全 文 ：林业科学研究 ２０１６，２９（３）：３１７ ３２３
ＦｏｒｅｓｔＲｅｓｅａｒｃｈ
文章编号：１００１１４９８（２０１６）０３０３１７０７
大兴安岭不同区域落叶松相容性材积
方程及异方差研究
刘镜婷，姜立春
（东北林业大学林学院，黑龙江 哈尔滨 １５００４０）
收稿日期：２０１５０９１０
基金项目：十二五国家科技支撑计划项目（２０１２ＢＡＤ２２Ｂ０２０２）及国家自然科学基金（３１１７０５９１，３１５７０６２４）的部分研究内容
通讯作者：博士，教授，从事森林经理相关研究；Ｅｍａｉｌ：ｊｌｉｃｈｕｎ＠ｎｅｆｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
摘要：［目的］对不同区域立木相容性材积方程以及不同异方差校正方法进行详细对比分析，建立相容性材积方程
预估大兴安岭不同区域落叶松的立木材积。［方法］以大兴安岭３个不同区域的落叶松为研究对象，采用误差变量
联立方程组的方法构建不同区域立木相容性材积方程。采用非线性额外平方和的方法（Ｆ检验）进行区域性检验。
使用多种权函数分别对３个区域存在异方差的材积方程进行加权回归。［结果］表明：任何２个区域的立木材积方
程都有显著不同（Ｐ＜０．０００１），区域１和区域３的材积相差较大，区域２与区域１和区域３的材积相差较小。不同
区域立木材积方程的错误应用会导致较大的预测误差。在参数稳定性和评价指标方面，加权估计会优于普通最小
二乘估计。基于平均相对误差（ＭＲＥ）和总相对误差（ＴＲＥ），区域１（－０．１１、０．９７）、区域２（０．０４、０．０８）和区域３
（１０４、０．９３）的最优权函数分别为１／Ｆ（ｘ）、１／Ｄ４．９９、１／Ｄ３．３８。［结论］立木材积方程是森林调查和林分生长与收获
模型的主要组成部分，本文所构建３个区域的相容联立方程组模型预测误差均不超过±３％。建立相容性立木材积
方程时应考虑其异方差的影响。最优权函数没有统一的形式。为尽可能得到稳定的参数估计，在加权回归估计过
程中应选用多种权函数进行对比分析。
关键词：兴安落叶松；相容性；区域检验；异方差
中图分类号：Ｓ７１１ 文献标识码：Ａ
ＣｏｍｐａｔｉｂｌｅＴｒｅｅＶｏｌｕｍｅＥｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄＨｅｔｅｒｏｓｃｅｄａｓｔｉｃｉｔｙｆｏｒＤａｈｕｒｉａｎ
ＬａｒｃｈｉｎＤｉｆｅｒｅｎｔＲｅｇｉｏｎｏｆＤａｘｉｎｇ’ａｎｌｉｎｇ
ＬＩＵＪｉｎｇｔｉｎｇ，ＪＩＡＮＧＬｉｃｈｕｎ
（ＣｏｌｅｇｅｏｆＦｏｒｅｓｔｒｙ，ＮｏｒｔｈｅａｓｔＦｏｒｅｓｔｒｙＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５００４０，Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：［Ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ］Ｍａｋｉｎｇａｄｅｔａｉｌｅｄｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｓｉｎｄｉｆｅｒｅｎｔｒｅｇｉｏｎｓａｎｄ
ｄｉｆｅｒｅｎｔｈｅｔｅｒｏｓｃｅｄａｓｔｉｃｉｔｙｃｏｒｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ，ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｖｏｌｕｍｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｄｉｆｅｒｅｎｔｒｅｇｉｏｎｓ
