全 文 ：吴亭. 一类离散 Leslic 捕食-食饵系统的捕获策略[J]. 生态科学, 2012. 31(1): 31-34.
WU Ting. Harvest strategy of discrete Leslic predator-prey system [J]. Ecological Science, 2012.31(1): 31-34.
一类离散 Leslic 捕食-食饵系统的捕获策略
吴 亭
闽江学院数学系 福建 福州 350108

【摘要】应用生物数学理论研究生态平衡与可持续发展是生态系统的一个热门课题. 在海洋渔业的捕捞过程中，既要保证生态
平衡，又要使捕捞收益最大更是海洋渔业关注的重要课题. 目前对离散系统的捕捞研究较少. 运用离散差分方程的稳定性理论，
讨论一类具有捕获的离散Leslic捕食-食饵种群的系统，获取正平衡点的局部渐近稳定的充分条件. 通过构造适当的Liapunov函数,
利用二元函数的泰勒展开式讨论正平衡点存在必全局稳定性的结果. 利用函数的极值判定法讨论在维持稳定捕获前提下的最优
捕获策略，来获取最优经济效益. 最后，通过一个适当的例子及数值模拟的说明主要结果是合理的. 给实际生产提供了理论依据，
具有一定的指导意义.
关键词 离散；捕食-食饵；正平衡点；经济效益
doi:10.3969/j.issn. 1008-8873.2012.01.007 中图分类号：O175.12, Q14 文献标识码：A 文章编号：1008-8873(2012)01-031-04
Harvest strategy of discrete Leslic predator-prey system
WU Ting
Department of Mathematics, Minjiang University Fuzhou, Fujian, 350108
Department of Mathematics, Minjiang University Fuzhou, Fujian, 350108, China
Abstract: The application of biological mathematical theory to the studies of ecological balance and sustainable development is a hot
topic of ecosystem. In marine fisheries catch process, not only is it necessary to ensure the ecological balance, but also to maximize the
biggest fishing benefits, an important issue which marine fisheries concern the most. At present, there are few researches on the catch of
small discrete systems. By applying the stability theory of discrete differential equations, we attempt to discuss the species with
harvesting discrete Leslic predator-prey system and obtain the sufficient conditions of the existence and partial stability of positive
equilibrium point. By constructing the Lyapunov function and employing the Taylor expanding of quadratic function, we find that if the
positive equilibrium exists, the system is globally and asymptotically stable. With the extreme value method, we explore the optimal
harvesting strategy under the premise of maintaining the stable harvesting so as to get the optimal economic returns. Finally, the
feasibility of the main results is proved by one suitable example together with its numerical simulations. The findings can provide a
theoretical basis and guidance significance for actual production.
Key words: discrete; predator-prey; positive equilibrium point; maximum profit

收稿日期：2011-11-21. 2012-01-10 接受
基金项目:福建省科技创新平台计划项目（2009J1007）资助.
作者简介:吴亭(1958.7—), 女, 福建，福州，副教授, 研究方向: 生物数学
Email：wuting723@tom.com
第 31 卷第 1 期 生 态 科 学 31(1): 31-34
2012 年 1 月 Ecological Science Jan. 2012

1 引言（Introduction）

目前对生态系统的持久性与稳定性[1-4]给出许多
研究成果；Korobeinikov A [5] 研究连续的捕食-食饵
系统（1），通过构造适当的李雅普诺夫（Liapunov）
函数，表明该系统唯一正平衡点具有全局稳定性.
 1 1 1
2 2
,
.
dH
r a P b H H
dt
dP P
r a P
dt H

  

    
  
(1)
由于生态系统本身是离散的，用差分系统描述捕
食-食饵系统更符合实际. 对渔业生产企业，如果进行
大量的捕捞，将会破坏生态系统的稳定性，杨海霞[6]
和李晓月[7]等人求最大值的方法分别研究离散竞争
系统和互惠系统在特定条件下的最优捕获策略. 本
文在考虑与Korobeinikov A [5] 相应的捕食-食饵离散
系统，并增加了捕获项，研究如下非线性密度制约的
离散Leslic捕食-食饵捕获系统：
 1 1 1 1 1
1 2 2 2
,
.
k k k k k k
k
k k k k
k
H H r a P b H H c H
P
P P r a P c P
H


    

 
    
