全 文 ：玉米冠层的数学描述与三维重建研究 3
郭　焱 3 3 　李保国　(中国农业大学资源和环境学院 ,北京 100094)
【摘要】　采用 Lang 提出的原理开发了空间坐标仪. 利用该仪器测定玉米冠层的空间坐标 ,以此提出了应用一
般二次方程描述玉米叶曲线和叶形的数学方法 ,方程的系数由最小二乘回归方法得到 ,其中叶曲线系数由叶片
主脉坐标决定 ,叶形系数由沿叶长方向叶宽测定值决定. 从而使应用较少参数描述真实的玉米群体结构成为可
能. 另外 ,还实现了玉米冠层的计算机三维重建 ,为农业生态系统研究提供了新的手段.
关键词 　数学描述 　冠层 　三维重建 　玉米
Mathematical description and three2dimensional reconstruction of maize canopy. Guo Yan and Li Baoguo ( College of
Resource and Envi ronment , China A gricultural U niversity , Beijing 100094) . 2Chin. J . A ppl . Ecol . ,1999 ,10 (1) :
39～41.
Based on Lang’s principle , a spatial coordinate apparatus was constructed to determine the spatial coordinates of maize
canopies. According to the determinations , a general quadratic equation was proposed to characterize the curvature and
shape of maize leaf , and the coefficients of the equation were determined by least square regression , which makes it
possible to describe the true structure of maize colony with a few parameters. In addition , a computer2based three2di2
mensional reconstruction of maize canopy was realized , which provided a new method for studying agroecological sys2
tem.
Key words 　Mathematical description , Canopy , Three2dimensional reconstruction , Maize.
　　3 国家自然科学基金 (49391600) 、国家教委跨世纪人才基金和中国
科学院计算技术研究所 CAD 开放实验室基金资助项目.
　　3 3 通讯联系人.
　　1997 - 03 - 11 收稿 ,1997 - 04 - 14 接受.
1 　引 　　言
　　影响农田生态系统物能流的重要因素之一是作物
群体的结构. 它很大程度地影响了农田光能分布、农田
蒸散及 CO2 传输等. 对于不受水肥等条件限制的高产
农田 ,合理的作物群体结构常是高产的关键因子[1 ] .
受遗传、环境和随机因素的影响 ,作物群体的形态结构
具有很大的时空变异性. 由于数据采集手段和研究方
法的限制 ,该方面研究一直较为缺乏. 若能使用适当的
数学方法描述其形态结构 ,将为该方面的研究带来很
大方便. 另外 ,随着计算机硬软件的飞速发展 ,数年前
诞生的可视化技术已得到迅速发展并在军事、医学等
领域开始广泛应用 ,且势必成为农林生态系统研究的
重要手段. 本文拟对此进行初步尝试.
2 　材料与方法
　　根据 Lang[4 ,5 ]提出的原理 ,与本校电子教研组合作开发了
空间坐标仪. 仪器所用的传感器为精密电位计 ,信号传输到
8031 单片机计算 ,计算出的测点空间坐标值传输到微机存储.
Lang 使用线性度为 0. 5 %的电位计时 ,其测量标准差为 ±0. 65
cm
[4 ]
,使用线性度为 0. 04 %的电位计时 ,每 1000mm 标准差为
4mm[5 ] . 本仪器的电位计线性度为 0. 2 % ,为分析测量误差 ,选
取玉米开花期 4 棵植株 ,测定完全展开叶的长度和方位角 ,与
计算出的叶片长度和方位角比较 (由从叶基部起至叶尖的叶片
中脉测点空间坐标计算叶长 ,由叶基部和向叶尖延伸至 1/ 3 叶
长处的叶片中脉坐标计算叶方位角) . 结果表明 ,叶长相对误差
平均为 1. 9 % ,方位角绝对误差平均为3. 1°. 完全可以满足试验
要求.
　　田间试验于 1996 年在中国农业大学科学园进行 ,土壤为
草甸褐土. 供试品种为平展型夏玉米“农大 3511”,种植密度为
73000 株·hm - 2 ,南北行向种植. 自玉米拔节期开始 ,选定田间
植株 ,利用精密罗盘 (精度为 1°) 测定标记叶片的方位角 ,将植
株带土移入盆中 ,运回室内 ,按标记叶的方位角还原植株取向.
