全 文 ：第 8? 卷 第 ? 期
4 A 2 5 年 ? 月
林 业 科 学
7;QRS6QL 7Q!ILR 7QSQ;LR
I.(T8?"S.T?
7-H3" 4 A 2 5
D."!2A322=A=UV32AA2F=8>>34A25A?24
收稿日期! 4A24 WA? WA8# 修回日期!4A25 WA8 W22’
基金项目!浙江省重点科技创新团队资助项目$4A2AX9AA5A% # 国家重点基础研究发展计划$ .?=5/计划%项目$4A22;N5A4=A9% ’
#周国模为通讯作者’
基于随机过程的毛竹笋期生长模型构建及应用#
施拥军2! 4\刘恩斌2! 4\周国模2! 4\沈振明5\俞淑红2! 4
$23浙江农林大学浙江省森林生态系统碳循环与固碳减排重点实验室\临安 5225AA#
43浙江农林大学环境与资源学院\临安 5225AA# 53临安市林业科技推广总站\临安 5225AA%
摘\要!\毛竹笋期生长与毛竹生长快&产量高&固碳功能强有非常密切的关系"研究毛竹笋期生长模型意义重大’
本研究指出毛竹笋期生长受很多随机因素的干扰"其实质上是随机过程"并应用随机过程理论与 7(.E.D%生长方程
构建了毛竹笋期生长的随机过程模型"及对该模型的特征函数进行研究’ 用本文构建的模型结合实测数据资料表
明!2% 毛竹笋期生长在大约 99 天完成"其生长过程可以分为 4 个阶段!2 f49 天为第 2 阶段"该阶段毛竹生长比较
缓慢" 49 f99 天为第 4 阶段"该阶段毛竹处于爆发式生长# 4% 对于给定的生长时间$本文指天数%"毛竹的累积生
长量是随机变量"其概率分布曲线由左偏峰逐步转化为正态分布"且其分布的峰值起初显著下降"后逐步变为平
稳# 5% 毛竹笋期生长的第 2 阶段$2 f49 天%"其生物量的累积量不大"但在生长的第 4 阶段$49 W99 天%"因竹高处
在爆发式增长阶段且地径不变"其生物量的累积速度非常快"体现了毛竹超强的固碳功能# 8% 对于不同的毛竹"
7(.E.D%生长方程参数 L";的值相同"而 7Q的值服从正态分布’ 本研究给出的毛竹笋期生长随机过程特征函数$均
值函数&相关函数与标准差函数%"为进一步研究毛竹其他性质奠定基础’
关键词!\毛竹笋期生长# 随机过程# 7(.E.D%生长方程
中图分类号!7=9>T2\\\文献标识码!L\\\文章编号!2AA2 W=8>>"4A25#A? WAA>? WA9
3&45"" $.""’W*"B’.2"7/)3&0/7"#’./$’",.&0’(,>*",/00N’0@%%)(,&’("#
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B%&G+).,0%+)",/%,).*+" )0%)"+" )0-C*.J)0 "+%+).,0%+)",H*.,-++"& -++-&,-360-+).,0%+)",H*.,-++B.D-(J%+E#"()
E%+-D .& +).,0%+)",H*.,-++)0-.*G%&D 7(.E.D%C*.J)0 -P#%)".&" %&D ")+,0%*%,)-*"+)",/#&,)".&+J-*-+)#D"-D3;.BE"&-D
J")0 )0-B-%+#*-D D%)%" )0-B.D-(E#"()"& )0"+H%H-*+0.J+)0%)! 2% 60-E%BE..+0..)"&CH-*".D /"&"+0-+"& %E.#)99
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C*.J*%H"D(G"& )0-+-,.&D +)%C-$49+)W99)0 D%G%34% Z.*)0-C"K-& C*.J)0 )"B-$D%G+%" )0-,#B#(%)"K-C*.J)0 ./$.+.
E%BE..+0..)+"+%*%&D.BK%*"%E(-" %&D )0-H*.E%E"(")GD"+)*"E#)".& ,#*K-C*%D#%(G)*%&+/.*B+/*.B(-/)+b-JH-%b "&).
