全 文 ：应用生态学报 年! 月 第 卷 第 ∀ 期
#∃ % & ∋ ( ) ∃ ∗ ( + + ),− . − / ∃ )∃ 0 1 , . 2 2 3 , 4∀ 5 6 7 一7 8
) 9 : ;<=;> 、崔一) ?≅ < 9 Α 种群增长模型理论
及实例拟合比较 Β
黄晋彪 张根海 吐海市水产研究所 , 上海 6 Χ 7 7 5
,
【摘妻 本文求出了,# 9 : ;< =; >方程 、 崔 一)? ≅ <9 Α 方程的速度 、 加速度方程 3 )9 : ;< =;> 方程在加速度
等于零时的增长拐点只能在Δ Ε !处 , 此时的最大增长速度为拼6 Δ Ε ∀ , 崔一 ) ?≅ <9 Α 方程在加速度等于
零时的增长拐点在Δ Ε4 侧『 十 5 处 , 此时的最大增长速度为拜。Δ 八了『 Φ 5留 3 通过Γ的变化 , 在 描
述种群增长规律时 , 崔一) ? ≅ 6 9Α 方程可优于 ) 9 :; <= ;> 方程 3 本文还用变步长坐标轮换法对两个方程进
行实例拟合比较 , ) 9 : ;< =;2 方程还比较了 0 ? Η <。、 ( Α Ι ϑ 2≅ ? ϑ=Κ ? 、 Λ ?Μ 、 Ν 2? ϑ Ο、 Δ ϑ2 Γ < 、 万昌秀、
王莽莽等人的方法与结果 ,” ! 】3 拟合结果表明 , 崔一) ?≅ <9Α 方程最优 , 在拟合) 9 :; <= ;。 方程的各
种方法中 , 本文方法较优 3
关盆词 种群增长 理论比较 实例拟合
/ 9 Π Ν ? ϑ ;< 9 Α 9 Θ =Κ2 9 ϑΜ ? Α Ι 2 ? 6 2 Θ;= =;Α : Γ 2 =≅ 2 2 Α ) 9 : ;<=;> ? Α Ι / Η Ρ一) ? ≅ < 9 Α +9 Ν Η Ρ? =;9 Α
;Α 2 ϑ 2 Π 2 Α = Π 9 Ι 2 Σ 8 3 Τ Η ? Α : # ;Α Γ ;? 9 ? Α Ι Υ Κ ? Α : 0 2 Α Κ ? ; 4ς Κ ? Α :Κ ? ; ∗ ; 6 Κ2ϑ ;2 < & 2 < 9 ? ϑ 2Κ ,Α < Ω
= ;= Η =2 , ς Κ ? Α :Κ ? ; ! ∀ 7 75一# · (+ ,3 − 2 9 Ρ3 , , 4∀ 56 7 一 7 8 3
,Α =Κ ;< +? +2 ϑ , 2 Ξ Η ? =;9 Α < 9 Θ Ι = Ε Ι Ψ ? Α Ι Ι ΨΕ Ι ￡召 9 Θ ) 9 : ;< = ;2 ? Α Ι / 吸卜 )?≅ < 9 Α Π 9 Ι 2 Ρ< ?此2 ? Ρ2Η Ρ? =2 Ι 3 Ζ Κ 2 Α Ι Υ [ Ε Ι = Υ ∴ 9 , =Κ 2 ;Α >ϑ 2 Π 2 Α = =Η ϑΑ ;Α : 加 ;Α = 9 Θ )9 : ;< =;2 2 Ξ Η? = ;9 Α >? Α 9Α Ρ了
