全 文 ： 1998—05—20收稿。
王明亮研究实习员(中国林业科学研究院资源信息研究所 北京 100091 ) ;孙德宙(中国林业科学研究院林业研究
所)。
* 本文为“八五”国家攻关专题“日本落叶松纸浆与建筑材栽培模式的研究”部分内容。
Logistic分布预测林分直径结构的研究*
王明亮 孙德宙
关键词 Log istic分布 林分直径结构 同龄纯林
著名的 Log ist ic方程作为生物种群动态模型和生长曲线方程,在生态学和林学中得到了
广泛应用;但它作为一种概率分布函数,却一直鲜为人知。
林学上, 对林分直径分布的研究,从 60年代以后,开始采用分布函数来描述林分的直径结
构情况。如正态分布、对数正态分布、Gamma 分布、Beta 分布和 SB 分布以及被广泛使用的
Weibull分布。但是 Logist ic分布[ 1, 2]却一直没有得到重视,没能在林分直径结构模型中得到应
用。直到 1995年,才开始把 Logist ic 方程应用到直径结构的研究中 [ 3] :从生态学生物种群分布
的角度,论证了可用 Logist ic方程来表示林分直径分布;采用两点回收、差分还原的途径实现
林分结构的预测即 L-PRM 预测体系。
本文从分布的角度阐述 Logistic 分布模拟和预测林分直径结构的可能, 建立其对林分直
径分布的预测方法。
1 Logistic分布
1. 1 定义[ 2]
定义:若随机变量 X 的分布函数为: L ( x ; a, b) = 1
1+ exp
- ( x- a)
b
( 1. 1)
(式中: - ∞< x< + ∞, - ∞< a< + ∞, b> 0)
则称 x 服从参数为 a和 b 的 Logist ic分布,记作 x～L ( a, b)。
当 a= 0, b= 1时, ( 1. 1)成为 L ( x ; a, b) = 1
1+ exp( - x )
( 1. 2)
它称为标准的 Log ist ic分布。
将 L ( x ; a, b)对 x 微分,求得分布密度:
L ( x ; a, b) =
exp
- ( x - a)
b
b 1 + exp
- ( x - a)
b
2 ( 1. 3)
1. 2 性质[ 1, 2]
性质 1:若 x～L ( 0, 1) , y= bx+ a,则 y～L ( a, b)。根据这个性质, L ( a, b)分布的许多性质
可化为标准形 L ( 0, 1)去讨论。
林业科学研究 1998, 11( 5) : 537～541
Forest Research
图 1 L ogist ic分布密度
性质 2: L ( x ; a, b)的图形如图 1所示,可见关于
x= a 对称; b越小曲线越陡, b越大曲线越平坦。a为
位置参数, b为尺度参数。
性质 3:设 x～L ( a, b) , 则 E ( x ) = a, Var ( x ) =
b
2
/ 3, r1= 0, r2= 1. 2。其中偏斜系数 r1和峰态系数 r2
不依赖于a 和 b。
性质 4: L ( x ; a, b)存在拐点为( a, 1/ 2)。
1. 3 与 Logistic 方程的关系
Logistic 方 程 的 一 般 形 式 为: y =
c
1+ exp( a′- b′x ) , 当应用于林分直径分布模型时,
上限参数 c= 1,形式为: y= 1
1+ exp( a′- b′x ) ( 1. 4)
而 Logistic 分布的一般形式为: y= 1
1+ exp
- ( x- a)
b
( 1. 5)
尽管两者在数学上等价,其参数关系为: a′= a/ b, b′= 1/ b 或者 a= a′/ b′, b= 1/ b′,但是在
描述林分直径分布时, 两者的参数意义不同。
2 Logistic分布拟合及预测林分直径分布可行性的分析
若以Log ist ic分布拟合林分直径分布,应该有: 0< x< + ∞, 0< a< + ∞, b> 0。x 表示林
木直径(径阶)。意即以 Log ist ic分布的截尾形式来模拟林分直径分布。
文献[ 4]指出,在正常生长条件下,可认为同龄纯林直径结构近似遵从正态分布。而由 Lo-
gist ic分布的性质, 可以看出 Logistic 分布与正态分布有很大程度的类似:两者都是对称性分
布,分布参数的意义殆同等。这意味着 Log ist ic 分布同样可能用以描述同龄纯林直径分布。当
然,判断某理论分布能否用于模拟林分直径分布,除了对其理论上的分析外, 关键看其对实际
林分直径分布的拟合效果。在此假定 Logistic分布适用于拟合林分直径分布,重点考虑该分布
预测林分直径分布的可行性。
Logistic 分布属于(位置参数、尺度参数)分布的范畴,所以对其它(位置参数、尺度参数)
分布如正态分布、Weibul l分布等的研究可以借鉴到对Log ist ic 分布的讨论和研究。并且,由于
Logistic 分布与正态分布有很大程度的类似, 所以,对正态分布等的研究结果都可以借鉴到对
Logistic 分布的讨论和研究。
由性质 4可知: 当 x = a时, F ( x ; a, b) = 1/ 2; 又由性质 3可知, a为随机变量 x 的
数学期望。所以从林学上讲, 参数a 表示了累积分布概率为 1/ 2所对应的林木直径 (径阶) 并
且表示林分算术平均直径 (当然, 由于是分布的截尾形式, 这种关系只能是近似地) , 它应该
