全 文 ：第 ws卷 第 x期
u s s w年 | 月
林 业 科 学
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牛顿迭代法悬索线形与拉力的研究
周新年 罗仙仙 罗桂生 郑丽凤
k福建农林大学 福州 vxsssul
官印生
k福建林业职业技术学院 南平 vxvsssl
摘 要 } 从悬链线的标准线形出发 o推导悬索无荷线形及拉力的计算式 ~通过建立状态协调方程 o导出有荷水平
拉力与有荷挠度的关系 o运用牛顿迭代的数值解法求解悬索有荷线形与拉力 ∀
关键词 } 悬索 o悬链线理论 o牛顿迭代法 o线形 o拉力
中图分类号 }≥zzy1su 文献标识码 }„ 文章编号 }tsst p zw{{kusswlsx p styw p sx
收稿日期 }ussv p tt p t{ ∀
基金项目 }福建省教育厅科学基金资助项目kŽsusyyl ~福建省自然科学基金资助项目k∞||sstl ∀
Στυδψ ον Νεωτον Ιτερατιον Μετηοδ οφ Σκετχη ανδ Τενσιον οφ Συσπενσιον Ροπε
«²∏÷¬±±¬¤± ∏² ÷¬¤±¬¬¤± ∏² Š∏¬¶«¨ ±ª «¨ ± ¬©¨ ±ª
k Φυϕιαν Αγριχυλτυρε ανδ Φορεστρψ Υνιϖερσιτψ Φυζηου vxsssul
Š∏¤± ≠¬±¶«¨ ±ª
k Φυϕιαν Φορεστρψ Χαρεερ Χολλεγε Νανπινγ vxvsssl
Αβστραχτ} …¤¶¨§²±·«¨ ¶·¤±§¤µ§¦∏µ√¨ ²©·«¨ ¦¤·¨±¤µ¼o·«¨ ¦¤¯¦∏¯¤·¬²±©²µ°∏¯¤¶²©±²±2¯ ²¤§¶®¨·¦«¤±§·¨±¶¬²± ²©¶∏¶³¨ ±¶¬²±
µ²³¨ ¤µ¨ §¨§∏¦¨§q…¼ ¶¨·¤¥¯¬¶«¬±ª¶·¤·¨ ¦²²µ§¬±¤·¨ ¨´ ∏¤·¬²±o·«¨ µ¨ ¤¯·¬²±¶«¬³¥¨·º¨ ±¨ ²¯¤§«²µ¬½²± ·¨±¶¬²± ¤±§ ²¯¤§§¨©¯ ¦¨·¬²±¬¶
§¨§∏¦¨§o¯²¤§¶®¨·¦«¤±§·¨±¶¬²± ²©¶∏¶³¨ ±¶¬²±µ²³¨ ¬¶¶²¯√¨ §¥¼ ‘¨º·²±¬·¨µ¤·¬²± ±∏°¨ µ¬¦¤¯ °¨ ·«²§q
Κεψ ωορδσ} ≥∏¶³¨ ±¶¬²±µ²³¨ o≤¤·¨±¤µ¼·«¨²µ¼o‘¨º·²±¬·¨µ¤·¬²± °¨ ·«²§o≥®¨·¦«o× ±¨¶¬²±
线形计算关系到索道的净空高 !平顺度和支架高度等诸多因素 o是索道侧型设计的关键 ~而拉力计算则
是跨距 !挠度和钢索破断力等因素相匹配的优化求解 o线形与拉力是悬索设计的主要内容k张应春 ot|z| ~关
承儒 ot|{v ~徐鹤峰 ot|{wl ∀在架空索道设计中 o悬链线被公认为真实反映实际悬挂钢索的线形 o按悬链线理
论对悬索的线形及拉力计算进行理论推导 ∀
t 悬索假设
悬索是理想柔性的 o既不能受压也不能受弯 ∀因为索的截面尺寸与索长相比十分微小 o因而截面的抗弯
刚度在计算中可不考虑 ∀悬索的曲线有转折的地方 o只要转折的曲率半径不太小 o局部弯曲也可不计 ~悬索
的材料符合虎克定律 o应力与应变符合线性关系 ~悬索的横截面面积及自重在外荷载作用下的变化量十分微
小 o可忽略这种变化的影响 ~悬索自重沿曲线均匀分布 ∀
u 悬索无荷线形及拉力
211 无荷拉力系数 Α0
u1t1t 初始值 Αskslk罗桂生等 ot|||l Αsksl € {Σs¦²¶Α ktl