8 ? = =Κ 2 Ν 9 ;Α = 9 Θ Δ Ε ! ? Α Ι =Κ 2 Α Π ? [ ;Π Η Π ] ? ⊥Η 2 9 Θ Ι ΨΕ Ι 才 8 协6 Δ Ε ∀ ,职 Ι 2 ϑ = Κ 2 Ρ < ? Π “ >9 Α Ω
Ι ;= ;9 Α , =Κ 2 ;Α 2ϑ 2 Π 2 Α = =Η ϑ Α ;Α : +9 ;Α = 9 Θ / Η ;一) ?≅ 6 9 Α 2 Ξ Η ? = ;9 Α Ρ;2 < ? = =Κ 2 +9 ;Α = 9Θ
Δ Ε 4侧 Γ Φ ;5 ? Α Ι =Κ 2Α =Κ 2 Π ? [ ;Π Η Π ] ? ΡΗ2 9 Θ Ι Ψ Ε Ι = 8 林2 Δ Ε 4召 Γ Φ 5君。 _Κ ϑ9 Η 沙 =Κ 2 ] ? ϑ Ω
;? = ;9 Α 9 Θ Γ , = Κ‘ / Η ;一)?≅ ￡9 Α 2 Ξ Η? = ;9 Α Π ?Μ Γ 2 < Η Ν 2 ϑ ;9 ϑ =Κ ? Α =Κ 2 ) 9 : ;< =;2 ≅ Κ 2Α =Κ护Μ ? ϑ 2
Η < 2 Ι = 9 Ι 2 <>ϑ ;Γ 2 =Κ 2 ⎯ ?≅ 9 Θ +9+ Η ⊥? = ;9Α ;Α >ϑ 2Π 2 Α = 3 α Μ ? Ι4Μ+ =讯 ‘: =Κ 2 Π 2=Κ 9 Ι 9 Θ ϑ 9 =? =;Α :
29ϑ Ι ;Α ? = 2 ≅ ;=Κ >Ρ ? Α : ;Α : Ρ‘Α : =Κ 9 Θ +? 2 2 , 29 Π +? ϑ ;< 9 ϑ; 台 Γ 2 =≅ 22Α 亡?‘2 Θ;== ;Α : < ‘Θ =Κ 2 < 2 =≅ 。2 Ξ Η ? = ;9 Α < ? ϑ 2 Π ? Ι 2 3 ) 9 : ;<= ;2 2 Ξ Η ? = ;9 Α 8 ? Ρ<9 29Π +? ϑ 2 Ι ≅ ;=Κ 0 ? Η < 2 , < , ( Α Ι ϑ 2≅? ϑ =Κ ? , < ,Λ ? Μ ‘ < , Δ ϑ 2Γ < , < , Ζ ? Α /Κ ? Α : [ ;9 Η ‘ 8 ? Α Ι 习β ? Α : Λ ? Α : Π ? Α : ‘ 8 Π 2= Κ 9 Ι < ? Α Ι ϑ 2 < Η Ρ= < · ∗ ;= =;Α :
ϑ 2 < Η Ρ= < < Κ9≅ =Κ ? = / Η ;一) ? ≅ <9Α 2 Ξ Η ? = ;9 Α 8 =Κ 2 Γ 2 < = ? Α Ι ? Π 9Α : =Κ 2 、Π 七=Κ 9Ι < 9 Θ Θ;== ;Α : ) 9 Ω
: ;< = ;2 2 Ξ Η ? =;9 Α , =Κ 2 9 Α 2 Ι 2 <>ϑ ;Γ2 Ι Κ 2 ϑ2 8 Γ 2 ==2 ϑ Ω
Δ 2 Μ ≅ 9 ϑ Ι < +9 +Η Ρ? =;9Α ; Α 2 ϑ 2 Π 2 Α = , _ Κ 2 9 ϑΜ >9 Π +? ϑ ;<9 Α , / ? <2 Θ;== ;Α : ·
,
前 言
众所周知 , 种群在有限空间 内呈 ς 型 增
长 , 随着种群数量的增加 , 其增长 缓 慢 或 停
