全 文 ：基于线性混合模型的红松人工林
一级枝条大小预测模拟*
董灵波摇 刘兆刚**摇 李凤日摇 姜立春
(东北林业大学林学院, 哈尔滨 150040)
摘摇 要摇 基于黑龙江省孟家岗林场 60 株人工红松 955 个标准枝数据,采用线性混合效应模
型理论和方法,考虑树木效应,利用 SAS软件中的 MIXED模块拟合红松人工林一级枝条各因
子(基径、枝长、着枝角度)的预测模型.结果表明: 通过选择合适的随机参数和方差协方差结
构能够提高模型的拟合精度;把相关性结构包括复合对称结构 CS、一阶自回归结构 AR(1)及
一阶自回归与滑动平均结构 ARMA(1,1)加入到一级枝条大小最优混合模型中,AR(1)可显
著提高枝条基径和角度混合模型的拟合精度,但 3 种结构均不能提高枝条角度混合模型的精
度.为了描述混合模型构建过程中产生的异方差现象,把 CF1和 CF2函数加入到枝条混合模型
中,CF1函数显著提高了枝条角度混合模型的拟合效果,CF2函数显著提高了枝条基径和长度
混合模型拟合效果.模型检验结果表明:对于红松人工林一级枝条大小预测模型,混合效应模
型的估计精度比传统回归模型估计精度明显提高.
关键词摇 红松人工林摇 枝条基径摇 枝条长度摇 枝条角度摇 线性混合模型
文章编号摇 1001-9332(2013)09-2447-10摇 中图分类号摇 S758. 1摇 文献标识码摇 A
Primary branch size of Pinus koraiensis plantation: A prediction based on linear mixed effect
model. DONG Ling鄄bo, LIU Zhao鄄gang, LI Feng鄄ri, JIANG Li鄄chun (College of Forestry, North鄄
east Forestry University, Harbin 150040, China) . 鄄Chin. J. Appl. Ecol. ,2013,24(9): 2447-2456.
Abstract: By using the branch analysis data of 955 standard branches from 60 sampled trees in 12
sampling plots of Pinus koraiensis plantation in Mengjiagang Forest Farm in Heilongjiang Province of
Northeast China, and based on the linear mixed鄄effect model theory and methods, the models for
predicting branch variables, including primary branch diameter, length, and angle, were devel鄄
oped. Considering tree effect, the MIXED module of SAS software was used to fit the prediction
models. The results indicated that the fitting precision of the models could be improved by choosing
appropriate random鄄effect parameters and variance鄄covariance structure. Then, the correlation
structures including complex symmetry structure ( CS ), first鄄order autoregressive structure
[AR(1)], and first鄄order autoregressive and moving average structure [ARMA(1,1)] were added
to the optimal branch size mixed鄄effect model. The AR(1) improved the fitting precision of branch
diameter and length mixed鄄effect model significantly, but all the three structures didn爷t improve the
precision of branch angle mixed鄄effect model. In order to describe the heteroscedasticity during
building mixed鄄effect model, the CF1 and CF2 functions were added to the branch mixed鄄effect
model. CF1 function improved the fitting effect of branch angle mixed model significantly, whereas
CF2 function improved the fitting effect of branch diameter and length mixed model significantly.
Model validation confirmed that the mixed鄄effect model could improve the precision of prediction, as
compare to the traditional regression model for the branch size prediction of Pinus koraiensis planta鄄
tion.
Key words: Pinus koraiensis plantation; branch diameter; branch length; branch angle; linear
mixed model.
*林业公益性行业科研专项(201004002007)、“十二五冶国家科技计划项目(2012BAD22B0202)、长江学者和创新团队发展计划项目(IRT1054)
资助.
**通讯作者. E鄄mail: lzg19700602@ 163. com
2012鄄11鄄12 收稿,2013鄄06鄄03 接受.
应 用 生 态 学 报摇 2013 年 9 月摇 第 24 卷摇 第 9 期摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
Chinese Journal of Applied Ecology, Sep. 2013,24(9): 2447-2456
摇 摇 树冠是林木进行光合作用、呼吸作用等一系列
生理活动的主要场所,其大小、结构及其分布形式直
接决定树木的生长活力和生产力[1] . 一级侧枝作为
树冠重要组成部分,是构成树的骨架,它的长短及其
空间排列对树冠的形状起着支配作用,定量模拟其
数量、大小、分布和生长可以很好地预测树冠动态、
树木的生长和木材质量,有利于评价和选择合理的
经营措施.
目前,一些学者对不同树种树冠内枝条大小特
征进行了研究,但建立的枝条预测模型集中在采用
传统线性和非线性回归模型上,以林分变量(立地、
密度等)、林木变量(胸径、树高、冠长等)和着枝深
度(DINC)为自变量来直接构建枝条各变量(如基
径、枝长、着枝角度、数量等)的预测模型[1-6];采用
枝解析方法,使同一林分不同样地、同一样地不同树
木间具有相关性,同时也使同一树木各枝条之间具
有相关性.因此,这种“样地效应冶或“树木效应冶使
误差不满足独立同分布的假设. 由于样地和树木是
随机选择的,所以随机误差至少应包括样地间、树木
间和树木个体(即枝条间)内 3 个随机效应部分[7] .
而混合模型通过规定不同的协方差结构来表示相关
的误差情况,消除了层次结构数据产生的误差相关
性和异质性,从而提高模型的预估精度并解释随机
误差来源[8] . 此方法既能反映总体的平均变化趋
势,又可以提供数据方差、协方差等多种信息来反映
个体之间的差异.近年来,混合模型技术已广泛应用
于单木胸径[9-10]、树高[11-12]、材积[13]、干形[14],以及
林分的断面积[8]、树高曲线[15]、枯损[16]等模型的研
究中,取得了很好的拟合效果.
国外已有学者利用混合模型方法对树木枝条特
征进行研究.如 Meredieu等[17]应用线性混合模型建
立欧洲黑松 (Pinus nigra)枝条长度和角度模型;
Beaulieu等[18]采用线性混合效应模型方法,考虑了
区域、样地和单木的随机效应,建立了北美短叶松
(Pinus banksiana)枝条特征模型;Hein 等[19]采用线
性混合模型方法模拟了不同密度(1600、700 和 350
株·hm-2)下挪威云杉(Picea abies)枝条预测模型.
