全 文 ：应 用 生 态 学 报

年 月 第 ! 卷 第 ∀ 期
#∃ %& ∋ ( ∋ )∗ + , & − . ∗/ − 0 0 .%∋ 1 ∋ #∗ . ∗ 2 3 , − 4 5 6
 
, !7 ∀ 8 9 ! :;一! : 
崔一.<= >? ≅ 和. ? 5 Α> ΒΑ Χ方程参数的优化估计方法
延晓冬 赵士洞 冲国科学院沈阳应用生态研究所 , 沈阳

Δ
;8
【摘要】 本文提出用单形寻优与微分方程数值解法的联合方法 , 进行生态学中一些微分动 力 系 统
的参数的优化估计 。 用这种方法来估计崔一. <= 9 。砰口. ? 5 Α> Β ΑΧ 方程的各参数效果极好 6
关健词 崔一. <= > ? ≅ 方程 . ? 5Α >Β ΑΧ 方程 单形法 参数估计
− ≅ ? 0ΒΑΕ < Φ Ε Γ ΒΗ ? Ι ? ϑ 0< Κ < Ε Γ Β Κ Γ > ΒΑΕ < ΒΑ? ≅ ϑ? Κ .? 5 Α> ΒΑΧ < ≅ Ι # 4 Α一. < = > ? ≅ Γ Λ 4 < ΒΑ? ≅ > 6
3 < ≅ Μ Α< ? Ι ? ≅ 5 < ≅ Ι Ν Η < ? ( Η ΑΙ ? ≅ 5 7%≅ ? ΒΑΒ 4 ΒΓ ? ϑ −卯ΦΑΓ Ι ∋ Γ ? Φ? 5 Ο , − Γ < Ι ΓΕ Α< ( Α≅ ΑΓ < ,
( Η Γ ≅ Ο< ≅ 5

Δ Δ
; 8 。 一# Η Α≅ 6 ) 6 − ΠΠ Φ 6 ∋ Γ ? Φ 6 ,
 
, ! 7∀ 8 9 ! : ;一! :  6
Θ Η
; 0< Π盯 Ι Γ Ρ Γ Φ? Π ? < Ε ΓΒ Η ? Ι ? ϑ Π < Κ < Ε Γ ΒΓΚ Γ > Β ΑΕ < Β Α? ≅ ϑ? Κ 9 ? Ε Γ Ι ΑϑϑΓΚ Γ ≅ Β Α< Φ Ι Ο≅ <Ε ΑΓ>Ο吕ΒΓΕ > Α≅ ΓΧ ? Κ? 5 Ο 6 ΘΗ Α> Ε Γ ΒΗ ? Ι Γ ? Ε Σ Α≅ Γ , > ΑΕ Π ΦΓΤ Ε Γ ΒΗ ? Ι ϑ? Κ ? Π ΒΑΕ ΑΥ Α≅ 5 < ϑ4 ≅ Γ ΒΑ? ≅
= ΑΒΗ 2 ΑΦς 一Ε Γ山 ? Ι ? ϑ ≅ 4Ε ΓΚ ΑΓ 9 ? Φ4 Β Α? ≅ ? ϑ < Ι ΑϑϑΓ Κ ?≅ Β Α< Φ Γ Λ 4 < ΒΑ? ≅ 6 Θ Η Γ Κ Γ 9 4 ΦΒ > ? ϑ Ρ < Κ < ΩΕ Γ ΒΓΚ Γ Ξ Β ΑΕ < ΒΑ? ≅ ? ϑ . ? 5 Α> Β ΑΓ < ≅ Ι # 4 Α一.< = 9 ? ≅ Γ Λ 4< Β Α? ≅ > > Η ? = > < 5 ? ? Ι < Ι < 0 Β< Β Α? ≅ ? ϑ
ΒΗ Α> Ε ΓΒ Η ? Ι Ω
Ψ Γ Ο = ? ΚΙ > # 4 Α一 . < = ￡? ≅ Γ Λ 4< ΒΑ? ≅ , . ? 5 Α> ΒΑΓ Γ Λ 4 < ΒΑ ? ≅ > , ( ΑΕ 0ΦΓΤ Ε Γ ΒΗ ? Ι , 0< Κ < Ε Γ ΒΓ Κ
Γ > Β ΑΕ < Β Α? ≅ 。