数学模型 6
Ι Ψ
Ι = 环
6 Ψ 4 Δ 一 Ψ3一一一户获不一一一一Ω 少八 4 5卜
止 , 最后在某一数值上下波动
) 9 :; <= ;> 模型几乎是描述种群
· 多年来 ,
ς 型增长的唯一
其中Δ 为环境许可的种群最大密度 , 拼6 为
增殖速度参数 , Ψ 为 = 时的种群数量 3
方程的积分解为 6
Ψ
3 本文承 象上海水产大学翁秉义 、 邢华 良副教授指 教 ΡΑ Ψ 。
一 , Α 4 Δ 一 ΨΔ 一 Ψ 。 歹
在此一并致 谢。
本文于 匀。年 ∀ 月 χ 日收到 。 二 拼乙4= 一 = 9 5 4 ! 5
# 3 ( + ,3 − >9 Ρ3 , 6 ∀ 4 5
7 ! 应 用 生 态 学 报 卷
上式展开、 整理得 6
Ψ 二 Δ 八 Φ 2 Χ 6 =。一 ,Α Ψ 9 Φ ,Α 4Δ 一 Ψ 。5 一 Χ 6 = 5
设 。 二 Χ 6 矛。一 ;Α [ 。3 Φ ;Α 4哀一 [ 汁 ·
) 9 : ;< =;2方程为 6
4 7 5
,
’ 则
Δ
Φ 2 ? 一 拼‘云 4 ∀ 5
近年来 , 崔启武 、 )?≅ <9Α 从营养动力学
出发提出了一个新的描述种群 ς 型增长的数学
模型 6
Γ , 从公式推导时的生物学意义上理解应在。一
之间 3 当 Γ ∴ 时 , 即得式 4 ∀ 5) 9 : ;<=;2 方
程 , 当Γ 二 ∃时, 设Ψ 。 ∴ 2 一 ‘ , 即得指数方程 6
Ψ ∴ Ψ 。 2拜。亡 4 5 Ω
比较) ∃:; <= ;> 、 崔 一 ) ? ≅ <9Α 方程及其速度
4Ι Ψ Ε Ι= 5 、 加速度·4Ι “Ψ Ε Ι = ’5方程 , 可以更
清楚地了解两者之间的差异 3
) 9 :; <= ;> 方程的速度 、 加速度方程 6
Ι Ψ
Ι =
林6 Δ 2 ? 一 拌6 =
4 Φ 2 ? 一 “乙亡5“ 4 5
Ι Ψ 二Ω 丁 Χ— 二 拼/人? 不
一 Ψ Ε Δ , Ψ Ε Δ 了 4Δ , δ Δ 5 Ι
“Ψ
Ι =Υ
!拜老Δ 2 Υ? 一 !拜6 亡
4 Φ 2 ? 一 林6 =5 7
4 8 5
其积分解是 6 拼孟Δ 2 ? 一 ,
6 6
4 Φ 2 ? 一 拜石= 5“ 4 5
Ψ , ε ε Δ 一 ΨΡ工又一 一 , 灯 φ 2< , 二二了ϑ? 2 2< 2< 二二, Ω人 。 入 一 大 。 崔一) ?≅ <9Α 方程的速度 、 加速度方程 6Δ 一 Ψ
’ Δ 一 Ψ 。
Ι Ψ
Ι =
拜。 4Δ 一 Ψ 5 Γ
Γ 4Δ 一 Ψ 5 Γ 一 ‘ Φ 2 ? 一 拌。亡Α, 3几尤一Δ,十
∴ 拼。 4= 一 =9 5 4 γ 5 4 ! 5
上式展开 、 整理得 , Ι
Υ Ψ ε 拼曹Γ 4Γ一 Ο 5 4Δ 一 Ψ 5” 一 ’州 一汤4Δ 一 [5 ‘一 ’ Φ 2? 一 Χ万
Ψ ∴ 4Δ 一 Ψ 5 ‘玉
一 Δ扭 ‘5