&.*B%(D"+)*"E#)".&360-H-%b K%(#-./D"+)*"E#)".& "&")"%(GD*.H+*%H"D(G%&D )0-& E-,.B-++B..)0 C*%D#%(G35% 60-
H%*%B-)-*+$L" ;% ./7(.E.D%C*.J)0 -P#%)".& %*-)0-+%B-/.*D"/-*-&)E%BE..+0..)+" E#))0-K%(#-+./7Q/.(.J%
&.*B%(D"+)*"E#)".&360-+).,0%+)",H*.,-++,0%*%,)-*"+)",/#&,)".&+$B-%& /#&,)".&" ,.**-(%)".& /#&,)".&" %&D +)%&D%*D
D-K"%)".& /#&,)".&% ./)0-C*.J)0 D#*"&C)0-E%BE..+0..)"&CH-*".D (%G)0-/.#&D%)".& /.*/#*)0-**-+-%*,0 .& .)0-*
,0%*%,)-*"+)",+./$.+.E%BE..3
A/: B"*70!\$.+.E%BE..+0..)C*.J)0# 7).,0%+)",H*.,-++# 7(.E.D%C*.J)0 -P#%)".&
\\树木生长量反映了森林生态系统中林木与环境之 间物质循环和能量流动的复杂关系"树木生长量的准
林 业 科 学 8? 卷确测定"无论是对林业研究"或是对政府部门制定相关
林业政策都有着十分重要的意义’ 建立一定的生长模
型来推算树木生长量是生产实践中常用的方法$邓红
兵等" 2???# 雷相东等" 4AA?# 王丽梅等" 4AA8%’ 林木
的生长模型主要分为单木生长模型和林分模型"其中
单木生长模型是研究林分的生长模型和林分结构模型
基础’ 目前"常见的单木生长模型有!双曲线型&伯塔
兰菲$N-*)%(%&/G%&单分子$$")+,0-*(",0%&查曼 W理查
兹$;0%HB%&FX",0%*D+%&坎派兹$‘.BH-*)r%&逻辑斯蒂
$!.C"+)",%&考尔夫$Y.*/%等$王丽梅等" 4AA8# 罗辑等"
4AAA# 邓红兵等" 2???# 葛剑平等" 2??4# 刘平等"
4AA># 代全林等" 4AA4# 韦善华等" 4A22%"但这些
方程都不满足描述树木生长曲线族的特性$惠刚盈
等" 2??:# 7(.E.D%" 2?=2%"也有学者用林窗模型研
究树高的动态生长$X%+,0-!"#$%" 4A24%"但也不具
有生长曲线族的特性’
众所周知"林木生长不可避免地受到许多随机
因素的影响"在整个生长过程中"这些因素对它的影
响时大时小"有单独作用"也有综合作用"目前还不
能将其全部精确地测定出来"即便能测定出来"其因
素之间的关系也是随机变化的’ 因此在描述树木生
长过程时"把林木测树因子一般看作随机变量"把林
木生长过程视为一个随机过程来进行描述’
毛竹$8/7$)-"#,/7-!(A$+-%是种特殊的植物"从
笋高度为 5A ,B左右的出笋期开始到其枝叶完全展
开终止"毛竹处于爆发式生长期"其高生长对后期的
碳素积累能力产生重要影响’ 毛竹笋期生长规律的
研究可为研究毛竹整个生长周期的固碳特征以及科
学调控竹林经营提供理论依据’ 目前有关毛竹笋期
爆发式生长规律的研究少见报道’ 7(.E.D%生长方
程能确保拐点参数的生物意义"可以拟合多形指数
曲线$惠刚盈等" 2??:%"故本文以 7(.E.D%生长模型
为基础"应用随机过程理论来研究毛竹笋期生长过
程"其目的!2% 确定毛竹笋期生长模型"揭示毛竹高
生长规律# 4% 随机过程理论方法的应用"为树木生
长过程的研究提供新的理论基础# 5% 对解释毛竹