引 言
自从著名的 Ζ <Φ ΒΗ4 > 方程被用于描述人
口增长的规律之后 , 生态学中的各类现象几乎
都被试图用数学模型来描述。 其中, 一大部分
现象巳为微分动力系统模型所描述 , 例 如 ,
. ? 5Α >Β ΑΧ 方程和崔 一 .<= >?≅ 方程可用于单种群
增长的描述, 而.饥[ < 一∴ ?Φ ΒΓ Κ < 方程则在种群
间的捕食作用的描述方面常为人们所 采用 6 从
长远看 , 用微分动力系统模型描述各类生态学
现象的研究 , 在未来的生态学研究中将是最重
要的方向之一
然而 , 在应用微分动力系统模型于实际问
题 时 , 人们常遇到一个困难 , 即参数估计 6 一个
微分动力系统模型通常可解释描述众多的 自然
现象 , 这是因为它含若干个参数 6 一般来说 ,
一组参数可以描述一个具体的研究 对 象 。 因
此 , 当研究对象确定 以后 , 确定一组适当的参
本 文于
日洲年
月
Δ 日收 到 6
数是非常重要的 6 在理论上 , 当巳知所研究对
象的若干个状态时 , 参数就应该唯 一 地 被 确
定 6 可是 , 这在实际工作中却没有意义 6 这是
因为存在两类困难 9 其一 , 是对状态的测量不
能完全准确 Ξ 其二 , 一些参数虽然 巳被说明具
有这样或那样的生物学或生态学意义 , 但是 ,
在实际工作中按此方法确定的参数却很难使微
分动力系统能够真实地描述所 研究的对象。 因
此 , 发展参数估计的方法是很重要的一个研究
课题 6 许多学者都已注意到 了这一点 , 并已经给
出了一些较有效的参数估计方法 6 但是 , 已有
的方法具有明显的缺点 , 即没有普遍 意义 。 本
文提出了一个具有普遍性的参数估 计 计 算 方
法 , 并用一些实例来说明用其估计. ? 5 Α> ΒΑΧ 方
程和崔一 . < = >? ≅ 方程的参数的有效性 6
! 计算方法
! 。
问题
可将问题抽象为 9 已知某生态学研究对象
# Η Α≅ 。 ) 6 −00] 6 ∋ Γ ? Φ6 , ! Ξ ∀7
 
8
幻 ⊥ 应 用 生 态 学 报 ! 卷
可用微分动力系统
子 _ 尸‘Τ, “’
表达 6 其中Μ 7⎯ 8 二 7Μ 、7Β 8 , Μ 9 7Β8 , ⋯ Μ 舟文Β88
是状态向量 Ξ / 7Μ , α 8 _ 7ϑ 9 7Μ , α 8 , 了9 7Μ ,
α 8 , ⋯ ϑ , 7Μ , α 88是右端函数向量 Ξ α 二 7Σ 9 ,
Σ 9 , ⋯⋯乙9 8是参数向量 6 通过实验和观测, 可
以得到 ‘ 个状态实测值Μ 7Β ‘8 , 7Α二
, ! ,
⋯⋯ 9 86 据 此 , 求出参数向 量 α _ 7Σ 9 , Σ Ν ,
⋯ ⋯Σ , 8 。
! 6 ! 曲线拟合
以往的研究者提出的方法的实质 , 是采用
了曲线拟合技术。
求微分方程 7
8的通解可得积分曲线族 9
Μ 7Β 8 _ 2 7Β , α 一8 7 ! 8
其中α 9 _ 7Σ , , Σ 。 , ⋯⋯ Σ , , Σ Ξ β Φ , Σ , 十 9 , ⋯⋯
Σ , 十二 8 6 为了选取在积分曲线族 7 ! 8 中最接近
实测点 Μ 7Β , 8的那条曲线 7Α _
, ! , ⋯⋯ > 8 , 可
求和式
出的方法 , 正是改进这种情况的一种较有效的
计算方法 6
设方程 7 Φ 8近似一组实验数据Μ 7Β Ξ 8 7沁

