全 文 ：第 v|卷 第 w期
u s s v年 z 月
林 业 科 学
≥≤Œ∞‘׌„ ≥Œ∂ „∞ ≥Œ‘Œ≤„∞
∂²¯1v| o‘²1w
∏¯ qou s s v
百度试验条件下木材含水率场的
数学分析及其实用意义
张钟光
k青岛大学 青岛 uyysztl
摘 要 } 为将控制工程理论中的系统辩识方法应用于木材干燥技术 o本文建立起在进行百度试验时沿厚度
方向木材含水率场随时间变化的数学模型并求出其数学解 ∀这一数学解表述了在百度试验条件下木材初含
水率 !干燥时间 !即时含水率和相应的扩散系数之间的动态函数关系 ∀据此 o可以通过试验的方法得到在此条
件下不同树种木材水分在不同含水率条件下的扩散系数 o从而为制定木材干燥基准给出必要的数据 ∀本文试
图为用控制工程理论研究木材干燥技术提供一条新的思路 ∀
关键词 } 百度试验 o系统辩识 o含水率 o扩散系数 o干燥基准
收稿日期 }ussv p sv p uw ∀
ΤΗΕ ΜΑΤΗΕΜΑΤΙΧΑΛ ΑΝΑΛΨΣΙΣ ΟΦ ΜΧ ΦΙΕΛ∆ ΟΦ ΩΟΟ∆ ∆ΥΡΙΝΓ ΤΗΕ ΠΕΡΙΟ∆
ΟΦtss ε ΤΕΣΤ ΑΝ∆ ΙΤΣ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ
«¤±ª«²±ªª∏¤±ª
k Θινγδαο Υνιϖερσιτψ Θινγδαοuyysztl
Αβστραχτ} Œ± ²µ§¨µ·²¤³³¯¼·«¨ °¨ ·«²§²©¶¼¶·¨°¬§¨±·¬©¬¦¤·¬²± ²© ±¨ª¬±¨ µ¨¬±ª¦¼¥¨µ±¨·¬¦¶¤ °¤·«¨ °¤·¬¦¤¯ °²§¨¯²© ΜΧ
©¬¨ §¯¤¯²±ª ∏¯°¥¨µ·«¬¦®±¨ ¶¶¦«¤±ª¬±ªº¬·«·«¨ ³¤¶¶¤ª¨ ²©·¬°¨ §∏µ¬±ª·«¨ ³¨µ¬²§²©tss ε ·¨¶·º¤¶ ¶¨·¤¥¯¬¶«¨§¤±§¬·¶¶²¯∏2
·¬²± º¤¶§¨§∏¦¨§¬±·«¬¶³¤³¨µq׫¨ §¼±¤°¬¦©∏±¦·¬²±µ¨ ¤¯·¬²±¶«¬³¤°²±ª¬±¬·¬¤¯ ΜΧo§µ¼¬±ª·¬°¨ o¬±¶·¤±·¤±¨ ²∏¶ ΜΧo¤±§
¦²µµ¨¶³²±§¬±ª§¬©©∏¶¬²±¦²¨©©¬¦¬¨±·¦²∏¯§¥¨ ¶«²º±¥¼·«¬¶¶²¯∏·¬²±qפ®¬±ª¤§√¤±·¤ª¨ ²©·«¬¶·«¨ §¬©©∏¶¬²±¦²¨©©¬¦¬¨±·¶²©§¬©2
©¨µ¨±·®¬±§¶²©º²²§∏±§¨µ§¬©©¨µ¨±·¯ √¨¨ ¶¯²© ΜΧ¬±·«¬¶¦²±§¬·¬²± ¦²∏¯§¥¨ ²¥·¤¬±¨ §¥¼ ¬¨³¨µ¬°¨ ±·¶ o¤±§·«¨¼ ¶«²∏¯§¥¨
¬°³²µ·¤±·§¤·¤²© °¤®¬±ª§µ¼¬±ª¶¦«¨§∏¯ ¶¨©²µ·«¨ ·¤µª¨·º²²§q„ ±¨ º·µ¤¬± ²©·«²∏ª«·º¤¶²©©¨µ¨§¥¼·«¬¶¶·∏§¼q
Κεψ ωορδσ} tss ε ·¨¶·°¨ ·«²§o≥¼¶·¨°¬§¨±·¬©¬¦¤·¬²±o ²¬¶·∏µ¨ ¦²±·¨±·k ΜΧl o⁄¬©©∏¶¬²±¦²¨©©¬¦¬¨±·o⁄µ¼¬±ª¶¦«¨§∏¯¨
百度试验法k寺 真 ot|yxl o以下简称百度法 o是一种制定木材干燥基准的有效方法 ∀这种方法是
将试材放置在温度为 tss ε 的烘箱内 o干燥至含水率小于 t h o根据干燥过程中试材含水率变化 !开裂等
情况来确定该树种合适的干燥基准 ∀
