生长状
态, 又能在事先未知地位指数的前提下进行优势高
的生长模拟 [ 15 ] 。在建立多形地位指数模型时如何
将导向曲线的优点和差分方程途径数学一致性结合
起来, 将具有重要的理论和实践意义。
1 材料
为进行模拟方法的比较, 本研究以中国主要用材
树种杉木 ( Cunninghamia lanceolata ( Lamb. ) Hook. )
为例。用于模拟的材料分别来自江西武功山杉木人
工林 31 块调查样地(Ⅰ) , 湖南青石冈杉木人工林 61
块调查样地(Ⅱ) 和湖南雪峰山杉木人工林 72 块调查
样地(Ⅲ) 。每块样地中选 1 株平均优势木进行树干
解析, 解析木统计资料详见表 1。树干按 2 m区分段
进行解析并以 2 年为 1 个龄级进行各年龄树高的测
算( 图 1) 。
表 1 解析木资料统计
研究地域 株数 /株
年龄 / a
平均值 标准差 最小值 最大值
树高 /m
平均值 标准差 最小值 最大值
江西武功山 31 23 1. 38 20 25 16. 4 1. 42 14. 1 19 . 3
湖南青石冈 61 24 3. 54 20 36 14. 6 1. 98 10. 6 19 . 0
湖南雪峰山 72 26 4. 55 20 35 17. 1 2. 05 10. 8 21 . 5
图 1 优势木树高与年龄之间的关系
2 方法
Richards 方程是一个广泛应用于描述整个年龄
阶段林木树高生长发育的模型 [ 16 - 1 7] , 表达式为:
Ho = a( 1 - e - bt ) c ( 1)
式( 1) 中: Ho 为林分优势高 ( m) , t 为林龄( a) ,
a、b、c 为参数。
参数 a 为生长极限, b 为生长速率, 而 c 为形状
参数。在 Richards 模型的例子中, 最好保留极限值
a 和速率参数 b[ 18] 。
方程( 1) 可以写成:
ln Ho
a
= cln( 1 - e
- bt
) ( 2)
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第 4 期 惠刚盈等: Richards 多形地位指数模型研建新方法———参数置换法
将林龄为 t1 和 t2 时所对应的高度 Ho1、Ho2 代
入( 2) 并相除,
ln Ho2
a
ln Ho1
a
= ln( 1 - e
- bt2)
ln( 1 - e - bt1)
( 3)
整理后得:
Ho2 = a
Ho1
a
ln( 1 - e - bt2)
ln( 1 - e - bt1)
( 4)
( 4) 式表达的是由 t1 时的 Ho1 估计 t2 时的 Ho2。
按标准年龄( T) 时的优势高即为地位指数( SI)
的定义, 令 t1 = T, Ho1 = SI, t2 = t, Ho2 = Ho, 故 ( 4) 可
写为:
Ho = a SI
a
ln( 1 - e - bt)
ln( 1 - e - bT)
( 5)
( 5) 式即是依赖于立地的优势高生长模型。据
此就可以建立多形地位指数曲线, ( 5) 式改写成:
SI = a Ho
a
ln( 1 - e - bT)
ln( 1 - e - bt)
( 6)
( 6) 式即是直接从年龄和优势高计算立地指
数, 其拐点年龄( tc) 可由下式求出。
tc =
1
b
ln ln( SI/a)
ln( 1 - ebT)
( 7)
模型参数通过标准的统计软件 Statistica 获得。
3 结果与分析
3. 1 优势高生长模型的分析与适应性检验
表 2 和表 3 分别显示了利用文中提到的 3 个研
究区域所有数据对方程( 5) 、( 1) 的拟合结果及其拐
点年龄, 其中, ( 5) 式按 3 个不同标准年龄, 即 T = 20
a、T = 10 a 和 T =4 a 分别拟合。
从表 2 可知: 模型 ( 5) 中的参数 a 随着标准年
龄( T) 的增大而增大 , 特别是当 T =20 a 时, 其值迅
速达到 800 多 , 严重失真 [ 12 ] , 这与该参数作为树高
生长极限的生物学意义不相符。拐点年龄 ( tc ) 随
地位指数( SI) 的增大而减小 , 符合立地质量越好,
其优势高速生期来得早的生物学意义 , 但是当 T =
10 a 时 , Ⅱ研究地域有一个拐点年龄为负值 , 当
T = 20 a 时 , Ⅱ和Ⅲ研究地域的拐点年龄均为负
值, 这显然与杉木实际生长不符; 而当 T = 4 a 时,
参数 a 没有出现过大或过小的不合理值, 符合树高
生长极限的生物学意义 , 且拐点年龄( tc ) 也未出现
异常值 , 与杉木 实际生长相符。由此可见, 模型
( 5) 在标准年龄较低 ( T = 4 a) 时能恰当的表达出
优势高生长过程。
表 2 模型( 5) 参数及拐点年龄
研究
地域
SI T a b R2 n tc
Ⅰ 1 4 21. 128 87 0. 087 390 0. 955 362 10. 49
2 7. 55
3 5. 40
4 3. 58
6 10 20. 542 88 0. 102 28 0. 968 9. 93
8 7. 33
10 4. 69
12 20 37. 003 57 0. 035 318 0. 964 14. 28
14 10. 11
16 5. 93
