全 文 ：第
卷 第
期


 年
 月
林 业 科 学 研 究





 !







。
,

。




,







 函数拟合多形地位指数
曲线 模 型 的 研 究
骆期邦 吴志德 蒋菊生 陈定国

林业部 中南林业调查规 划设计院

肖永林 葛宏立

林业部华东林业调查规划设计院

摘共 本文以




函数 为基本模 型 , 讨论 了不 相 交 多形地位指 数曲线 的
拟合。 解决 了标准年龄时树高与指数位不一致的 问题 , 给 出 了根据树高和年龄求指
数的实用迭代公式 , 探讨 了标 准年龄不 同 , 指数 曲 线 形状是否会 变化的 问砚 , 最后
讨论 了本文所 用的衫木多形 地位指数曲 线模型的一些特性 。
关越词
 !


函数 , 多形地位指数 曲线 ,



 !
迭代法
当样本资料收集后 , 要建立一个好的地位指数 曲线模型 , 关键在于选择好数学模型和拟
合方法。 就建立树高生长过程一类反映生物生长规律的模型而言 , 一个好的数学模型 , 不仅
要求对样本 资料应具有灵活的切合性能 , 最小的拟合残差和尽可能少的参数 , 而且其参数应
具有生物学意义 。 从这些基本要求 出发 , 对




 函数在建立多形地位指数曲 线模型中
的应用 , 进行了研究。 并根据改进后的
参数



 函数 , 分别建立了杉木、 马 尾松多
形地位指数曲线模型 , 取得了良好效果 。 本文将就在应用



 函数中的一些 关键技术
问题进行探讨

如何提高其 灵 活 性













年 曾 指 出
简 单 的





函数对多形树高生长 曲线的适应性不强〔‘〕
,
如何使标准年龄 时的树高与地位指
数值取得一致 ,
标准年龄的变化是否使曲线变化 , 以 至影响到使用精度的要求 ,
如 何 根
据年龄和树高值迅速求得地位指数值 。 同时对所建模型的特性进行了探讨 , 取得了良好结果 。
一 、 多形地位指数曲线模型的确立和求解方法
优势高与年龄的关系 , 可用




 函数表示







, 公


。

一
一

’
’一
孟
为年龄 , 刀


。 ,

,


为参数

优势高除随年龄的增长而增高外 , 还受以地位指数表示的立地质量好坏的制约 ,




即一个
本文于


年
月
日收到 。

期 骆期邦等





 函数拟合多形地位指数曲线模型的研究


地位指数决定一条树高曲线 。 而树高曲线
 是由
决定的 , 因此 , 一个地位指 数 , 决 定一
个
, 用下式表示








〔
。


,
、


,




〕

为地位指数。 将此式代入

 , 为




〔



,
〕

。


〔
一 。一




’〕不育汀万


与
的具体关系 , 经样本资料分析为非线性相关 , 故定为


。






,
一









么


二 几







么



这里把

、

与
的关系定为抛物线 , 是考虑到

、

的变化不易确定 , 而抛物线 具 有较
好的适应能力 , 且形式简单 。 把

 代入

 有


万



,
, 公






〔
一 。


土


‘
二
三
‘〕不瓦下瓦不币不厄







 。,

, ⋯ ,

为待定参数。 当
确定后 ,

 式就是一个完整的多形地位指数曲线模型 ,
代入不同的地位指数和年龄 , 便可把

 展开成多形地位指数表。
为了克服






等人
“




对类似

式一类方程用参数预估法求解
各参数值用
与地位指数分别建立子模型的方法求出
所带来的一些矛盾 , 按通常最 小 二 乘 法 定义 , 用






迭代法直接求解参数
。 因为在

 式中
。、

、

是相互制约 的, 按

 式直
接求解
, 可使得 几 、

、

自行协调 , 且便于计算机处理。 若先由

式求出不同的
,
再由

式求
, 这样就把
。、
, 、

的关系割裂开来 , 使得它们不能 自行协调 , 既会增大
误差 , 又增加了计算步骤 。 用

式和直接求解
的拟合方法所建立的杉木和马尾松多形地位
指数曲线模型 , 经检验具有很好的切合灵活性 , 证明




 函数的灵活性可通过 参数与
地位指数的协调得到提高。
但

式尚有
个间题需要探讨解决

当
确定后 , 代入标准年龄和地位指数所求得的
树高与地位指数不一致 ,
当标准年龄改变时 , 曲线形状是否会变化 ,
已知树高和年龄如
何迅速求得地位指数。
二 、 标准年龄时树高和地位指数值矛盾的解决
类似