超强固碳功能"编制毛竹生长过程表"指导毛竹生产
实践及预估毛竹林的生长提供理论依据’
2\理论与方法
EDEF毛竹笋期生长随机过程的描述
毛竹 .作为一个样本空间"每株毛竹 $是一个
样本"部分毛竹组成的集合是事件"以 .某些子集
组成的集合类 /为事件域"并在 /上定义一个集合
函数 8"满足!2% 8$&% $ A"+&, /# 4% 8$.% O
2# 5% &+, /"+O 2" 4"+" 两两互不相容"且有
8$&
|
+O2
&+% O&
|
+O2
8$&+%" 则称 8为 /上的概率’ 由
此可以定义一个有关毛竹的概率空间 $."/"8%"
有了这个概率空间就可以对毛竹笋期生长的随机过
程作如下描述’
由于随机因素的干扰与立地条件的不同"使不
同毛竹在某一特定时间 "的累计生长量 X$$""%$$
,.% 是随机变化的"对于固定的时间 ""X$$""%$$
, .% 是一个随机变量"则 X$""$%"", E"E-{ }B
是一个随机变量族"当 $, .固定时"则 X$""$%$"
,E"E-B% 是某一株毛竹的生长函数"也称为样本
曲线"当$""都固定时"X$""$% 是一个确定的实数"
其含义是某一特定时间"某一毛竹样本的累计生长"
对于随机变量X$""$% $"固定且",E%所有可能的
取值"称为毛竹生长过程的状态空间"而每一个可能
取的值称为状态’ 由此可见毛竹生长过程是一个随
机过程’
EDGF毛竹笋期高生长的随机过程模型
由上可知"随机过程模型能描述毛竹样本空间 .
的笋期生长"结合毛竹生长特性"所构建的模型满足
如下条件$7(.E.D%" 2?=2%!2% 坐标原点具有结点的
特性"各样本曲线应有共同的起始点"且 X轴为所有
曲线的切线# 4% 每条样本曲线有各自的拐点"且这些
拐点可组成一条$T"7%曲线# 5% 每一条样本曲线具
有各自的渐近线"均与 X轴平行# 8% 各样本曲线之
间互不相交’ 根据这 8 个条件"7(.E.D%$2?=2%利用数
学分析手段"推导出如下生长微分方程!
D7
D"
O ;7
"#Q& ,( )7
’ $2%
式中!# i2";",iA 均为参数""为时间"对于毛竹笋
期高生长来说""为生长天数"7为竹高’ 其积分
形式!
7O,-cH$R(%-cH$ ;
$# R2%"#R2
%’ $4%
式中!( 是积分常数"可根据树木生长环境给定’
再对该方程进行整理得!
X$$""% O7Q-cH$ ;
L"L
%’ $5%
式中!7Q为某立地条件下的最大竹高"随立地条件
的改变而变化# ;"L为模型的形状参数"与立地条件
无关’ 因此"可根据每株毛竹的生长环境给定 7Q的
值’ 从图 2 可以看出"对不同的毛竹"其样本函数的
形状基本相同"而其生长的立地条件互不相同"故参
数 7Q的值是变化的"而 ;"L的值是相同的’ 因此可
A?
\第 ? 期 施拥军等! 基于随机过程的毛竹笋期生长模型构建及应用
以把 7Q看做是随机变量"这样$5%式所示函数就是
毛竹生长的随机过程模型’
EDCF毛竹笋期高生长随机过程的特征函数
均值函数&自相关函数与标准差函数是随机过
程最基本的特征函数"假设随机变量 7Q的概率密度
函数为 <$7Q%"则毛竹笋期生长随机过程的均值函
数为!
*$"% O>,X$$""%- O.7Q-cH ;L"( )L <$7Q%(7Q’$8%
式中! 7Q";"L的含义与$5%式相同" <$7Q%为随机变
量 7Q的概率密度函数’
自相关函数为!
B$"2""4% O>,X$$""2%X$$""4%- O
.7Q-cH ;L"2( )L*7Q-cH ;L"4( )L*<$7Q%(7Q’ $9%
\\标准差函数为!