18 1. 64
Ⅱ 1 4 18. 820 11 0. 075 523 0. 912 766 10. 34
2 6. 77
3 4. 13
4 1. 87
6 10 22. 232 94 0. 057 024 0. 955 7. 93
8 3. 58
10 - 0. 74
12 20 959. 524 12 0. 000 580 0. 971 - 31. 59
14 - 93. 34
16 - 148. 68
Ⅲ 1 4 18. 004 58 0. 118 72 0. 881 940 9. 17
2 6. 86
3 5. 15
4 3. 67
6 10 21. 188 57 0. 080 412 0. 930 9. 38
8 6. 17
10 2. 93
12 20 804. 434 96 0. 000 486 0. 940 - 201. 74
14 - 278. 58
16 - 347. 55
18 - 410. 36
20 - 468. 22
注 : SI为地位指数 ( m) ; T 为标准年龄 ( a) ; tc 为拐点年龄 ( a) ; R2
为决定系数。Ⅰ为江西武功山 ; Ⅱ为湖南青石冈 ; Ⅲ为湖南雪峰山。
表 3 模型( 1) 参数及拐点年龄
研究
地域
a b c R2 n tc
Ⅰ 21 . 354 29 0. 087 837 1. 914 57 0. 936 362 7. 39
Ⅱ 18 . 775 02 0. 075 096 1. 633 93 0. 880 766 6. 54
Ⅲ 17 . 611 77 0. 126 12 2. 136 03 0. 836 940 6. 02
注 : Ⅰ为江西武功山 ; Ⅱ为湖南青石冈 ; Ⅲ为湖南雪峰山。
为进一步分析模型 ( 5) 在不同标准年龄 ( T) 时
是否存在系统误差, 特进行了模型适应性检验 [ 19] 。
其基本方法是, 用样本因变量的观测值 ( y) 与将该
样本自变量代入模型后得到的回归估计值( x) 之间
做一元线性回归, 即假定
y = a + bx
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林 业 科 学 研 究 第 23 卷
如果所建模型不存在系统误差, 则直线回归方 程中应有 a =0, b = 1。可用 F 检验, 即:
F =
1
2
[ n( a - 0) 2 + 2( a - 0) ( b - 1)∑x i + ( b - 1) 2∑x2i ]
1
n - 2∑[ yi - ( a + bxi ) ]
2
=
1
2
[ a∑yi + b∑xi yi - 2∑x iyi +∑x2i ]
1
n - 2
[∑y2i - a∑y i - b∑xi yi ]
服从自由度 f1 = 2, f2 = n - 2 的 F 分布。
当 F > F0 . 05时, 推翻假设, 该线性回归方程存在
系统误差。
当 F > F0 . 05时, 接受假设, 该线性回归方程无系
统误差。
按照以上验证方法, 对 3 个研究地域的模型( 5)
分别进行了检验, 其检验结果见表 4。
表 4 模型( 5) 检验结果
研究地域 T n a b R2 F F0. 05 差异显著性
江西武功山 4 362 - 0.149 63 1.009 15 0. 978 0.848 69 3. 020 80 不显著
10 0.461 79 0.968 39 0. 985 11.773 45 显著
20 0.083 87 0.982 94 0. 982 2.616 86 不显著
湖南青石冈 4 766 - 0.032 82 1.001 65 0. 955 0.079 36 3. 007 51 不显著
10 - 0.027 12 0.999 63 0. 977 0.349 82 不显著
20 - 0.148 32 1.001 01 0. 986 11.855 91 显著
湖南雪峰山 4 940 - 0.003 62 0.999 93 0. 938 0.002 37 3. 005 32 不显著
10 - 0.038 02 0.999 92 0. 965 0.316 09 不显著
20 - 0.359 32 1.005 11 0. 971 24.281 99 显著
由表 4 可知: T =10 a 或 T =20 a 时, 存在 F 值大
于 F0. 05 , 所以认为模型具有系统误差; T =4 a 时, 模型
研究区域的 F 值均小于 F0 . 05 , 故认为模型不存在系统
误差, 具有较好的适应性。可见, 模型( 5) 在标准年龄
较低( T =4 a) 时能对优势高生长进行正确预估。
3. 2 参数置换法的可行性分析
对比表 2、3 模型参数值, 惊奇的发现, 模型( 5)
的 a、b 参数值在标准年龄较低( T = 4 a) 时与导向曲
线的 a、b 参数值很接近。由于这一发现对模型参数
化的重要性特进行了如下分析, 即用模型( 1) 的 a、b
参数值替代模型( 5) 在使用较低标准年龄( T = 4 a)
时所拟合的参数 a、b 值。
图 2 显示了 T = 4 a 时, 模型( 5) 用自身模拟的
a、b参数值与用导向曲线( 1) 的 a、b 参数值替换所
得的地位指数曲线。
由图 2 可以看出: 参数替代与否, 3 个研究区域