以上研究都表明:在模拟枝大小条特征时,混合模型
方法的精度比传统回归方法高.迄今,国内应用混合
模型研究枝条特征模型还鲜有报道,仅姜立春等[20]
采用线性混合模型方法建立了落叶松(Larix gmeli鄄
nii)枝条长度和角度模型,而且未包含枝条基径模
型.由于不同树种枝条特征的变化既受自身遗传因
素的制约,也受外界环境条件的影响,所以有必要开
展不同树种枝条属性变化规律的研究.因此,本文应
用黑龙江省东北部地区孟家岗林场 60 株红松枝解
析数据,采用线性混合模型建立红松(Pinus koraien鄄
sis)人工林一级枝条大小(基径、长度和着生角度)
混合效应预测模型,利用验证数据进行验证,选择确
定系数(R2 )、平均绝对误差(MAE)和均方根误差
(RMSE)3 个评价指标,对考虑单木效应、时间序列
相关性及方差异质性的混合模型模拟结果与传统线
性回归模拟方法进行精度比较,以检验混合模型在
枝条特征预测模型中的应用.
1摇 研究地区与研究方法
1郾 1摇 研究区概况
研究区域位于黑龙江省佳木斯市孟家岗林场
(46毅20忆30义—46毅30忆50义 N,130毅32忆42义—130毅52忆36义
E).该地区地处完达山西麓余脉,以低山丘陵为主,
坡度较平缓,平均海拔 250 m;属东亚大陆性季风气
候,年均气温 2. 7 益,年均降水量 550 mm,年全日照
时数 1955 h,年无霜期 120 d;土壤种类以暗棕壤为
主,另有少量白浆土、草甸土、沼泽土和泥炭土.该林
场总经营面积 16274 hm2 . 其中,天然林面积 3597
hm2,主要是以柞树(Quercus mongolica)、椴树(Tilia
tuan)、白桦(Betula platyphylla)、山杨(Populus da鄄
vidiana)为主的次生落叶阔叶混交林;人工林面积
9482 hm2,主要为红松、樟子松(Pinus sylvestris var.
mongolica)、落叶松(Larix gmelinii)等,其中,红松人
工林面积 1835 hm2,蓄积量 1. 83伊105 m3,分别占整
个林场总面积和蓄积的 11. 3%和 13. 0% .
1郾 2摇 研究数据
为揭示红松人工林果实产量与林分因子、林木
因子和树冠结构的关系,结合研究区域红松人工林
资源现状,于 2010 年在研究区域具有代表性的红松
人工林中设置 12 块标准地,样地面积一般为 0. 06
hm2,最大 0. 09 hm2,实测样地内每株林木的胸径、
树高、冠幅、枝下高和林木坐标等(表 1).每块标准
地按照等断面积径级标准木法,将林木大小划分 5
个等级,将各等级林木的平均胸径、树高和冠长作为
选取解析木的标准,并在每块标准地附近选伐样木.
将解析木的树干按 1 m 区分段进行区分,并在每个
区分段的中央位置锯取树干解析圆盘. 树冠部分也
按 1 m区分段进行区分,树梢在一般情况下是不足
1 m的梢头.在每个区分段内对一级枝条进行逐枝
编号,并测定每个枝条的总着枝深度(DINC)、枝条
的基径(BD)、枝长(BL)、弦长(BCL)、弓高(BAH)、
8442 应摇 用摇 生摇 态摇 学摇 报摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 24 卷
表 1摇 标准地林分调查因子概况
Table 1摇 Summary of stand description attributes of sample plot
林分变量
Stand variable
标准地数
Number of plot
平均值
Mean
最小值
Minimun
最大值
Maximum
标准差
SD
变异系数
CV (% )
年龄 Age (a) 12 37. 58 32 46 3. 66 9. 7
平均胸径 Mean DBH (cm) 12 18. 77 15. 17 21. 46 2. 39 12. 7
平均树高 Mean tree height (m) 12 12. 06 9. 65 14. 64 1. 35 11. 2
林分密度 Stand density (plant·hm-2) 12 1085. 67 650 1650 349. 58 32. 2
林分蓄积量 Stand volume (m3·hm-2) 12 137. 17 113. 23 180. 62 20. 00 14. 6
表 2摇 红松人工林样木和一级枝条因子概况
Table 2摇 Summary of sample tree and primary branch attributes for Pinus koraiensis plantation
变量
Variable
拟合数据 Modeling data
平均值
Mean
最小值
Minimum
最大值
Maximum
标准差
SD
检验数据 Validation data
平均值
Mean
最小值
Minimum
最大值
Maximum
标准差
SD
树木变量 Tree variable (n=60) n=48 n=12
胸径 DBH (cm) 19. 88 12. 50 27. 30 3. 77 19. 65 12. 30 23. 40 3. 51
树高 Tree height (m) 12. 18 9. 50 16. 10 1. 50 11. 92 9. 70 14. 60 1. 22
冠幅 Crown width (m) 2. 28 1. 33 3. 70 0. 66 2. 14 1. 30 3. 13 0. 50
枝条变量 Total branch (n=955) n=772 n=183
总着枝深度 Depth into crown (m) 2. 61 0. 07 8. 92 1. 72 2. 42 0. 12 6. 95 1. 58
方位角 Azimuth angle (毅) 162. 32 0 350. 00 107. 28 147. 60 0 350. 00 102. 95
着枝角度 Branch angle (毅) 64. 69 20. 00 90. 00 12. 35 66. 89 30. 00 90. 00 11. 68
基径 Branch diameter (mm) 23. 95 1. 40 74. 91 11. 12 22. 37 5. 42 53. 08 10. 43
枝长 Branch length (cm) 180. 51 11. 00 506. 00 109. 40 160. 82 11. 00 493. 00 103. 95
弦长 Branch chord length (cm) 166. 18 11. 00 491. 00 99. 52 144. 46 9. 00 469. 00 95. 10
弓高 Branch arc height (cm) 22. 46 0 106. 00 17. 67 20. 66 0 90. 00 16. 42
着枝角度(BA)和方位角(A)等枝条特征变量.按系
统抽样选取 48 棵解析木的 772 个枝条数据用于建
模,其他 12 棵解析木的 183 个枝条数据用于模型检
验.红松人工林样木和枝条特征调查因子的统计量
见表 2.
