全 文 ：深入及完善，为林业生产单位科学经营这些森林做出了很大的贡献。随着科学研究和林业可持续事业的
不断发展和进步，挖掘新的优良造林用材树种，也成为了当今林业新的课题。据研究证明福建柏具有优良
的材性及生长适应性，是很有发展前途的造林用材树种。因此，为了适应当今市场经济的不断深入发展，
对其经济成熟的研究就显得相当重要，本文也正是从这一方面深入研究和探讨，为科学经营管理福建柏人
工林这一优良用材树种提供科学的指导和建议。
在一定的经济指标下，对福建柏人工林的经济成熟龄进行求解，用年平均纯收益法计算福建柏人工林
的经济成熟龄，并与其他几个常用的经济指标进行对比，发现年平均纯收益法在确定福建柏人工林经济成
熟方面有较好的适用性。
参 考 文 献
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红豆树闽楠人工林树高曲线方程的研究
郑绍全
(福建省永安国有林场 福建永安 366000)
摘 要 在尤溪国有林场的红豆树和闽楠人工林中，按随机抽样原则，分别径阶抽取样木，
测定胸径和树高。选择 15 个备选方程，应用回归分析技术求解每个方程参数，以相关指数、剩余
标准差、系统误差、平均误差为评价指标，对备选方程进行分析评价，据以建立红豆树和闽楠人工
林树高曲线模型，为生产应用提供科学依据。
关键词 红豆树 闽楠 树高曲线 方程
中图分类号 S758. 5 文献标识码 B
在从事伐区调查、执行限额采伐、加强资源管理、开展森林资产评估等各项林业生产经营活动中，都要
计算林分树高来确定林分蓄积及各材种的出材量。树高与直径相关紧密，受林分密度影响较小，在森林调
查中，常用利用树高与胸径的关系，通过胸径的测定推算树高，借此用材积表和出材率表测定林分蓄积量
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和材种出材量。反映树高随胸径而变化的数学方程称作树高曲线方程或树高曲线经验公式。表达树高依
胸径变化的方程很多，但对于红豆树和闽楠人工林而言，最适合的方程是哪一个，需经分析对比才能确定。
本文对此进行研究。
1 材料来源
在尤溪国有林场的红豆树和闽楠人工林中，按随机抽样原则，分别径阶抽取样木，测定胸径和树高。
基本情况如下:红豆树样木 101 株，胸径 14. 3 ～ 28. 1cm，树高 4. 7 ～ 7. 7m;闽楠样木 108 株，胸径 10. 3 ～
20. 7cm，树高 5. 7 ～ 11. 2m。
2 研究方法
通过胸径的测定推算林分平均高和径阶平均高，关键是确定树高曲线方程，为了解决这一问题，提高
树高的预估精度，很多树高曲线方程先后被不同的林业工作者提了出来，如亨里克森(1950)、斯托费尔斯
(1953)、科扎克(1978)等都提出了不同形式的非线性模型，为其实际应用提供了可供选择的余地。在树
高曲线的研制工作中，由于电子计算技术的发展和广泛应用，不仅提高了工作效率，而且提高了树高曲线
的准确度。尤其是对求解多元回归、多项式回归以及对多个树高曲线方程进行选优与检验等都提供了优
越条件，因此，多方程选优也就成了编制树高曲线方程的常用方法。
2. 1 树高曲线方程
现根据红豆树和闽楠的胸径与树高可能存在的各种关系，选择 15 个方程，作为多模型选优的初始备
选树高曲线方程，具体形式如下。
(1)H = a + bD
(2)H = aDb
(3)H = a + b /D
(4)1 /H = a + bD
(5)1 /H = a + b /D
(6)H = aebD
(7)H = aeb/D
(8)H = a + bLnD
(9)H = a + bD + cD^2
(10)1 /H = a + b /D + c /D^2
(11)lnH = a + bD + c(lnD)^2
(12)lnH = a + blnD + c(lnD)^2
(13)lnH = a + blnD + c(lnD)^2
(14)lnH = a + bD + c(lnD)
(15)lnH = a + b /D + c /D^2
以上各式中，H为树高，D为胸径，a、b、c 为待定参数，采用最小二乘法求解。对于非线性方程，经线
性化后处理再确定参数。
2. 2 评价指标
评价树高曲线方程优劣的统计指标有相关指数 R2和剩余标准差。采用回归剩余标准差比较模型拟
合的优劣程度，应在模型的因变量具有相同的量纲时才有意义。由于许多非线性方程都是通过线性化后
