全 文 ：第 !" 卷 第 ## 期
$ % # % 年 ## 月
林 业 科 学
&’()*+(, &(-.,) &(*(’,)
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*/23!$ % # %
带锯条振动的行波机理及动态力学特性
王4正#4蒋希时$
"#1南京林业大学木材工业学院4南京 $#%%!$# $1大连船舶工程技术研究中心有限公司4大连 ##"%##$
摘4要!4将带锯条的振动简化成弦的振动!用弦振动的行波理论研究带锯条的振动!再考虑带锯条的转动!得到
转动带锯条的固有频率计算公式!将一个复杂的带锯条的振动简化成经典的弦振动问题& 建立带锯条动态力学计
算模型!由于行波作用!从理论上解释转动的带锯条出现抖动或晃动现象&
关键词’4带锯条# 弦振动# 动频# 行波# 紧边# 松边
中图分类号! &:::" +&"!5444文献标识码!,444文章编号!#%%# >:!77#$%#%$## >%##6 >%8
收稿日期’ $%%6 >%! >#5# 修回日期’$%%6 >%: >$!&
2,&A.%()6 1&A.3.-+&)(/F &)*+&,&-’.,(/’(-/"0T&)<@&;T%&<.X(8,&’(")
LGIJH=MIJ#4\DGIJ[DW=D$
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$1L/%4/0 !#42;54%1406 <0640))(406 F)"#0$%$6,K)*)/("# @)0+)(@$I! .+1I4L/%4/0 ##"%##$
78/’,&-’’4+=MT=MWDWWTEUDMW2DZVGTD/I /XZGIU WGYZ0GUMWZN;MGIW/XTVG2M0DIJYG2MT=M/VN/XWTVDIJ2DZVGTD/I3CN
TVMGTDIJZGIU WGYZ0GUM2DZVGTD/I GWWTVDIJ2DZVGTD/I GIU VMR/IWDUMVDIJT=MVEIIDIJ/XZGIU WGYZ0GUMW! T=MGET=/VW/ZTGDI
T=MRG0RE0GTDIJX/V;E0G/XIGTEVG0XVMQEMIRN/XVEIIDIJZGIU WGYZ0GUM! T=EW! WD;S0DXNDIJR/;S0DRGTMU ZGIU WGYZ0GUM
2DZVGTD/I DIT/GR0GWWDRG0WTVDIJ2DZVGTD/I SV/Z0M;3LDT= T=MMWTGZ0DW=;MIT/XUNIG;DR;MR=GIDRG0;/UM0W/XZGIU WGY
Z0GUMW! YMT=M/VMTDRG0NGRR/EITX/VT=MY/ZZ0DIJ/VW=GdDIJS=MI/;MIG/XVEIIDIJZGIU WGYZ0GUMWGWGVMWE0T/XTVG2M0DIJ
YG2MGRTD/I3
9.: ;",44木工带锯机是木材加工行业中应用最广的设
备& 带锯条的受力极其复杂!锯解作业时极易产生
横向抖动或晃动!当干扰频率与固有频率发生耦合
时!将导致共振现象!严重影响锯解质量!易损坏锯
条"]/TM!#67!# #66%# BGIJ)+/%3!#66#$& 带锯条的
张紧力是带锯机设计与制造的重要参数 "]/TM!
#66%$& 为保证锯材质量!提高锯切效率!有效措施
之一就是提高带锯条张紧力& 因此!研究带锯条振
动特性尤为重要& ]/TM等国外学者对带锯条振动
作了许多工作!国内研究相对较少!主要难点体现在
支座的简化%作用力的假设和转动的影响等方面
"马岩!#667$&
本文将带锯条的振动简化为弦的振动!应用振
动理论 "清华大学工程力学系!#67%# 季文美等!
#678# 梁昆淼!#668$和行波解!对带锯条的动态力
学特性进行研究&
#4行波机理
=C=>弦振动的行波机理
设弦的长度为%%横截面积为3%密度为’%张力
为 F! 弦的振动微分方程 "清华大学工程力学系!
#67%# 莫尔斯等! #67!# 徐兀! #67:# 杜功焕等!