1郾 3摇 研究方法
1郾 3郾 1 基础模型 摇 通过绘制散点图分析枝条基径、
长度和着枝角度与树木因子和林分因子的关系. 研
究发现,枝条的基径、长度和着枝角度与枝条的总着
枝深度密切相关,并随着总着枝深度的增加而持续
增加;同时,其与林木胸径、树高、冠幅、冠长等变量
组也存在一定的相关关系,但与林分因子没有明显
的相关性.基于以上关系,本研究中模型自变量选择
过程用方差膨胀因子(variance inflation factor, VIF)
来判断自变量间的多重共线性. 一般认为,当 VIF>
10 时,有严重的共线性,此时剔除共线性较严重的
自变量,保留共线性弱而对因变量贡献大的自变
量[9-10,21] .只有回归系数显著(P<0. 05)、且方差膨
胀因子<10 的变量才能进入模型. 本文最终建立的
枝条基径、长度和着枝角度预测模型如下:
ln(BD) = a0+a1 ln(DINC)+ a2 ln(DBH) (1)
ln(BL) = a0+a1 ln(DINC)+a2DINC2+
a3 ln(DBH) (2)
BA = a0+a1 ln(DINC)+a2DBH + a3BD (3)
式中:BD为枝条基径(mm);BL 为枝条长度( cm);
BA为枝条着枝角度(毅);DBH 为胸径( cm);DINC
为枝条的总着枝深度(m);a0、a1、a2、a3 均为模型预
估参数.
1郾 3郾 2 线性混合模型摇 线性混合模型是在线性模型
的基础上,通过引入随机效应而构建. 在本研究中,
单水平线性混合效应模型可表示为[22]:
yijk= Xxjk茁 + Z ijk滋 + 着ijk
着ijk ~N(0,R ij),滋ij ~N(0,D)
滋ij= D^Z^ ij T( R^ ij + Z^ ijD^Z^ ij T) -1 着^ijk
i = 1,…,m;j = 1,…,ni;k = 1,…,f
ì
î
í
ï
ïï
ï
ï
ij
(4)
式中:yijk为一级枝条大小因子的观测值;m 为样地
数量;ni为样地 j中解析木的数量;f ij为第 i 样地第 j
株样木中标准枝的数量;X ijk为( f ijk伊p)维已知设计矩
阵;茁为(p伊1)维固定参数向量;Z ijk为( f ijk 伊q)维随
机效应设计矩阵;滋 为(q伊1)维随机参数向量;D 为
(q伊q)随机效应方差协方差矩阵;R ij为第 i 样地第 j
株树木(k伊k)维误差效应方差协方差结构;D^ 为预
94429 期摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 董灵波等: 基于线性混合模型的红松人工林一级枝条大小预测模拟摇 摇 摇 摇 摇 摇
估的随机效应参数方差协方差结构矩阵;R^ ij为预估
的树木内方差协方差结构;Z^ ij为设计矩阵;着^ijk为(k伊
1)维固定效应模型的残差向量;着ijk为(nij 伊1)维混
合效应模型的误差项.
在基本模型的基础上构建混合模型,包括固定
参数、随机参数和方差协方差结构.混合模型的构建
需要确定以下 3 个结构[11,23]:
1)确定参数效应.混合模型中参数效应的确定
一般依赖于所研究的数据. Pinheiro 和 Bates[22]建
议,如果模型能够收敛,首先应把模型中所有的参数
都看成是混合参数,然后将不同随机参数组合的模
型进行拟合,比较模型拟合的统计量,即比较 AIC、
BIC和鄄2log Likelihood 指标,3 个指标越小越好. 为
了避免过多参数化问题,具有不同混合参数个数的
模型还要进行似然比检验 ( likelihood ratio test,
LRT),即利用 LRT 和 P 值进行检验,如果 P<0. 05
即认为差异显著.
2)树木内方差协方差结构(R ij).为了确定树木
内方差协方差结构,必须解决异方差和自相关结构
两方面的问题.由于枝解析数据通常都存在自相关
和异方差问题,为了解决树木内误差的异质性和自
相关问题,在统计和林业上基本上都采用下式进行
描述[11,24-26]:
R ij =滓2G ij0郾 5祝 ijG ij0郾 5 (5)
式中:R ij为模型的方差协方差矩阵;滓2为模型的残
差方差值;祝 i j为描述误差效应自相关结构矩阵,即
描述同一树木内不同测量值相关性;G i j为描述方差
异质性的对角矩阵.
3)确定随机效应的方差协方差结构(D).树木
间的方差协方差结构反映了树木之间的变化和差
异.本研究检验了林业上常用的 3 种方差协方差结
构:无结构矩阵模型(UN)、复合对称矩阵模型(CS)
和对角矩阵模型(UN(1)). 以包含 3 个随机参数
(a1、a2、a3)的方差协方差结构为例,无结构矩阵模
型为:
D=
滓a1
2 滓a1a2 滓a1a3
滓a1a2 滓a2
2 滓a2a3
滓a1a3 滓a2a3 滓a3
æ
è
ç
ç
çç
ö
ø
÷
÷
÷÷2
(6)
复合对称矩阵模型为:
D=
滓1 2 + 滓2 滓1 2 滓1 2
滓1 2 滓1 2 + 滓2 滓1 2
滓1 2 滓1 2 滓1 2 + 滓
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷2
(7)
对角矩阵模型为:
D=
滓a1
2 0 0
0 滓a2
2 0
0 0 滓a3
æ
è
ç
ç
çç
ö
ø
÷
÷
÷÷2
(8)
式中:滓a1
2为随机参数 a1的方差;滓a2
2为随机参数 a2
的方差;滓a3
2 为随机参数 a3的方差;滓a1a2为随机参数
a1和 a2的协方差;滓a1a2为随机参数 a1和 a3的协方
差;滓a2a3为随机参数 a2和 a3的协方差;滓
2为模型的
方差.
1郾 3郾 3 模型评价和检验摇 本研究采用的 3 个模型模
拟效果评价指标为 AIC、BIC、鄄2Log likelihood. 利用
确定系数(R2)、平均绝对误差(MAE)和均方根误差
(RMSE)3 个模型精度评价指标对验证数据进行模
拟精度评价. 其中,RMSE 和 MAE 值越小、R2 值越
大,说明模型的模拟精度越高.