测定每片叶的叶片中脉和叶缘的空间坐标. 对叶片中脉采用以
正北为 X方向 ,垂直向上为 Y方向 ,叶片中脉基部为坐标原点
的坐标系 ,经过坐标平移和旋转计算 ,使植株所有叶片的叶片
中脉坐标均为向 X方向伸展的二维坐标 ,并记下计算出的各叶
片着生高度和方位角 (方位角以正北为 0°,顺时针为正方向) .
同时沿叶长方向等间距测定每片叶的叶宽. 由于玉米茎近于椭
圆柱体 ,因而测定了植株上、下部茎的长短轴长.
3 　结果与分析
3 . 1 　叶曲线数学表达式的确立
　　在叶片不发生旋转、扭曲时 ,代表叶曲线的叶片中
脉构成的是一条光滑的二维曲线 ,可用适当的数学表
达式描述. Edmeades[2 ]使用 A x 2 + B xy + Cy2 + Dx = 0
表征玉米叶曲线 ,在确定上式的系数时假定在叶片着
应 用 生 态 学 报 　1999 年 2 月 　第 10 卷 　第 1 期 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
CHIN ESE JOURNAL OF APPL IED ECOLO GY ,Feb. 1999 ,10 (1)∶39～41
生点茎叶夹角为 0°,在叶尖为 180°,而这种假设无疑
会给描述真实的叶曲线带来一定误差. Stewart [8 ]应用
一般二次方程表征玉米叶曲线 :
　　A x 2 + B y2 + Cxy + Dx + Ey + G = 0 (1)
式中 , x , y 为叶片中脉坐标. 取叶片中脉基部为坐标
原点 ,式 (1)可简化为 :
　　A x 2 + B y2 + Cxy + Dx + y = 0 (2)
已知初始叶倾角θ0 ,叶片最高点坐标 ( x m , ym ) 和叶尖
坐标 ( xL , yL )时 ,对上式求导 ,可得 D = - tan (θ0) ,代
入上式并根据已知条件可解出系数 A 、B 、C ,从而确
定某一叶片的叶曲线. 该方法的缺点在于 : (1) 需要θ0
值 ,这在实测时不易准确获取 ; (2) 植株上部叶片可能
无满足 dy/ dx = 0 的 ( x m , ym ) 点 ; (3)表征严重下垂的
叶片时会出现大的偏差.
　　应用空间坐标仪可精确测定玉米叶片的空间坐标
值. 按前述的坐标变换 ,得到包括叶尖坐标在内的多个
叶片中脉坐标 ,则可应用式 (2) 描述叶曲线. 应用最小
二乘原则求出方程系数 ,就可确定该叶的叶曲线. 对于
式 (2) ,当已知叶尖坐标 ( xL , yL )时 ,可得 :
　　D = - A xL - B yL 2/ xL - CyL - yL / xL (3)
将式 (3)代入式 (2) 并令 : x 1 = x ( xL - x ) , x 2 = ( y2L 3
x / xL - y2) , x 3 = x ( yL - y) , x 4 = y - yL 3 x / xL ,有 :
x 4 = A x 1 + B x 2 + Cx 3 ;应用最小二乘原则 ,使拟合曲
线与实际值的偏差平方和 :
　　Q = 6n
i = 1
( x 4 i - A x 1 i - B x 2 i - Cx 3 i) 2
为最小. 根据极值条件 : 9Q/ 9A = 0 , 9Q/ 9B = 0 , 9Q/9C = 0 ,则可得方程组 :
　　A L 11 + BL 12 + CL 13 = L 14
　　A L 21 + BL 22 + CL 23 = L 24
　　A L 31 + BL 32 + CL 33 = L 34
其中 , L ij = 6n
k = 1
( x ik - x i) ( x jk - x j) ; x i = ( 6n
k = 1
x ik) / n ;
( i , j = 1 ,2 ,3 ,4)
将测定的坐标值代入 ,求解上述方程组 ,则可确定系数
A 、B 、C.
3 . 2 　叶形的数学描述方法
　　叶形由沿叶片伸展方向叶宽变化决定. 描述叶形
时应用多项式的较多[7 ,8 ] ,而应用一般二次方程可理
想地拟合叶形变化. 设 l 为叶长值 , w = w l - w 0 , w l
为叶宽 , w 0 为 l = 0 时叶宽. 由于 l = 0 时 w = 0 ,从而
G = 0 ,则方程可简化为形同式 (2)的形式.