$%%#$’
/$,
/+$
‘/$ /
$,
/$G
! "#$
称波动方程!式中 / ‘ F
’槡3称波速&
它是一个二阶偏微分方程!该方程的解可以写
成下列形式’
,"G!+$ ‘’#"/+fG$ b’$"/+bG$! "$$
’#"/+fG$ 与 ’$"/+bG$ 分别为任意函数"莫尔斯
等!#67!$&
函数 ’#"/+fG$ 的物理意义’ 设 ,# ‘’#"/+f
G$! 当 +u% 时! ,# ‘’#"fG$&
林 业 科 学 !" 卷4
如果 观 察 的 位 置 为 G ‘ G%! 那 么 ,# ‘
’#"fG%$!如图 # G所示!经过+‘+#的时间!弦的位
移就变成了 ,# ‘’#"/+# fG#$# 如果观察的位置在
G# 处!将观察到和原来" +‘%!G‘G% $的状态一样!
’#"/+# fG#$ ‘’#"fG%$!如图 # Z 所示& 这时应该
满足 /+# fG# ‘fG%!它表示经过+‘+# 的时间!波形
沿 G正方向移动到了 G# 点!其移动速度为 /&
’#"/+fG$ 称波函数!它表示以波速 / 向 G正方向传
播的波动过程& 如果+# 正好是弦的振动周期!即+# ‘
F!那么 G# 与 G% 相隔的距离就是一个波长 &‘/F&
图 #4函数 ’# "/+fG$ 的物理意义
@DJ3#4k=NWDRG0WDJIDXDRGTD/I /XXEIRTD/I ’# " /+fG$
函数 ’$"/+bG$ 代表的是一种以传播速度 /向
负 G方向传播的波动过程&
若弦的两端固定!弦的长度为 %! 其边界条
件为’
,gG‘ % ‘%!,gG‘% ‘%&
代入式"$$!可得’
’#"/+$ ‘f’$"/+$! "5$
’#"/+f%$ ‘f’$"/+b%$& "!$
44由式"5$可推知’
’#"/+b%$ ‘f’$"/+b%$& "8$
44将式"8$代入式"!$!可得’
’#"/+f%$ ‘’#"/+b%$&
44作变量代换!令 _‘/+f%! 则式"8$可改为’
’#"_$ ‘’#"_b$%$! ""$
式""$表示函数 ’# 是以 $%为空间周期的周期函数&
由于弦的两端固定!’#"/+bG$ 为左行波!它由
右向左行进!遇到左端点!行波将要反射回来!于是!
行波将由左向右行进!遇到右端点行波又将反射回
来!改向左行进!波行进的空间周期为 $%"纪多辄!
$%%5# 马大遒等!$%%"$!如图 $ 所示&
有界弦的 $ 个行波 ’#"/+fG$ 和 ’$"/+bG$ 迭
加!将会形成驻波!如图 5 所示!振动固有频率公式’
&0 ‘
0
$%
F
’槡3!"0 ‘#!$!3!0$& ":$
=CB>带锯条振动的行波机理
把张紧的带锯条的振动看成为受拉伸弦的振
图 $4两端固定的弦的行波运动波形
@DJ3$4]/T/VDG0W=GSMW/XTVG2M0DIJYG2M/XWTVDIJ
Y=MI DTWTY/MIUWGVMXD_MU
图 54行波迭加!产生驻波现象示意
@DJ354&TGIUDIJYG2MS=MI/;MI/I /RREVWY=MI
TVG2M0DIJYG2MWDI WESMVS/WDTD/I
动!借助经典的弦振动理论研究带锯条的振动!再考
虑带锯条的转速和惯性力对频率的影响&
图 ! 中! / 为带锯条行波的波速";(W># $# 8为
带锯条的运行线速度";(W>#$&
静止时!带锯条固有频率公式为’
&0 ‘
0
$%
F
’槡3!"0 ‘#!$!3!0$&
44当 0 ‘# 时! &# ‘
#
$%
F
’槡3称基频&
图 !4带锯条运动时行波简图
@DJ3!4+VG2M0DIJYG2MUDGJVG;Y=MI ZGIU WGY
Z0GUMDW;/2DIJ
%$#
4第 ## 期 王4正等’ 带锯条振动的行波机理及动态力学特性
当带锯条运动时!驻波将随带锯条运动而运动!
这样锯条就会出现抖动或晃动现象!见图 8&
图 84带锯条运动时抖动现象
@DJ384L/ZZ0MS=MI/;MI/I Y=MI ZGIU WGYZ0GUMDW;/2DIJ
静止不动的带锯条的横向振动频率同弦振动的
固有频率的计算公式一样!即
&‘ #
$%
F
’槡3&
44当带锯条转动时!行波与转动的方向一致称前
行波# 行波与转动方向相反称后行波&
行波沿着带锯条传播的时间将是’
#$ 前行波
+# ‘
%
/ b8
#
44$$ 后行波
+$ ‘
%
/ f8
&
式中’ +#!+$ 表示完成空间周期 $%% 前行波和后行波
所需要的时间&
振动的周期为’
+‘+# b+$ ‘%
#
/ b8
b #( )/ f8‘ $%//$ f8$ !