R2 = 1 -
移
m
i = 1
移
ni
j = 1
移
f ij
k = 1
(yij - y^ij) 2
移
m
i = 1
移
ni
j = 1
移
f ij
k = 1
(yij - 軃y)
é
ë
ê
ê
êê
ù
û
ú
ú
úú2
(9)
MAE = 移
m
i = 1
移
ni
j = 1
移
f ij
k = 1
| yij - y^ij |é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ún
(10)
RMSE = 移
m
i = 1
移
ni
j = 1
移
f ij
k = 1
(yij - y^ij) 2
n -
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú1
(11)
式中:yij为观测值; y^ij为预测值;軃y 为观测值的平均
值.
2摇 结果与分析
2郾 1摇 基础模型的拟合结果
利用 SAS 9. 2 软件对式(1) ~ (3)3 个模型进行
拟合,选择确定系数、平均绝对误差和均方根误差对
模拟结果进行比较分析.从表 3 可以看出,枝条基径
和长度模型的拟合效果较好,其模型的 R2分别达到
0. 64 和 0. 89,并且模型 MAE和 RMSE值也较小;模
型(1)和(2)的参数 t 检验结果表明,所有参数估计
均极显著 (P < 0. 01);模型检验 (F = 462. 65、P <
0郾 0001,F= 1969. 25、P<0. 0001)表明,模型(1)和
(2)对描述红松人工林一级枝条基径和长度的变化
具有显著意义.模型 3 的模拟效果相对较差,R2仅为
0. 16,但模型(3)的参数 t检验也极显著(P<0. 01),
并且模型检验(F = 48. 41,P<0. 0001)结果表明,该
模型对描述红松人工林一级枝条着枝角度的变化规
0542 应摇 用摇 生摇 态摇 学摇 报摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 24 卷
表 3摇 红松人工林枝条大小基础模型的拟合结果
Table 3摇 Simulation results of the primary branch size models for Pinus koraiensis plantation (n=772)
模型
Model
参数估计值 Parameter estimate
a0 a1 a2 a3
拟合统计量 Good鄄of鄄fit statistics
确定系数
R2
平均绝对误差
MAE
均方根误差
RMSE
1 2. 065 0. 513 0. 214 0. 696 0. 221 0. 295
2 3. 780 1. 009 -0. 009 0. 188 0. 885 0. 196 0. 284
3 61. 930 9. 041 0. 429 -0. 519 0. 159 8. 775 11. 349
律具有一定意义.因此,本文选择上述模型作为构建
混合模型的基础模型.
2郾 2摇 基于单木效应混合模型的随机参数确定
通常,确定参数效应和随机效应的方差协方差
结构须同时进行,首先把随机效应的方差协方差结
构设定为无结构矩阵,考虑树木效应,利用 SAS 软
件的 MIXED模块对上述模型的不同随机参数组合
进行拟合. 利用 AIC、BIC、-2Log Likelihood 及似然
比检验等统计量指标对模型的拟合优度进行比较,3
个指标越小,说明拟合的精度越高.为了避免过多参
数化问题,具有不同参数个数的模型还采用似然比
检验来比较,如 P<0. 05 即认为差异显著.拟合结果
见表 4.限于篇幅,仅给出了具有相同参数个数中的
最优模型,即 AIC、BIC、-2Log Likelihood最小.
从表 4 可以看出:1)对于枝条基径模型,混合
模型收敛的情况共有 5 种(未给出),其中具有混合
效应参数 a0、a1的模型 1. 2(模型 1. 2 是在模型 1 的
基础上,通过在参数 a0、a1上添加随机项组成,是混
合模型的基本方法,由于本文涉及到的这类模型较
多,以下不一一列举)的 3 个指标最小. 2)对于枝条
长度模型,混合模型收敛的情况共有 16 种(未给
出),其中,模型 2. 1 ~ 2. 4 模拟结果的 3 个指标值都
小于传统最小二乘法,与模型 2. 3 相比,模型 2. 4 的
拟合效果没有显著提高(P = 0. 192). 因此,把具有
混合效应参数 a0、a1、a2的模型 2. 3 作为枝条长度的
最优混合模型. 3)对于枝条着枝角度模型,混合模
型收敛的情况共有 11 种(未给出),当考虑 1 个随
机参数时,模型 3. 1 的拟合效果最好;当考虑 2 个随
机参数组合时,模型 3. 2 拟合效果最好;当考虑 3 个
随机参数时,虽然模型 3. 3 的拟合效果比模型 3. 2
有所提高,但并不显著(P = 0. 284).因此,把具有混
合效应参数 a0、a1的模型 3. 2 作为枝条角度基于树
木效应的最优混合模型.
2郾 3摇 方差协方差结构
当考虑单木效应时,随机参数反映了树木间的
变化,通过添加随机参数能提高模型的拟合精度,似
然比的显著性检验说明,树木间的随机效应是显著
的.然后又测试了其他 2 种方差协方差结构:复合对
称 CS和对角矩阵 UN(1). 从表 5 的拟合结果可以
看出:对于枝条基径模型,3 种方差协方差结构均能
提高模型的拟合精度,但采用 UN和 CS结构的混合
模型似然比检验不显著(P = 0. 646),说明采用 CS
结构更适合于描述枝条基径在不同树木间的变化;
对于枝条长度模型,采用 UN和 CS结构的拟合效果
好于 UN(1),而且采用 UN 结构矩阵的混合模型显
著优于CS结构(P = 0. 022) ;对于枝条角度模型,3
表 4摇 基于不同随机效应参数混合的枝条大小模型拟合结果比较
Table 4摇 Comparisons of mixed BD, BL and BA models on different random effects parameters
模型代码
Model code
随机参数
Random parameter
参数个数
Parameters number
赤池信息准则
AIC
贝叶斯信息准则
BIC
对数似然值
鄄2Log likelihood
似然比检验
LRT
P
1 无 None 4 320. 7 325. 3 318. 7
1. 1 a1 5 304. 4 308. 1 300. 4 18. 3 <0. 001
1. 2 a0, a1 7 288. 5 296. 0 280. 5 19. 9 <0. 001
2 无 None 5 273. 0 277. 6 271. 0
2. 1 a1 6 228. 7 232. 4 224. 7 46. 3 <0. 001
2. 2 a0, a1 8 143. 4 150. 9 135. 4 89. 3 <0. 001
2. 3 a0, a1, a2 11 140. 4 153. 5 126. 4 9. 0 0. 029
2. 4 a0, a1, a2, a3 15 142. 3 162. 9 120. 3 6. 1 0. 192
3 无 None 5 5945. 2 5949. 9 5943. 2
3. 1 a0 6 5896. 5 5900. 2 5892. 5 50. 7 <0. 001
3. 2 a0,a1 8 5879. 7 5887. 2 5871. 7 20. 8 0. 000
3. 3 a0, a1, a3 11 5881. 9 5895. 0 5867. 9 3. 8 0. 284
15429 期摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 董灵波等: 基于线性混合模型的红松人工林一级枝条大小预测模拟摇 摇 摇 摇 摇 摇
个评价指标值及似然比检验结果都说明采用 UN 结
构的混合模型拟合效果最好.综上,本文把随机效应
具有复合对称矩阵的混合模型选为枝条基径最优混
合模型,同时把随机效应具有无结构矩阵的混合模
型选为枝条长度和角度最优混合模型.