百度法的意义在于 o它是控制论思想在木材干燥领域中最早的应用尝试 o具有系统辨识的雏形 ∀所
谓系统辨识 o就是利用系统的输入和输出建立系统数学模型的理论和方法 o是研究系统或过程的有效工
具 ∀百度法把试材作为系统 o忽略了湿度的变化k相对湿度保持为零l o给系统施加一个阶跃输入k烘箱
里恒定的干燥环境l o根据输出k试材的含水率变化和开裂情况l o确定系统k试材代表的树种l的干燥特
性 o据此制定合适的干燥基准 ∀近年来 o国内外应用百度法的研究很多k梁世镇等 ot||{l o取得了不少成
果 o但这些研究多是定性的 o具有明显的经验性 o至今尚未见到进一步的理论研究 ∀
本文拟推导出在百度试验过程中 o沿厚度方向含水率随时间的变化 Μk ξ oτl的数学解 ∀ Μk ξ oτl的
变化情况将直接影响木材干燥的速度和木材内部应力的变化 o对研究木材干燥过程和制定不同树种木
材的干燥基准是有意义的 ∀
t 基本假设
木板长 !宽均为 ] o厚度为 uλo加热面为厚度方向的左右两个表面 ∀沿木板的厚度方向建立如图 t
所示的坐标轴 ξ o取木板的中心截面于 λo左 !右两加热表面分别对应于 ξ € s和 ξ € uλ∀木板各与 ξ轴
垂直的截面的含水率应满足扩散方程(Σιαυ ,1984)(泛定方程) ∀
9 Μ
9 τ € α
u 9u Μ
9 ξu ktl
式中 oΜ是木板的含水率 ∀扩散系数 αu 随干燥条件的不同会有较大的差异 o在相同的干燥条件下 oαu
取决于树种 ∀不同树种的细胞壁的结构不同 oαu 的差异是显著的 ∀根据本文的结论 o可以在试验的基
础上确定不同树种的木材在百度试验这种特定干燥条件下的 αu 值 ∀
s λ 2λ ξ
图 t 木板厚度方向坐标轴
ƒ¬ªqt ≤²²µ§¬±¤·¨ ¤¯²±ª ∏¯°¥¨µ·«¬¦®±¨ ¶¶
木板在加热前 o各截面的含水率相同 o即有初始条件
Μkξ osl € Μs s  ξ  uλ kul
Μs 即木板的初含水率 ∀因为百度试验所用的试材是生材或湿材 o
所以这一假设是可以接受的 ∀同时 o对不同的试验采取同样的假设 o
试验的结果也是合理和具有可比性的 ∀
一旦加热开始 o木板的左 !右表面的含水率便骤降为零 o且在干燥过程中 o恒保持为零 ∀这是因为百
度试验是在烘箱里进行的 o环境对应的平衡含水率为零 o即有边界条件
Μks oτl € Μkuλoτl € s kvl
图 u 沿厚度方向木板含水率的分布
ƒ¬ªqu ⁄¬¶·µ¬¥∏·¨§ ΜΧ ¤¯²±ª ∏¯°¥¨µ·«¬¦®±¨ ¶¶
木板中心截面始终保持最高含水率kŠ∏ot|{wl ∀设 s  τt  ,
 τι  ,  τν 表示干燥过程中的 ν n t个时刻 o图 u大致描述了在
这些时刻木板中含水率的分布情形 ∀因为对应于 ξ € λ的中心截面
处保持着含水率的极大值 o故可得另一个边界条件 }
9 Μ
9 ξ ξ € λ € s kwl
木板左 !右对称 o而且无论其内部还是外部的所有状况均处于
平等的地位 o故只须研究左边一半即可 ∀
在上述基本假设下 o干燥过程可用ktl !kul !kvl !kwl四式组成
的定解问题描述 ∀
u 数学模型的解
第一步 }求满足泛定方程及边界条件的分离变量解 ∀
Μνk ξ oτl € Ξkξl # Τkτl o 9 Μν9 τ € Ξk ξl # Τχkτl
9 Μν
9 ξ € Ξχk ξl # Τkτl o
9u Μν
9 ξu € Ξδkξl # Τkτl
故 Ξkξl# Τχkτl € αu# Ξδkξl# Τkτl
