全 文 ：!珠算与珠心算 #$%$& %
潘红丽 潘有发
现行小学数学课本四年级上册 ’!(介绍一种格子乘法。
在国外印度数学家婆什迦逻（)*+,-+.+%%%/—%%0!？）在以他
女儿命名的一部数学书———《丽拉娃蒂（123+4+52）》（%%!$年）一书
中，给出五种乘法，其中有一种被后人称为“格栅法”，因为这种
方法的计算图式，很象安在私人住宅窗户上的格删，有了它，过
路人就望不到屋里。
书中有一题为：
两目可爱如小鹿之爱女 123+4+52，以 %# 乘 %! 而得之数如
何？婆什迦逻的演算图式如下!
后来，生长在今伊朗境内的数学家阿尔 6 卡西（71 8 -+,92？
—%/#:7;或 %/<）在其所著的《算术之钥》（%/#(年）中，亦介绍
了这种格子乘法，在欧洲，%/(0年意大利特雷维佐（=.>.2,?）地
方印刷出版的一本商业算术书，%/:/ 年意大利数学家巴巧利
（’+@2?32%//!—%!%/）著作《算术 6 几何 6 比与比例》，也分别介绍
了这种格子乘法#
特雷维佐算术中的格子乘法图式
:/ A %/ B #:#(<
巴巧利《算术 6 几何 6 比与比例》中的格子乘法图式
:0( A :0( B :(/%<:
国内许多学者如在杜石然$钱宝琮（%0:# 8 %:(/）%梁宗巨
&和许莼舫（%:$(—%:法”是由阿拉伯伊斯兰国家传入的，只有陕西财经学院的李培业
教授提出是“我国所独创并非来自外国。”并提出四点理由。(
在国内，在目前现已发现的史料中，首次刊载这种格子乘法
的是明朝数学家夏源泽撰写的《指明算法》（%/:年），不是吴敬
的《九章算法比类大全》。《指明算法》称为“铺地锦”。“铺地锦”
者，故名思意，就是把我国传统的“锦”铺在地面上，进行计算之
意。这是一种在明朝社会上与珠算并行的广为流传的算法。是我
国独创。除夏源泽的《指明算法》外，还有吴敬《九章算法比类大
全》（%/!$ 年）、徐心鲁订正《新刻订正家传秘诀盘珠算法》（%!(
年）和程大位《算法统宗》（%!:# 年）等书，也都专门介绍了这种算
法。
我国古代用筹进行演算，在演算时，往往把筹置放在地面
上，早在《张丘建算经》卷下著名的“百鸡问题”其术文中，就有
“置钱一百在地”的说法)。在后来的《透廉算法》、《丁巨算法》
（%!$ 年）和贾亨《算法全能集》等书中，应用的更为十分普遍*
如《透廉算法》中有“置一铢直钱在地”、“置一斤直钱在地”、“置
有钱一贯在地”，《丁巨算法》中有“置钞在地”、“置都斤在地为
实”。《算法全能集》中有“置张客银在地”、“置都罗在地”、“置都
“铺地锦”史话
算 史 CD7ECFG
#
! 珠算与珠心算 #$%$& %
麦在地”、“置卖到银在地”、“置都米在地”等，这是把筹放置在地
面上进行运算。这说明“铺地锦”在我国有很悠久的历史，是由此
演变而来。
印度人从公元六世纪起，在铺满沙土的盘上利用位值制数
码进行四则运算，其运算方法与我国古代的置筹在地的筹算四
则运算方法十分相似，这是受我国古代筹算的影响。我国古代的
十进位值制记数法，整、分数记法及四则运算。三率法、盈不足
术、百鸡问题等可能都是经由印度传入阿拉伯伊斯兰国家的。当
时的一些历史学家把中国人称为“契丹（’()*)+或 ’(+*)+）把伊斯
兰算书中的 ), - ’()*))./”称为“契丹算法”
公元十三纪，这种“契丹算法”还曾传到欧洲。意大利数学家
菲波那契（0+12/)334%%5$？——— %#!$）《算盘书》（%#$# 年）中的第
%6章，讲的就是“契丹算法”。公元十五世纪，中亚数学家阿尔卡