2郾 4摇 基于混合模型的误差结构矩阵
由于本研究所用的枝条数据是采用枝解析技术
获取,数据间存在着时间序列相关性.本研究采用复
合对称结构 CS、一阶自回归结构 AR(1)以及一阶
自回归与滑动平均结构 ARMA(1,1)来描述样木内
树木内枝条的时间序列相关性,把这 3 个函数分别
加入以上所得枝条基径、长度和角度最优混合模
型中.
摇 摇 表 6 的拟合结果表明:当尝试把 CS模型加入到
枝条基径混合模型中时,模型的拟合效果没有显著
提高(P=0. 646);当把 AR(1)和 ARMA(1,1)结构
加入到基径混合模型中时,3 个评价指标及似然比
检验说明,AR(1)和 ARMA(1,1)都能显著提高混
合模型的拟合效果,但 ARMA(1,1)和 AR(1)的似
然比检验不显著(LRT= 0. 0,P = 1. 0),因此 AR(1)
更适合于描述基径模型的误差相关性.当尝试把 CS
结构加入到枝条长度混合模型中时,模型拟合效果
没有提高;当把 AR(1)和 ARMA(1,1)结构加入到
长度混合模型中时,3 个评价指标及似然比检验说
明,模型的拟合效果显著提高,但 ARMA(1,1)和
AR(1 ) 的似然比检验不显著 ( LRT = 0. 4, P =
0郾 527),说明 AR(1)结构同样适合于描述长度模型
的误差相关性.当把 3个自相关结构加入角度混合模
型中时,并不能提高模型的拟合精度.这可能是不同
树种的分枝角度主要受自身遗传因素的控制,对外界
不同环境条件的响应较小,因此本研究不考虑枝条着
枝角度混合模型的时间序列结构,即 祝ij = Iij .
考虑单木效应和时间序列相关性后仍不能完全
解决模型的异方差问题. 通常判断误差的异质性主
要通过残差分布图进行比较(图 1a ~ c).从图 1b 可
以看出,枝条长度混合模型的残差分布呈较明显的
表 5摇 基于随机参数不同方差协方差结构的混合模型模拟结果比较
Table 5摇 Comparisons of mixed model based on different variance鄄covariance structure of random parameters
模型
Model
方差协方差结构
Variance鄄covariance
参数个数
Parameters number
赤池信息准则
AIC
贝叶斯信息准则
BIC
对数似然值
鄄2Log likelihood
似然比检验
LRT
P值
P value
枝条基径 对角矩阵 UN(1) 6 292. 6 298. 2 286. 6
Branch diameter 复合对称矩阵 CS 6 286. 7 292. 3 280. 7 5. 9 -
无结构矩阵 UN 7 288. 5 296. 0 280. 5 0. 2 0. 655
枝条长度 对角矩阵 UN(1) 8 164. 8 170. 5 158. 8
Branch length 复合对称矩阵 CS 7 141. 9 147. 5 137. 9 20. 9 <0. 001
无结构矩阵 UN 11 140. 4 153. 5 126. 4 11. 5 0. 022
枝条角度 对角矩阵 UN(1) 7 5894. 9 5900. 5 5888. 9
Branch angle 复合对称矩阵 CS 7 5887. 9 5893. 5 5881. 9 7. 0 -
无结构矩阵 UN 8 5879. 7 5887. 2 5871. 7 10. 2 0. 001
- 不进行似然比检验 No likelihood ratio test. 下同 The same below.
表 6摇 考虑自相关矩阵模型的红松人工林枝条大小模拟结果
Table 6摇 Comparisons of mixed models with different error autocorrelation matrix for Pinus koraiensis plantation
模型
Model
时间序列相关结构
Time series
correlation structure
参数个数
Parameters
number
赤池信息
准则
AIC
贝叶斯信息
准则
BIC
对数似然值
-2Log
likelihood
似然比检验
LRT
P值
P value
枝条基径 无 None 6 286. 7 292. 3 280. 7
Branch diameter 复合对称矩阵 CS 7 288. 5 296. 0 280. 5 0. 2 0. 655
一阶自回归结构 AR(1) 7 274. 3 281. 8 266. 3 14. 4 0. 000
一阶自回归与滑动平均结构 ARMA(1,1) 8 276. 3 285. 6 266. 3 14. 4 0. 001
枝条长度 无 None 11 140. 4 153. 5 126. 4
Branch length 复合对称矩阵 CS 12 142. 4 157. 3 126. 4 0. 0 -
一阶自回归结构 AR(1) 12 132. 7 148. 7 117. 7 8. 7 0. 003
一阶自回归与滑动平均结构 ARMA(1,1) 13 135. 3 152. 2 117. 3 9. 1 0. 011
枝条角度 无 None 8 5879. 7 5887. 2 5871. 7
Branch angle 复合对称矩阵 CS 9 5881. 7 5891. 1 5871. 7 0. 0 -
一阶自回归结构 AR(1) 9 5881. 7 5891. 1 5871. 7 0. 0 -
一阶自回归与滑动平均结构 ARMA(1,1) 10 5883. 7 5894. 9 5871. 7 0. 0 -
2542 应摇 用摇 生摇 态摇 学摇 报摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 24 卷
倒喇叭状,存在着异方差问题.本研究选用林业中常
用的 2 种函数来描述混合模型产生的异方差现
象[27-28],方程如下:
CF(1,ijk) = 1 + sijk2 / 2 (12)
CF(2,ijk) = exp( sijk2 / 2) (13)
式中:CF1和 CF2均为方差函数;sijk为模型误差.