2 拜‘ = 9 Φ 4 一 Δ ΕΔ , 5,Α 4Δ 一 Ψ 9 5 一 ,Α Ψ 9 一 拌。忿 拜著4Δ 一 Ψ 5 吞〔2 ? 一 Χ
2 =
一 Γ 4Δ 一 Ψ 5 Γ 一 ’〕
4 χ 5 〔Γ4Δ 一 Ψ 5 Γ 一 ‘ Φ 2 ? 一拌
。亡〕“
设 Γ 二 一 Δ Ε Δ 产 , 47 5
? 二 拼‘ =。 Φ 4Ρ一 Δ Ε Δ 尹5,Α 4Ψ 一 Ψ 。5 一 ,Α Ψ 。 ,
则 崔 一) ?≅ <9Α 方程为 6
, 4Δ 一 Ψ 5 Γ八 ∴—仑 一 砰> 4 η 5自崔一)?≅ <9Α 方程发表以后 , 对其学术问题曾有争鸣 , 并至今无实际应用报道 , 本文仅对) 9 :; <= ;> 与崔 一)?≅ <9Α 方程作部分理论比
较和实例拟合比较 3
! 理论比较
崔一 )?≅ <9Α 方程比) 9 :; <= ;> 方程多了参数
求出各自 Ι “Ψ Ε Ι= “ 二 ∃ 时的 = 值及 相 应
的 Ι Ψ Ε Ι= 最大值和原方程的增长拐点且作图
4图 Ρ5 。
从图 可 以看出 , 不管种群增长的实际途
径如何 , ) 9 :; <= ;> 方程只能得出增 长 拐 点 在
Δ Ε ! 处的结 论 , 其 时 Ι Ψ Ε Ι= 的 最 大 值 为
拜6 Δ Ε ∀ , 且呈对称分布 3 崔 一) ? ≅ <9Α 方程的生
长拐点在Δ Ε4 侧万 Φ 5 处 , 其时Ι Ψ Ε Ι= 的最大
值为 拌‘Δ Ε4 亿下 Φ Ρ5 “ , 由于 Γ的变化 , 其在
描述种群增长时优于) 9 :; <= ;> 方程 3
从崔 一)?≅ <9 Α 方程的推导原理可知 , γ 应
#, ( Ν +,· − 2 9 Ρ· , 6 ∀ 4 5
∀ 期 黄晋彪等 6 ) 9 :; <= 记、崔 一) ?≅ <9 Α种群增长模型理论及实例拟合比较
鲤住岁Ι = , Ι = Υ
Δ Ε !
拼忠
3 3 ⋯ ‘
一 , , 6 公3 Ε ,
纯数学模型 , Γ 只是它的一个指数参数 , 可大
于 , 此时方程可适用于更大范围 3
从上可知 , 在描述种群增长规律时 , 崔 Ω
) ?≅ <9Α 方程优于 ) 9 :; <= ;> 方程 , 但对其实际
应用至今只见过设Γ 二 Ε !时拟合格氏帐树高、
胸径生长的报道 【“7 3 其实 , 人为地设 Γ ∴ Ε !,
结果往往劣于) 9 :; ς七;> 方程 4表 ; 5 。
表 ) 9 :妇=; > 方理与Γ ∴ Ε ! 时的崔一)? ≅ <。。方理实例拟合
结果比较
, 3 3 ⋯ _?) 卜
3 , /∃ 功+? ϑ ;日9 Α 9 Θ >? <2 Θ;士=;Α : ϑ2 < Η Ρ=< 卜2饰2 2Α: ;< =;> ? Α Ι /Η ; 一) ?≅ < 9 Α 2 Ξ Η ? =;9 Α < ≅ Κ 2 Α Γ “ Ε !
胸 径. ;?坦以2ϑ Γ ϑ2?< =Κ2 ;:五=
鳄⋯, Σ ;·峨。 ι 。
Γ一叫壤!