44行波基频为’
&‘ #
+
‘ /
$%# f
8$
/( )$ &
式中’ / ‘ F
’槡3!F表示运动带锯条的张力! 8‘
$4K#表示带锯条线速度&
对于 0 阶谐波!频率方程式为’
&0 ‘0
/$ f8$
$%/
‘0&‘0 /
$%# f
8$
/( )$ & "7$
$4带锯条动力学计算模型
#$ 张力 F‘F% 时
带锯轮静止时!锯条张紧力"初拉力$为 F%! 如
图 " G所示&
带锯条振动频率计算公式为’
&0 ‘
0
$%
F%
’槡3&
44当 0 ‘# 时!
&# ‘
#
$%
F%
’槡3 "6$
称基频&
$$ 张力 F‘F% h(Fa$ 时
1F为锯条转动引起的松紧边张力差& 转动时!
锯条两边的张力不再相等! F# 为紧边张力! F$ 为松
边张力!张力差 1F‘F# fF$! 如图 " Z 所示&
紧边波速’
/# ‘
F% b(Fa$
’槡 3 ! "#%$
44松边波速’
/$ ‘
F% f(Fa$
’槡 3 ! "##$
44基频为’
&# ‘
/#"$$
$% # f
8$
/$#"$
( )
$
& "#$$
图 "4锯轮静止"G$和转动"Z$时带锯条的受力简图
@DJ3"4)IUEVMX/VRMUDGJVG;/XZGIU WGYZ0GUMW
WNWTM;GTVMWT"G$ GIU DI ;/TD/I " Z$
445$ 张力 F‘F% h1Fa$ bM0 时
M0 为带锯条离心作用所引起的惯性力&
图 : 中’ L为锯轮直径 ";$# K为锯轮半径
";$# #为锯轮角速度 "VGU(W># $# ’为锯条密度
"dJ(;>5$# U=为单元质量 " dJ$# U)为单元角度
"VGU$# D0 为单位长度上的惯性力"*(;
># $# 3为锯
条横截面积";$$# M0 为惯性力"*$&
D0 ‘’3K#
$ ‘,’K#$&
44离心力"惯性力$对张紧力的贡献’
M0 ‘0
4
$
%
D0KWDI)U)‘0
4
$
%
’3K$#$WDI)U)‘,’K$#$&
44紧边波速’
/# ‘
F% b(Fa$ bM0
’槡 3 ! "#5$
#$#
林 业 科 学 !" 卷4
图 :4张力 F‘F% h(Fa$ bM0 时的锯条受力分析
@DJ3:4)IUEVMX/VRMGIG0NWDW/XZGIU WGY
Z0GUMWY=MI F‘F% h1Fa$ bM0
44松边波速’
/$ ‘
F% f(Fa$ bM0
’槡 3 ! "#!$
44基频为’
&# ‘
/#"$$
$% # f
8$
/$#"$
( )
$
& "#8$
54动频的理论计算
#$ 张力 F‘F% 时
在静止时!实测锯条预紧力 F% u5 !#$ *&
固有频率计算公式为’
&0 ‘
0
$%
F%
’槡3&
44本试验根据随机振动理论 "戴诗亮!#67!$!采
用橡胶锤激振带锯条!应用频谱分析法测量带锯条
系统的固有频率!其主要仪器包括南京安正 ’A,&
振动及动态信号采集分析系统%’,^BK^#78 压电式
内置 (’加速度计等"王正等!$%%7G# $%%7Z$& 静止
时!带锯条系统前 " 阶固有频率理论解见表 #&
表 =>静止时带锯条系统前 R阶固有频率理论解!
