全 文 ：　　1997—07—30收稿。
王明亮研究实习员,唐守正(中国林业科学研究院资源信息研究所　北京　100091)。
* 本文是国家自然科学基金重点项目“我国主要人工林生长模型、经营模型和优化控制”部分内容。李希菲副研究员给
予帮助,特此致谢。
标准树高曲线的研制*
王明亮　唐守正
　　摘要　以 Suchumacher 式: H = 1. 3+
e- b /D为基础, 分析了模型参数 a、b与林分因子(优势高
H d ,断面积平均直径 D g 等)的关系,结果表明: a 与优势高 H d 的关系最为密切, b与林分因子间的
相关不紧密。确立了a= a1H b1d 关系式,建立了标准树高曲线模型: H = 1. 3+ a1H b1d e- b/ D(简记为 smk
式)。分析表明: a1、b2无地区显著差异, b 地区差异显著;作为近似, 同一树种各地区间都取统一的 b
值, 估计效果仍可接受,综合模型行为分析及拟合效果比较, smk 式优于其它模型。
　　关键词　标准树高曲线　Schumacher 式　地区差异
　　树高曲线在林业生产和实践中广泛应用。国内外学者相继研究过树高曲线随林分和时间
变化的规律, 建立体现了以直径、树高关系为基础的林分树高曲线普遍规律的标准树高曲
线[ 1]。从数学表达来看,从H = f ( D )出发, 导入适宜的林分因子建立H = f ( D ,林分因子)的树
高曲线。目前,国内外现有的标准树高曲线模型如下:
　( 1) H = H mD / [ ( D+ ( H m/ H g—1) D g ] [ 2] ;
　( 2) H = 1. 3+ a1H b1d D a2H b2d [ 1] ;
　( 3) H = a1H d ( 1- a2e- a3D/ D g) [ 3] ;
　( 4) H = a1H d ( D / D g ) a2[ 3] ;
( 5) H = a1H de
a
2
D/ Dg [ 3]
;
( 6) H = 1. 3+ ( H g- 1. 3) e
a
1
( 1- D
g
/D ) + a
2
( 1/ D
g
—1/ D ) [ 4]
;
( 7) H = 1. 3+ ( a1+ a2H d+ a3D g ) e
-a
4
/ D[ 4]
;
( 8) H = a1H d( 1- a2e
- a
3
D / D
g )
a
4
[ 4]
其中, H ——树高、D——胸径, H d——林分优势高, D g——断面积平均直径, H g——断面积平
均高, a1、a2、a3、a4、b、c、H m——模型参数。
以上标准树高曲线存在一定的问题:如 3、5、8式在 D 趋于 0时 H 不趋于 0或 1. 3; 2、4、5
式在 D 趋于无穷大时 H 不趋于某一渐近值; 1～8式虽引入了 H g 兼或 D g 因子,但这些因子
受林分密度影响较大, 在生产实践中可以得到而在模型预测中则难以嵌入。过去对某树种树高
曲线规律的研究, 往往局限在该树种的某一分布区域,对不同分布区内树高曲线的变化情况研
究尚未见报道。
本文分析树高曲线变化(模型参数)与林分因子的关系,建立一种数学解析性质良好、在模
型预测和实际生产中易于应用的标准树高曲线;分析该树高曲线在树种不同分布区的变化情
况。
1　数据资料
　　南方五省(浙江、福建、江西、广西、湖南)杉木[ Cunninghamia lanceolata ( Lamb. ) Hook. ]
林业科学研究　1997, 10( 3) : 259～264
Forest Research 　　 　　　
测高样地 266 块 ,东北辽宁和吉林落叶松( L arix olgensis Henry )测高样地 52块, 样地面积
400～600 m 2,每块样地内测高株数多于 30株。材料情况见表 1。
表 1　样地材料统计
树种 省份 林龄( a) 密度(株/ hm2) 地位指数 样地数 观测次数
杉木 浙江 12～26 1 000～4 500 8～18 107 1
福建 9～28 580～5 600 12～22 43 1
江西 6～16 1 667～10 000 12～22 17 10
湖南 6～57 1 000～8 000 12～22 68 2～5
广西 9～21 1 000～5 000 12～18 31 2～7
落叶松 辽宁 11～42 500～5 400 16～24 41 2～7
吉林 26～36 500～1 500 16～18 11 1
2　标准树高曲线选型
　　现广泛使用的树高曲线 Schumacher 式: H = 1. 3+ aeb/ D形式简单,数学解析性质良好, 可