或 Τχkτlαu# Τkτl €
Ξδkξl
Ξk ξl
此方程左式只与 τ有关 o右式只与 ξ有关 o因此等于某待定常数 o即
Τχkτl
αu # Τkτl €
Ξδk ξl
Ξk ξl € p Κ
得
Τχkτl n αu # Κ# Τkτl € s kxl
Ξδkξl n Κ# Ξkξl € s kyl
Μνkξ oτl要满足边界条件kvl !kwl o故有
Μνks oτl € Ξksl # Τkτl € s o 9 Μν9 ξ ξ € λ € Ξχkλl # Τkτl € s
从而得
xst 第 w期 张钟光 }百度试验条件下木材含水率场的数学分析及其实用意义
Ξksl € s o Ξχkλl € s kzl
由kyl和kzl得常微分方程的边值问题k本征值问题l ∀
若 Κ s okyl的特征方程为 ρu n Κ€ s o特征根是一对实根 ? p Κ∀
kyl的通解为 Ξ € χt#ε p Κ# ξ n χu#ε p p Κ# ξ o再按边界条件kzl代入 o便得
Ξksl € χt # εs n χu # εs € χt n χu € s
Ξχkλl € χt # p Κ# ε p Κ#λ p χu # p Κ# εp p Κ#λ € s
即
χt n χu € s
p Κ# ε p Κ#λ # χt p p Κ# εp p Κ#λ # χu € s
系数行列式
∃ €
t t
p Κ# ε p Κ#λ p p Κ# εp p Κ#λ € p p Κ#
t
ε p Κ#λ n ε
p Κ#λ Ξ s
故 χt € χu € s o得 Ξkξl € s oΜνk ξ oτl € s ∀可见 oΚ不可能小于零 ∀
若 Κ€ s okyl便化为 Ξνkξl € s o其通解为 Ξk ξl € χt# ξ n χu oΞχk ξl € χt
把边界条件kzl代入 o得
Ξksl € χt#s n χu € s
Ξχkλl € χt € s 即
χt € χu € s
Ξkξl € s
Μνkξ oτl € Ξk ξl# Τkτl € s ∀可见 oΚ也不可能等于零 ∀
因此 o必须有 ʁ s ∀这样 okyl的特征方程为 ρu n Κ€ s o特征根是一对共轭复根 ? Κ#ι ∀
通解是
Ξkξl € χt#¦²¶ξ Κn χu#¶¬±ξ Κ
Ξχkξl € p χt Κ#¶¬±ξ Κn χu Κ#¦²¶ξ Κ
代入边界条件kzl o得
Ξksl € χt#¦²¶s n χu#¶¬±s € χt € s
Ξχkλl € p χt Κ#¶¬±λ Κn χu Κ#¦²¶λ Κ€ s
解得
χt € s
χu Κ#¦²¶λ Κ€ s
为使 χu Ξs o故必须 ¦²¶ Κ#λ€ s
从而 o Κ#λ€ νΠn Πu o故 Κ€ k
½νΠn Π
uλ l
u k ν € s ot ou o,l
Ξk ξl € χu #¶¬± ku ν n tlΠuλ ξ k{l
再把 Κ代入kxl o有
Τχkτl n αu#ku νΠn Πuλ l
u# Τkτl € s k|l
其特征方程为 }ρn αu#ku νΠn Πuλ l
u € s o特征根为 }ρ€ p αu#ku νΠn Πuλ l
u
k|l的通解为 }Τkτl € χ#ε p αukuνΠn Πuλ lu#τ € χ#ε p Πu αukuν n tuλ lu#τ
从而便得满足泛定方程ktl及边界条件kvl !kwl的解
yst 林 业 科 学 v|卷
Μνk ξ oτl € Ξk ξl # Τkτl € χ # χu # εpΠ