的优势高生长曲线几乎均没有差异。
平滑实线表示用模型 ( 5) 自身参数模拟结果 , 平滑实线从上到下依次表示地位指数 ( SI)
为 4、3、2、1; 点表示用模型 ( 1) 的参数代入模型 ( 5) 的结果。
图 2 地位指数曲线 ( T = 4 a)
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第 4 期 惠刚盈等: Richards 多形地位指数模型研建新方法———参数置换法
为进一步证实这种替换的可行性, 从绝对平均
误差、相对平均误差、均方根误差、决定系数和修正
决定系数 [ 20] 5 个方面对导向曲线参数值替代非同形
曲线的模型参数值的实际效果进行分析, 量化结果
见表 5。
表 5 模拟效果比较
研究地域
替代效果 /模型 ( 5 ) 拟合效果
平均误差 ( MAE ) 相对平均误差 ( MRE) 均方根误差 ( RMSE) 决定系数 ( R2 ) 修正决定系数 ( R2adj)
江西武功山 0. 818 1 /0. 808 0 0 . 085 5 /0. 084 4 1. 147 5 /1. 141 4 0. 955 0 /0. 955 4 0. 954 8 /0. 955 3
湖南青石冈 1. 007 3 /1. 005 8 0 . 119 2 /0. 119 0 1. 408 7 /1. 408 1 0. 912 1 /0. 912 2 0. 912 0 /0. 912 1
湖南雪峰山 1. 429 1 /1. 419 5 0 . 140 8 /0. 139 8 1. 964 7 /1. 961 8 0. 880 3 /0. 880 6 0. 880 1 /0. 880 5
表 5 中:
MAE =
1
n∑
n
i = 1
| Xi - x i |
MRE = 1
n∑
n
i = 1
| Xi - xi |
珔X
RMSE =
∑
n
i = 1
( Xi - xi )
2
n - 1 - p
R
2
= 1 -
∑
n
i = 1
( Xi - xi )
2
∑
n
i = 1
( Xi - 珔X) 2
R
2
a dj = 1 -
( n - 1)∑
n
i = 1
( Xi - xi )
2
( n - p) ∑
n
i = 1
( Xi - 珔X) 2
上式中: 珔X 为观察值的平均值; Xi 为第 i 个样本
的观察值; xi 为第 i 个样本的预测值; n 为样本数; p
为模型参数个数。
由表 5 可见: 模型( 5) 本身的决定系数与修正决
定系数 [ 20] 在 0. 88 以上, 表明该模型具有较高的有
效性 [ 18] 。用模型( 1) 的参数替换低标准年龄 ( T = 4
a) 模型( 5) 的参数值, 预测结果无论是从绝对平均
误差、相对平均误差、均方根误差, 还是从决定系数
与调整决定系数等方面, 差异仅仅出现在小数点后
的第 3 位, 这种微量差异也就意味着替换与否二者
几乎无差异, 因此作者认为, 用导向曲线参数值直接
替代非同形曲线的模型参数值是可行的。这说明在
事先无地位指数表的情况下, 可以利用临时样地的
年龄 - 树高调查数据或间隔数据进行立地质量评
价, 还为直接通过导向曲线实现多形地位指数建模
提供了方法。
4 结论
( 1) 利用差分方程途径可以直接推导出全新的
Richards多形地位指数模型。
( 2) 对多形树高生长模型的参数进行估计时,
采用较低标准年龄, 即次最低年龄 ( T = 4 a) 模型预
测能力高, 且能对优势高生长进行正确预估。
( 3) 用导向曲线拟合出的参数值替代多形曲线
方程的参数值是可行的, 因此在没有地位指数表的
情况下可用临时样地的年龄 - 树高调查数据或间隔
数据进行立地质量评价。
参考文献:
[ 1 ] enk G, Antanatis V, Smelko S. Waldertragslehre [ M] . Berlin:
Deutscher Landwirtschaftsverlag, 1990: 39 - 47
[ 2 ] Kramer H. Waldwachstumslehre [ M] . Berlin: Verlag Paul Parey
Hamburg und Berlin, 1988 : 53 - 58
[ 3 ] Sloboda B. Zur Darstellung von Wachstumsprozessen mit Hilfe von
Differentialgleichungen erster Ordnung[ J] . Mitteilungen der Baden-
Wuerttembergischen Forstlichen Versuchs-und Forschungsanstalt,
1971, 32 : 1 - 109
[ 4 ] Clutter J L, Fortson J C, Pienaar L V, et al. Timber Management:
A Quantitative Approach [ M] . New York: John Wiley & Sons,
Inc. , 1983
[ 5 ] Aaron R W, David W Hann, David E H. Modeling top height