!$"% O B$"""% R*4$"槡 %’ $:%
4\资料来源
GDEF研究区特征
研究区设在浙江省西北部的临安市青山镇"地理
位置为 22?l8=m44nR"5Al25m89nS"海拔为 9A f25A B’
属中亚热带季风气候’ 年平均气温29T? o"平均气
温 4 o’ 年均降雨量 2 :25 BB"平均降雨日 29> 天"
降水明显集中在春季和初夏’ 平均日照时数2 ?4A 0"
年无霜期 45= 天"土壤为黄红壤’
GDGF数据获取与处理
在青山镇的人工经营毛竹林中"随机选取 28A
株毛竹$笋%作为测量样本"在毛竹$笋%边上竖立序
号标牌进行样本标记’ 从 4AA? 年 5 月 2> 日竹笋刚
刚出土开始"每日定时$25!AA)2=!AA%对其进行高
生长的连续跟踪测量"至 4AA? 年 9 月 24 日"毛竹开
始抽枝展叶结束高生长为止"共连续测量 9= 天’ 当
竹笋高度小于 4 B时"采用钢卷尺测量其高度# 当
竹笋高度超过 4 B时"采用徕卡 6;X=A4j*%&C-型
精密全站仪根据.悬高测量法/精确测量其高度"测
量标称精度达到毫米级’ 对采集到的样本数据进行
质量检验"去除记录信息不全 $研究过程中竹笋死
亡或遭到人为损坏%和有粗差的样本"最后得到有
效毛竹样本数据 ?9 株’ 样本数据的地径为 > f2=
,B"生长稳定后的竹高为 2 A95T4 f2 :=4T? ,B’
5\结果与分析
CDEF毛竹实测笋期生长曲线
根据实测的 28A 株毛竹高生长数据"把各个时
刻具有最大生长量与最小生长量的曲线作为上包迹
线与下包迹线"再在上下包迹线所形成的范围内选
取 ?A 株典型毛竹样本数据"利用 B%)(%E 软件的 H(.)
函数作典型毛竹生长曲线$图 2%’
图 2\实测毛竹笋期生长曲线
Z"C32\$-%+#*-D E%BE..+0..)+C*.J)0 ,#*K-
从图 2 可以看出"毛竹笋期高生长在 99 天左右
完成"在第 49 天附近可以把笋期生长分为 4 个阶
段" 2 f49 天为第 2 阶段"毛竹生长较为平缓" 49 f
99 为第 4 阶段"毛竹处于爆发式生长’
CDGF毛竹样本函数族的拟合
利用 7177 软件与每株调查毛竹笋期生长数据
分别对$5%式进行拟合"得各株毛竹样本函数的参
数 L";分别为 4T2>8 2 与 W?2? :T=92 >"7Q的值分
布在区间$2 >>:T4=4 5"5 9?4T2?: 8%"各株毛竹拟
合确定系数 B4 在 AT?45 fAT???"这说明$5%式对每
株调查毛竹样本的拟合精度都非常高"具体见图 :
的蓝色曲线’
CDCF随机变量 $8%竹高的概率分布
概率分布的研究方法有参数检验与非参数检验
4 种"参数检验需要事先给定某种分布函数"然后再
对拟合分布进行检验"该方法的缺陷是事先给定何
种分布"具有一定的主观随意性"而非参数检验对概
率分布的描述"完全取决于给定的数据"不含任何人
为主观因素’ 核密度估计是最常用的非参数检验方
法"事实证明它对概率分布的描述优于 h-"E#(分
布$崔恒建等" 2??:%’ 因此本文用核密度估计来描
述随机变量的概率分布’ 核密度估计描述随机变量
7Q的概率分布如图 4 所示’
\\为了得到随机过程的特征函数"必须要先知道
7Q的理论概率分布函数"从图 4 可以看出随机变量
7Q的概率分布与正态分布非常接近"因此选用正态
分布描述 7Q的概率分布"经 7177 非线性回归拟合
得 ! O 5A:T85: 2"A O 4 =>:T>5: ?" 此时 B4 k
AT?>5"拟合精度非常高’
2?