求解参数的，回归剩余标准存在量纲差异，难以直接进行对比。为此，对于上述方程，用未经变换的原变量
树高计算拟合的剩余标准差。
方程评价指标，除了常用的指数和剩余标准差之外，为保证应用树高曲线方程测定森林蓄积量和出材
量的准确度，还必须增加平均系统误差、平均相对误差 2 个评价指标，
方程评价指标的计算公式如下:
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林业勘察设计 (福建) 2010 年第 1 期
R2 = 1 －(H +
)H)2
(H － H)2
s = (H － )H)2 －(n －m － 1槡 )
E = 1n［(
)Hi － Hi)/Hi］× 100%
P = 1n (
)Hi － Hi)/Hi × 100%
式中，R2 为相关指数，S为树高剩余标准差，E为平均系统误差、P为平均相对误差，、分别为树高的实
际值和用方程算出的理论值，n为样本数，m为变量个数。
3 结果分析
应用多元回归技术，经计算机计算，求得上述 15 个方程的参数及评价指标如表 1、表 2 所示。
表 1 红豆树树高曲线方程参数
方程 a b c 相关指数 标准差 系统误差% 平均误差%
1 2. 6421 0. 1862 0. 9084 0. 3093 0. 2626 3. 5776
2 1. 0668 0. 5972 0. 9085 0. 3041 0. 1208 3. 5105
3 10. 1407 － 73. 1374 0. 9130 0. 3018 0. 2294 3. 6633
4 0. 2532 － 0. 0047 0. 8826 0. 3417 0. 0295 3. 9638
5 0. 0622 1. 8801 0. 9042 0. 3009 0. 0053 3. 4828
6 3. 5106 0. 0294 0. 8981 0. 3215 0. 1338 3. 7130
7 11. 5468 － 11. 6673 0. 9113 0. 2988 0. 1173 3. 5255
8 － 4. 8423 3. 7615 0. 9145 0. 2993 0. 2365 3. 4598
9 0. 1821 0. 4329 － 0. 0060 0. 9149 0. 3003 0. 2327 3. 4948
10 0. 0851 0. 9822 8. 5274 0. 9150 0. 3006 0. 0000 3. 5135
11 0. 4213 － 0. 0540 0. 2809 0. 9114 0. 3003 0. 1172 3. 5015
12 － 2. 2576 2. 1593 － 0. 2617 0. 9114 0. 3003 0. 1172 3. 5074
13 － 7. 1036 － 0. 0572 4. 9041 0. 9149 0. 3002 0. 2323 3. 5052
14 － 0. 9671 － 0. 0261 1. 1186 0. 9114 0. 3003 0. 1172 3. 5048
15 2. 4853 － 13. 1917 14. 4770 0. 9114 0. 3003 0. 1172 3. 5076
表 2 闽楠树高曲线方程参数
方程 a b c 相关指数 标准差 系统误差% 平均误差%
1 －1. 3250 0. 5660 0. 9167 0. 5475 0. 4523 5. 4137
2 0. 3012 1. 1690 0. 9207 0. 5471 0. 2298 5. 4032
3 16. 6405 － 139. 7507 0. 8999 0. 5977 0. 4553 6. 3534
4 0. 2863 － 0. 0096 0. 9092 0. 5864 0. 0758 5. 6665
5 － 0. 0225 2. 4467 0. 9252 0. 5477 0. 0065 5. 3773
6 2. 3822 0. 0726 0. 9182 0. 5522 0. 2360 5. 4535
7 24. 3433 － 18. 2360 0. 9165 0. 5596 0. 2423 5. 7075
8 － 17. 2417 9. 0383 0. 9120 0. 5621 0. 4351 5. 8010
9 0. 2022 0. 3756 0. 0058 0. 9170 0. 5492 0. 4638 5. 4169