growth of red alder plantations[ J] . Forest Ecology and Management,
2009, 258: 323 - 331
[ 6 ] 南方十四省 ( 区 ) 杉木栽培科研协作组 . 全国杉木地位指数表的
编制与应用 [ J] . 林业科学 , 1982, 18 ( 3) : 266 - 277
[ 7 ] Gadow K V, Hui G Y. Modelling forest development [ M] . Dor-
drecht: Kluwer Academic Publisher, 1999: 50 - 60
[ 8 ] 骆期邦 , 吴志德 , 蒋菊生 , 等 . Richards 函数拟合多形地位指数模
型的研究 [ J] . 林业科学研究 , 1989, 2( 6) : 534 - 539
[ 9 ] 克劳斯·冯佳多 , 惠刚盈 . 森林生长与 干扰模拟 [ M] . Goettin-
gen: Cuvillier Verlag, 1998: 23 - 34
[ 10 ] uis F, Margarida T, Marta B C. Modelling dominant height growth
of Douglas-fir ( Pseudotsuga menziesii( Mirb. ) Franco) in Portugal
[ J] . Forestry, 2003, 76: 509 - 523
[ 11] Cieszewski C J, Strub M R. Generalized algebraic difference ap-
proach derivation of dynamic site equations with polymorphism and
variable asymptotes from exponential and logarithmic functions[ J] .
584
林 业 科 学 研 究 第 23 卷
Forest Science, 2008, 54: 303 - 315
[ 12] 段爱国 , 张建国 . 杉木人工林优势高生长模拟及多形地位指数
方程 [ J] . 林业科学 , 2004 , 40( 6) : 13 - 19
[ 13] McDill M E, Amateis R L. Measuring forest site qualityusing the
parameters of a dimensionally compatible height growth function
[ J] . Forest Science, 1992, 38: 409 - 429
[ 14 ] Cailliez F, Alder D. Forest volume estimation and yield prediction.
Vol. 1. Volume Estimation. Vol. 2 . Yield Prediction[ M] . Rome:
Food and Agriculture Organization of the United Nations, 1980 :
98 - 194
[ 15] Mingliang Wang, Bruce E B, Dehai Zhao. An empirical compari-
son of two subject-specific approaches to dominant heights model-
ing: The dummy variable method and the mixed model method[ J] .
Forest Ecology and Management, 2008, 255: 2659 - 2669
[ 16] 唐守正 . 广西大青山马尾松全林整体生长模型及应用 [ J] . 林业
科学研究 , 1991, 4( 增刊 ) : 8 - 14
[ 17 ] Amaro A, David R, Margarida T, et al. Modelling dominant height
growth: Eucalyptus plantation in Portugal [ J] . Forest Science,
1998 , 44( 1 ) : 37 - 46
[ 18] 惠刚盈 , 徐 海 , 胡艳波 . 林木最近距离分布预测模型的研究
[ J] . 北京林业大学学报 , 2006, 28( 5) : 18 - 21
[ 19] 唐守正 , 郎奎建 , 李海奎 . 统计与生物数学模型计算 [ M] . 北京 :
科学出版社 , 2009: 174 - 176
[ 20 ] Ulises Diéguez-Aranda, Harold E Burkhart, Roque Rodríguez-Soal-
leiro. Modeling dominant height growth of radiata pine( Pinus radi-
ata D. Don) plantations in northwestern Spain[ J] . Forest Ecology
and Management, 2005, 215: 271 - 284
684