ｆｏｒＤａｈｕｒｉａｎｌａｒｃｈ（ＬａｒｉｘｇｍｅｌｉｎｉＲｕｐｒ．）ｉｎＤａｘｉｎｇ’ａｎｌｉｎｇ．［Ｍｅｔｈｏｄ］Ｒｅｇｉｏｎａｌｄｉｆｅｒｅｎｃｅｓｉｎｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｓｗｅｒｅ
ｅｘａｍｉｎｅｄａｎｄｔｅｓｔｅｄｕｓｉｎｇｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｘｔｒａｓｕｍｏｆｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄ（Ｆｔｅｓｔ）．Ｗｅｉｇｈｔｅｄｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｗａｓｕｓｅｄｔｏｄｅ
ｃｒｅａｓｅｔｈｅｈｅｔｅｒｏｓｃｅｄａｓｔｉｃｉｔｙｏｆｖｏｌｕｍｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｔｈｒｅｅｒｅｇｉｏｎｓｕｓｉｎｇｖａｒｉｅｔｙｆｏｒｍｓｏｆｗｅｉｇｈｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．［Ｒｅｓｕｌｔ］
Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｄｔｈａｔｔｈｅｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｓｗｅｒｅｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙｄｉｆｅｒｅｎｔａｍｏｎｇｄｉｆｅｒｅｎｔｒｅｇｉｏｎｓ（Ｐ＜０．０００１）．
Ｔｈｅｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｉｎｒｅｇｉｏｎ１ｈａｄｔｈｅｌａｒｇｅｓｔｄｉｆｅｒｅｎｃｅｗｉｔｈｒｅｇｉｏｎ３，ｔｈｅｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｉｎｒｅｇｉｏｎ２ｈａｄｓｍａｌｅｒ
ｄｉｆｅｒｅｎｃｅｓｗｉｔｈｒｅｇｉｏｎ１ａｎｄｒｅｇｉｏｎ３．Ｉｎｃｏｒｅｃｔｌｙａｐｐｌｙｉｎｇｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｉｎｄｉｆｅｒｅｎｔｒｅｇｉｏｎｓｗｏｕｌｄｒｅｓｕｌｔｉｎｌａｒｇｅｒ
ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｅｒｏｒ．Ｗｅｉｇｈｔｅｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｗｉｌｂｅｂｅｔｅｒｔｈａｎｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｉｎｔｅｒｍｓｏｆｐａｒａｍｅｔｅｒｓ
ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｅｖａｌｕａｔｉｏｎｉｎｄｅｘ．ＢａｓｅｄｏｎＭＲＥａｎｄＴＲＥ，ｔｈｅｂｅｓｔｗｅｉｇｈｔｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅ１／Ｆ（ｘ），１／Ｄ４．９９，１／Ｄ３．３８