, ! , ⋯ 。8 时, 对应的初 始 条 件是 Τ 7 Δ 8 二
7Σ , 、 , , Σ , β 9 , ⋯⋯ Σ , 十 二 8 _ α , 6 其中 , 可将 Σ , ⎯ , ,
Σ , 十 9 ⋯ ⋯Σ , 十 二 看成 参数 6 在这样的初始 条 件
下 , 方程 7
8的解与 α , _ 7α Ξ α , 8 有关 , 可
设为 Μ 。 , 7Β8 6 这样, 在残差平方和意义下 ,
寻求最适参数就意味着要求
( χ 、( + Ζ 7α , 8 二 乙 7Μ 9 9 7Β ⎯ 8 一 Μ 7Β ‘88
Α 二

7Μ α Ξ 7Β ‘8 一 Μ 7Β ‘88 ’ 7 δ 8
>。、 7。 Ξ 8 二云7。7, ‘ , 。 9 8 一戈7矛‘88
Α 二

72 7Β Α , α , 8一 Μ 7Β ‘88 ’ 7 ∀ 8
的最小值 6 最小值点α , _ 7Σ , , Σ Ν , ⋯⋯ Σ , β 二 8
就是参数估计的结果 6
求 ( + Ζ 7α , 8 的最小值点可有许多直接或
间接方法供选用 , 以前的研究者大多致力于从
中寻求较好的方法 6 然而 , 这类方 法 成 功 的
前提条件是方程 7
8的通解可用显式形式7 ! 8
表达 , 这就限制了曲线拟合技术的使用范围6
因为 , 即使在 。 二
的情形下 , 形如 7 ! 8式的
显式表达通解对大多数/ 7Μ , α 8来说 , 是难以
得到的 6
! 6 ∀ 单形法 一吉尔法联合求参数法
如前所述 , / 7Μ , α 8 的复杂性使方程式
7
8的通解大多不能用形如 7 ! 8的显式表达式
表示 , 进而使曲线拟合技术难以应用 6 本文提
的最小值点 6 显然 , ( + Ζ 7α Ξ 8对Σ Α的偏导数
不易得到 , 因此宜用直接法求 7 δ 8 的最小值
点 , 本文选择了单形法 6 因为Μ α 9 7Β ‘8都没有
显式的公式计算法 , 故需使用数值计算法 6 为
了便于控制误差 , 本文采用变步长吉尔法 6 把
单形法和微分方程的变步长吉尔数值解法联合
起来使用, 就构成了本文提出的方法 。 这个方
法的基本点如下所述 6
!6 ∀ 6
初 始 单形法 计 算需 由一组 参 数 启
动 6 一般应根据经验使这组参数尽可能地接近
其真值 6 如果记启动参数向 量 为 α 。 _ 7Σ 。 9 ,
Σ 。 9 , ⋯白。 , β 二 8, 则据此单形法可提供一系列参
数向量 α , , α 9 ⋯α , β 二 ,从而组成初始单形的方
法 6 其实质是选择α ‘, 以使得 α , 一 α 。 , α 9 一
α 。, ⋯⋯ α 9 十 二 一 α 。成为一组线性无关的向量
组。
! 6 ∀ 6 ! 目标函数值 计 算 一组参数是否 接 近
真值, 可由残差平方和( + Ζ 7α 8 来表达 , 这
也就是单形法求最小值点的目标函数 6 参数向
量 α , 对应的目标函数值( + Ζ 7α Α8 按如下方
法给出 9 首先用变步长吉尔方法算出合乎精度
要求的初值问题 9
厂Ι Μ 。 、厂 二 、ε — _ Κ 7人 , 刀 Ξ 8φ “‘φ Μ ] 9 一 。 _ 7Σ , , 十
, Σ , 9 β ! ⋯ Σ , , 十 二 8 _ α , 。
#Η Α≅ 6 ) 6 − Π Π Φ 6 ∋ Γ ? Φ 6 , ! 9 ∀ 7
  ς 8
∀ 期 延晓冬等9 崔 一. <= 。。≅和. ∗ 5 Α> ΒΑΧ 方程参数的优化估计方法 !李:
在Β ‘7Α _
, ! , ⋯ > 8点的解Μ 刀 , 7Β ‘8 , 其中 α , _
7α , , α , , 8 二 7Σ , 9 , Σ , 9 , ⋯⋯ Σ , 9 , Σ ⎯ , 十 9 ⋯⋯
Σ , , 十 二 86 其次 , 计算出对应的残差平方和 9
命 等 _Κ ‘, 一 万 χΨ ’
& 7Δ 8 _ & 。 7
; 8
χ%)飞、
, 广、> + Ζ 7α , 8 _ 乙 7 Μ 刀 , 7Β ‘8 一 Μ 7Β ‘88
用于高斯 72 <4 >Γ8 草履虫实验的拟合时的参数
分别进行了优化估计 6 通过与已有估计结果的
7Μ α , 7考Ξ 8 一 Μ 7Β ⎯ 8 8 ’
! 6 ∀ 6 ∀ 计算终止条件 计算终止条件有两类 6
内部中止条件 , 是相对误差小于误差控制值时
计算停止 , 但这只意味着一次计算完成 6 为了
得到问题的解 , 还要改变启动参数向量和单形
法的 ∀ 个参数做多次计算 6 外部中止条件 , 是
当计算者发现 目标函数值下降缓慢 , 或 与前次