式中 Σs ) 无荷中挠系数 ~Α) 索道弦倾角kβl ∀
u1t1u 迭代过程
Αskιl € u¯ ± Χkιl n tΧkιl p t kul
式中 Χkιl € tuΣs Αskι p tl Α
u
skι p tl·¤±u Α n w¶¬±«u Αskι p tlu o ι € t ou o, oν ∀
u1t1v 精确值 Αs € Αsk νl kvl
精度控制 ¿Αsk νl p Αk ν p tl ¿
Αsk νl  ∃ kwl
式中 ∃ ) 预期精度 o常取 ∃ € s1sss st ∀
212 悬链线线形方程
以悬索曲线的最低点为原点建立直角坐标系 o悬链线的一般方程式为k周新年 ot||yl
ψ € Χ¦²¶« ξΧ p Χ kxl
式中 Χ) 补助函数 oΧ€ Ηsθ ~Ηs ) 无荷悬索水平拉力k‘l oΗs €
θλs
Αs ~θ ) 悬索单位长度重力k‘#°
ptl ~λs ) 悬
索水平跨距k°l ∀
将坐标原点沿 ψ轴下移距离为 Χo且沿 ξ轴左移至索道下支点 o建立如图 t所示的直角坐标系 ΞΟΨo则
悬链线方程为
图 t 悬索无荷线形
ƒ¬ªqt ≥®¨·¦«²©¶∏¶³¨ ±¶¬²±µ²³¨ º¬·«²∏·¯²¤§
Ψ € Χ¦²¶« Ξ p ΞΧΧ kyl
式中 ΞΧ ) 悬链线最低点横坐标k°l ∀
如图 t所示 o可设 „ !…两点的坐标分别为ks oΨtl !
kλs oΨul o„ !…两点在悬索曲线上 o则
Ψt € Χ¦²¶« ΞΧΧ o Ψu € Χ¦²¶«
λs p ΞΧ
Χ
从几何关系可得 }Ψu p Ψt € λs·¤±Αo即
Χ ¦²¶«λs p ΞΧΧ p ¦²¶«
ΞΧ
Χ € λs·¤±Α kzl
即 }uΧ¶¬±« λsuΧ¶¬±«
λs p u ΞΧ
uΧ € λs·¤±Α ∀解得
ΞΧ € λsu p Χ¶¬±«
pt
λs·¤±Α
uΧ¶¬±« λsuΧ
k{l
213 无荷索长 Λ0 (µ )
Λs €Θλss t n §Ψ§Ξ u§ξ €Θλss ¦²¶« Ξ p ΞΧΧ §Ξ € Χ¶¬±« Ξ p ΞΧΧ
λs
s
€ Χ ¶¬±« λs p ΞΧΧ n ¶¬±«
ΞΧ
Χ
€ uΧ¶¬±« λsuΧ¦²¶«
λs p u ΞΧ
uΧ k|l
214 悬链线重心坐标 mΞ(µ )
hΞ €Θ
λs
s
Ξ t n §Ψ§Ξ
u
§Ξ
Θλss t n §Ψ§Ξ u§Ξ
€Θ
λs
s
Ξ¦²¶« Ξ p ΞΧΧ §Ξ
Λs €
ΧΘλss Ξ§¶¬±« Ξ p ΞΧΧ
Λs
€
ΧΞ¶¬±« Ξ p ΞΧΧ
λs
s
p ΧΘλss ¶¬±« Ξ p ΞΧΧ §Ξ
Λs €
Χλs¶¬±« λs p ΞΧΧ p Χ
u¦²¶« Ξ p ΞΧΧ
λs
s
Λs
€
Χλs¶¬±« λs p ΞΧΧ p Χ
u ¦²¶«λs p ΞΧΧ p ¦²¶«
ΞΧ
Χ
Λs €
Χλs¶¬±« λs p ΞΧΧ p Χλs·¤±Α
Λs ktsl
215 无荷挠度 Φ0 ( Ξ)(µ )
如图 t所示 o过 „ks oΧ¦²¶« ΞΧΧ l !…kλs oΧ¦²¶«
λs p ΞΧ
Χ l两点的直线方程为
Ψ直 p Χ¦²¶« ΞΧΧ €
Χ¦²¶« λs p ΞΧΧ p Χ¦²¶«
ΞΧ
Χ
λs p s k Ξ p sl
xyt 第 x期 周新年等 }牛顿迭代法悬索线形与拉力的研究
将kzl式代入上式 o整理得 }Ψ直 € Ξ·¤±Αn Χ¦²¶« ΞΧΧ kttl