ｆｏｒｒｅｇｉｏｎ１（－０．１１，０．９７），ｒｅｇｉｏｎ２（０．０４，０．０８），ａｎｄｒｅｇｉｏｎ３（１．０４，０．９３）ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．［Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ］
林 业 科 学 研 究 第２９卷
Ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｔｒｅｅｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｉｓａｍａｊｏｒｃｏｍｐｏｎｅｎｔｏｆｆｏｒｅｓｔｉｎｖｅｎｔｏｒｙａｎｄｇｒｏｗｔｈａｎｄｙｉｅｌｄｍｏｄｅｌ．Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｅｒｏｒｓ
ｏｆｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｓｗｅｒｅｗｉｔｈｉｎ±３％ ｉｎｔｈｒｅｅｄｉｆｅｒｅｎｔｒｅｇｉｏｎｓ．Ｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｓｓｈｏｕｌｄｃｏｎｓｉｄ
ｅｒｔｈｅｐｈｅｎｏｍｅｎａｏｆｈｅｔｅｒｏｓｃｅｄａｓｔｉｃｉｔｙ，ａｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｗｅｉｇｈｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｔｒｅｅｖｏｌｕｍｅｍｏｄｅｌｓｄｏｎ’ｔ
ｈａｖｅａｕｎｉｆｏｒｍｆｏｒｍａｔ．Ｔｏｇｅｔｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｐａｒａｍｅｔｅｒｓｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ｄｉｆｅｒｅｎｔｗｅｉｇｈｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓｓｈｏｕｌｄｂｅａｎａｌｙｚｅｄｉｎ
ｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｈｅｗｅｉｇｈｔｅｄｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｌａｒｉｘｇｍｅｌｉｎｉ；ｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ；ｒｅｇｉｏｎａｌｔｅｓｔ；ｈｅｔｅｒｏｓｃｅｄａｓｔｉｃｉｔｙ
立木材积方程在森林资源调查、林业数表编制、
林分生长收获模型以及生物量研究等方面有着广泛
的应用［１－４］，因此立木材积的准确估计是材积方程
研究的首要问题。目前，国内外主要有２种立木材
积方程：１）一元或二元材积方程，模型拟合采用线性
或非线性回归［５－７］；２）二元材积方程和树高曲线方
程构建相容性联立方程组模型，采用误差变量联立
方程组方法得到参数估计［８－１１］。近年来，第２种方
法在国内外使用较多。相对于一元材积方程来说，
相容性模型不但能提高模型预测精度，还能减少树
高测定的外业工作。
立木材积方程普遍存在异方差现象，异方差的
存在会造成参数估计失效、变量的显著性检验不可
靠以及模型的预测失效等［１２－１３］，因此求解模型参数
时往往采用加权回归的方法来消除异方差的影响。
已有学者指出不同模型应有不同的最优权函数形