计算相比改进不大时终止计算 6 这里 , 相对误
差特指下式 9
表
离斯实验中夕 。 6 4 Κ曰Α< 和0 6 Χ 6 4Ι <Β 4 6 的增长过怪
Θ < Σ 。
2 Κ ? = ΒΗ Ι < Β< ? 里 0 < Κ < 6 Γ Γ Α4 Ε 妞4 Κ ΓΦΑ< 6 ≅ Ι
Π < Κ < Ε Γ Γ Α4 Ε Γ < 4 Ι < Β 4 Ε Α≅ ΒΗ Γ # < 4 > Γ Γ盆0Γ Κ ΑΕ Γ ≅ Β
时 间
Θ ΑΕ Γ
7Η 8
;扭Φ中0 6 < 4 Κ ΓΦ玄< 的
ΣΓ Κ ? ϑ 0 < Κ< Ε Γ Γ玄Ω
每。。⊥也
中 0 。Χ“4面纽爪的个数& 4皿ΣΓΚ ? ϑ 0 <邝川Γ ΓΑΩ口4 即Φ玄< Α≅ Δ 6 ; Ε ΦΦ4 爪 Χ< 4 Ι <扭饥 Α≅ ? 6 >Ε Φ
饥糕4Ε
一 环 半 环Δ 此 ΦΠ ? Π ∃ < Φϑ Φ? Π 一 环? ≅ Γ %? ? 0 半 环∃ < Φϑ Φ? ? Π
!⊥!δΔ:九Δ公‘∀γ甘!
:Δ口;()兮曰‘⊥;61Β
丹 !∀石#内∃
匕月‘%&∋自∃()∗厅,+&∋牛‘,−舀.匕山口∋∋勺
,二.二孟∋‘/三飞刁人,
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7 尹8 9 ∃ : ‘; ‘’一 7 <− “∃ : ‘;
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7 ≅ − Α ∃ : Β ;
户
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% & (
−∃#工勺(%26兮,二Χ=一勺!蓄&&%吐山朽,−‘
% . 3 . & 该方法的优点和应注意的问题 本文用
于求优的方法 , 是不需导数的直接法 。 因此 ,
Α ∃: Β ; Δ 既 可采用本文所述的残差平方和 ,
也可根据不同的使用目的而采用其它的函数形
式 。
由于采用 了微分方程数值解法 , 使用者不
必知道动力系统积分曲线细节方面的知识 , 就
可投入试算 . 通过试算 , 参照不 同时刻的理论
值和实测值 , 有助于对模型实用性和积分曲线
本身性质的理解 .
对于 二Δ % 时 Β即二维以上的动力系统 Δ ,
应尽可能减 少 参 数 的 个 数 . 例 如 , 可 以
把 Ε Φ Γ , , Ε , Γ Η , ⋯⋯Ε Φ Γ 二的切 个参数固定为实测
值 Β在 。 Ι ∋时, 也可如此 Δ , 或把某些参数首
先固定为较有把握的经验值 . 这样 , 常可减少
计算量和迅速得到合理的结果 .
4  ) ϑ ≅ 9/ ≅ Κ 方程拟合实例
为了说明本文所述方法的有效性 , 我们将
 ) ϑ ≅ 9/ ≅ Κ 方程 Β右端函数Λ Β Μ , Φ , Ν Δ Ι ΦΜ Β Ο 一
Μ Π Ν Δ Δ
Θ Ρ ≅− . 6 . Σ ΤΤΥ . ς Κ ) > . , % Η 3 Β ∋ 2 2 ∋ Δ
对比 , 说明本文所述的方法是有效的 。
关于  ) ϑ≅ 9/ ≅Ω 方程的参数估计问题的研
究 , 巳经有许多报道 , 如万 昌秀等 Β ∋ 2 4 3 Δ 〔, ’ 、
王本楠 Β % 2 1 4 Δ ‘“’和王莽莽等 Β ∋ 2 1 0 Δ 〔“’。 后两
者所提出的方法相类似 , 其估计结果也类似 ,
是迄今较好的对  ) ϑ≅ 9/ ?Ω 方程参数的估计方
法 。 因此 ,这里把万昌秀等 Β Ο2 13Δ 汇” 和王本楠
Β ∋2 1 4 Δ 〔% ’及本文所 述的方法对高斯 Β Ξ ΨΖ 9ΚΔ
草 履 虫实 验的数据用 ) ϑ≅ 9/ ≅Ω 方程做近似时
的参数估计的结果进行了对比, 以说明各种方
法的应用效果 . 表 ∋ 为 Ξ Ψ Ζ 9 Κ 实验的 & 组数
据 , 表 % 为用 3 种参数估计方法所得到的结果
的对比 。
! : 应 用 生 态 学 报 ! 卷
表 ! ∀种今数估计方法的比较
Θ < Σ 6 ! #? Ε 0< ΚΑ> ? ≅ ? ϑ Β址 Γ Γ Ε Γ ΒΗ ? Ι > ? ϑ 0< Κ < Ε Γ ΒΓ Κ>
Γ吕Β ΑΕ 扭ΒΑ? ≅
Ε瓮∋ Τ0 ΓΚ Α
叽仑# : + ”Ν
护ΓΝ主< 0< Κ < Ε ΓΧ 艺吐ΕΓ < 4 Ι口Β4 Ε
半 环 ε 一 环 半 环地Φϑ Φ? Π φ? ≅Γ Φ? Π 地Φϑ Φ卿
估 计 值 ∋ >Β Α皿< ΒΓ Ι Ρ < Φ4 Γ>
, δ δ∀