与表征林分直径结构最重要的因子——断面积平均直径Dg 有着很紧密的相关关系。b 作为尺
度参数, 表现了分布的陡缓程度, 它从直径生长的变异角度体现了林木分化情况。一般地, b
随着林龄增大而增加, 其原因系由于林龄愈大直径生长变异增加, 从而造成直径分布范围也
就愈广。众多的研究[ 5, 6 ]表明, b 与林分断面积平均直径Dg 也有比较密切的相关关系且呈正相
538 林 业 科 学 研 究 11 卷
关。
Schumacher 和Meyer [ 7]在用正态分布来描述同龄林直径分布的研究中就表明:正态分布
的两参数即直径期望值()和直径标准差( )可通过林分平均直径进行估计。仓田吉雄应用正
态分布进行人工扁柏林直径分布的研究中指出:平均直径遵从 M itscherlich 法则生长, 而直径
标准差( )与平均直径( )有直线关系( = 2. 11+ 0. 072 ) [ 7]。
而 Logist ic分布与正态分布有很大程度的类似。所以可以认为: Schumacher、Meyer、仓田
吉雄的研究成果从很大程度上支持 Logistic 分布可用于预测林分直径分布, 并且类似地有: a
= a0+ a1Dg, b= b0+ b1Dg。
因而,可建立 Log ist ic 分布对林分直径结构的预测模型:
F ( x ) = 1
1 + exp
- ( x - a)
b
( 2. 1)
a= a0 + a1Dg ( 2. 2)
b= b0 + b1Dg ( 2. 3)
式中a0, a1, b0 , b1为参数, F( x )为直径或径阶 x 所对应的累积概率。
或者由( 2. 1)、( 2. 2)和( 2. 3)式写为如下形式:
F( x ) =
1
1 + exp
- [ x - ( a0 + a1Dg) ]
b0 + b1Dg
( 2. 4)
3 Logistic分布应用于落叶松人工林
3. 1 材料来源
材料来源于湖北省日本落叶松[ L arix kaempf eri ( Lamb. ) Carr. ]人工纯林,共收集 29块
样地,样地内每木检尺。样地情况见表 1。
3. 2 Logistic 分布的拟合效果
评价某一分布对林分实际直径分布的拟合效果,可以采用 2检验[ 2]。
对每一样地, 分别径阶(径阶距取 2)统计林木株数,求出各径阶对应的累积频率。采用非
线性回归技术拟合 Log ist ic分布(分布函数) ,对各样地进行直径分布的 2检验,结果见表 1。
29块样地中仅有 2块样地不符合 Logist ic分布,通过率为 93. 1%, 这表明用 Log ist ic分布模
拟人工落叶松林分直径分布效果良好。
3. 3 建立落叶松人工林直径分布的 Logistic分布预测模型
由前述, 参数 a、b与林分平均直径 Dg 应该存在密切的线性相关关系。在此给以验证: 画
出 a、b与 Dg 的散点图, 见图 2;由线性回归确定其相关关系式,均通过了回归显著性检验, 见
表 2(散点图及线性回归都没有包含不符合 Logistic分布的两块样地)。可以认为参数a、b与林
分平均直径 Dg 关系紧密,并且参数 a较之参数 b与 Dg的线性关系更为密切。得到落叶松人
工林直径分布的预测模型, 形式如( 2. 4)式。
因材料所限,未考察该模型对落叶松人工林直径分布的预测效果。但通过对位置参数 a和
尺度参数 b 与林分平均直径 Dg 之间线性关系的验证,已有力证明了该预测模型的有效性。
5395 期 王明亮等: Lo g istic分布预测林分直径结构的研究
表 1 落叶松样地情况及 Logistic分布的拟合结果
面
积
林龄
( a)
株
数 Dg a b 2
面
积
林龄
( a)
株
数 Dg a b 2
400 10 80 10. 00 8. 988 8 1. 123 8 0. 578 600 12 77 13. 80 12. 817 1 0. 970 1 1. 810
600 9 154 9. 00 8. 681 9 1. 358 8 2. 055 600 13 80 13. 60 12. 590 3 1. 079 4 1. 061
600 11 132 11. 00 9. 950 8 1. 207 5 3. 574 600 12 83 13. 00 12. 000 4 0. 994 4 2. 320
700 31 25 30. 70 29. 398 0 4. 107 5 18. 645* 600 14 108 13. 60 12. 422 1 1. 254 0 4. 604
600 7 190 5. 70 4. 742 2 0. 664 9 0 600 14 123 12. 70 11. 662 1 1. 076 4 4. 448
400 10 74 9. 20 8. 076 7 1. 385 4 2. 229 600 11 87 12. 70 11. 658 0 1. 298 1 1. 638
600 30 50 21. 60 20. 369 5 2. 153 0 6. 943 600 15 102 13. 80 12. 520 7 1. 420 1 1. 982
600 30 45 20. 40 19. 159 9 1. 859 4 2. 002 600 15 104 12. 60 11. 756 5 1. 211 6 1. 919