　　Rl2 + S w 2 + Tl w + V l + w = 0 (4)
由上面已确定的叶曲线可求出叶片长度 L ,由于在叶
尖 ( l = L )时叶宽为 0 ,因而 w = - w 0 ,故有 :
　　V = - RL - S w 02/ L + Tw 0 + w 0/ L (5)
代入式 (4)并令 x 1 = l ( L - l ) , x 2 = l w 02/ L - w 2 , x 3
= - l ( w + w 0) , x 4 = w + l w 0/ L ,有 :
　　x 4 = R x 1 + S x 2 + Tx 3
将叶宽测量值代入上式 ,同上应用最小二乘原则求出
叶形系数 R 、S 、T . 这样 ,若已知包括叶尖坐标在内的
n 个叶片中脉坐标 ( n ≥3) ,就可决定叶曲线方程系数
A 、B 、C ;已知包括 w 0 在内的 n 个叶宽值 ( n ≥3) ,就
可确定叶形系数 R 、S 、T . 有此 6 个系数和测定的叶
尖坐标 xL 、yL 以及 w 0 ,通过逐次取 x i 值 (0 ≤x i ≤
xL ) , 由 式 ( 2 ) 、( 3 ) 求 出 y i , 由 l i = l i - 1 +
( x i - x i - 1) 2 + ( y i - y i - 1) 2计算 l i 代入式 (4) 、(5)
计算叶宽 w i ,并由计算出的叶片着生高度和方位角进
行坐标变换 ,可确定叶片中脉和叶缘各点空间坐标. 由
于玉米叶缘多呈波形 ,波状叶缘使直立的叶片趋于平
展 ,而使平展的叶片具有直立叶片的性质 ,这样有助于
叶片更多的辐射截获. 利用 Ledent [6 ]提出的方法可描
述叶缘 ,这样就可以用数学方法再现真实玉米叶片的
空间伸展形态. 由此也可很容易地分析群体叶面积和
叶角的空间分布特征.
　　测定灌浆期玉米植株的坐标值 ,依据上述的求解
方法求出各系数. 图 1 是拟合的叶曲线与实测结果的
比较 (图中所有测点和拟合的叶曲线经坐标旋转而处
于同一平面) . 表 1 是各叶片叶曲线和叶形系数. 由图
1 和表 1 可知 ,由于叶片中脉构成的是光滑曲线 ,而一
般二次方程具有表征较复杂曲线的能力 ,故可很好地
拟合. 而该方程对叶形的拟合也很理想.
图 1 　拟合的玉米叶曲线与实测值的比较
Fig. 1 Comparison between fitted leaf curve and measured leaf coordinates.
·测定值 Measured value , —拟合曲线 Fitted curve.
3 . 3 　玉米冠层的三维重建
　　应用可视化技术实现作物冠层的三维重建 ,可从
任意角度观察和研究作物群体[3 ] . 根据本文提出的方
法拟合出叶曲线和叶形系数后 ,可实现玉米冠层的三
04 应 　用 　生 　态 　学 　报 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10 卷
表 1 　灌浆期玉米叶曲线和叶形系数
Table 1 Leaf curvature and leaf shape coeff icients of maize in f illing stage
叶序
Phyllotaxy
h
(cm)
«
(°)
xL
(cm)
yL
(cm)
A B C w 0
(cm)
R S T R 12 R 22
7 35. 3 278. 8 44. 3 - 20. 5 9. 067e - 3 1. 254e - 2 - 9. 192e - 3 6. 8 1. 559e - 4 - 1. 513e - 2 - 1. 747e - 2 100 100
8 47. 3 124. 3 51. 6 - 47. 6 5. 732e - 3 1. 677e - 3 - 1. 619e - 2 6. 2 1. 093e - 3 - 5. 803e - 2 - 1. 030e - 2 99. 1 99. 9
9 56. 8 275. 9 55. 5 - 57. 2 8. 159e - 3 4. 248e - 3 - 9. 122e - 3 8. 3 5. 574e - 4 - 4. 729e - 2 - 1. 253e - 2 98. 0 99. 9
10 67. 9 106. 9 60. 1 - 35. 0 1. 705e - 2 1. 867e - 3 - 1. 203e - 2 8. 6 9. 186e - 4 - 5. 781e - 2 - 1. 049e - 2 99. 2 100
11 3 79. 7 257. 2 56. 5 - 57. 3 9. 975e - 3 3. 180e - 3 - 1. 075e - 2 9. 9 6. 426e - 4 - 6. 265e - 2 - 1. 360e - 2 100 99. 9