一 Δ ;
⊥ 。 Δ :

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! δ


。 ; ∀
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∀ Δ

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δ
δ 。 Δ

! ! δ δ
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Δ 。  δ
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长斑名添吹迹
δ δ 。

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⊥ δ δ
! δ δ 。 ⊥ Δ

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权斑名浑铃川
δ δ : 。 
Δ 6

 一 ∀ 
⊥ δ ! 。 士
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! ; ⊥ ; 。 Δ 士
Δ 。 ∀

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∀ 。
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! ! ! Δ 。 ∀ 士
Δ 。 ∀
;  一  
Δ 。 !
∀ 。 ∀

 ; ⊥ 。 δ 士
Δ 。 !
果 , 优于万昌秀等7
 ∀8 Κ ” 的结果。 这 一 点
从 ( + Ζ 的大小便可以清楚地 看 出 6 由 于 王
莽莽等 7
 ⊥8 〔“’ 采 用 的 方 法 与 王 本 楠
7
 ; 8 ‘“’采用的方法相类似 , 因此他们 的 方
法和本文所述的方法在. ? 5Α >Β ΑΧ 方程的参数估
计方面都是较好的方法 , 所得出的结果将不会
有实质性的改进 。
δ 崔 一. < = >? ≅ 方程的参傲估计
将本文所述的方法用于. ? 5Α >Β ΑΧ 方程的参
数估计 ,实际上是不合适的 , 因为. ∗ 5Α >Β ΑΧ 方程
有显式通积分 7! 8存在 6 由于崔一.<= >?≅ 方程
没有形 如7! 8式的显式通积分存在 , 所以本文
所述的方法被认为正是针对这一方程而提出的
一个参数估计方法 。
崔 一. <= >?≅ 方程
Ι &
Ι Β Κ &
Φ 一 & χ & 。