将kttl式减去kyl式即为任意点 Ξ处的无荷挠度 Φsk Ξl o即
Φsk Ξl € Ξ·¤±Α n Χ¦²¶« ΞΧΧ p Χ¦²¶«
Ξ p ΞΧ
Χ € Ξ·¤±Α n uΧ¶¬±«
Ξ
uΧ¶¬±«
u ΞΧ p Ξ
uΧ ktul
216 无荷悬索任意点拉力 ΤΞ( Ν)
无荷悬索任意点的方向系数为 }·¤±Η € §Ψ§Ξ € ¶¬±«
Ξ p ΞΧ
Χ o故任意点拉力为
ΤΞ € Ηs t n ·¤±u Η € Ηs t n ¶¬±« Ξ p ΞΧΧ
u
€ Ηs¦²¶« Ξ p ΞΧΧ ktvl
217 无荷平均拉力 Τ0 ( Ν)
因为 Ψ € Χ¦²¶« Ξ p ΞΧΧ o所以 §σ € t n
§Ψ
§Ξ
u
§Ξ € ¦²¶« Ξ p ΞΧΧ §Ξ q故无荷平均拉力为
Τs € tΛsΘλss ΤΞ§σ € ΗsΛsΘλss ¦²¶« Ξ p ΞΧΧ u§Ξ € ΗsΛs λsu n Χw ¶¬±«ukλs p ΞΧlΧ n ¶¬±«u ΞΧΧ
€ ΗsΛs
λs
u n
Χ
w # u¶¬±«
λs
Χ¦²¶«
λs p u ΞΧ
Χ €
Ηs
uΛs λs n Χ¶¬±«
λs
Χ¦²¶«
λs p u ΞΧ
Χ ktwl
令 Τs € ΤΞ o解得无荷平均拉力横坐标 }Ξs € Χ¦²¶«pt ΤsΗs n ΞΧ ∀
图 u 悬索荷重线形
ƒ¬ªqu ≥®¨·¦«²©¶∏¶³¨ ±¶¬²±µ²³¨ ∏±§¨µ¯ ²¤§
v 悬索有荷线形及水平拉力
311 有荷水平拉力与有荷挠度的关系
在单集中荷重作用下 o悬索线形呈 u条平顺而又相连续的悬链线
形 o见图 u ∀设在距离下支点 Ξ处有一荷重 Θo设 κ为荷重点 Ž的距离
系数 o即 κ€ Ξλs ~并设 ΦΚ为荷重点挠度 oΗΚ为相应的水平拉力 o假设荷
重补助函数为
ΧΚ € ΗΚΠθ ktxl
Αt !Αu 分别为 „Ž!Ž…的倾角 o称为荷重倾角 o有
·¤±Αt € ·¤±Α p ΦΚκλs ~·¤±Αu € ·¤±Α n
ΦΚ
kt p κlλs ktyl
类似无荷重的情形 o可以得到荷重下 „Ž!Ž…段悬链线的最低点横
坐标 ΞΧt !ΞΧu为
ΞΧt € κλsu p ΧΚ¶¬±«
pt
κλs·¤±Αt
uΧΚ¶¬±« κλsuΧΚ
~ ΞΧu € kt p κlλsu p ΧΚ¶¬±«
pt
kt p κlλs·¤±Αu
uΧΚ¶¬±«kt p κlλsuΧΚ
ktzl
荷重下 „Ž!Ž…段悬链线的长度
Λt € uΧΚ¶¬±« κλsuΧΚ¦²¶«
κλs p u ΞΧt
uΧΚ ~ Λu € uΧΚ¶¬±«
kt p κlλs
uΧΚ ¦²¶«
kt p κlλs p u ΞΧu
uΧΚ kt{l
荷重下整条链长则为
ΛΚ € Λt n Λu kt|l
„Ž!Ž…段悬链线的平均拉力分别为
Τt € ΗΚuΛt κλs n ΧΚ¶¬±«
κλs
ΧΚ¦²¶«
κλs p u ΞΧt
ΧΚ
yyt 林 业 科 学 ws卷
Τu € ΗΚuΛu kt p κlλs n ΧΚ¶¬±«
kt p κlλs
ΧΚ ¦²¶«
kt p κlλs p u ΞΧu
ΧΚ kusl
整条悬链线的平均拉力为
ΤΚ € kΛt Τt n Λu ΤulΠkΛt n Λul kutl
„Ž!Ž…段悬链线重心的横坐标
hΞt € tΛt ΧΚκλs¶¬±«
κλs p ΞΧt
ΧΚ p ΧΚκλs·¤±Αt
hΞu € κλs n tΛu ΧΚkt p κlλs¶¬±«
kt p κlλs p ΞΧu
ΧΚ p ΧΚkt p κlλs·¤±Αu