玉劫斤一卜、暇叼
一!∀一‘#∀∃ 一只白主
古‘ 一二万斗七%&一讼∋&
叭且!勺日一介‘,一矛(活孟!
一‘口旧日滚)
∗ + ∗ , ,−不.
/ 01 压2 3
户 / 0 1瓜2 − 45 6 7 8 &9
残差平方和
1 : . ;
、下, < = 一
∗ 6
/厂屯厉 一卜3乡
产> / (‘1 了? 十 3
护3
。 ’ 刁
≅
≅
3
禅沪 ∀ 一口尸 ∀
∀ 沪
二∀ ‘尸∀ 争。 护 ∀分多二一一Α
残差平方和的大小是衡量拟合结果劣优的
最好标准 , 从表 Β 可知 , 该例中Χ 8 7 ΔΕ6 ΔΦ 方程
优于 ? Γ Β0 . 时的崔一 Χ洲Ε8∃ 方程 ∀
Η 实例拟合比较
Η ∀ Β 参数求解的基本原理
为表达方便 , 把崔 一 Χ5Ι Ε 8 ∃ 方程写成下述
形式 ϑ
图 Β ΧΚ 7 ΔΕ 6 ΔΦ 、 崔 一Χ 5 ΙΕ 8 ∃ 方程曲线及其 ∗, 0 ∗6 , 山, 0 ∗护
方程曲线比较
ΛΔ 7 ∀ Μ 4Κ 哪5& Δ的∃ ? 6Ι ∃ Χ 8 7 ΔΕ6 Δ 5 ∃ ∗ 4 Ν Δ一Χ 5 ΙΕ8 ∃ Ν &Ο Ε 5 ∃ ∗ 63Δ Δ & ∗, 0 ∗ 6 , ∗) , 0 ∗云. Ν &Ο Ε ∀
, 二 Λ 16 > 5 ϑ ; Γ 1 5 > 一 , ; 5 )召口Η 一 5 一云
1 Π Γ Β , . , Η , Θ ;
用变步长坐标轮换法求解参数 5 ‘ ∀ 设 ϑ
么, ∀∀
·一 原方程 曲线 4Ν &Ρ Ε 8Π 8 &Δ 7 Δ∃ 53 Σ Ν 56 Δ8 ∃ ,·一 ∗ + 0击方程曲线 ∗, 0心 ΦΝ &Ο Ε ,— ∗ ) , 0 ∗6 )方程曲线 ∗ ), 0 ∗6 ) Φ Ν竹 Ε ∀5 ∀ Χ8 7峨ΔΦ 或崔 一Χ 5 Ι Ε8 ∃ 模型Χ8 7 ΔΕ 6 ΔΦ 8 & ΦΝ Δ一Χ 5Ι Ε8 ∃
也 8 ∗ 31 ? Γ ( ; ,
? ∀ 崔一Χ 5 Ι Ε 8 ∃ 模型 4Ν Δ一Χ 5邓 8 ∃ 助∗ 31 ? Τ 3; , ∀ 崔一Χ5姚 8 ∃ 模型 4Ν Δ一 Χ 5Ι Ε 8 ∃ Υ8 ∗ 31? ς ( ; ∀
Ω , , Ξ 二 Ψ −, Ζ 1 5 > 一 , ; 5 ϑ心5 Η 一 Κ 一6
6 > 二 1 5 一 Β[ Β ; 0 拜石 或 6 Δ Γ 1 5 一 Μ ∃ 3; 0拼。
‘. Γ ‘一 , ·〔万 1兴‘粉; , 一 , ,、·
在Κ一 Β之间, 但 当种群增长时的内外因素同公
式推导时的假设条件有悖时 , 方程只能理解为
1脚 Γ Β , . , Η 、 · ·⋯ > / “ − , . , Η ⋯ ⋯ ;
5
, Γ , 。 , Β , ∴ , Β
“ Γ Β , . , Η , 幻 , 二为, 中的最后一个 ;
第一次计算ϑ
目标函数 Ω ϑ , Ξ
初始点 衅
∀ ] ⊥ Μ ·Ψ 8 3· , Β ϑ Θ 1 Β _ _ [ ;