以线性化; 应用浙江杉木测高样地拟合建立 107条树高曲线,结果表明该式拟合效果良好, 没
有明显的系统误差。因此本文选用 Schumacher 式作为进一步研究的起点。
树高曲线随林分条件和时间的变化,可表达为模型参数与林分因子的关系。以浙江杉木材
料为例,对测高样地, 知其林分优势高 H d、断面积平均直径D g、林龄A、密度 N (每 hm 2株数)。
分别标地拟合Schumacher 式树高曲线,得参数 ai, bi( i= 1, 2, ⋯, 107)。分别参数a、b画出它们
与各林分因子 H d、D g、A、N 的散点图; 试验了 a、b 与 H d、D g、A、N 所有可能组合的线性模型
的回归情况(结果未列出)。
结果表明: a与优势高相关最紧密, a 中引入 H d 后再引入其它因子对拟合效果无明显提
高,故 a仅设置为 H d的函数; b与林分因子之间的相关不紧密, b引入林分因子对原树高曲线
改进甚微,故 b 不设为林分因子的函数。考虑 a与 H d的两种关系式:线性式和幂函数式,两者
拟合效果(相关指数)殆同, 基于当 H d 趋于 0时,应有 a趋于 0,并且幂函数形式基本上概适了
全部的单峰曲线形式[ 2] ,故确立 a与 H d的关系式为幂函数式: a= a1H b1d ,得到标准树高曲线方
程: H = 1. 3+ a1H b1d e- b/ D (简记为 smk式)。
3　标准树高曲线在树种不同分布地区的变化
3. 1　参数 a1、b1、b的地区性差异比较
在 smk 式 H = 1. 3+ a1H b1d e- b/ D中, 参数 a1、b1 高度相关, 因此两者视为一体来进行分析、
比较。a1、b1与 b随地区变化有 4种可能的情况: (Ⅰ) a1、b1与 b 地区差异都显著; (Ⅱ) a1、b1地
区差异显著, b地区差异不显著; (Ⅲ) a1、b1地区差异不显著, b 地区差异显著; (Ⅳ) a1、b2与 b 地
区差异都不显著。
逻辑上, 上述 4种情况仅有其一为真。采用误差分布比较的方法,确定哪种可能性为真。原
理如下:分别上述 4种情况,得到各地区树高预估的误差分布。分别(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)情况下误
差分布与(Ⅰ)情况下误差分布作检验,如果某情况下误差分布与(Ⅰ)情况下误差分布无显著
差异,则该情况为真;如果(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)情况下误差分布与(Ⅰ)情况下误差分布均差异显
260 林 业 科 学 研 究　　　　　　　　　　　　　　　10 卷
著,则(Ⅰ)为真。事实上,当确定(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)某一为真时,其它应该都为假,可不再往下进
行检验。为了对(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)与(Ⅰ)的差异程度都有所了解,因此逐一进行比较。
相对上述 4种情况,参数的求解(即拟合方法)如下: (Ⅰ)以各地区测高材料分别拟合 smk
式,每地区得到一组a1、b1、b 参数值。(Ⅱ)采用设置哑变量的方法[ 5] ,以各地区测高材料统一拟
合: H = 1. 3( a11x 1+ ⋯+ a1nx n) H d ( b11x1+ ⋯+ b1nxn) e- b/ D。式中 x 1⋯x n为对应于各地区的哑变量, 当
测高数据( D , H )来源于某地区时,对应的哑变量取值为 1, 否则为 0; n 为地区总数; a11⋯a1n、
b11⋯b1n为对应于各地区的a1、b1参数值; b为各地区所通用。(Ⅲ)与(Ⅱ)类似,也采用哑变量方
法拟合下式: H = 1. 3+ a1H b1d e- ( b11x 1+ ⋯+ b1nx n) /D。b11⋯b1n为对应于各地区的 b 参数值, a1、b1为各
地区所通用。(Ⅳ)以各地区测高材料统一拟合 smk 式, 得到各地区通用的 a1、b1、b参数值。上
述各式的拟合由唐守正 [ 6]所编程序和 SAS 统计分析软件[ 7]完成。
分别上述 4种情况, 以南方五省(浙江、福建、江西、广西、湖南)杉木材料为例,得到 5省
(区)树高预估误差分布(见表2,仅列出浙江、福建、江西 3省。(Ⅱ)情况下误差分析未列出,从
以下比较和分析结果来看, (Ⅲ)为真;故可肯定(Ⅱ)为假,不影响本文分析结果)。在表中的 5
省误差分布中(Ⅲ)情况下与(Ⅰ)情况下非常接近,其误差分布基本无偏; (Ⅳ)情况下的误差分