2 个异方差函数都能提高枝条基径混合模型的
拟合效果,3 个评价指标都说明 CF2函数优于 CF1函
数(表 7);加入 CF2函数的枝条基径混合模型显示
了更均匀的残差分布(图 1a). 2 个异方差函数同样
提高了枝条长度混合模型的拟合效果,而且 CF2函
数显著优于 CF1函数(LRT=32. 5);采用混合模型方
法,枝条长度模型的残差并不随预测值的增大而减
小,分布虽然并不完全均匀,但异方差现象明显减小
(图 1b).当把 2 个异方差函数加入枝条角度混合模
型中时,3 个评价指标的结果都说明模型的拟合效
果得到明显提高,但残差分布图的变化并不明显
(图 1c).
摇 摇 综上,本文确定的红松人工林一级枝条大小因
子混合预测模型如公式(14) ~ (16)所示:
枝条基径:
Y= Y^ + 着ijk,Y^ =(a0+ u0)+(a1 + u1)ln(DINC)+ a2 ln(DBH)
着ijk ~ N(0,Rij),
u0ij
u1
æ
è
ç
ö
ø
÷
ij
~(0,D),D=CS,祝ij(兹) = AR (1)
Rij =滓2Gij0郾 5祝ijGij0郾 5 = 滓2CF
1 … 籽f ij-1
讷 埙 讷
籽f ij-1 …
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1
CF,CF=1 / CF(2,ijk)
i =1,…,m; j =1,…,ni; k =1,…,f
ì
î
í
ï
ï
ï
ïï
ï
ï
ï
ïï
ij
(14)
枝条长度:
摇 摇
Y = Y^ + 着ijk,Y^ =(a0 + u0)+ (a1 + u1)ln(DINC)+
(a2 + u2)DINC2+ a3 ln(DBH)
着ijk ~N(0,Rij),
u0ij
u1ij
u2
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ij
~(0,D),D=UN
祝ij(兹) =AR(1)
Rij = 滓2Gij0郾 5祝ijGij0郾 5 = 滓2CF
1 … 籽f ij-1
讷 埙 讷
籽f ij-1 …
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1
CF
CF =1 / CF(2,ijk)
i =1,…,m; j =1,…,ni; k =1,…,f
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
ij
(15)
枝条角度:
Y = Y^+着ijk,Y^ =(a0+u0)+(a1 + u1)
ln(DINC)+ a2DBH+ a3BD
着ijk ~N(0,Rij),
u0ij
u1
æ
è
ç
ö
ø
÷
ij
~(0,D),D=UN
Rij =滓2Gij 0郾 5祝ijGij 0郾 5 =滓2CF 伊 If ij伊CF,CF =1 / CF(1,ijk)
i =1,…,m; j =1,…,ni; k =1,…,f
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ïï
ij
(16)
式中:Y 为枝条大小因子实测值;Y^ 为枝条大小因子
估计值;CF为描述方差异质性的对角阵;籽 为待估
参数.
2郾 5摇 模型评价
利用 SAS软件中的 MIXED 模块对上述混合模
型进行参数估计.表 8 给出了枝条基径、长度和角度
最优混合模型的固定参数估计值、随机参数的方差
协方差组成、时间序列函数的参数估计值,以及各最
优混合模型的拟合统计量指标. 与表3对比可以看
表 7摇 考虑不同异方差函数的红松人工林枝条大小模拟结果*
Table 7摇 Comparison of mixed models with different variance functions for Pinus koraiensis plantation
模型
Model
方差函数
Variance function
参数个数
Parameters number
赤池信息准则
AIC
贝叶斯信息准则
BIC
对数似然值
-2Log likelihood
似然比检验
LRT
枝条基径 无 None 7 274. 3 281. 8 266. 3
Branch diameter 函数 CF1 7 172. 5 180. 0 164. 5 101. 8
函数 CF2 7 152. 6 160. 1 144. 6 121. 7
枝条长度 无 None 12 132. 7 148. 7 117. 7
Branch length 函数 CF1 12 2. 2 17. 2 -13. 8 131. 5
函数 CF2 12 -30. 3 -15. 3 -46. 3 164. 0
枝条角度 无 None 8 5879. 7 5887. 2 5871. 7
Branch angle 函数 CF1 8 5072. 7 5080. 1 5064. 7 807. 0
函数 CF2 8 5541. 2 5548. 7 5533. 2 338. 5
*参数个数相同,不进行似然比检验 The same parameters number, not carrying on the likelihood ratio test.
35429 期摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 董灵波等: 基于线性混合模型的红松人工林一级枝条大小预测模拟摇 摇 摇 摇 摇 摇
图 1摇 基于传统回归(A)和混合模型方法(B)的枝条基径(a)、长度(b)和角度(c)模型残差分布
Fig. 1摇 Residual distribution of branch diameter (a), lenglth (b) and angle (c) based on ordinary regression (A) and mixed鄄effect
model (B).
表 8摇 红松人工林枝条大小预测模型参数估计结果及拟合
统计量
Table 8摇 Parameter estimates and goodness鄄of鄄fit statistics
of branch size prediction models for Pinus koraiensis planta鄄
tion
变量
Variable
参数
Parameter
枝条基径
Branch
diameter
枝条长度
Branch
length
枝条角度
Branch
angle
固定参数 a0 2. 091 3. 956 61. 097
Fixed parameter a1 0. 518 1. 070 10. 762
a2 0. 208 -0. 013 0. 540
a3 0. 129 -0. 598
误差方差 Error variance 滓2 0. 065 0. 047 1. 740
随机效应方差 滓2a0 0. 005 0. 011 21. 422
Random effect variance 滓2a1 0. 005 0. 021 5. 500
滓2a2 0. 000
滓2a0a1 -0. 003 -0. 013 -9. 064
滓2a0a2 0. 000
滓2a1a2 -0. 001
时间序列相关结构
Time series correlation structure 籽 0. 179 0. 219
拟合统计量 R2 0. 746 0. 929 0. 345
Goodness鄄of鄄fit statistics MAE 0. 193 0. 156 7. 615
RMSE 0. 265 0. 221 10. 038
出,对于枝条基径、长度和角度模型,混合模型的确
定系数高于固定效应模型,而平均绝对误差和均方
根误差均小于固定效应模型,一方面说明混合模型
的模拟精度高于固定效应模型,另一方面计算出的
随机参数也能够体现各样木之间枝条大小因子的差
异性.