7 ∀ 应 用 生 态 学 报 卷
步长 ) , , Χ ∴ Ω
4Θ ∴ Ρ, ! ,
7
7 , ∀ 5
表 ! 醉母菌实验数据不同方法及模型拟合结果比较
_ ? Γ 3 ! /9 Π Ν ? ϑΡ<9 Α 9 Θ 2 ? < 2 Θ;==; Α : ϑ2 <Η Ρ=< Θϑ 9 Π
/ ? ϑΡ< 9 Α 2 [ Ν2 ϑ ;Π 2 Α =? Ρ Ι ? =? Η < ;Α : Ι ;ΘΘ2ϑ 2 Α = Π 2 =Κ 9 Ι <
3邢匡一者 5)?≅骡业一笔卿崔<9ϕ2Ξ一⋯类 别
/ ?= 2:9 ϑ Μ
计 算 者 /? Ρ2 Η Ρ? =9 ϑ
笔 者4 5莽∀5莽η王
4ς、#‘Γ 2曰‘ϑΔ4Ρ
? , 以 衅 为中心 , ) , , , 为步长 , 向两边搜
索 。 ? 、每走 步 , 则。 6 最少走 ! 步 , ? 7 最少走
∀ 步 , ? ‘最少走 η 步 3 每步都用其_ Ρ , 6 同衅所
对应的 _ , ,韶作 比较 , 若 _ , , 6 κ _ 6 , 。兮, 则令
_Ρ ,Δ 为 _ , , 。兮, 所对应的 。‘ 为 。卜 重复上述
计算 3
以? 6走完以衅为中心的 ! 步为 周, 直至
第 , 周时_ 6 , 6 中的最小值 _ , , Π Χ 。 δ _ Ρ , 。兮时 , 第
一次计算结束。
第。次计算 6
目标函数 _ 二 ,Δ
初始点 上次求得的? ,
步长 ) 二 , , 二 3 γ η) 4二 一 , 5 , ,
计算同上次 , 直至) 二 , 6 κ , 3 ! , 3 ! ,
3 时 , 计算结束 , 其时的 ? 牙即为所求 之
参数 3
) 9 :; <= ;> 方程参数求解原理同上 3
7 3 ! 实例拟合比较
根据上述原理 , 用α ( <, /语言编制程序 ,
并在 +/ 一Ψ _ 型微机上通过实例运行 3 在运行
时只需输入数据个数 , 运行结束 , 打印机即输
出实例的崔 一 )?≅ <9Α 方程和) 9 :; <= ;> 方程及其
残差平方和 4用8 ! 表示 5 3
对 /?ϑ Ρ< 9Α 4 75 培养酵母菌的实验数据
和 0 ? Η <2 4 7 ∀ 5 的草履虫实验数据 = ‘’ , 用崔
一 ) ?≅ <9Α 方程和) 9 :; <= ;2方程的各种不同方法
拟合的结果比较见表 ! 、 表 7 3
从表 ! 、 表 7 中可以看出 , 崔一 ) ? ≅ <9Α 方
程的残差平方和最小 3 在求解) 9 :; <= ;> 方程参
数的各种方法中, 作者方法的残差 平 方 和 较
小 , 其它只有麦夸方法近似作者方法 。
从上可知 , 无论是理论推导还是实例拟合
比较Χ, 都表明崔一 ) ?≅ <9 Α 方程 优 于 ) 9 :; <= ;>
方程 。
计算结果
& 留Η Ρ=< +2 ? ϑ Ρ4 ! χ 5
Δ
?
林
Γ
残差平方和
48 ! 5
γ γ 8
∀ 。 η γ
。 8 7 8 8
γ γ !