 
(2)
其中
kH 和 kP 分别表示在 k 时段食饵和捕食者种群
数量，
1 2,c c 分别表示食饵和捕食者种群的捕获努力
量( 其中
1 1 1 2 2 2,c q E c q E  ， 1 2,q q 分别表示食饵
和捕食者种群捕获系数，
1 2,E E 分别表示食饵和捕食
者种群捕获量). 所有系数均为正，且
1 1r c ，2 2r c 。

2 平衡点的稳定性（Stability of the equilibrium
point）

2.1 正平衡点的存在性
为求正平衡点的稳定性，先给出下面的引理.
引理 1 [8.P204]. 若
a b
A
c d
 
  
 
，则系统
   1x n Ax n  零解是渐近稳定的充分必要条件
为
   
2 2
1 ad bc a d    ， 1 1ad bc    .
容易求出系统 (2) 存在唯一的正平衡点
 * *,Q H P .
其中
 
 
 
1 1* *
2 0 2 2 0 0
1 2 2 2 1
, , .
r c
H a u P r c u u
a r c a b

   
 

2.2 正平衡点的稳定性
定理 2.1. 当
      
2
2 2
1 2 0 2 2 1 0 2 2 2 2 1 2 01 b a u r c a u r c r c b a u       ，
   
2
1 0 2 2 1 2 0 2 21 1a u r c b a u r c      时，系统(2)
正平衡点  * *,Q H P 为稳定的平衡点.
证明. 对系统(2)的正平衡点  * *,Q H P ，作
平移变换： * *.,k k k kH H PH P P 
代入系统(2)，仍将  ,k kH P 记为  ,k kH P ，并线性
化简为

 
 
1 1 2 0 1 2 0
2
2 2
1 2 2
2
,
.
k k k k
k k k k
H H b a u H a a u P
r c
P P H r c P
a


   


    

(3)
令
 
2
2 2
1 2 0 1 2 0 2 2
2
, , ,
r c
a b a u b a a u c d r c
a

       
，则由引理 1 得出当：
      
2
2 2
1 2 0 2 2 1 0 2 2 2 2 1 2 01 b a u r c a u r c r c b a u      
   
2
1 0 2 2 1 2 0 2 21 1a u r c b a u r c      时，系统(2)
正平衡点  * *,Q H P 为稳定的平衡点.

2.3 正平衡点全局稳定性
定理2.2. 在定理2.1条件下，进一步假设：
若系统(2)存在正常数 和
in ( 1, 2i  )，使得
   1 2 2 01 2 22n na r c u r c     ，
32 生 态 科 学 Ecological Science 31 卷

      1 2 2 0 1 1 1 2 220 21 2a r c u r c a rn b u cn        ，
则系统(2)正平衡点是全局稳定的.
证明. 对系统(2)作变换
* *, kk k kHU H P PV   ，代入系统(2)，仍将
 ,k kU V 记为  ,k kH P ，将等式右端函数在平衡点
 0,0 处泰勒展开，得
  
 
 
 
 
1 1 1 1 2 2 0 1 2 0
1 2 0 1
2
2 2
1 2 2
2
2
2
, , ,
, , .
k k
k k k k
k k k k
k k
H H r c a r c u b a u
H a a u P f k H P
r c
P P H r c P
a
f k H P


      

 

 
    

 
(4)
则  0,0 是(4)的平衡点. 其中  ,k k kX H P ，
k k kX H P  . 当 0kX  时，
 , , /i k k kf k H P X 收敛于0，且关于k N 一致的
成立（ 1, 2i  ）. 则(4 )改写为
  
 
 
   
 
1
1 1 1 2 2 0 1 2 0
1
1 2 2
* *
* *
* * *
0
1
2 2 2 2
2
*
2
, ,
,
, ,
.
k k k
k kk
k k k k
k k
H H H
r c a r c u b a u
f k H P
H H
P
a r c u
P
P
P H P
r c r c
f k H P
H
P H P
P



    


  

     


 

(5)
定义 Liapunov 函数为：
  1 2* *,
k k
n n n
H P
V x y n n
H P
  . 由所给出正常数
 1,2in i  及条件，系统沿(4)解的差分为
 ,k k kV H P
      1 2 2 0 1 1 1 2 0 2 2 21 2a r c u r c nb a cn u r         
   1 2 2 20 21* *2
k kH Pa r c u n r
H P
cn    
   
1 2* *
1 2, , , ,k k k k
n n
f k H P f k H
H
P
P
 
由于当 0kX  时，  , , /i k k kf k H P X
（ 1, 2i  ）收敛于0，当 k 充分大时，存在正数 ，
有
2
k
n
X
V

   ，所以系统的 (4)平衡点  0,0 是
全局稳定的，从而系统(2)的正平衡点  * *,Q H P 是
全局稳定的.