式的多形地位指数曲线模型 , 在拟合方法上不采取特殊处理 , 常会导致标准年龄
时的树高与地位指数不一致。 可以认为 , 标准年龄时的树高与指数一致的
是存在 的。 如求
得的
不能使它们一致 , 则这个
尚未满足要求。
在求解一元非线性方程的根时 , 有一种方法是 , 将所求解的非线性方程

 二
改写成








先给一个初值
。, 代入

 式算出

, 再将 二
作为初值代入

式求出 碗 , 如此重复 , 若收敛

即

式两边趋于相等 , 或
。 一
, 一 , 趋于

, 则其极限值
为原方程 以劝

的 根 。 仿照
这种方法
当然

 二
的根只 是一个或几个点 , 而地位指数是一个区间。 例如最低指数为

, 最高指数为
 , 在标准年龄时 ,
用
一
 之间的任一数代入 , 所求得的
都应与
相
等 。 另外 ,
并不是要求的根 , 要求的根是
, 使
满足
与
一致
。 将不同指数值的解析


 林 业 科 学 研 究
卷
木树高数据输入 , 以标准年龄时的树高值作为
。 , 按最小二乘法定义 , 用





 方 法
求出
, 将
代入

式 , 求出标准年龄时的各个树高理论值
, 。, 然后计算


二





‘一
。‘ ,




,
, ⋯ , 尔

二 为解析木株数 , 或为按指数归并平均后的数据组数 。 然后检验


。



是否成立 。
。 为允许误差 限。 限定
, 。 与
的误差不影响到第一位小数 , 本项研究中 , 取‘为




。 若

 式不成立 , 再把户, 。 作为新的
。代入

 式 , 按最小二乘法定义重求
, 如此
重复 , 直到求得

式成立时的
, 上述不一致的问题便可得到解决。
如不用剩余方差和 口


习
云 人习
 ‘
一
‘

“,
‘为第
株解析木的龄阶数
、 相 关指
一

一

数
, 及理论值

, , 则计算已可结束 , 只需将地位指数表打印出来。 若需要求得上述数据 ,
则还应计算各解析木的最佳
值。
以上计算的 目的 , 是使
, 。 与
一致和
尽量小。 虽然每次计算都是在最小二乘 法定义
下进行的 , 但 因每次都用了新的指数值 ,
值有可能随指数值的更新而增大。 因为指数值的
不断更新 , 会使指数值偏离原曲线 , 从而使
、
及
‘
产生偏差 。 因此应重新计算 使
达
最小的各
值 , 而参数
不再变化 。 现给出一个迭代公式
详细推导可参看第四节
。
计算下面的量 , 其中
。, 。 为与
‘。 相对应的各龄阶树高理论 值。