kuul
设 Πt !Πu !Π分别为 „Ž!Ž…段及整条悬链线的自重 o则 Πt n Πu € ΠoΠtΠΠu € ΛtΠΛu o则
Πt € ΠΛtΠkΛt n Λul o Πu € ΠΛuΠkΛt n Λul oΠ € θΛs kuvl
荷重时 ΗΚ与 ΦΚ关系 }如图 u o以 „…为研究对象 o以 …点为矩心 o由平衡条件 o可得
ςΑλs n ΗΚλs·¤±Α € Πtkλs p hΞtl n Πukλs p hΞul n Θkt p κlλs
以 „Ž为研究对象 o以 Ž为矩心 o有
ςΑκλs n ΗΚkκλs·¤±Α p ΦΚl € Πtkκλs p hΞtl
由上两式消去 ς„ o整理后即得有荷水平拉力与有荷挠度的关系为
ΗΚ € ≈kt p κlhΞt Πt n κkλs p hΞul Πu n κkt p κlλs Θ ΠΦΚ kuwl
312 有荷挠度与水平拉力的精确解
荷载大小与位置的改变 !支点位移 !温度变化都会引起悬索线形的变化 o建立悬索的状态协调方程
ΛΚ p Λs € ∃Λε n ∃Λτ kuxl
式中 ΛΚ ) 有荷索长k°l ~∃Λε ) 拉力引起的钢索的弹性伸长变化量k°l o∃Λε € k ΤΚΛΚ p Τs ΛslΠΕΑ~Ε ) 钢索
的弹性模量k°¤l ~Α ) 钢索的金属横截面面积k°°ul ∀ ∃Λτ ) 温度引起的索长改变量k°l o∃Λτ € Ε∃τΛs ~Ε)
钢索的线膨胀系数k ε p tl ~∃τ ) 温度变化值k ε l o∃τ € τu p τt ~τu ) 悬索使用时的温度k ε l ~τt ) 悬索安装时
的温度k ε l ∀将 ΛΚ !ΤΚ代入式kuxl o将得到荷重补助函数 ΧΚ的超越方程 o用牛顿迭代数值解法求解 ∀
牛顿迭代过程如下
ΦkslΚ € wkκ p κul Φs oΗkslΚ € Ηs
ΦkϕlΚ € ΛΩΛΚ p ∃Λε p ∃ΛτΦ
kϕptl
Κ kι € t oΝl
ΗkϕlΚ € kt p κl
hΞt Πt n κkλs p hΞul Πu n κkt p κlλs Θ
ΦkϕlΚ
kuyl
当满足迭代收敛条件¿Φ
kϕl
Κ p Φkϕp tlΚ ¿
ΦkϕlΚ  ∃ o
¿ΗkϕlΚ p Ηkϕp tlΚ ¿
ΗkϕlΚ  ∃k∃为预期精度l o即可求得有荷挠度与水平
拉力的精确解 o从而可求有荷索长 !各点挠度 !最大拉力 !安全系数 !轮压比等k堀高夫 ot||u ~周新年 ot|{| ~
t||u ~t||yl ∀
参 考 文 献
关承儒 o徐鹤峰 q承载索拉力计算法的探讨 q东北林学院学报 ot|{v ottkul }|| p ttt
堀高夫k日l o张育民译 q悬索理论及其应用 q北京 }中国林业出版社 ot||u }uy
罗桂生 o周新年 o吴沂隆 q悬链线精确算法单跨索道设计模型 q福建林学院学报 ot||| ot|kul }tts p ttv
徐鹤峰 q单跨索道承载索拉力简化计算 q林业机械 ot|{w okwl }t| p us
张应春 q悬链线与单跨悬索张力的研究 q林业科学 ot|z| otxkvl }usx p utw
周新年 q架空索道理论与实践 q北京 }中国林业出版社 ot||y }tx p ty
周新年 q林业索道承载索的优化设计 q林业科学 ot|{| ouxkul }tuz p tvu
周新年 q林业索道设计系统 q林业科学 ot||u ou{ktl }wz p xt
zyt 第 x期 周新年等 }牛顿迭代法悬索线形与拉力的研究