西《算术之钥》（%#5年）中的整、分数四则运算，开平方、开立方、
高次开方、开方作法本源图、百禽问题等都直接受到了中国的影
响，或是由中国传入印度，再由印度传入中亚伊斯兰教国家，间
接地受到中国的影响。
夏源泽的《指明算法》原本已失传。在清朝初年，有金陵
（南京）郑元美校正以文居刊本和康熙五十五年（%5%7 年）王
认庵校正福州集新堂刊本。两种刊本，流传至今。但一般人很
难见到，原书现藏日本，国内只有少数专家有抄本。另外，在明
朝刊刻出版的另外三种算书《书算玄通》、《算法便览》、《精采
算法真诀》中，载有并注明“铺地锦指明图说”字样，这显然是
引自《指明算法》。这三种书分别是三部大型丛书中的一卷，未
署作者及刊刻年代，内容比较简单，大体相同。算盘图式为梁
上二珠，梁下五珠，似出同一祖本。日本儿玉明人将其列入《十
六世纪末明刊の珠算书!》。%88 年 6 月，山东人民出版社出
版靖玉树编勘《中国历代算学集成》，将其列入中册影印出版
。但字迹漫漶不清，刻印讹字较多，十分难认。三书中的“铺
地锦”文字内容几乎完全相同。图式有格眼，与吴敬《九章算法
比类大全》（%!$ 年）卷首“乘除开方起例”中的“写乘”图式完
全一样。并对“铺地锦”的用途，计算方法作了详细说明。由于
流传不广，刻印较少，材料十分珍贵，现依《精采算法真诀》并
对照其他二书，引录全文如下：
铺地锦 歌曰
数代因乘法更奇，铺地锦名捷径篇。
置实先当横上位，但为法者右傍添。
纵横格定仍科界，九九相因上下亭。
遇十须施斜格上，从单即向下层宣。
数来单子作成数，有十还当赶向前。
算者从斯能触数，厘毫丝忽不差焉。
此法算粮最捷。法置粮数从左至右列于图上 9为实 :，以每石
征银则列于右下（为法），与粮数相呼因之。因之毕，从右下角数
起，遇零数即书于图下；若有十数或二十、三十、四十即赶向前斜
格上。作零散算粮之法，莫善于此。其余交军需，物价求数；官民
田地山塘，求米麦；分物还原，算量田地，但是因乘者，俱仿于
此。
假有民米四十六石七斗九升三合六勺，每石价银五钱六分
三厘四毫六丝。问：共银若干？
答曰：该银二十六两三钱六分六厘三毫二丝一忽八微五纤
六尘。
此即：$; !<6< 两 = <; 586<石 > #<; 6<<6#%7!<
假如有民米二 ? # @十三石四升六合八勺，每石征银六钱四厘
八丝。问：共银若干 ? 6 @？
答曰：共该银一十三两九钱二分二厘一毫一丝 A九四四。
此即：$; <$$7 两 = #6; $<7石 > %6; 8##%%$8两
吴敬《九章算法比类大全》（%!$年）称为“写算”。自注云：
“先要画置格眼，将实数于上横写，法数于右直写，法实相呼，添
写格内，得数从下小数起，遇十进上，合问。”歌云：
写算先须仔细看，物钱多少在毫端。
就填图内依书数，加减乘除总不难。
吴敬共举出四个例题说明此法的应用。
例如：今有丝三千六十九两八钱四分，每两价钞二贯六百三
文七分五厘。问：该钞几何？
答曰：七千九百九十三贯九十五文九分
此即：6$<8; 7 = #; <$65! > 5886; $8!8
算 史 BCDEBFG
!!珠算与珠心算 #$#% $
今有米二斗 三升 四合
一钱一分
一分五厘
一厘五毫
二厘二毫
&复印自徐心鲁订正 ’
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钱 分 厘 毫
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吴敬的演算图式为：