一 & χ & 孟 又⊥ 8
是比. ? 5Α >Β ΑΧ 方程更高级的单种群增长模型 。
但是目前该模型的应用还远未开展 , 其中主要
原因就是当用它来拟合实验数据时, 参数难以
得到较好的估计。 本文将前述2 <4 >Χ 实验数据
的参数优化估计法用于崔 一.<= >?≅ 方程 , 验证
了用 本文所述方法估计崔 一.<= >?≅ 方程的参数
的有效性。
2 <4 > Γ 实验的数据在表
中已列出。 设方
程 7⊥ 8的初始条件是
& 7Δ 8 _ & 。
通过取( + Ζ 为残差平方和后的参数优化估计
计算 , 可得出如表 ∀ 所列的计算结果 6
比较表 ! 和表 ∀ 中的( + Ζ 值 , 可发现表
∀ 中的( + Ζ值都小于表!中对应的( + Ζ 值 ,
这说明用崔 一. < η ?≅ 模型来近似2 < 4 >Γ 实验中
草履 虫种群的增长过程确实优于 . ? 5 Α> ΒΑ Χ 方
程 。 因 此 , 对 于 单 种 群 的 增 长 过 程 , 崔
一 .<= > ? ≅ 方程的拟合性能应该在今后的研究工
作中予以充分利月分6
& 二与& 认之比可以刻画种群增长曲线的 拐
点的特征 6 从表 ∀ 可见 , Π < Κ < Ε Γ #￡4 峨 # < “Ι < Ω
#Η Α≅ 。 ) 6 − 00% 6 ∋ Γ ? Φ 6 , ! 9 ∀ 7
 
8
丈9班一‘6ΒΖ八王Κ<+一万Κ翻丑Κ入)
一口(一
∗
斑板拭怜

 ! ∀ # ! ∃ % & ∋ ( ) ∗ + , ( )#− . , /  ! ∃ 0 ( ! ! ! 尹1
咖)#− . , 2 345 卯1( . , ( )五− . +
值得注意的是 , 6 7 8 作为寻求最优参数
的目标函数 , 应该依据不同的要求 , 可以具有
多种可供选择的表达式 , 而不仅仅是残差平方
和一种 + 本文所述的方法可以选择不同的表达
式来取代残差平方和, 而以往的各种方法仅能
采用残差平方和作为 6 7 8 。 但是为了比较方
便 , 本文也取6 7 8 为残差平方和来进行参数
优化估计的计算 + 各参数的意义可解释如下 9
: 为环境容量 , 4为内察增长率 , ; 。为在 ) < −
时刻种群密度的理论值 , 则与; 。具有下列关
系 9
; 。 < : = >? ≅ ( “ Α
这 是 因 为 万 昌 秀等 >?Β Χ ΔΑ “ ’ 和 王 本 楠
> ?Β Χ Ε Α ‘“’都使用了显式通积分 ,
; > ) Α < : = > ? ≅ ( 口一” Α
而本文直接通过 > Ε Α 式进行计算所致 +
由表 Φ 可看出 , 将本文所述的方法和王本
楠 >?Β ΧΕΑ 〔Φ ’ 采用的方法用于 Γ ∋ 1( 实验的
Η − ∃& 1) &Ι 方程参数估计时, 可 得 到一致 的 结
∀ 期 延晓冬等9 崔一. <= > ? ≅ 和.? 5 坛Β沁方程参数的优化估计方法 !: 
衰 ∀ 崔 一. <= > ? ≅ 方程的今致估计结果
Θ < Σ 6 ∀ , Γ > 4 ΦΒ> ? ϑ 0< Κ < Ε Γ ΒΓ Κ Γ > ΒΑ 6 < ΒΑ? ≅ ? ϑ
# 4 Α一. <= > ? ≅ Γ Λ 4 < ΒΑ? ≅
所估计值
∋ > ΒΑ皿< ΒΓ Ι
Ρ < Φ4巴
实 验∋ Τ ΠΓ Κ ΑΕ Γ ≅ Β>
呱票黯不」万霖需沪下瘾Π 一硫瓦乖蠢蕊瓦9蕊
考 & ?(+Ζ
δ ⊥ Δ ‘Δ
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! Δ Δ δ 。 ∗
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∀ 一 δ !
 ;⊥ 。 ; 土
Δ 。 Δ Δ