林 业 科 学 !" 卷#
图 )#随机变量 +J的概率分布
(./0)#,=3E8E.*.62;.96=.EA6.35 3:=85;3>B8=.8E*4+J
从图 % 可以看出"对于给定的 ("毛竹的累计生
长量是随机变量"用核密度估计描述第 % 阶段与第
) 阶段实测 %!K 株毛竹样本各个时间段累计生长量
的典型概率分布图像#图 ’"!$%
图 ’#% L)I 天毛竹累计生长量的概率分布
(./0’#,=3E8E.*.62;.96=.EA6.35 3:G393E8>E33
7A>A*86.B4/=3F61 ;A=.5/% &)I ;829
以上曲线是所有样本在各个时间累计生长量的典型概率分布%
D148E3B47A=B4.962<.78*<=3E8E.*.62;.96=.EA6.35 3:8*98><*49(9
7A>A*86.B4/=3F61 .5 4871 6.>40下同% D1498>4E4*3F0
从图 ’"! 可以看出’ %$ 随着毛竹的生长其累
计生长量概率分布曲线由左偏峰逐渐转变为正态分
布& )$ 概率分布的峰值逐步减小"且起初减小幅度
较大"后逐步变为平稳%
!"#$毛竹笋期生长随机过程的特征函数
毛竹笋期生长随机过程的特征函数包括’均值
函数与方差函数#标准差函数$% 但要得到标准差
函数需要相关函数% 由随机过程的相关理论得到毛
竹笋期生长均值函数’
+#($ 0!
’ I")1%"H !
% MMH1)N) ’
+J4@< &" %"H1NI% M
)1%M! %()1( )%M! % %’KH1!’H % )槡!
4@< 2#+J2) NMH1M’H "$
)
%1"’% " 3%K( )I 4+J%
##用分布积分法整理得’
+#($ 0) NHM1K!I )4@< 2" %"H1NI% M
) 1%M! %()1( )%M! % % #N$
图 !#)I LII 天毛竹累计生长量的概率分布
(./0!#,=3E8E.*.62;.96=.EA6.35 3:G393E8>E33
7A>A*86.B4/=3F61 ;A=.5/)I &II ;829
图 I#毛竹笋期生长实测样本曲线!均值函数
曲线及标准差函数曲线
(./0I#OA=B43:<=876.78*98><*49" 9685;8=; ;4B.86.35" 85; >485
:A576.3593:G393E8>E33913369E894; 35 >489A=4; 98><*49
图 H#毛竹笋期生长理论样本曲线!均值
函数曲线及标准差函数曲线
(./0H#OA=B43:4@364=.78*98><*49" 9685;8=; ;4B.86.35" 85; >485
:A576.3593:G393E8>E33913369E894; 35 >489A=4; 98><*49
##用 G86*8E 软件的 <*36函数作 "K 株典型毛竹笋
期生长均值函数图像"见图 I"H 的红色曲线"其中"
)"
\第 ? 期 施拥军等! 基于随机过程的毛竹笋期生长模型构建及应用
图 9 蓝色曲线是 ?A 株典型毛竹笋期生长的实测曲
线"图 : 的蓝色曲线是相应理论曲线’
由于本文研究的是一个随机过程"所以相关函
数 B$"2""4% 就是自相关函数’ 具体表达式为!