公元 $!+. 年，徐心鲁订正的《盘珠算法》卷上，提到一种原
始的未画格眼的“铺地锦”算法。“铺地锦”者，即将锦铺在地面
上，用筹在上面进行运算也。这与印度婆什迦逻的“格子乘法”是
截然不同的。算注云：“不同算盘，而因乘见总。”
题目为：今有米二斗三升四合 0 / 1，每斗要银五分五厘。问：
银多少？
图式可横写如下：
（以实因）法曰：二五一十，二五一十，三五一五十五，三五一
十五，四五二十，四五二十。
此 即：
与杨辉《乘除通变算宝》卷上“相乘六法“中的”“相乘”法相
同。术曰“实位居上，法位居下，以法尾顶实首位非顶首位，是顶
所乘之位也。0 ) 1详尾位之数，以定其实，法实相同，言十过法身，言
如对法身，临了就实身《详解》有注。”具体的演算细草是被乘数
置于上位，法数置于下位，法首对准实尾，先从被乘数的最高位
乘起，乘乘数的各位数字，再用被乘数的次位，末位乘乘数的各
位数字，随乘随加，言十过法身，言如对法身，临了就实身。本质
上，与现代的乘法算式，除所用数码不同外，并无多大差别。
元朱世杰《算学启蒙》卷上纵横因法门的计算方法与此十分
相近，纵横因法歌云：
此法从来向上因，但言十者过其身，
呼如本位须当作，知算纵横数目真。
术曰：列物数（被乘数）在上，各以价钱，从上因之，即得。
程大位（$!..—$)#)）在《算法统宗》（$!2 年）卷十七指出：
“写算，即铺地锦”歌曰：
写算铺地锦为奇，不用算盘数可知。
法实相呼小九数，格行写数莫差池。
记零十进于前位，逐位数上亦如之。
照图画式代乘法，厘毫丝忽不须疑。
入清以后，铺地锦仍在流传，西洋纳皮尔（34 56789:$!!#—
$)$+）筹算也随之传入中国。
公元 $)$+ 年，英国
数学家纳皮尔对国外中
世纪流传的格子乘法进
行了改进!，在《计算用
筹》一书中，公布了他改
进的筹算。这种算筹是将
$——— 2 的自然数及其倍
数分别列置在九根算筹
上，另备一空筹和平方
等，用以计算开方。公元
$)/!年汤若望（396;<=6;
>?@6AABC;D9AA $!2$ —
$)))）， 罗 雅 谷
（36?EF9GH@C $!2.—$).*）
在进呈的《西洋新法历书》中，增加了《筹算》和《筹算指》各一卷
，首次将纳皮尔筹算介绍到中国来，现北京故宫博物院藏有多
付纳皮尔算筹。$)+.年，数学家方中通（$)./—$)2*）在《数度衍》
卷四对这种筹算进行了详细的介绍#。$)+*年梅文鼎撰《筹算》
二卷$自序云：“《（西洋新法）历书》出，乃有筹算，其法与旧传铺
地锦相似，而加便捷。又昔但以乘者今兼以除。且益之开方诸率，
可谓尽变矣。但本法横书，彷佛于珠算之位，至于除法，则实横而
商数纵。颇难定位。愚谓即用笔书，宜一行直下为便辄。以鄙意
改用横筹直写，而于定位之法尤加详焉。俾用者无复纤疑，即不
算 史 >I<5>JK
! 珠算与珠心算 #$%$& %
敢谓兼中西两家之长，而于筹算庶几无憾矣。”“筹算有数便：奚
囊远涉。便于佩带，一也。所用乘除，存诸片楮，久可复核，二也。
斗室匡坐，点笔徐观，诸数历久，人不能测，三也。布算未终，无妨
泛应，前功可续，四也。乘除一理，不须歌括，五也。尤便习学，朝
得暮能，六也。”%’(( 年，戴震（%’#(—%’’’）撰《策算》!卷。戴震
说：“以九九书于策，则尽乘除之用，是为策算。策取可书，不曰
筹，而曰策，以别于古筹算，不使名称相乱也。策列九位，位有上
下。凡策或木或竹皆两面。一与九，二与八，三与七，四与六，共策
五之。一面空之为空策，合五策而九九备。如是者十，各得十策，
别用策一，列始一至九，各自乘得方幂之数为开平方策，算法虽