布则与(Ⅰ)情况下差别较大且基本有偏。
表 2　树高预估相对误差分布(浙江,福建, 江西) (单位: % )
误差范围 频率(浙江) 频率(福建) 频率(江西)Ⅰ Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅳ
- 25以上 3. 5 3. 6 13. 9 1. 5 1. 6 2. 6 2. 3 2. 1 1. 3
- 25～- 20 2. 7 2. 8 8. 1 1. 4 1. 4 1. 6 2. 1 2. 2 1. 5
- 20～- 15 5. 3 5. 5 11. 3 3. 1 3. 0 4. 2 5. 1 4. 8 3. 1
- 15～- 10 8. 4 8. 4 14. 7 7. 0 6. 0 7. 6 9. 8 9. 5 6. 4
- 10～- 5 13. 0 13. 4 16. 0 12. 7 12. 4 13. 5 15. 6 14. 7 12. 2
- 5～0 17. 2 17. 2 15. 3 17. 9 17. 7 19. 6 20. 2 18. 3 16. 9
0～5 17. 5 17. 4 11. 5 22. 8 22. 9 22. 5 19. 8 17. 8 18. 7
5～10 15. 0 15. 1 5. 7 18. 5 19. 7 17. 6 14. 1 14. 1 16. 6
10～15 9. 2 8. 8 2. 3 9. 8 9. 9 7. 8 6. 9 8. 2 11. 2
15～20 4. 3 4. 3 0. 8 2. 6 2. 9 1. 4 2. 6 4. 0 5. 7
20以上 3. 9 3. 5 0. 4 2. 7 2. 5 1. 6 1. 5 4. 3 6. 4
合　计 100 100 100 100 100 100 100 100 100
　　注:Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ分别表示上述三种树高预估误差分布。
　　误差分布的比较,近似地采用Sm ir nov 检验[ 8] ,结果见表3。可知: 在显著性水平 0. 05上,
除江西外,其它 4省(Ⅲ)与(Ⅰ)情况下的误差分布均无显著差异; 5省(Ⅳ)与(Ⅰ)情况下的误
差分布均差异显著。这表明:在前述 4种可能情况下, (Ⅲ)为真。意即随地区不同,标准树高曲
线 smk式的变化表现在参数 b因地区的不同而不同, 参数 a1、b1随地区变化不显著,各地区可
视为一致。
　　此外, 给出了 5省(Ⅰ)、(Ⅲ)、(Ⅳ) 3种情况下误差分布的误差均值、误差方差统计表(表
4)。可知:总体而言, 5省(Ⅲ)、(Ⅳ)情况下误差均值的绝对值均高于(Ⅰ)情况,三种情况下误
差方差相差不大。可以认为: 尽管 5 省(区) (Ⅲ)、(Ⅳ)情况下预估精度均低于(Ⅰ)情况, 但
(Ⅲ)情况较(Ⅰ)情况下树高预估精度损失不大;而(Ⅳ)情况下预估精度虽然较(Ⅰ)情况下损
失较大,但在实际应用中还是可行的。
2613 期　　　　　　　　王明亮等: 标准树高曲线的研制
表 3　三种误差分布的 Smirnov 检验
省(区) Ⅲ、Ⅰ误差分布比较 D n1, n2 Ⅳ、Ⅰ误差分布比较 D n1,n2 统计量临界值 D n( 0. 05)
浙江 0. 008 4 0. 312 3* * 0. 020 4
福建 0. 013 5 0. 055 7* * 0. 036 1
江西 0. 057 4* * 0. 149 6* * 0. 017 6
湖南 0. 038 3 0. 108 7* * 0. 038 7
广西 0. 032 8 0. 280 4* * 0. 044 5
　　注: * * 示差别显著, D n1,n2表示由表 2误差分布计算得到的统计量值, D n( 0. 05)表示显著性水平 0. 05所对应的临界值。
表 4　南方 5 省(区)Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ情况下误差分布的误差均值、方差统计
省(区) Ⅰ Ⅲ Ⅳ误差均值 误差方差 误差均值 误差方差 误差均值 误差方差
浙江 - 0. 007 4 0. 016 4 - 0. 010 4 0. 016 4 - 0. 109 5 1. 019 7
福建 0. 008 3 0. 010 5 0. 009 2 0. 010 3 - 0. 009 2 0. 010 6
江西 - 0. 017 9 0. 011 1 - 0. 003 2 0. 013 8 0. 024 4 0. 013 5
湖南 0. 000 8 0. 010 2 - 0. 010 7 0. 010 5 0. 019 9 0. 000 9