∀ 。! χ 8 η
3 8 ∀ χ 8
γ γ !
∀ 。 ! η η
3 8 ∀ η
γ γ∀
∀ 。 ! χ γ γ
3 8 ∀ 7 γ
3 γ
八#
巴#八乙曰哎∃‘九匕6∃%一∃通Α9口
∀ 讨 论
∀ 3 崔 一 ) ? ≅ <9Α 方程的应用前景
从本文的实例拟合结果可知 , 崔 一)?≅ <9 Α
方程虽优于) 9 :; <= ;> 方程 , 但其参数 Γ 离 甚
近 , 故可以认为 6 一般情况下种群增长的拐点
在Δ Ε !附近 , ) ∃:; <= ;> 方程仍不失为描述种群
增长的有效模型 。
崔 一) ?≅ <9Α 方程从纯数学模型角度理解 ,
参数 Γ 可在 一 >9 一 Φ >9 之间, 故除可描述种群
增长外 , 还可描述其它各种生物的 , 非生物的
ς 型增长 3 8 型增长在自然界及现实生活中并
不罕见 , 崔一) ?≅ <9Α 方程有 着 广 泛 的 潜 在
用途 。
∀ 3 ! 本文方法中的几个问题
∀ 3 ! 3 本文方法从其基本原理上理解 , 对于趋
向一个最小值的目标函数 , 初始点的不同能影
响计算次数而难以影响最后结果 , 但因本文中
的目标函数并非平滑地趋向最小值 , 故计算结
果就有陷入局部最小值的可能 , 但只要一周计
算中的任一 ? 6 有一步不在局部最小 , 即行以原
步长重新计算一周 , 故其可能性很小 3 若对计
算结果有怀疑 , 可在原基础上重定步长计算 ,
直至得到同一结果 。
祠3
# 3 (+ ,3 − >9 Ρ 3 , 6 ∀ 4 5
∀ 期 黄晋彪等6 ) ∃ :; < =; 。、崔一) ?≅ <9 Α种群增长模型理论及实例拟合比较 7肠
衰 7 草妞虫实脸数据不同方法及娜理推合绍果比较
_ ? Γ 3 7 > 9 3 Ν? ϑ ;< 9 Α 9 Θ 2? < 2 Θ盆==ΡΑ ‘ ϑ 2<Η 一=< ϑ9 Π 2 ? Η < 2 2[ Ν 2 ϑ<Π 2 Α =? Ρ Ι ? =? Η < <Α : Ι;ΘΘ2 ϑ 2 Α = 3 2 =Κ 9 Ι <
类 别 崔
一) ? , 唱9 Α 方程
/? =2 : 9 ϑΜ )9 : 地=;> 方程 )9 :坛=;2 2妙 ?= ;9 Α / 3 卜加≅朗山一“φ 甘 ι 卜2州物 ‘
计算结果 计算者及所用方法 /
? Ρ>Η Ρ?= 9ϑ ? Α Ι 也以五9 Ι 始2Ι
& 留Η Ρ=<
0 ? Η< 2
4 7 ∀ 5
目 侧 法
( Α Ιϑ 2 Ω
下3 ϑ =五?4 8∀ 5
平均值法
Λ?Μ
4 χγ 5
目 浦 法
万昌秀
4 η 5
枚举选优法
王莽莽
4 台∀ 5
麦 夸 法
笔 者4 5变步长坐
标能换法
笔 者
4 5
变步长坐标转换法
∀ 8
γ 。 ∀
Σ ! !
∀ ∀ 7
8 。 γ η 盆
。 ∀ 8
∀ ∀ η ∀ ∀ η
。 η χ
。 η ∀ η
η ! γ
η γ
∀ ∀
7 。 η !
。 χ 8
。
Δ口朴Γ一环4,5
残差平方和
4名3 5 7 7 7 !∀ 7 η γ∀ η γ∀ η 8 7
! ∀
8 。
。 ∀ γ
! ∀
8 。 ! !