百 八 八
平‘
习

‘
一 月 ‘
。

‘s 。, F ‘
J 一 几
= 习 (H ‘,
j 一 1
一 Z H . , 。) H ‘i 。
用 W ‘、 F ‘ 修正
S , : = S ‘。一 S , 。 W ‘/ F ‘ 一 ( 6 )
若 }S‘。·万 ‘/ F ‘! < 0 . 01 , 则认为第 i株解析木的 S 已求得 , 接着计算下株解析 木 的 S ,
否则令新的 S ‘: = S ‘。, 进入下次迭代。
三 、 标准年龄变化时曲线变化情况分析
当标准年龄不同时 , 地位指数曲线(3 )式的形状是否会变化? 就理论而 言 , 若无变化 , 则
由(2)式确定的参数 B , 对同一条指数曲线当标准年龄不同时(即 S 值不同 , 同时 C 值也不同
时) , 由新的 S 与 C 所确定的B 值应与原值相同 。严格说来这一点不会成立。 因而 当标准年龄
不同时 , 指数曲线也将产生变动。 但这种变化所产生的差异是否大到影响实用? 兹引用实例
予以分析。 其原始数据为南岭 中段杉木优势木树干解析资料 。 数据经合并为13 组 , 标准年龄
为Zo a 。 现取标准年龄 :。 为 16 、 20 、 24 a , 用(3) 式拟合 , 分别打 印出理论值进 行比较。 限
于篇幅 , 只将13 组数据中最小、 中等和最大指数值的数据抄录于表1( 表中第二列为标准年龄
20 a 时的地位指数值)。 从表 中可看 出最大变动较差为。.09 m , 影响到第一位小 数(o.l m )。
马尾松材料的计算结果的最大变动较差为o .02 m 。 这对于实际应用来说是可以接受的 。 其 误
差是否完全因 :。 的变动而引起也不好定论。 但可以肯定 , 较差中含有处理方法引起的误差 。
例如在使 t。处的树高与指数一致时 , 在求使 O 达到最小的指数时 , 都允许有0.ol m 误差 , 此
期 骆期邦等: R ic har ds 函数拟合多形地位指数曲线模型的研究 岛3宁
表 1 不同标准年龄时的树离曲线值比较
才。 ⋯二⋯不面刁石丁子不下再岁粉 刃不石了’ 。.。‘ 】。.2 。{。.51 !1 .44 !2 .1 2 { 2 .5 : } 3 .5 。 } 4 .1 6 4 4 .7 。! 5 .3 。} 5 .0 3 { 。.屯。} 。.02 } : .3 6} : .7 0 1 。.12
2 4 ⋯:理⋯!·料篮戏⋯:州:洲:拢{;洲:剩:洲::(:洲::一i ;薰
允许误差必然会反映到表 1 中来 , 且有所扩大(曾做过试 验)。 因此 , 若排除处理方法所引起
的误差(事实上很难做到) , 表 1 中的较差定会更小 , 一般不会影响到第一位小数 。 就应 用而
言 , 可以认为标准年龄的变动 , 不会引起地位指数曲线形状的变动 。 而且从( 3 )式直接分析 ,
按最小二乘法直接求参数C , 无论标准年龄为多少 , 都必须满足剩余方差和 Q 最小 , 由此也
可以看出 , 标准年龄不同不会对曲线形状产生很 大影响。
四 、 根据年龄和树高求解地位指数的简便迭代法
当( 3 )式建立后 , 将其展开成表 , 即可应用。 但有时为了精确起见 , 需用实际树高和年
龄直接根据( 3 )式求出指数值 S , 这时由于( 3 )式无法写成显式 S = 了一 ’(C , H , t) 而不 能直接
解出 , 因而只能用迭代法解决 。 这里讨论两种方法。 先讨论牛顿切线法。 把( 3 )式写成:
、产、,产
7
内6了、rg “ H 一 j ( C , S , 公) 二 H 一 H
则牛顿迭代公式为:
S 。= S 卜:一 y 。, : / 刀, * , ,
式中 g卜:= H 一 f ( C , S 卜:, t ) = H 一 H 卜, , ; / 。一会1:=:卜: k 表示第 k 次迭代。 这里需
指出的是 , 若要按( 3 )式求出精确的表达式是很繁的。 但可看出, ( 3 ) 式中最重要的 S 是B0
(即 C os “, ) 中的 s , 因而求导数时可把其它 S 看作常数 。 这时有
斋!:=:卜:一斋!:一 : 。一、= 一 e :H / s } s = 。 _ = 一 C :H 。一 , / s 。一 :口匆 一土
将其和( 7 )式一并代入( 8 )式有:
凡 = 凡一 : + ( H 一 H
* 一 1
)
.
5 *
一 ,
C
, 介一: (9)
S 。 可估计给出。 导数取近似值并不影响最后求得的 S 。 当允许误差取0.01 m 时 , 一般迭代 3
一 5 次即可达到精度要求 。
再讨论第二节中提到的方法。 把( 3 )式写成( 4 )式的形式:
林 业 科 学 研 究 2 卷
S = (A /C 。) ‘I “: ( 1 0 )
式 中 A = H (l 一 ‘刀 : , ) 不下r 。 将初值 s 。 代入(10) 式的右边 , 求出 s:, 以 s 、 作为新的近 似 值
再代入 , 求出 52, 如此重复到 S 达到稳定。 这种 方法可在 SH A R P E L 一5 1 0 5 计算器上迅速
实现。
五 、 所建多形地位指数曲线模型的特性分析
(3 )式作为地位指数曲线模型 , 是如何体现多形的。 先讨论( l )式 , 它的一阶、 二阶导
数为:
;/·怂(卜 一、, ) 蕊一 (11)
, 一 。:, , 「下典-《卜 。一 , : , ) 一。 一 , 且一 11‘ i 一 刀Z J ( 1 2 )
令二阶导数 扩= 。, 解出 t , 这个 t 就是拐点年龄。 由(1 2) 式可得 , 拐点处的 t 为
, = 一 亩‘n “ 一 B Z , · B I ( S ) I n 〔1一 B : ( S ) 〕 ( 13)
拐点是体现曲线形状的一个重要特征。 由(13) 式可以看出 , 不同的地位指数有不同的拐点。
现以南岭山地中段所建立的杉木多形地位指数曲线模型为例进行分析 。 ( 3 ) 式的拟合结果为
C o= 3 。 5 2 0 6 7 C 一 = 0 。 6 6 1 3 8 6 9
C
Z = 一 1 。 5 3 9 3 5 4 E 一 0 2 C 。 = 一 7 。 2 2 0 5 5 3 E 一 0 3
C 一 = 1 。 3 8 5 1 8 3 E 一 0 4 C 。 二 0 。 1 1 0 3 5 0 4
C
. = 5
。
1 9 8 0 7 3 E 一 0 2 C 7 = 一 l 。 7 3 2 2 9 8 E 一 0 3