3 最优捕获策略(Optimal Harvesting Policy)

不论是渔业公司还是渔民，在捕获各类鱼群时，
都必须考虑经济效益，既要考虑出售价格，也要考虑
投入捕获的经费. 假设最大捕获强度为
mc ，则
1 20 mc c c c    ，成本为 pc ，出售两种群的价
格为
1 2,p p . 所获取的经济利润为
1 1 2 2k kL p c H p c P pc   .
对正平衡点  * *,Q H P ，所获取的经济效益（即
利润）为
1 1 2 2L p c H p c P pc
   
  21 1 2 0 2 2 2 2 0 0 2 1p c a u p c r c u pc u p c     
   0 2 2 2 2 1 1 0 2 2 2 22u cp r p a p c u p c r c pc      ,
从一元函数微积分极值判定方法得：由
0 2 0A u p   ， L 存在最大值. 所以，当
 1 2 2 2 2 1 22 / 2c cp r p a p p   时，L 取得最大值为：
 
2
max 2 2 2 2 1 2 02 / 4L cp r p a p p u  
 0 2 2u p c r c pc  
3 应用举例(Application examples)

例4.1 取
1期 吴亭. 一类离散Leslic捕食-食饵系统的捕获策略 33

1 1 1 1 2 2 21.6, 0.7, 0.3, 0.8, 1, 0.3, 0.9r a b c r a c       ，
得到系统:

 1
1
1.8 0.7 0.3 ,
1.1 0.3 .
k k k
k
k k
k
H P H H
P
P P
H


  

 
  
 

通过计算，可得
   
2
1 0 2 2 1 2 0 2 21 0.01 1a u r c b a u r c       
与     
2
2
1 2 0 2 2 1 0 2 21 b a u r c a u r c   
 
22 2
2 2 1 2 00.99 0.955r c b a u     ，
由此验证了定理条件的可行性.如图 1所示：

图1 系统初始条件为  2.5,0.9 ,  1.5,0.6 ,  2.0,0.3 解的数值
模拟
Fig The initial conditions for the system  2.5,0.9 ,
 1.5,0.6 ,  2.0,0.3 Numerical simulation
5 结论（Conclusion）

本文针对离散Leslic捕食-食饵种群的系统，讨论
两种群都存在情况下，利用二元函数的泰勒展开式和
构造适当Liapunov 函数证明了系统(2)的全局稳定性，
针对于离散系统推广和改进了文[7-9]的证明方法，并
用数值模拟验证了结论的正确性；利用一元函数极值
判定法分析捕获产生最佳经济利润所需条件，对渔业
产商的生产发展，有一定的指导作用.

4 参考文献 (References)

[1] 吴亭. 非自治 Lotka-Volterra两种群合作系统的持久性[J].
科技通报, 2009，25(6): 743-746.
[2] 吴亭. 一类具有 Beddington-DeAngelis 功能反应的离散
竞争反馈控制系统的持久性与稳定性[J]. 闽江学院学报，
2010，31(2):16-20.
[3] 吴亭. 具有无穷时滞的Beddington-DeAngelis功能反应的
离散捕食者-食饵系统的持久性 [J].闽江学院学报，2010，
31(5)1-5.
[4] 吴亭. 基于比率依赖 Beddington-DeAngelis 功能反应的
离散 N-种群竞争-捕食系统的持久性[J]. 纯粹数学与应
用数学，2011，27(4):1-5.
[5] Korobeinikov A. A Lyapunov function for Leslie-Gower
predator-prey models[J]. Applied Mathematics Letters，
2001，14(6)：697-699.
[6] 杨海霞，孙志强，栗永安.离散的竞争生态系统的最优捕
获策略[J].重庆工学院学报(自然科学版)，2007，
21(5):67-70.
[7] 李晓月，柏灵，杨帆，范猛，王克.离散的互惠生态系统
的最优捕获策略[J]. 生物数学学报，2002，17(3):334-340.
[8] 王联, 王慕秋. 常差分方程[M].乌鲁木齐：新疆大学出版
社. 1991:275-292.
34 生 态 科 学 Ecological Science 31 卷