。 8 ! η∀
! ∀ ∀
∀ 3 !8 !
! 7 χη
! ∀ ∀
∀ 。 ! γ 7
3 ! ∀ 8
! ∀8
∀ 。! γ !
。 ! 8 χ
。 η ∀ 8
Δ?林Γ半环4,5
残差平方和48 3 5 !仑 ! γ ! ! 7 γ χ ! 7γ γ ! ! χ8
4一日。3月3超灿告氏飞卜洲书‘,口
4聋撼公工日。3 贷53喃!灿兰驻∃咐5发客认
一 ⎯ α环 − 5
、 Β Η % ΒΗ − Β Η Β
Θ 。 . Β. Β
Β ∀ [ % %.
− Θ [
Η 。 β _ Θ
Β 。 [ Β :
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Θ 。 Β :β _
Β 。 [ Β ∴[
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Θ ∀ [ Β[ Β
Β 。 ΒΘ ΒΘ
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Β ∀ [ : _ %
Η 。 % [ % _
Β ∀ [ : %.
Β Η Β
Η 。 % Β Β_
Β 。 [ % Β.
Β 。 [ [ ∴β
Δ 68∀Μ‘3 Ι 二Ι 民3−一⋯
拼∀[1Μ;
一日璐∀[
残差平方和
1δ ϑ ; . β ∴β Η Β Ββ Η Η Η β . . Θ : . .. . . . . . . Β_ Β
∴ Θ ∴ : ∴ : : _ ∴ [ ∴ [
。Θ ΗΘ [
。 % _ Θ Θ
。 Β β :
。 β : :
。 Θ : [
。 β : :
. [ β ∴
习Η % _
∀ β Β _ [
。β . 王#
。 β Β [ Η
。 β Β ∴ %
∴ Β
. 。β [ ∴ Β
[ 。β ΒΗ :
Μ 。 [ Ββ [
,臼[
α5林?半环ε万;
残差平方和
1 δ ϑ ; Β Η Β β Β. Η Η Β .β Β _ % Β _ : ∴ _ : ∴ _ Β_
#−驻器节⊥∃。∀∗如卜渭们Ν月,口ε卑暇名一日ϑ。攀;驻∃甘⊥∀山
少
Θ ∀ . ∀ . 本文得出的参数估计值只是依赖于步长
的条件最优值 , 而不是最后最优值 , 步长越小 ,
条件最优值越向最后最优值靠拢 。
Θ ∀ . ∀ Η 本文方法可适用于求解能找出目标函数
的其他各种曲线参数 , 就是对于目标函数有多
个最小值 1或最大值 ; 的非线性曲线 , 也可以
用不同初始点、 步长反复计算 , 得出多个局部
最优值 , 通过比较得到条件最优值 ∀
Θ ∀ . ∀ Θ 根据本文方法编制的 φ ] δ Μ4 语言程序
在计算机上实现拟合十分方便 , 随着微机的日
益普及 , 崔 一 Χ5Ι Ε 8∃ 方 程 必将走向实用化 ∀冲
主要, 考文做
万昌秀 、 梁中宇。 Β _β Η。 逻辑斯谛曲线的一种拟合方
法 。 生态学报 , Η 1 Η ; ϑ . : :一) 5‘∀
王莽莽 、 李典漠∀ Β_ β ∴ ∀ 田麦夸方法最优拟合逻辑斯
谛曲线 。 生态学报 , 右1 . ; ϑ Β Θ .一 Β一% Ζ
王本楠 · Β_ β % ∀ 崔 一Χ5卿 ∃ 种群模型的显示解及拟合实例 , 生态学杂志 , ∴1 幻 > ”一 Η[’
、产一
· ] ⊥ Μ 一 Ψ Φ8 3· , Β > Θ 1 Β _ _ [ ;