2郾 6摇 模型检验
应用表 2 中的模型独立样本检验数据,根据式
(1)中的 滋ij = D^Z^ ij T( R^ ij+Z^ ij D^Z^ ij T) -1 着^ijk和表 8 中各式
的模拟结果,求出 12 棵验证样木数据的随机效应参
数 滋ij,进而计算出 12 棵样木枝条大小因子预测值,
具体计算利用 Matlab2010a 软件实现. 最后利用确
定系数、平均绝对误差和均方根误差 3 个指标与传
统的最小二乘法进行精度比较.从表 9 可以看出,枝
条基径、长度和角度混合模型的确定系数均大于基
本模型的确定系数,混合模型的平均绝对误差和均
方根误差均小于基本模型,尤其是枝条角度模型的
4542 应摇 用摇 生摇 态摇 学摇 报摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 24 卷
表 9摇 基本模型和混合效应模型模拟结果比较
Table 9摇 Comparison of based model and mixed鄄effect model
模型
Model
确定系数 R2
固定模型
Fixed model
混合模型
Mixed model
平均绝对误差 MAE
固定模型
Fixed model
混合模型
Mixed model
均方根误差 RMSE
固定模型
Fixed model
混合模型
Mixed model
枝条基径 Branch diameter 0. 685 0. 749 0. 215 0. 188 0. 290 0. 249
枝条长度 Branch length 0. 868 0. 917 0. 215 0. 144 0. 302 0. 244
枝条角度 Branch angle 0. 197 0. 534 7. 989 6. 106 9. 986 7. 597
拟合效果明显提高(R2提高约 0. 34),说明引入随机
参数和误差相关性结构可提高模型的预测精度.
3摇 讨摇 摇 论
本研究采用线性混合模型的方法建立红松人工
林一级枝条大小预测模型,并利用 AIC、BIC、-2Log
likelihood及似然比检验评价不同混合模型的效果.
结果表明,选择合适的随机效应参数和方差协方差
结构能够显著提高模型的拟合精度. 当拟合枝条基
径和角度模型时,a0、a1同时作为混合参数的模型拟
合效果最好;当对枝条长度模型进行拟合时,a0、a1、
a2同时作为混合参数的模型拟合效果最好. CS 矩阵
模型更适合于枝条基径方差协方差结构,UN 矩阵
模型适合于描述枝条长度和角度模型的方差协方差
结构.
为了解决树木内误差相关性问题,本文把时间
序列函数包括复合对称结构 CS、一阶自回归结构
AR(1)以及一阶自回归与滑动平均结构 ARMA(1,
1)加入到枝条大小最优混合模型中,AR(1)显著提
高了枝条基径和长度混合模型的精度,而枝条角度
混合模型的拟合效果并未得到提高. 为了解决树木
方差异质性问题,把 2 种函数(式 13、14)加入到枝
条大小混合模型中,函数 CF2较好地描述了枝条基
径和长度混合模型的异方差现象,函数 CF1较好地
描述了枝条角度的异方差现象. 虽然从统计上 2 个
函数都能显著提高枝条大小混合模型的拟合效果
(表 7),但实际的残差分布图对比并不明显,尤其是
枝条基径和角度残差图的变化. 对建立的枝条混合
模型进行独立样本检验的结果表明,枝条大小模型
的预测精度都能得到明显提高,可以很好地描述枝
条的变化规律.与传统的线性回归模型相比,混合模
型在应用上不但能反映总体的变化趋势,还可以提
供数据方差、协方差等多种信息来校正随机参数,以
反映个体之间的差异.
树冠内枝条特征变化受年龄、林分密度、立地条
件、经营措施和遗传作用等多种因素的影响与制约.
由于样本量不足,本研究没有考虑这些因素对枝条
属性变化规律的影响.随着数据的积累,今后将逐步
开展不同林分条件下枝条生长规律的研究,同时也
将在多层混合模型方面做进一步尝试. 本文采用线
性混合模型的方法分别建立了枝条的基径、长度和
着枝角度模型,但并没有解决枝条各变量之间的相
容性问题.目前,联立方程组模型已经在林分的生长
和收获模型[29]、森林生态效益模型[30]、生物量模
型[31]等方面有所应用,可逐步探索联立方程组模型
和混合模型的联合估计研究.