2&8?=>@-+.<$%."00,")’R ,&)V/)&’$,&%0,.H$.)-:
’" 8&)阶数 &TMSW" 0$ # $ 5 ! 8 "
频率 @VMQEMIRN
"&0 $iF‘
$51""$51"$ !:1$ :%17 6!18 ##71# #!#1:
44. 括号内的数值为实测值!下同& +=M2G0EMDI ZVGRdMTDW
;MGWEVMU 2G0EM!T=MWG;MZM0/Y3
$$ 张力 F‘F% h1Fa$ 时
驱动带锯轮扭矩 HM的计算式为’
5HM6 ‘6 8!6
5?6
506
& "#"$
44由式"#"$得’
1F‘"F# fF$$ ‘
$ d6 8!65?6
Ld506
& "#:$
44将 F% u5 !#$ *! ?u:18 dL和锯轮转速 0 u
6:% V(;DI >#代入 1F公式计算如下’
1F‘$ d6 8!6 d:18%1: d6:%
‘$## *&
44紧边波速’
/# ‘
F% b1Fa$
’槡 3 ‘
5 !#$ b$##a$
: 7%% d:1"8 d#% f槡 8
‘:"17 ;(Wf#!
44松边波速’
/$ ‘
F% f1Fa$
’槡 3 ‘
5 !#$ f$##a$
: 7%% d:1"8 d#% f槡 8
‘:!1! ;(W>#&
44根据基频公式’ &# ‘
/
$%# f
8$
/( )$ ! 得
紧边基频’
&# ‘
:"17
$ d#1" # f
5818$
:"17( )$ ‘#61% F‘!
44松边基频’
&# ‘
:!1!
$ d#1" # f
5818$
:!1!( )$ ‘#:16 F‘&
44张力F‘F% h1Fa$ 时!带锯条系统前 " 阶动频
率理论解见表 $&
表 B>张力 >‘>^ a#>?B 时带锯条系统前
R 阶动频率理论解
2&8?B>@-+.<$%."00,")’R ,&)V/<:)&F(-
0,.H$.)-: ’+.",: ,./$%’/’" ’+.8&)8%&<./:/’.F;+.)(’/’.)/(%.0",-.(/>‘>^ a#>?B
阶数
&TMSW" 0$
频率 @VMQEMIRN"&0 $iF‘
不考虑转速 8的影响
LDT=/ETR/IWDUMVDIJT=M
D;SGRT/XWSMMU "8$
"F% u5 !#$ *! 1Fu
$## *! M0 ‘%$
考虑转速 8的影响
’/IWDUMVDIJT=M
D;SGRT/XWSMMU "8$
"F% u5 !#$ *! (Fu
$## *! M0 ‘%$
紧边
+DJ=TWDUMW
松边
-//WMWDUMW
紧边
+DJ=TWDUMW
松边
-//WMWDUMW
# $!1% $515 #61%"$!16$ #:16"$#1"$
$ !71% !"1" 571% 5817
5 :$1% "616 8:1% 851:
! 6"1% 651$ :"1% :#1"
8 #$%1% ##"1" 681% 7618
" #!!1% #5617 ##!1% #%:1!
44
445$ 张力 FuF% <1Fa$ qM0时
惯性力 M0 的计算&
$$#
4第 ## 期 王4正等’ 带锯条振动的行波机理及动态力学特性
锯条的线密度’
,’‘’3‘: 7%% d:1"8 d#% f8 ‘%1"% dJ(;>#!
44惯性力’
M0 ‘%1" d%158
$ d"$ d51#! d#"1$$ $ ‘:"# *&
44张紧力"初拉力$ F% ‘5 !#$ *时!
紧边波速’
/# ‘
F% b1Fa$ bM0
’槡 3 ‘
5 !#$ b$##a$ b:"#
: 7%% d:1"8 d#% f槡 8
‘7!1: ;(W!
44松边波速’
/$ ‘
F% f(Fa$ bM0
’槡 3 ‘
5 !#$ f$##a$ b:"#
: 7%% d:1"8 d#% f槡 8
‘7$1" ;(W&
44紧边频率’
&# ‘
7!1:
$ d#1" # f
5818$
7!1:( )$ ‘$#17 F‘!