式，不能只是使用单一的权函数形式，应根据不同的
模型形式选择不同的权函数［１４］。目前，权函数的选
择方法主要有３种：１）普通最小二乘回归，相当于权
函数为１；２）采用自变量为权函数底数，分别以 １、
１．５、２等为指数构造权函数［１５－１７］或根据普通最小
二乘回归结果的残差平方（ｅ２）拟合与Ｄ的回归关系
（ｅ２＝ｃ０Ｄ
ｃ１，ｃ０、ｃ１为参数），再用 Ｗ ＝１／Ｄ作为权函
数进行加权回归［１８－２１］。３）采用通用权函数 Ｆ（ｘ），
它是相对误差为等方差时的最优权函数［２０］。
目前，国内外采用大样本数据研究立木材积模
型相容性和异方差较少。本文以大兴安岭东部３个
不同区域的落叶松（Ｌａｒｉｘｇｍｅｌｉｎｉ（Ｒｕｐｒ．）Ｒｕｐｒ．）数
据为基础，选择二元材积模型 Ｖ＝ａＤｂＨｃ和树高曲
线Ｗｅｉｂｕｌ方程，利用度量误差联立方程组和哑变量
模型的方法，对不同区域立木相容性材积方程以及
不同异方差校正方法进行详细对比分析。
１ 数据与方法
１．１ 数据
用来建立模型的数据来自大兴安岭伊勒呼里山
北坡西北部立地亚区（区１），伊勒呼里山北坡东南
部立地亚区（区 ２）和大兴安岭北部东坡立地亚区
（区３）３个不同区域的落叶松天然林样地。分别将
每个区域的样木按径阶划分为 ６（４ ８）、１０（８
１２）、１４（１２ １６）、１８（１６ ２０）、２２（２０ ２４）、２６
（２４ ２８）、３０（２８ ３２）、３４（３２ ３６）、３８（３６
４０）、４２（４０ ４４）、４６（４４ ４８）、４８（≥４８）ｃｍ以上
１２个组，每个区域每个径阶随机挑选约４０株样木，
每个径阶的样木按树高级也接近均匀分布。样木按
胸径、树高、材积３项因子统计量指标见表１。根据
各区域的建模数据绘制了树高－胸径的散点图并剔
除异常数据（图１）。树木被伐倒后，实测每株样木
的胸径和树高，并通过区分求积法计算立木材积。
最终样本按径阶的分布情况见表２。
表１ 样木调查因子统计量
区域 变量 平均值 最小值 最大值 标准差
区１ 胸径／ｃｍ ２５．６ ５．１ ４７．５ １２．１
树高／ｍ １８．５ ４．５ ２９．５ ５．２
材积／ｍ３ ０．６２５８ ０．００６１ ２．４０３０ ０．５５８９
区２ 胸径／ｃｍ ２６．５ ５．２ ５９．８ １３．０
树高／ｍ １７．５ ５．３ ２６．５ ４．９
材积／ｍ３ ０．６３３８ ０．００７０ ３．０３１１ ０．５８４８
区３ 胸径／ｃｍ ２６．１ ５．４ ４７．８ １２．５
树高／ｍ １８．２ ６．４ ３０．８ ４．９
材积／ｍ３ ０．６１３３ ０．００８２ ２．３６６２ ０．５５４３
表２ 不同区域样木径阶分布
区域 样本类型
径阶／ｃｍ
６１０１４１８２２２６３０３４３８４２４６≥４８ 合计
区１建模样本 ４０４０４０４０４０４０４０４０４０４０４０ ４４０
检验样本 １０３３２３３７４２３０２３２５１４２３１２ ２７２
区２建模样本 ４０４０３９４０４０３９４０３９４０３９３６ ４０ ４７２
检验样本 １１２９３２３３４２２４２９２７２７１１４ ６ ２７５
区３建模样本 ３６４０４０４０４０４０４０３９４０４０４０ ４３５
检验样本 ５２５２５３９２８１８２８１１２２２７１８ ２４６
８１３
第３期 刘镜婷，等：大兴安岭不同区域落叶松相容性材积方程及异方差研究
图１ 各区域树高－胸径散点图
１．２ 方法
１．２．１ 相容材积模型 二元材积方程在应用时树
高变量通常采用预测值，即通过树高曲线方程获得。
因此，可以考虑建立相容性二元材积方程及树高曲
线方程。初步研究表明 Ｗｅｉｂｕｌ树高曲线方程拟合
精度较高，本研究选用 Ｖ＝ａＤｂＨｃ材积方程和