S = 0 。 3 1 8 S R = 0 。 9 9 7 8
兹计算出不同指数级的 刀 、 拐点及30 a 时的树高值列于表 2 。 B 随 S 呈现有 规 律 的 变
化 , 其中 B 。 作为各指数级优势高的生长极限值 , 客观地体现了杉木林分生长的实际 情 况 ,
B
: 作为速 度参数 , 随地位指数的提高而增加的特性 , 反映了立地质量越好 , 其树高生长越快
表 2 不同指教级的曲线特征值
H , .
O甘八甘,白月b653.⋯9dl31毖,人n‘2月‘
一;
.
|
6810121416182022
11.5155413.9289116.1440418.2130120.1678422.0300023.8147525.5334527。 1 9 4 8 1
0
.
0 5 3 7 3 0 2
0
.
0 6 4 2 9 2 8
0
.
0 7 3 7 4 7 2
0
.
0 8 2 0 9 3 5
0
.
0 8 9 3 3 1 7
0 0 9 5 4 6 1 7
0
.
1 0 0 4 8 3 6
0
.
1 0 4 3 9 7 3
0
.
1 0 7 2 0 2 8
0
.
3 5 9 8 7 2 1
0 4 1 5 3 2 9 2
0
.
4 5 6 9 2 7 9
0
.
4 8 4 6 6 8 3
0
.
4 9 8 5 5 0 3
0
.
4 9 8 5 7 3 8
0
。
4 8 4 7 3 9
0
.
4 5 7 0 4 5 8
0
.
4 1 5 4 9 今2
8 。 3 0
8
。
3 5
8
.
2 8
8
。
0 8
7
。
7 3
7
.
2 3
石.60
8 .1 3
1 0 .6 5
1 3 .0 4
1 5 。 3 2
1 7
。
5 0
: : :
期 骆期邦等: R ic h ar ds 函数拟合多形地位指数曲线模型的研究 539
的生物规律 。 拐点年龄基本上随地位指数的增大而提前 , 表明了立地质量好的林分 , 其优势
高速生期来得早的生物意义 。 而30 a 时各指数级曲线的间距 , 由低指数级(6 一8) 的2.52 m ,
递减到高指数级(20一22) 的1 。 84 m 。 表 2 中各地位指数级的 5 个特征值的差异 , 以及各自体
现的上述规律 , 充分表明了杉木地位指数曲线的多形性 。 由于单形曲线是多形的一种特例 ,
因而( 3 )式同样能表现单形。 用( 3 )式作为拟合地位指数曲线的数学模型是比较理想的。
参 考 文 献
〔1 1 M o n seru d , R . A . , 1 9 8 通, H e i g h t g r o w t h a n d s i t e i n d e x e u r v e s f o r i n l a n d D o u g l a s 一f i r b a s e d
o n ‘t e m a n a l y s i s d a t a a n d f o r e s t h a b it a t t y p e , F o r e s t S e i e . , 3 0 ( ‘) .
〔2 〕 T rou sd e ll, K . B . e t a l . , 1 9 7 4 , U . 5 . , F o r e s t S e r y . , S o u t h e a s t F o r e s t E x P . S t a . , R e s . p a P . ,
1 1 5
一 1 1
。
A S T U D Y O N T H E E S T A B L I S H M E N T O F P O L Y M O R P H 皿C
5 .T E IN D E X M O D E L B Y A D O P T IN G R IC H A R D S F U N C T !O N
L uo Q i加ng W u Z hide Z liang Jusheng C hen D i昭guo(Cenra lSouth Chf” a D e s ‘夕n l : s* ito re o f F o r e s t I o v e ”t o 叨 & P la ”n ‘“夕)
X ia o Y o n g l in G e H o n g l i
( E a : t C h ‘n a D e。‘夕n l ”s f‘to te o j F o r o s * I 二口 日。 *o r g & P I 。。n ￡n 夕)
A b s它r ac t R ic 恤rds func tion 、v a s u s ed a s a ba s ie m o de l t o s t u dy t he no 企
interseC tion P o ly m orP h ie s ite in d eX e urv e , w h i e h s o l v e d t h e p r o b l em e x i s t ed
w h i l
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h
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a 罗 in P lantations of C hines fir and M 叔s on p in e
. A p rac tica l site in de x
sub stitu tio n form u la wa s w o rk ed ou t to g e t the s ite in de x ac
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he ig h t a nd a罗 of the tre . T he Problem tha t w hether site indeX w ill eha ngat diffe rent standa rd a罗 or not 假5 disc usse d. Fina lly, a 罗ne ral disc us ionon prope rties of the Polym orPhie site inde x eurve equa tion for Chine se fir
w as rnade 。
K e y w o r d , R ic ha
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