44松边频率’
&$ ‘
7$1"
$ d#1"
"# f5818
$
7$1"$
$ ‘$#1% F‘&
44张力F‘F% h1Fa$ bM0时!带锯条系统空载时
的前 " 阶动频率理论解见表 5&
表 D>张力 F‘F% h1Fa$ bM0 时带锯条
系统空载时的前 R 阶动频率理论解
2&8?D>@-+.<$%."00,")’R ,&)V/<:)&F(-0,.H$.)-:
’+.",: ,./$%’/’" 8&)%"&‘>^ a#>?B b@/
阶数
&TMSW" 0$
频率 @VMQEMIRN"&0 $iF‘
不考虑转速 8的影响
LDT=/ETR/IWDUMVDIJT=M
D;SGRT/XWSMMU "8$
"F% u5 !#$ *! 1Fu
$## *! M0 ‘:"# *$
考虑转速 8的影响
’/IWDUMVDIJT=M
D;SGRT/XWSMMU "8$
"F% u5 !#$ *! (Fu
$## *! M0 ‘:"# *$
紧边
+DJ=TWDUMW
松边
-//WMWDUMW
紧边
+DJ=TWDUMW
松边
-//WMWDUMW
# $"18 $817 $#17"$!16$ $#1%"$#1"$
$ 851% 8#1" !51" !$1%
5 :618 ::1! "81! "51%
! #%"1% #%51$ 7:1$ 7!1%
8 #5$18 #$61% #%71% #%81%
" #861% #8!17 #5%17 #$"1%
!4讨论
#$ 紧边固有频率的理论值为 "&+$ # u$#17 F‘%
松边固有频率的理论值为 "&+$ $ u$#1% F‘!而应用
频谱分析得出的 "&A$ # u$!16 F‘% "&A$ $ u$#1"
F‘!两者比较一致"表 5$& 说明用行波理论研究和
分析带锯机转动时的固有频率特性是完全可行的!
精度也相当满意&
$$ 带锯条动频不仅与张紧力有关!而且与锯条
的线速度有关& 理论分析"表 5$表明# 考虑线速度
影响时!紧松边的基频均小于不考虑转速 8的频率&
带锯机转动时的实测结果也验证其理论分析!由于
动频率变小!相当于转动的带锯条的张紧力降低!俗
称*松+了!因而产生晃动或抖动现象# 同时由于带
锯条转动!带动弦驻波向前运动!弦除上下振动而且
还向前运动!形成蛇形运动!这种蛇形运动也使带锯
条出现晃动或抖动现象&
5$ 计算松紧边拉力差时!本研究用的是全功
率!而空载时!消耗的功率小于全功率!即使按全功
率计算! 1Fa$ ‘ #%" *! 仅占张力的 5a " #%"i
5 !#$ u51#a$! &1槡F! 因而频率误差约占 #18a!
作为问题的研究和工程应用是完全可以接受的&
!$ 木工带锯条断面呈狭长的矩形截面!因此会
产生扭转振动!同时在进给力的作用下!会出现失稳
现象& 带锯条的失稳和扭转振动有待进一步进行理
论研究和试验验证&
参 考 文 献
戴诗亮3#67!1随机振动实验技术3北京’ 清华大学出版社3
杜功焕!朱哲民!龚秀英3$%%#1声学基础3南京’ 南京大学出版社3
纪多辙3$%%51有界弦的行波解及其与驻波解的关系3力学与实践!
""$ ’ :# >:51
季文美!方 4 同!陈松淇3#6781机械振动3北京’ 科学出 版
社!5!$ >5!:1
梁昆淼3#6681数学物理方法3北京’ 高等教育出版社!#!6 >#8#1
马4岩3#6671国际木工机械设计理论研究的发展3林业机械与木
工设备!"7$ ’! >71
马大遒!沈4濠3$%%"1声学手册3北京’ 科学出版社!8! >8"1
莫尔斯 k]!英格特 lp3#67!1理论声学 "上册$3北京’ 科学出
版社3
清华大学工程力学系3#67%1机械振动3北京’ 机械工业出版社3
王4正!蒋希时3$%%7G3木工适张带锯条的振动分析3林业科学!
!!"#$ ’ #$7 >#551
王4正!孙友富3$%%7Z3木工带锯条的弦振动理论研究与应用+第
五届博士生学术年会论文集3北京’中国科学技术出版
社!!!5 >!8#1
徐4兀3#67:1汽车振动和噪声控制3北京’ 人民交通出版社3
]/TM’K3#67!1,IG0NWDW/X2DZVGTD/I DI GZGIU WGYWNWTM;3@/VMWT
kV/UERTW\/EVIG0!5!"6$ ’ #$ >$#1
]/TM’K3#66%1.DZVGTD/I R/ITV/0/XZGIU WGYW’ T=M/VNGIU M_SMVD;MIT3
L//U &RDMIRMGIU +MR=I/0/JN!$!"!$ ’ 588 >5:51
BGIJC!]/TM’K\V3#66#1,RTD2M2DZVGTD/I R/ITV/0/XT=MG_DG0N;/2DIJ
WTVDIJDI T=M& U/;GDI3,&]) \/EVIG0/X,SS0DMU ]MR=GIDRW!
87"#$ ’#76 >#6"3
!责任编辑4石红青"
5$#