Ｗｅｉｂｕｌ树高曲线方程，构建的联立方程组相容性模
型如下：
Ｈ
∧
＝１．３＋ａ０（１－ｅ
－ｂ０Ｄｃ０）
Ｖ
∧
＝ａ１Ｄ
ｂ１Ｈ
∧
ｃ{ １ （１）
式中：Ｖ
∧
为预测材积，Ｄ为带皮胸径，Ｈ
∧
为预测
树高，ａ０、ｂ０、ｃ０、ａ１、ｂ１、ｃ１为方程参数。
１．２．２ 区域间模型比较 区域间模型比较的目的
是为了比较一个区域的参数估计是否适合于另一个
区域。如果没有显著不同说明２个区域可以共用一
套参数，否则，就必须分区域得到参数估计。区域性
检验主要采用统计上常用的非线性额外平方和的方
法［６，１５］。该方法需要拟合完整模型（ｆｕｌｍｏｄｅｌ）和简
化模型（ｒｅｄｕｃｅｄｍｏｄｅｌ），完整模型是利用哑变量方
法引入区域参数，而简化模型则是所有区域共用一
套参数。用哑变量的方法构造区域一和区域二的无
限制模型如下：
Ｈ
∧
＝１．３＋（ａ０＋ａ００ｒ１）１－ｅ－ ｂ０＋ｂ００ｒ( )１Ｄ ｃ０＋ｃ００ｒ
( )(( )１
Ｖ
∧
＝ ａ１＋ａ１１ｒ( )１ Ｄ
ｂ１＋ｂ１１ｒ( )１Ｈ
∧
ｃ１＋ｃ１１ｒ( ){ １
（２）
式中：当区域为１时，ｒ１ ＝１，区域为２时，ｒ１ ＝
０；同理对区域１和区域３、区域２和区域３。此时对
应的完整模型（２）有１２个待估参数，自由度ｄｆＦ ＝ｎ
－１２，ｎ为两个区域总的观测样本量。限制模型就是
原方程形式，且对于任何一个区域有相同的参数。
此时方程有６个待估参数，自由度ｄｆＲ ＝ｎ－６。Ｆ检
验的公式如下：
Ｆ＝
（ＳＳＥＲ－ＳＳＥＦ）
（ｄｆＲ－ｄｆＦ）
ＳＳＥＦ
ｄｆＦ
（３）
式中：ＳＳＥＲ指简化模型的误差平方和，ＳＳＥＦ指
完整模型的误差平方和，ｄｆＲ指简化模型的自由度，
ｄｆＦ指完整模型的自由度。
如果Ｆ＞Ｆ（１－α；ｄｆＲ－ｄｆＦ，ｄｆＦ）时，拒绝零假
设，即模型在不同区域间有显著不同；如果Ｆ≤Ｆ（１
－α；ｄｆＲ－ｄｆＦ，ｄｆＦ）时，接受零假设，即模型在不同区
域间没有显著不同。一般利用Ｆ值直接计算Ｐ值，Ｐ
＝ＦＤＩＳＴ（１－α；ｄｆＲ－ｄｆＦ，ｄｆＦ），若Ｐ＜０．０５，则区域
间有显著不同。
１．２．３ 模型拟合及加权回归估计 模型（１）和（２）
采用非线性误差变量联立方程组方法来求解模型参
数。权函数主要对比３种情况：１）权函数为１；２）以
自变量为权函数底数，根据普通最小二乘回归结果
的残差平方（ｅ２）拟合与Ｄ的回归关系（ｅ２＝ｃ０Ｄ
ｃ１，
ｃ０、ｃ１为参数），再用Ｗ＝１／Ｄ
ｃ１作为权函数进行加权
回归；３）采用通用权函数 Ｆ（ｘ）为权函数底数，分别
以１、１．５、１．８、２等为指数构造权函数。加权回归估
计主要利用 ＳＡＳ软件的加权最小二乘（ＷＬＳ）技术
进行模型拟合。由于普通最小二乘法（ＯＬＳ）和ＷＬＳ
所遵循的估计准则不同，ＯＬＳ以残差平方和最小为
原则，ＷＬＳ是以加权残差平方和最小为原则，因此
最佳权函数的选择不能仅基于传统的评价指标确定
系数Ｒ２和均方根误差（ＲＭＳＥ），本文中加权回归评
价主要采用调整确定系数（Ｒ２ａｄｊ）、平均相对误差
（ＭＲＥ）、总相对误差（ＴＲＥ）、参数变动系数以及残差
分布图来进行。
１．２．４ 模型评价检验指标 拟合结果采用调整确
定系数（Ｒ２ａｄｊ）、均方根误差（ＲＭＳＥ）、平均相对误差
（ＭＲＥ）和总相对误差（ＴＲＥ）进行评价；检验通过平
均系统误差（ＭＲＥ）和总相对误差（ＴＲＥ）进行评价。
它们相应的数学表达式为：
９１３
林 业 科 学 研 究 第２９卷
式中：ｙｉ为实测值；＾ｙｉ为模型预估值；ｎ为样本
数；ｋ为自变量个数；ｙ为全部样木实测值的平均数。
２ 结果与分析
２．１ 不同区域模型比较