参考文献
[1]摇 Jia W鄄W (贾炜玮 ). Predicting Models of Branch
Growth and Knot Properties for Mongolian Scots pine in
Plantation. PhD Thesis. Harbin: Northeast Forestry
University, 2006 (in Chinese)
[2]摇 Li F鄄R (李凤日). Modeling crown profile of Larix
olgensis trees. Scientia Silvae Sinicae (林业科学),
2004, 40(5): 16-24 (in Chinese)
[3]摇 Liu Z鄄G (刘兆刚), Shu Y (舒摇 扬), Li F鄄R (李凤
日). Modeling for primary branch length and branch di鄄
ameter of Mongolian Scots pine trees. Bulletin of Botani鄄
cal Research (植物研究), 2008, 28(2): 244-247 (in
Chinese)
[4]摇 Colin F, Houllier F. Branchiness of Norway spruce in
northeastern France: Predicting the main crown charac鄄
teristics from usual tree measurements. Annals of Forest
Science, 1992, 49: 511-538
[5]摇 Maguire DA, Johnston SR, Cahill J. Predicting branch
diameters on second鄄growth Douglas鄄fir from tree鄄level
descriptors. Canadian Journal of Forest Research,
1999, 29: 1829-1840
[6]摇 Achim A, Gardiner B, Leban JM, et al. Predicting the
branching properties of Sitka spruce grown in Great Brit鄄
ain. New Zealand Journal of Forestry Science, 2006,
36: 246-264
[7]摇 Tang S鄄Z (唐守正), Li Y (李摇 勇). Statistics Basis
of Biology Mathematics Model. Beijing: Science Press,
2002 (in Chinese)
[8]摇 Li C鄄M (李春明), Tang S鄄Z (唐守正). The basal ar鄄
ea model of mixed stands of Larix olgensis, Abies nephro鄄
lepis and Picea jezoensis based on nonlinear mixed mod鄄
el. Scientia Silvae Sinicae (林业科学), 2010, 46(7):
106-113 (in Chinese)
[9]摇 Lei X鄄D (雷向东), Li Y鄄C (李永慈), Xiang W (向
55429 期摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 董灵波等: 基于线性混合模型的红松人工林一级枝条大小预测模拟摇 摇 摇 摇 摇 摇
玮). Individual basal area growth model using multi鄄
level linear mixed model with repeated measures. Scien鄄
tia Silvae Sinicae (林业科学), 2009, 45(1): 74-79
(in Chinese)
[10] 摇 Li C鄄M (李春明). Using random intercept effects in
DBH increment model of individual trees for fir planta鄄
tion. Journal of Beijing Forestry University (北京林业
大学学报), 2011, 33(4): 7-12 (in Chinese)
[11]摇 Fang Z, Baley RL. Nonlinear mixed effects modeling for
slash pine dominant height growth following intensive sil鄄
vicultural treatments. Forest Science, 2001, 47:
287-300
[12]摇 Calegario N, Daniels RF, Maestri R, et al. Modeling
dominant height growth based on nonlinear mixed鄄effects
model: A clonal Eucalyptus plantation case study. Forest
Ecology and Management, 2005, 204: 57-68
[13]摇 Jiang L鄄C (姜立春), Du S鄄L (杜书立), Li F鄄R (李
凤日). Simulation of Larix gmelinii tree volume growth
based on random effect. Chinese Journal of Applied
Ecology (应用生态学报), 2011, 22(11): 2963-2969
(in Chinese)
[14]摇 Jiang L鄄C (姜立春), Liu R鄄L (刘瑞龙). A stem taper
model with nonlinear mixed effects for Dahurian larch.
Scientia Silvae Sinicae (林业科学), 2011, 47 (4):
101-106 (in Chinese)
[15]摇 Li C鄄M (李春明), Li L鄄X (李利学). Height diameter
relationship for Quercus variabilis blume plantations
based on nonlinear mixed model. Journal of Beijing For鄄
estry University (北京林业大学学报), 2009, 31(4):
7-12 (in Chinese)
[16]摇 Groom JD, Hann DW, Temesgen H. Evaluation of
mixed鄄effects models for predicting Douglas鄄fir mortali鄄
ty. Forest Ecology and Management, 2012, 276: 139-
145
[17]摇 Meredieu C, Colin F, Herve JC. Modeling branchiness
of Corsican pine with mixed鄄effect models. Annals of
Forest Science, 1998, 55: 359-374
[18]摇 Beaulieu E, Schneider R, Berninger F. Modeling jack
pine branch characteristics in Eastern Canada. Forest
Ecology and Management, 2011, 262: 1748-1757
[19]摇 Hein S, Makinen H, Yue CF, et al. Modelling branch
characteristics of Norway spruce from wide spacings in
Germany. Forest Ecology and Management, 2007, 242:
155-164
[20]摇 Jiang L鄄C (姜立春), Zhang R (张摇 锐), Li F鄄R (李
凤日). Modeling branch length and branch angle with
linear mixed effects for Dahurian larch. Scientia Silvae
Sinicae (林业科学), 2012, 48(5): 53-59 ( in Chi鄄
nese)
[21]摇 He X鄄Q (何晓群), Liu W鄄Q (刘文卿). Applied Re鄄
gression Analysis. 3rd Ed. Beijing: China Renmin
University Press, 2011 (in Chinese)
[22]摇 Pinheiro JC, Bates DM. Mixed鄄effects Models in S and
S鄄Plus. New York: Springer, 2000
[23] 摇 Pinheiro JC, Bates DM. Model Building for Nonlinear
Mixed Effects Models. Wisconsin: Department of Statis鄄
tics University of Wisconsin, 1998
[24]摇 Wang Y, Valerie ML, Thomas GB. Modeling and pre鄄
diction of dominant height and site index of Eucalyptus
globules plantations using a nonlinear mixed鄄effects mod鄄
el approach. Canadian Journal of Forest Research,
2007, 37: 1390-1403
[25]摇 Crecente鄄Campo F, Tom佴 M, Soares P, et al. A gener鄄
alized nonlinear mixed鄄effects height鄄diameter model for
Eucalyptus globules L. in northwestern Spain. Forest
Ecology and Management, 2004, 259: 943-952
[26] 摇 Calama R, Montero G. Interregional nonlinear height鄄
diameter model with random coefficients for stone pine in
Spain. Canadian Journal of Forest Research, 2004, 34:
150-163
[27]摇 Zeng W鄄S (曾伟生), Tang S鄄Z (唐守正). Bias correc鄄
tion in logarithmic in regression and comparison with
weighted regression for non鄄linear models. Forest Re鄄
search (林业科学研究), 2011, 24(2): 137-143 ( in
Chinese)
[28]摇 Baskerville GL. Use of logarithmic regression in the esti鄄
mation of plant biomass. Canadian Journal of Forest Re鄄
search, 1972, 2: 49-53
[29]摇 Xu H (胥摇 辉), Wu M鄄S (吴明山), Ye J鄄X (叶江
霞). Study on consociation equation set model method
to establish duality standing tree volume model. Forest
Research (林业科学研究), 2009, 22(6): 788 -791
(in Chinese)
[30]摇 Lang K鄄J (郎奎建). Linear consociation equation set
model of forest ecological benefits. Chinese Journal of
Applied Ecology (应用生态学报), 2004, 15 (8):
1323-1328(in Chinese)
[31] 摇 Tang S鄄Z (唐守正), Zhang H鄄R (张会儒), Xu H
(胥 摇 辉). Study on establish and estimate method of
compatible biomass model. Scientia Silvae Sinicae (林
业科学), 2000, 36(suppl. 1): 19-27 (in Chinese)
作者简介摇 董灵波,男,1988 年生,博士研究生.主要从事森
林经理研究. E鄄mail: farrell0503@ 126. com
责任编辑摇 杨摇 弘
6542 应摇 用摇 生摇 态摇 学摇 报摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 24 卷