12 3 94. 0 93. 7 62. 8 - 46. 1 1. 384e - 2 4. 899e - 3 - 5. 929e - 3 9. 0 9. 208e - 4 - 3. 737e - 2 - 1. 100e - 2 100 99. 9
13 109. 1 256. 3 59. 0 - 16. 7 2. 652e - 2 1. 934e - 2 - 5. 982e - 3 9. 0 9. 313e - 4 - 8. 546e - 2 - 1. 689e - 2 98. 4 100
14 119. 0 46. 5 53. 2 - 6. 6 5. 550e - 2 4. 594e - 2 - 6. 778e - 3 8. 7 1. 189e - 3 - 6. 245e - 2 - 1. 548e - 2 98. 5 100
15 130. 9 268. 2 49. 0 - 1. 7 3. 173e - 2 1. 498e - 2 - 1. 826e - 2 8. 3 8. 264e - 4 - 6. 700e - 2 - 1. 837e - 2 99. 6 100
16 141. 2 38. 8 43. 2 1. 7 2. 529e - 2 - 3. 285e - 3 - 1. 714e - 2 7. 8 4. 141e - 4 - 1. 146e - 1 - 2. 585e - 2 100 100
17 157. 1 236. 7 32. 8 4. 3 2. 200e - 2 - 8. 611e - 3 - 2. 316e - 2 6. 8 9. 160e - 4 - 8. 838e - 3 - 1. 447e - 2 99. 7 100
18 170. 8 8. 4 30. 5 19. 8 8. 107e - 3 - 4. 102e - 2 2. 051e - 2 5. 4 5. 093e - 3 5. 499e - 2 9. 199e - 3 99. 8 1003 穗位叶 Ear leaf .“农大 3511”有 18 片叶 18 leafs per Nongda 3511 maize plant . R i2 = [1 - 6n
i = 1
( y i - y i 3 ) 2/ 6n
i = 1
( y i - …y) 2 ] 3 100 %. R 12、R 22 分别表征叶
曲线和叶形的拟合程度.
维重建 ,但还需拟合叶缘系数. 根据 Ledent 提出的方
法可拟合叶缘系数 ,但较为繁复 ,因而有待于提出更简
捷且适宜的描述方法. 图 2 是根据玉米冠层测定值实
现的灌浆期相邻的 4 棵玉米的三维重建侧视图 (玉米
株距为 25cm) . 而茎则由实测数据以椭圆柱体构成. 计
算机三维重建是通过 C 语言调用 GL 库在 SGI 工作站
上实现的.
图 2 　灌浆期玉米冠层的计算机三维重建
Fig. 2 Computer 32D reconstruction of maize canopy in filling stage.
4 　结 　　语
　　应用空间坐标仪可快速、精确地测定作物冠层的
坐标 ,寻找出适当的数学表达式由这些数据精确地描
述所研究的农田作物群体 ,将为分析作物群体的叶面
积和叶角的空间分布规律提供很大的帮助 ,本文为此
提出了应用一般二次方程描述叶曲线和叶形的数学方
法 ,方程系数由最小二乘回归方法确定. 在适当的条件
下 ,应用空间坐标仪可以非破坏性地对作物群体进行
全生育期的定位监测 ,从而可研究作物群体结构的时
空变化规律 ,这与层切方法等传统手段相比无疑具有
很大的优势. 研究作物群体结构的时空变化规律 ,对研
究不同环境因素对作物生长的定量作用关系具有很大
的意义 ,对研究作物理想株型、农田生态系统的微气象
特征、遥感作物估产等也有着重大的价值. 而可视化技
术可提供更客观和更直观的手段来观察、研究作物群
体 ,无疑将会有越来越多的力量投入到这方面的研究.
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8 　Stewart , D. W. et al . 1993. Mathematical characterization of maize
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作者简介 　郭 　焱 ,男 ,1964 年生 ,博士 ,副教授 ,从事土壤2作
物系统模拟研究 ,发表论文 18 篇.
141 期 　　　　　　　　　　　　　　　郭 　焱等 :玉米冠层的数学描述与三维重建研究