多，乘除尽之矣。”
戴震之后，数学家许桂林（%’’)—%)#%）在《算牖》（%)%% 年）
卷二中说：“筹算用筹，，筹以牙、木、铜、纸为之皆可。每筹九
位，每位上下作半圆界之⋯⋯⋯筹算后出而愈便，窈观笔算与铺
地锦相似，其除法胜铺地锦而不如筹，其乘法似尚不如铺地锦之
明便，筹算则罗雅谷旧法，本用直筹，甚与铺地锦相似，梅先生改
用横筹，作半圆界，精巧简妙，乘除并省。”说明纳皮尔筹算“精巧
简妙，乘除并省。”与我国的铺地锦相似，是由格子乘法或我国的
铺地锦演变而来。并在卷四专门介绍“铺地锦”算法。清朝数学家
张豸冠，则提出不同的看法，他在《珠算入门》（%)%$年）“珠算兼
筹说”节中说：“筹算、笔算虽雅，而迟速殊焉⋯⋯不若珠算之辩
析毫厘⋯⋯第诸算之中，固以珠为便捷矣。”#清朝还有许多数
学家编撰出版了许多筹算专著，如王阐锡（%#)—%)#）《筹算》
一卷，瑞诰《筹算浅说》（%)*!年）一册，劳乃宣（%)(+—%*#%）《筹
算浅释》（%)*’年）二卷，《筹算蒙课》（%)*)年）一卷，王贞仪
（%’)—%’*’）《筹算易知》一卷等。解放以后，国内有不少人提倡
筹珠联合，改革算具。%*!(年，华印椿（%)*—%**$）著《大众速成
珠算》（立信会计出版社）。%*!’ 年余介石（%*$—%*)）著《筹珠
联合使用法》（中国财经出版社）由于不切实用，所以很快停止。
现在只有笔算珠算盛行。
主要参考资料
, % -见日本长泽龟之助（%)$—%*#’）原著。薛德炯、吴载耀
译《算术辞典》.%#，上海新亚书店，%*+! 年
美 /伊夫斯著、欧阳降译《数学史概论》.#%。山西人民出版
社，%*)年 + 月
, # - , -梁宗巨（%*#(—%**! 年）《世界数学史简编》.’*，辽宁
人民出版社，%*)%年 ) 月
, + -见卡约黎（0123456（%)!*—%*+$）著，曹丹文译《初等算学
史》.%$，商务印书馆，%*+’ 年 %# 月
钱克仁《数学史选讲》.#)—+#，江苏教育出版社，%*)*年 %
月
, ( - 杜石然《试论宋元时期中国和伊斯兰国家间的数学交
流》载《宋元数学史论文集》，科学出版社。%* 年 #月
, ! -钱宝琮《中国数学史话》.%$)，中国青年出版，%*!’ 年 %#
月
, ’ -许莼舫《中国算术故事》，中国青年出版社，%*# 年 %月
, ) -李培业《铺地锦探源》载《数学史研究文集》第四辑，内蒙
古大学出版，台湾九章出版社，%**+年 ’ 月
, * -见《张丘建算经》卷下
, %$ - 任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》中郭书春主编
《数学卷》第二册影印，河南教育出版。%**+ 年 月
, %% -见儿玉明人《十六世纪末明刊の珠算书》东京富士大学
短期出版部，%*$年
, %# - 见靖玉树编勘《中国历代算学集成》中册，山东人民出
版社。%**(年 + 月
, %+ -李约瑟（3778/9:%*$$—%**!）《中国科学技术史》第三
卷 .%!)，科学出版社，%*’) 年 ’月
,%(-李迪《中国数学史简编》.#+(辽宁人民出版社。%*)(年 !
月
, %! -见$
, % -见承学堂本《宣城梅氏丛书辑要》
, %’ -见 %)* 年秋上海鸿宝斋石印本《算经十书》
, %) -见 , %# -
,%* -华印椿（%)*—%**$）《中国珠算史稿》.’(，中国财经出
版社，%*)’ 年 %# 月
作者单位：黑龙江省克山县财政局
黑龙江省克山县第四中学
算 史 ;<9=;/>