首先利用大兴安岭不同区域落叶松实测数据，
采用误差变量联立方程组方法，拟合联立方程组模
型（１）。拟合结果见表３。可以看出，材积和树高模
型在不同区域的参数估计值变化较大，初步分析表
明不同区域应有不同的参数估计。
然后采用非线性额外平方和的方法进行区域性
检验。分别拟合模型（１）和（２）的材积方程（树高采
用预测值），利用公式（３）计算 Ｆ值及相应的 Ｐ值。
检验结果见表４。从检验结果可以看出任何２个区
域的对比都是显著的（Ｐ＜０．０００１）。这也从统计理
论角度上充分说明对落叶松立木材积估计而言，应
该采取分区域研究。
表３ 模型的参数估计
区域 ａ０ ｂ０ ｃ０ ａ１ ｂ１ ｃ１
１ ２５．６１２３０．０５７０７００．９６１８００．０００１１３１．９６３１０．６７１８
２ ２２．４５６７０．０４３３８７１．０９３７５０．００００６０１．７９１８１．０６８９
３ ２６．００２３０．０６５２０２０．８９１１００．００００９４１．９７４００．６９９６
表４ 不同区域材积模型对比的Ｆ检验
项目
ＦｕｌＭｏｄｅｌ
ｄｆＦ ＳＳＥＦ
ＲｅｄｕｃｅｄＭｏｄｅｌ
ｄｆＲ ＳＳＥＲ
Ｎ Ｆ Ｐ
区１－区２ ９０６ １１．５７ ９０９ １１．７４ ９１２ ４．４４ ＜０．０００１
区１－区３ ８６９ ８．５３ ８７２ ８．８０ ８７５ ９．１７ ＜０．０００１
区２－区３ ９０１ ９．７９ ９０４ ９．９６ ９０７ ５．２２ ＜０．０００１
２．２ 加权回归估计
由于材积模型为异方差模型，应分区域采用不
同的权函数进行加权回归。树高模型因为异方差不
明显，未采用加权回归。从表５中对比分析可以看
出，用不同的权函数加权，估计出来的参数其估计值
是有变化的，同样和普通回归估计结果也不相同。
加权回归估计的参数变动系数（ａ１％、ｂ１％、ｃ１％）大
部分都小于最小二乘法估计的参数变动系数。这说
明在存在异方差的情况下，选择合适的权函数加权
估计，在参数稳定性方面，加权估计会优于普通最小
二乘估计，其估计出的模型稳定性也相对增强。
表５ 加权回归估计结果
项目 权函数 ａ１ ｂ１ ｃ１ ａ１％ ｂ１％ ｃ１％ Ｒａｄｊ２ ＲＭＳＥ ＭＲＥ％ ＴＲＥ％
区１ １ ０．０００１１３ １．９６３１ ０．６７１８ １２９．６３ １１．３６ ５９１．８４ ０．９４７３ ０．１３３７ －４．１４ －０．１０
１／Ｄ５．８６ ０．００００１８ １．３８８６ １．９１５８ ２４．３６ ８．３０ １０．７１ ０．９５２６ ０．１４０１ １．５４ ２．４４
１／Ｆ（ｘ） ０．００００８６ １．９１７９ ０．８０７３ ５４．６５ ７．２３ ４０．７０ ０．９８０８ ０．１３４２ －０．１１ ０．９７
１／Ｆ（ｘ）１．５ ０．００００４１ １．７２１３ １．２７２７ ３４．１５ ６．３４ １８．３０ ０．９８２０ ０．１３４７ １．０１ ０．９０
１／Ｆ（ｘ）１．８ ０．００００２８ １．６０１６ １．５３２９ ２７．４６ ６．２６ １３．１０ ０．９７９４ ０．１３５５ １．４２ １．０４
１／Ｆ（ｘ）２ ０．００００２２ １．５２７２ １．６８６７ ２５．３７ ６．４４ １１．２６ ０．９２３２ ０．１４０８ ４．４３ ４．０４
区２ １ ０．００００６０ １．７９１８ １．０６８９ ９５．００ ７．１３ ４２．２７ ０．９４３１ ０．１４５３ －０．１１ －０．５０
１／Ｄ４．９９ ０．００００５０ １．７４５８ １．１８５０ １４．５９ ３．７８ １０．２９ ０．９９８４ ０．１４５２ ０．０４ ０．０８