口,&Κ
龟
细优 的 增 长 曲 线 恰 好 都 是 & , ι & 盆, 而
尸 6 “ ΚΓ Φ’<的增长曲线则都具有 & 氛ι ∗。 & , ι
& 认显示出了 崔 一.<= >?≅ 方 程关于种群增长
曲线的多样性预言的正 确 性 , 同时这也 正是
崔 一.<= >?≅ 模型中给出的一种情形 6 然而 , 种群
尸 6 。。Κ 。八。 的& 认ι ? 这种情形却为崔一 . <= >? ≅
模型的推导过程所不能解释 。 我们认为 , 这种
现象不但不是对 崔 一.<= >? ≅ 模型的否定 , 而
恰恰证明了崔 一.<= >? ≅ 模型作为单种群模型的优良性能和崔一.<= >? ≅ 预言的 & 认性质决定
单种群增长曲线的拐点性质的结 论 6 另 一 方
面 , & 认ι ?的情形可从另一种崔 一 .<= >? ≅ 方程
的推导中得到解 释, 并被赋于新的意义 ‘’ 。
值得注意的是 , 在尸 6 。。、Ι ? Β? Ε 半环实验
的崔 一. <= >? 丘方程参数估计中 , & 认_ ! Δ Δ δ和
& 二 _ ; 6  , & 认》& 二 6 这就是说 , 此实验中
的种群以近似于. ? 5 Α>Β ΑΧ 方程的方式增长 6 表
! 和表 ∀ 中此实验对应的( + Ζ 值非常接近 ,
也证实了这一点 6 另外 , 这 一现象有力地证明
了崔 一 . <= >? ≅ 模型能在实际应用中起 . ? 5 Α>ΒΑ Γ
方程所起不到的作用 6
( 结 语
>月 本文提出了一个微分动力系统在拟合生态
学数据时的参数优化估计方法 , 对于那些难以
得到显式通解的微分动力系统的参数估计问题
来说 , 该方法有很好的应用前景 6 但是 , 在应
用本方法时 , 一要注意减少被估参数个数 , 二
要在不同启动参数下进行多次计算保证结果的
正确性。
; 6 ! 本文提出的方法可用φ于 崔 一. < = >? ≅ 方程
的参数估计计算 。 实际计算说明了本文所述的
方法具有较好的性能 。 另外 , 本文方法亦可被
用于竞争方程 、 捕食方程和其它一维或多维动
力系统的参数估计计算 。
; 6 ∀ 本文未证 明算法的收敛性 6 事实 上 , 这
与单形法的收敛性有关。 根据经验 , 多次计算
是非常必要的 。
; 6 δ 本 文 所 述 方 法的计算量较大 , 只有在
%αΖ Ν>⊥ 以上档次的微机上进行计算才能较快
得到结果 。 ϕ
今 考 文 献
、 万 昌秀 、 梁中宇 6
 ∀ 。 .∗ 5 Α>Β ΑΧ 曲线的一种拟合方
法 6 生态学报 , ∀ 7∀ 8 9 ! 一!  ⊥ 6
! 王本楠。
Δ ; 。 %心 5 Α> ΒΑΓ 曲线的最小二乘解 6 森林生
态系统研究 , ∴ 9
∀
一
∀6
∀ 王莽莽 、 李典漠6
Δ ⊥ 6 用麦夸方法最优拟合. ? 5Α <Β ΑΧ
曲线 6 生态学报, ⊥ 7! 8 9
δ !一
δ 了Ω
δ 2 ? Κ Ι? ≅ , ( 6 2 6 Γ Β < Φ 6 Υ 5 了? 6 ∗0 ΒΑ二ΑΥ < ΒΑ? 。 9 Θ 五Γ? ΚΟ< 肚 Ι 0Κ< ΓΒΑΧΓ 6 ΖΓ 2 Κ< = 一∃ ΑΦΦ α? [ #? 口Π < 皿Κ , &Γ =
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Ζ Γ ΒΗ? Ι > ϑ? Κ 1 Α5 ΑΒ孔
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Δ一
! : 。

8 延晓冬 6 基于 营养供需动态平衡考虑的单种群生物量
增长模型 7待发表8 。
# Η Α≅ 6 ) 6 − Π Π Φ6 ∋ Χ ? ’6 , ! , ∀ 毛
妙