u αukuνntuλ l
u#τ #¶¬± ku ν n tlΠuλ ξ
令 χ#χu € βuν n t
Μνkξ oτl € βuνnt # εpΠ
u αukuνntuλ l
u#λ #¶¬± ku ν n tlΠuλ ξ k ν € s ot ou o,l
第二步 }令 Μk ξ oτl € Ε
]
ν € s
Μνkξ oτl € Ε
]
ν € s
βuν n t#ε p Π
u αukuν n tuλ l
u#τ#¶¬± ku ν n tlΠuλ ξ
则 Μk ξ oτl明显仍满足泛定方程ktl及边界条件kvl !kwl ∀
第三步 }选择 βuν n t使 Μkξ oτl满足初始条件kul o即
Μνkξ osl € Ε
]
ν € s
βuνnt #¶¬± ku ν n tlΠuλ ξ € Μs ktsl
若将 φkξl € Μsks  ξ  uλl作奇开拓 o展开为傅立叶正弦级数 o有
Μs € Ε
]
κ€ λ
χκ #¶¬± κΠuλξ
其中
χκ € uuλ#Θ
uλ
s
Μs¶¬± κΠuλξ§ξ €
Μs
λ #Θ
uλ
s
¶¬± κΠuλξ§ξ
€ Μsλ #
uλ
κΠ#Θ
uλ
s
¶¬± κΠuλξ§k
κΠ
uλlξ
€ u ΜsκΠ # ≈p ¦²¶
κΠ
uλξ 
uλ
s
€ u ΜsκΠ≈t p ¦²¶κΠ  €
u Μs
κΠ≈t p kp tl
κ 
€
s κ为偶数
w Μs
κΠ κ为奇数
这样 o Μs € w ΜsΠ #¶¬±
Π
uλξ n
w Μs
vΠ #¶¬±
vΠ
uλξ n
w Μs
xΠ #¶¬±
xΠ
uλξ n ,
€ Ε
]
ν € s
w Μs
ku ν n tlΠ#¶¬±
ku ν n tlΠ
uλ ξ
将其代入ktsl o便得
Ε
]
ν € s
βuνnt # σιν ku ν n tlΠuλ ξ € Ε
]
ν € s
w Μs
ku ν n tlΠ#¶¬±
ku ν n tlΠ
uλ ξ
比较系数 o得 βuν n t € w Μsku ν n tlΠ
由此 o便得到满足泛定方程ktl !初始条件kul !边界条件kvl和kwl的解
Μkξ oτl € Ε
]
ν € s
w Μs
ku ν n tlΠ# ε
pΠu αukuνntuλ l
u#τ #¶¬± ku ν n tlΠuλ # ξ s  ξ  uλ
显然 o这个级数收敛得很快 o取前几项的部分和即可得到有足够精度的结果 ∀根据上述数学解 o在
试验数据的基础上 o可以求出不同树种木材在不同含水率水平下的扩散系数 αu 的值 o这将是判断不同
树种木材干燥难易程度的重要指标 o可以为制定不同树种木材干燥基准提供必然的数据 ∀
参 考 文 献
梁世镇 o顾炼百 q木材工业实用大全 ) ) ) 干燥卷 1 北京 }中国林业出版社 ot||{
寺 真 q木材乾燥 | t { © ) ® Ν简易决定法 q木材工业 ot|yx ouskxl }uuty p zuut
Š∏…q׫¨ ·¨°³¨µ¤·∏µ¨ ¤±§ °²¬¶·∏µ¨ ¦²±·¨±·¬± ∏¯°¥¨µ§∏µ¬±ª³µ¨«¨ ¤·¬±ª¤±§§µ¼¬±ªq • ²²§≥¦¬¨±¦¨ ¤±§× ¦¨«±²¯²ª¼ ot|{w ot{kwl tut p tvx
≥¬¤∏ƒ q×µ¤±¶³²µ·³µ²¦¨¶¶¨¶¬± º²²§q≥³µ¬±ª¨µo …¨ µ¯¬±o ‹ ¬¨§¨ ¥¯¨µªo ‘¨º ≠²µ®qt|{w
zst 第 w期 张钟光 }百度试验条件下木材含水率场的数学分析及其实用意义