１／Ｆ（ｘ） ０．００００４６ １．７６１８ １．１８７６ ３９．１３ ４．６９ １８．３６ ０．９６４７ ０．１４６１ ２．４２ １．８０
１／Ｆ（ｘ）１．５ ０．００００４７ １．７７３７ １．１６８２ ２１．２８ ３．７７ １２．５６ ０．９７５３ ０．１４５６ ２．００ １．２５
１／Ｆ（ｘ）１．８ ０．００００４７ １．７６０９ １．１８２２ １７．７１ ３．６５ １１．００ ０．９７９３ ０．１４５４ １．９４ １．０５
１／Ｆ（ｘ）２ ０．００００４７ １．７８４０ １．１５７３ １４．１７ ３．５０ １０．１３ ０．９８３５ ０．１４５３ １．８３ ０．８３
区３ １ ０．００００９４ １．９７４０ ０．６９９６ １６２．６５ １５．２７ ９２９．４０ ０．９５０７ ０．１２６７ －１．９４ ０．１３
１／Ｄ３．３８ ０．００００８４ １．９３２３ ０．７８３３ ４２．８６ ６．６６ ３６．１９ ０．９８１６ ０．１２７０ １．０４ ０．９３
１／Ｆ（ｘ） ０．０００１３０ ２．０５７７ ０．４９３２ ６５．３８ ８．３９ ８３．２２ ０．９６７０ ０．１２７１ １．３７ １．６８
１／Ｆ（ｘ）１．５ ０．００００８２ １．９３３３ ０．７８５７ ４１．４６ ６．５８ ３５．２９ ０．９５６１ ０．１２７８ ２．４６ ２．２５
１／Ｆ（ｘ）１．８ ０．００００６６ １．８６５０ ０．９３５２ ３１．８２ ６．０４ ２４．９５ ０．９５３４ ０．１２８２ ２．６７ ２．４０
１／Ｆ（ｘ）２ ０．００００５８ １．８２２０ １．０２５１ ２９．３１ ５．９５ ２１．２０ ０．９４１７ ０．１２９３ ３．２５ ３．０３
注：权函数为１表示普通回归；Ｆ（ｘ）表示模型本身。
０２３
第３期 刘镜婷，等：大兴安岭不同区域落叶松相容性材积方程及异方差研究
从参数和评价指标的变化也可以看出，基于同
一种自变量的权函数，参数和评价指标呈现增加或
减少的趋势。最优权函数的选择基于调整确定系数
（Ｒ２ａｄｊ）、均方根误差（ＲＭＳＥ）、平均相对误差（ＭＲＥ）
和总相对误差（ＴＲＥ）来进行评价，好的权函数应该
保证ＴＲＥ和 ＭＲＥ这两个指标都很小（±３％）。综
合考虑得到区域１、２和３的最适宜权函数分别为１／
Ｆ（ｘ）、１／Ｄ４．９９、１／Ｄ３．３８。
２．３ 模型的残差分布图评价
基于各区域所选的权函数，分别绘制各模型的
残差分布图（图２～４），可以看出，各区域模型基于
最小二乘法（未加权）的图形都是呈现喇叭形的，即
随着材积预测值的增大模型残差也随之增大。３个
区域加权回归估计后的异方差明显有所改善。
图２ 一区材积模型加权残差图（ａ，ｂ分别表示权函数为１，１／Ｆ（ｘ））
图３ 二区材积模型加权残差图（ａ，ｂ分别表示权函数为１，１／Ｄ４．９９）
图４ 三区材积模型加权残差图（ａ，ｂ分别表示权函数为１，１／Ｄ３．３８）
２．４ 模型检验
利用检验数据计算各区的平均相对误差
（ＭＲＥ）和总相对误差（ＴＲＥ）统计量。基于表３的树
高模型的参数估计值和表５材积模型的参数估计
值，检验结果如表６。
１２３
林 业 科 学 研 究 第２９卷
表６ 各区域落叶松材积方程的独立性检验
区域 权函数 ＭＲＥ／％ ＴＲＥ／％
区域１ １／Ｆ（ｘ） １．４８ ２．１３
区域２ １／Ｄ４．９９ １．１６ １．５７
区域３ １／Ｄ３．３８ １．１１ ０．３１
可以看出，各区域最优权函数平均相对误差
ＭＲＥ和总相对误差 ＴＲＥ指标均不超过 ±３％，符合
立木材积方程的预测精度要求［３，１７，２３］，本研究建立
的相容性材积方程可以很好地预估大兴安岭不同区
域落叶松的立木材积。
３ 讨论
（１）本研究以我国大兴安岭地区主要树种落叶