B$"2""4% O= =?: :2:%98> 9-cH$
R? 2?:%=92 >
4 %2>8 2"2
4%2>8 2 %
-cH$ R? 2?:%=92 >
4 %2>8 2"4
4%2>8 2 %’ $>%
\\由 B$"""% R*4$"槡 % 即可得标准差函数"用
$%)(%E 软件的 H(.)函数作毛竹笋期生长标准差函数
图像"见图 9": 的绿色曲线’
由图 9": 可得!2% 蓝色的曲线是毛竹笋期生长
实测与理论样本函数"它们只是某些毛竹的样本曲
线"而毛竹是一个整体性概念"任何一株毛竹都是它
的一个元素"任何一些毛竹的组合都是它的一个子
集"所以任何一个样本函数或任何一些样本曲线都不
能表示毛竹笋期生长函数# 4% 红色的曲线是其均值
函数"它综合了所有样本函数的信息"理论上可以代
表毛竹笋期生长曲线# 5% 绿色曲线是标准差函数"表
示毛竹样本曲线在各个时间 "对均值函数的分散程
度"所以毛竹笋期生长的第 4 阶段比第 2 阶段的分散
程度要大# 8% 由常用生物量模型可知"毛竹笋期生物
量的累积量是地径与竹高的函数"由于毛竹笋期生长
的第 2 阶段$2 f49 天%"其竹高增长相对较平稳而地
经不变"所以其生物量的累积量不大"但在生长的第
4 阶段$49 f99 天%"因竹高处在爆发式增长阶段且地
径不变"所以在该阶段其生物量的累积速度非常快"
体现了毛竹超强的固碳功能# 9% 生长的第 2 阶段"由
于标准差函数较平稳"故各毛竹竹高生长量与生物量
的累积量相差不大"反映了该阶段立地条件对毛竹生
长量与生物量的累积量影响不大# 但在第 4 阶段由
于立地条件的不同"使标准差函数斜率迅速变大"各
毛竹竹高生长量与生物量的累积量差异较大"且生长
的时间越长这种差异就越大"反映了该阶段立地条件
对毛竹生长量与生物量的累积量影响非常大’
8\结论
由于很多随机因素的干扰"任何树种的生长过程
实质上是一个随机过程"因此必须用随机过程来描
述’ 7(.E.D%生长方程可以描述多形指数曲线"具有
很多其他生长模型不具备的特点"同时能确保拐点参
数的生物意义$惠刚盈等" 2??:%"结合已有研究成
果&随机过程理论及实测数据"本文得到如下结论’
2% 毛竹笋期生长在大约 99 天完成"其生长过
程可以分为 4 个阶段!2 f49 天为第 2 阶段"该阶段
毛竹生长比较缓慢" 49 f99 天为第 4 阶段"该阶段
毛竹处于爆发式生长’
4% 对于给定的生长时间"毛竹的累计生长量是
随机变量"其概率分布曲线由左偏峰逐步转化为正
态分布"且其分布的峰值起初显著下降"后逐步变为
平稳’
5% 对于不同的毛竹"$5%式所示的 7(.E.D%生
长方程参数 L";的值相同"而 7Q的值服从正态
分布’
8% 本研究给出了毛竹笋期生长随机过程模型
及其特征函数 $均值函数&相关函数与标准差函
数%"为进一步研究毛竹其他性质奠定了基础" 也为
研究树木生长过程提供了新的理论方法’
9% 毛竹笋期生长的第 2 阶段"生物量的累积量
不大"但在第 4 阶段"竹高爆发式增长"生物量的累
积量非常大"体现了毛竹超强的固碳功能’
参 考 文 献
崔恒建" 王雪峰32??:3核密度估计及其在直径分布研究中的应用3
北京林业大学学报" 2>$4% ! := W=43
代全林" 陈存及" 肖书平34AA43茶秆竹高生长模型的比较及组合
选择3福建林学院学报" 44$4% ! 24? W2543
邓红兵" 郝占庆" 王庆礼32???3红松单木高生长模型的研究3生态
学杂志" 2>$5% ! 2? W443
葛剑平" 李景文" 郭海燕32??43天然红松树木生长特征与林分结
构的研究3东北林业大学学报" 4A$4% ! ? W2:3
惠刚盈" 盛炜彤32??:37(.E.D%树高生长模型及其在杉木人工林中
的应用3林业科学研究" ?$2% ! 5= W8A3
雷相东" 李永慈" 向\玮34AA?3基于混合模型的单木断面积生长
模型3林业科学" 89$2% ! =8 W=?3
刘\平" 马履一" 贾黎明34AA>3油松人工林单木树高生长模型研
究3林业资源管理" $9% ! 9A W9:3
罗\辑" 程根伟"杨\忠" 等34AAA3贡嘎山暗针叶林不同林型的优
势木生长动态3植物生态学报" 48$2% ! 44 W4:3
王丽梅" 潘\辉" 魏建文34AA837(.E.D%树高生长模型在火炬松人
工林中的应用研究3北华大学学报!自然科学版" 9$4% ! 29? W
2:23
韦善华" 覃\静" 朱贤良" 等34A223南宁地区灰木莲人工林生长规
律研究3西北林学院学报" 4:$9% ! 2=8 W2=>3
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