10 － 0. 0060 1. 9310 3. 9481 0. 9254 0. 5492 － 0. 0038 5. 4032
11 0. 2217 － 0. 0309 0. 3009 0. 9206 0. 5496 0. 2299 5. 3998
12 － 0. 8847 0. 9403 0. 0414 0. 9207 0. 5496 0. 2297 5. 3995
13 3. 0096 0. 7181 － 2. 4492 0. 9170 0. 5494 0. 4630 5. 4184
14 － 0. 9929 0. 0073 1. 0515 0. 9207 0. 5495 0. 2296 5. 3981
15 3. 7059 － 34. 2919 122. 9262 0. 9203 0. 5509 0. 2311 5. 4245
相关指数体现了因变量树高与自变量胸径的相关紧密程度，其值越接近于 1 越好。红豆树树高与胸
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径的关系，除了个别方程外，相关指数均在 0. 9 以上，而闽楠的各个方程的相关指数均超过 0. 9，其拟合效
果要优于红豆树，但差异不明显。在 15 个树高曲线方程中，多元回归方程的相关指数很接近，基本上都优
于一元回归方程。
剩余标准差从另一方面反映了树高曲线方程的拟合效果，其值越小越好。红豆树树高曲线方程除了
4 号方程略大，达 0. 3417 外，其他方程在 0. 3 左右，各方程都很接近，取得了理想的拟合效果。闽楠树高
曲线方程的剩余标准差最小值为 0. 5471，最大值为 0. 5977，平均为 0. 5566，各方程差异不显著，也取得了
较好的拟合效果，但数值要大于红豆树，效果显然不如红豆树树高曲线方程。
平均系统误差反映每株样木的树高实际值与其相应的树高曲线方程估计值的相对误差的平均水平，
表示树高曲线方程是否存在整体的偏大或偏小的系统误差，以及误差大小，其值以零为最佳。从该评价指
标来看，红豆树各个树高曲线方程虽然都是正值，但都没有超过 0. 3%，可以认为不存在系统偏大或偏小
的误差，尤以 10 号方程误差最小，几乎为零。闽楠树高曲线方程的平均系统误差同样是 10 号方程最小，
仅 － 0. 0038%，亦很接近于零。其他各方程的平均系统误差均为正值，都小于 0. 5%，大多数在 0. 3%以
下，但都大于红豆树各个树高曲线方程。应该说，用上述各个方程建立红豆树和闽楠树高曲线方程，平均
系统误差都很小，由此估测林分平均高和径阶平均高，所产生的误差是可以接受的。
平均相对误差表示每株样木的树高实际值与其相应的树高曲线方程估计值相对误差绝对值平均数，
它排除了不同样木间正负误差的相互抵消，反映在给定胸径的前提下，用树高曲线方程估计单木树高的误
差平均水平。以该指标衡量树高曲线方程，红豆树均在 4%以下，而闽楠均超过 5%，显然，红豆树要优于
闽楠。闽楠除 3 号方程外，其他各方程都低于 6%，显然，二个树种的树高曲线方程误差是比较小的。
相关指数、剩余标准差、系统误差、平均误差分别从不同角度反映了树高曲线方程的拟合效果和预估
精度，对其作综合分析后，可以认为 10 号方程最适宜表达红豆树和闽楠树高与胸径的变化规律，可将其作
为尤溪国有林场红豆树和闽楠人工林树高曲线模型，具体形式如下:
红豆树:1 /H = 0. 0851 + 0. 9822 /D + 8. 5274 /D2
闽楠:1 /H = － 0. 0060 + 1. 9310 /D + 3. 9481 /D2
4 结论
红豆树和闽楠的树高与胸径相关紧密，采用不同方程拟合，效果良好。应用树高曲线模型估测林分平
均高和径阶平均高，精度较高，不会出现系统偏大或偏小的误差。
应用多方程选优法，选择多个评价指标，筛选并建立树高曲线模型，理论基础扎实，依据充分可靠，具
有实用价值。
多方程选优法是寻找最优方程的一种行之有效的方法，然而，该法是对预先给定的多个方程进行选
优，筛选结果仅是相对于已给定的多个方程而言，或许最优方程不在已给定的备选方程之中，这一点值得
注意。因此，实践上应根据变量间可能存在的回归关系，结合专业知识，构造备选方程，从而建立起高精度
的数学模型。
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