松为研究对象，采用误差变量联立方程组方法，构建
了不同区域的相容性立木材积和树高曲线方程。通
过对不同区域之间的 Ｆ检验表明，立木材积模型在
３个区域中存在显著性差异，从模型对比检验 Ｆ值
的波动范围表明，区域２和区域３相差较大，区域１
与区域２和区域３相差较小，因此对于不同区域落
叶松相容性立木材积方程应有不同的参数估计值，
否则会引起较大的预测误差。这与以往的研究结果
基本一致，如Ｂｒｏｏｋｓ等比较了美国阿巴拉契亚山脉
５个区域 ６个树种（ｒｅｄｍａｐｌｅ（ＡｃｅｒｒｕｂｒｕｍＬ．），
ｓｕｇａｒｍａｐｌｅ（ＡｃｒｅｓａｃｃｈａｒｕｍＭａｒｓｈ．），ｙｅｌｏｗｐｏｐｌａｒ
（ＬｉｒｉｏｄｅｎｄｒｏｎｔｕｌｉｐｉｆｅｒａＬ．），ｂｌａｃｋｃｈｅｒｙ（Ｐｒｕｎｕｓｓｅ
ｒｏｔｉｎａＥｈｒｈ．），ｗｈｉｔｅｏａｋ（ＱｕｅｒｃｕｓａｌｂａＬ．）ａｎｄｒｅｄ
ｏａｋ（ＱｕｅｒｃｕｓｒｕｂｒａＬ．）的材积模型时发现同一树种
在不同区域都有显著不同［６］。夏忠胜等针对贵州省
人工 杉 木 （Ｃｕｎｎｉｎｇｈａｍｉａ ｌａｎｃｅｏｌａｔａ （Ｌａｍｂ．）
Ｈｏｏｋ．）的研究发现中心区和一般区的一元材积方
程有显著差异，而二元材积方程相差较小［１７］。
（２）材积方程存在较强的异方差性。本研究详
细对比分析了加权回归的不同权函数。一般情况
下，引入权函数能够降低异方差性，在参数稳定性方
面，加权回归估计会优于普通回归估计，这说明当存
在异方差时，普通回归参数估计是不稳定的，进而会
影响模型预测精度，此外加权回归估计模型稳定性
也相对增强。基于平均相对误差（ＭＲＥ）和总相对
误差（ＴＲＥ）评价指标，区域１、２和３选择的最优权
函数分别为１／Ｆ（ｘ）、１／Ｄ４．９９、１／Ｄ３．３８。
（３）关于权函数和权重变量（二者是平方关系）
选择问题，国内专家提出了各种不同形式的权函数。
骆期邦等以雪岭云杉（ＰｉｃｅａｓｃｈｒｅｎｋｉｎａＦｉｓｈ．ｅｔＭｅｙ）
和杉木两个树种为例，提出选用权函数１／（Ｄ４Ｈ２）可
有效地消除立木材积估计过程中异方差的影响［２４］。
夏忠胜等针对贵州省人工杉木的研究发现权函数为
１／Ｄ２．５可有效的消除立木材积的异方差［１７］。曾鸣等
提出权重变量为１／Ｄ１．８９可有效的消除中国杉木二元
立木材积方程的异方差［９］。曾伟生提出权重变量为
１／Ｄ１．２４和通用权函数 ｆ（ｘ）２可有效的消除中国南方
杉木二元立木材积方程的异方差［３，２２］。吴明山等针
对兴安落叶松（ＬａｒｉｘｇｍｅｌｉｎｉＲｕｐｒ．）研究发现在构
造众多形式的权函数中，以权函数 １／Ｄ２Ｈ为最
优［１４］。通过本研究进一步说明，立木材积模型的最
优权函数没有统一的形式，不同模型、不同树种以及
不同区域的相同树种都会有不同的权函数。为尽可
能得到稳定的参数估计，在加权回归估计过程中应
选用多种权函数进行对比分析，虽然一些权函数也
能降低材积模型的异方差性，但结果相差较大。
４ 结论
立木材积方程是森林调查和林分生长与收获模
型的主要组成部分，本文所构建３个区域的相容联
立方程组模型预测误差均不超过 ±３％。建立相容
性立木材积方程时应考虑其异方差的影响。最优权
函数没有统一的形式，不同模型、不同树种以及不同
区域的相同树种都会有不同的权函数。为尽可能得
到稳定的参数估计，在加权回归估计过程中应选用
多种权函数进行对比分析。
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（责任编辑：彭南轩）
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