广西 - 0. 008 8 0. 006 8 - 0. 012 8 0. 007 0 0. 046 2 0. 006 6
　　综上所述可认为: 参数 a1、b1地区性差异不显著,而参数 b地区性差异显著; 但作为近似, 5
省参数 a1、b1、b 都可取统一值, 只是估计精度有所降低, 但在应用上还是可接受的。
以东北辽宁和吉林落叶松材料, 也得到类似结果。
3. 2　参数拟合结果
以南方五省(区)杉木材料, 拟合结果见表 5-1、5-2;以东北辽宁和吉林落叶松材料,拟合结
果见表 6。
表 5-1　南方五省(区)杉木拟合结果( a1、b1 取统一值)
a1 b1
b
浙江 福建 江西 湖南 广西
参　数 2. 242 66 0. 772 63 7. 680 65 6. 938 34 6. 266 21 6. 230 16 5. 869 17
相关指数 R 2: 0. 958 8 均方误 MSE: 0. 567 1
表 5-2　南方五省(区)杉木拟合结果 ( a1、b1、b 取统
一值)
参数
a1 b1 b
2. 303 26 0. 757 56 6. 493 38
相关指数: 0. 946 2 均方误: 0. 740 4
表 6　辽宁、吉林落叶松拟合结果
a1 b1
b
辽宁 吉林
参数 3. 396 12 0. 646 90 5. 732 40 7. 240 21
相关指数: 0. 955 9 均方误: 0. 860 9
4　smk 式与其它标准树高曲线模型的比较
4. 1　拟合效果的比较
以浙江杉木材料(同前)为例,拟合模型 1～8式和 smk 式, 采用相关指数 R 2 和均方误
MSE 为指标比较该 9个模型整体拟合效果。再以上述各模型拟合结果分别拟合各样地,采用
262 林 业 科 学 研 究　　　　　　　　　　　　　　　10 卷
均方误 MSE 为指标,确定 smk式与上述各个模型拟合各具体林分的优先数;采用符号检验,
比较 smk 式与上述各个模型拟合各具体林分效果的优劣。结果表明:除略逊于 1、7式外, smk
式为优。
4. 2　模型行为比较
2、4式属于幂函数式,当 D→∞时, H 不趋于某一渐近值,即不存在一上渐近线。3、8式属
于 Richards 模型范围, 构造较为复杂; 当 D→0时, H 不趋于 0或 1. 3, 在 5式中,当 D→0时
H→a1H d ,而当 D→∞时,因为 a2> 0,故 H 也不趋于一渐近值。6式可进一步写成如下形式:
H = 1. 3+ ( H g- 1. 3) ea1Dg ( 1/ Dg- 1/ D ) + a2( 1/ Dg- 1/ D ) , 可以看出共线性很强, 拟合时参数值不稳定。7
式在 H d→0、D g→0时, 极限值( a1+ a2H d+ a3D g )并不趋向 0;本文在分析 a与林分因子关系
时,引入 D g对拟合效果改进微小, 故舍弃; 本文之所以选取 a= a1H b1d 形式,而没有采取 a= a1
+ a2H d 形式,也是基于: 当 H d→0时、应有 a→0并且该形式基本上概括了全部的单峰曲线形
式,较之 a= a1+ a2H d形式有更强的适应性。
1、3～8式都引入了 D g兼或 H g 林分因子。这两个林分因子受林分密度影响比较大,在生
产中不易得到;而优势高 H d 受林分密度影响较小,在生产中容易得到。
综上可知: smk 式解析性质良好,模型形式简约,实际拟合效果良好。从模型行为分析和
实际拟合效果综合而言, smk式优于 1～8模型。
5　结论和讨论
　　( 1)以 Schumacher 式: H = 1. 3+ ae- b/ D为基础,分析了树高曲线随林分条件的变化规律
即模型参数 a、b 与林分因子(优势高 H d ,断面积平均直径 D g 等)的关系,结果表明: a与优势
高 H d的关系最为密切, b与林分因子的相关不密切。在 Schumacher 式中可仅引入优势高 H d
(设置为 a= a1H b1d 形式)。
( 2)建立标准树高曲线模型: H = 1. 3+ a1H b1d e- b/ D。模型中引入优势高 H d ,在生产实际中
易于应用。
( 3)分析了标准树高曲线模型: H = 1. 3+ a1H b1d e- b/ D (模型参数a1、b1、b)随不同地区而变化
的规律,即 a1、b1 无地区显著差异, b地区差异显著。但是,不同地区间使用平均 b 值与使用不
同 b 值,其误差分析相差不大; 因此,作为近拟,同一树种各地区间可取统一的 b 值, 尽管其预
估精度有所降低, 但估计效果在实际中还是可以接受的。