600 15 65 16. 60 15. 343 4 1. 409 7 3. 162 600 15 103 13. 80 12. 782 4 1. 571 9 3. 125
600 15 83 13. 90 12. 614 7 1. 485 3 1. 896 600 16 118 12. 40 11. 140 3 1. 297 0 1. 606
600 14 74 14. 45 13. 060 5 2. 008 2 5. 573 600 14 81 14. 20 13. 074 3 1. 339 4 5. 030
600 14 75 14. 00 12. 803 8 1. 458 6 2. 325 600 14 82 14. 00 13. 463 2 1. 683 8 4. 096
600 15 90 14. 90 13. 575 4 1. 585 3 4. 152 600 13 94 14. 40 13. 257 4 1. 068 0 1. 073
600 15 82 14. 80 13. 907 4 1. 652 5 1. 144 600 13 108 13. 90 13. 050 2 1. 026 6 7. 503*
750 14 64 16. 10 14. 781 1 1. 661 9 5. 626
注: 2 统计量栏, * 示差别显著,余则不显著(显著水平取 95% )。
图 2 参数 a与 Dg、b与 Dg的散点图
表 2 落叶松分布参数 a、b 与 Dg 的线性相关关系
相关关系式 相关指数 R 2
a= - 0. 629 027+ 0. 967 057Dg 0. 995
b= 0. 371 824+ 0. 074 374Dg 0. 484
4 小结和讨论
( 1)从分布的角度,阐述了 Logistic分布用于模拟和预测同龄纯林直径结构的可能性; 建立
了以Logist ic分布为基础的林分直径分布的预测体系。
( 2)理论上, 鉴于 Logist ic方程为 Richards方程的特例, 因此 Richards 方程(最大值参数
取 1)也应可能应用于林分直径分布的研究,这正如Weibull分布函数应用到林分生长方面。这
方面已有研究结果,详见内藤、石川、郑小贤的研究, 见参考文献[ 8]。
( 3)与其它分布如正态分布、Weibull分布等的比较: 笔者作了初步的研究,就本文数据材
料,正态分布的拟合效果略优于 Log ist ic分布,两者均优于Weibull分布。但 Logist ic分布较
之正态分布有一很明显的优点在于前者存在初等的分布函数形式。有待于进一步研究。
( 4) Logist ic分布属于对称分布的范畴,适于描述生长正常的、偏度在一定范围的同龄纯
林直径分布; 对于偏度较大的林分直径分布则不适合。
540 林 业 科 学 研 究 11 卷
参 考 文 献
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Quantifying and Predicting Stand Diameter Structure
with the Logistic Distribution
Wang Mingliang Sun Dez hou
Abstract The possibility o f applying the Log ist ic dist ribut ion: F ( x ) =
1
1+ exp
- ( x- a)
b
to quant ify and predict diameter dist ribut ions fo r even-aged pure stands
w as discussed f rom the dist ribut ion po int of v iew . Results of analyses show that the relat ion-
ship betw een parameter a, b and stand quadr at ic mean diameter Dg could be expressed as lin-
ear forms as follow ing: a= a0+ a1Dg , b= b0+ b1Dg and then the predicting model for stand
diameter dist ribut ion w as const ructed: F( x ) =
1
1+ exp
- [ x- ( a0+ a1Dg) ]
b0+ b1Dg
( note: a, b, a′,
b′, a0, a1 , b0 , b1 are par ameters, F ( x ) is the cumulat ive frequency corresponding to diameter
x ) .
Key words Logistic dist ribut ion stand diameter st ructure even-aged pure stand
Wang Mingliang, As sis tant Engin eer (T he Research Inst itute of For est Resou rces Informat ion and T echnique, CAF
Beijin g 100091) .
5415 期 王明亮等: Lo g istic分布预测林分直径结构的研究