( 4)综合模型行为分析及实际拟合效果, smk式优于其它模型。
( 5)本文的研究方法可推广到树高曲线的一般形式 H = 1. 3+ aF( D ) ; 可以推论,渐进值
参数 a与优势高关系最为密切且可以一般地表达为 a= a1H b1d 的形式, F ( D )中的参数则有待
于进一步的类似分析。
( 6)本文在模型参数的地区差异性比较中, 囿于材料所限, 地区划分采用了行政区划而未
能采用更为合理的生态区划或产区区划。故本文对模型参数a1、b1、b地区差异性的分析结果仅
作为参考。
参　考　文　献
　　1　惠刚盈,盛炜彤, Gadow K V,等.杉木人工林收获模型系统的研究.林业科学研究, 1994, 7( 4) : 353～358.
2633 期　　　　　　　　王明亮等: 标准树高曲线的研制
　　2　李希菲,唐守正,袁国仁,等.自动调控树高曲线和一元立木材积模型.林业科学研究. 1994, 7( 5) : 512～518.
　　3　Know e S A. Ef fect of compet it ion cont rol t reatments on height-age and height-diameter relation ships in young Dou-
glas-f ir plantat ions . For. Ecol. Manage. , 1994, 67: 101～111.
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　　7　高惠璇,栾世武,耿直. SAS系统使用手册.北京:北京大学概率统计系, 1993.
　　8　陈华豪,丁思统.林业应用数理统计.大连:大连海运学院出版社, 1988.
Research on Universal Height-Diameter Curves
Wang Mingliang　T ang Shouz heng
　　Abstract　Based on Schumacher height-diameter relat ionship equat ion H = 1. 3+ ae- b/ D ,
this paper deals w ith how the parameters( a and b) v ar y w ith dif ferent stand conditions. Re-
sults show that the asymptot ic parameter ( a) is closely co rrelated w ith the dom inant height
( H d ) . In the above equat ion: H = 1. 3+ ae
- b/ D
, parameter a may be taken the form as a =
a1H
b
1
d , no other stand factor is necessary for being incorpo rated into . T hen the universal
height-diameter curv e is const ructed H = 1. 3+ a1H b1d e- b/ D . Further analyses show that pa-
rameters a1 and b1 are o f no signif icant regional difference w hile parameter b is o f signif icant
regional differ ence. However, w e may take the same value o f parameter b in dif ferent regions
fo r one t ree species w ith low er but pract ical ly acceptable pr ecision.
　　Key words　univer sal height-diameter cur ve　Schumacher equat ion　reg ional difference
　　Wang M ingliang, Ass istan t Engineer, T ang Shou zhen g ( T he Research Ins t itu te of Forest Resources Informat ion and
T ech nique, CAF　 Beijing　100091) .
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