全 文 ：林业科学研究!"#$"!"%"%#$%%) %*.
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!!文章编号!$##$$&()""#$"##%#%%)#*
用分段建模方法建立东北落叶松立木材积和
生物量方程
党永峰! 王雪军! 曾伟生
"国家林业局调查规划设计院!北京!$##/$&#
收稿日期$ "#$"#""#
作者简介$ 党永峰"$(*"(#!男!陕西宝鸡人!高级工程师!主要从事森林资源调查监测工作P
通讯作者$ 曾伟生!教授级高工) YE8?L$]6=JM6?7;6=Jh7A;@P:AE
摘要!以东北落叶松"5(#=G7KKP#立木材积和地上生物量数据为例!通过采用误差变量联立方程组和分段建模方法!
研究建立了相容的立木材积方程地上生物量方程及生物量转换函数) 结果表明$采用误差变量联立方程组能确保
立木材积与地上生物量之间估计结果的相容性!而分段建模方法能有效解决常用模型在小径阶存在的系统偏估问
题*本文所建立的分段一元模型!地上生物量和立木材积的总体预估误差均不超过 %3*分段二元模型!地上生物量
的预估误差基本在 &3以内!立木材积的预估误差则小于 .3)
关键词!立木材积*地上生物量*误差变量联立方程组*分段建模*平均预估误差*相容性
中图分类号!4/$$ 文献标识码!,
K2&$7 )(7G($%(*L,*(5&$7 ;MM/,#1-%, 6,$2%/"1%8/((N,5"G(#$*
O&,G#22EP"#%&,$23,/Q#/1-&$D,/%-(#2%(/$6-&$#
U;.",:8D6EHABCA967><=O6=>A9H8=D _L8==?=J! 4>8>6CA967>9H,DE?=?7>98>?A=! +6?I?=J!$##/$&!G;?=8#
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@7?=J>;669A9?=O89?8NL67?E@L>8=6A@76F@8>?A=78=D 76JE6=>6D EAD6L?=J8KK9A8:;P0;6967@L>77;AM>;8>$ "?#
0;669A9?=O89?8NL67?E@L>8=6A@76F@8>?A=7:8= 6=7@96>;6:AEK8>?N?L?>HAB>966OAL@E68=D N?AE87767>?E8>67! 8=D
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>8896L677>;8= %3*8=D >;9A@J; >;6>MAO89?8NL67N876D 76JE6=>6D 6F@8>?A=7!>;61_YAB>966N?AE87767>?E8>67?7
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=(+ >,/*2$ >966OAL@E6* 8NAO6J9A@=D N?AE877* 69A9?=O89?8NL67?E@L>8=6A@76F@8>?A=* 76JE6=>6D EAD6L?=J*
E68= K96D?:>?A= 69A9* :AEK8>?N?L?>H
开展全国森林生物量监测和评估!建立适合较
大区域范围的通用性立木生物量模型将成为必然趋
势) 由于生物量与材积之间的高度相关性!在森林
蓄积监测的基础上增加森林生物量监测!应该考虑
二者之间的相容性) 国外文献有人研究过立木总生
物量与各个分量之间的相容性或可加性+$ U., !尚未
见到有关材积与生物量方程相容性的报道) 国内研
究生物量的相容性!也主要是考虑各个分量之间的
相容+& U), !只有唐守正骆期邦等首先提出在考虑立
木总生物量与各分量相容的同时!还要考虑与材积
第 % 期 党永峰等$用分段建模方法建立东北落叶松立木材积和生物量方程
之间的相容性+( U$", ) 根据张连金等+$.,用带截距的
非线性方程和分段建模方法对立木生物量估计所做
的比较分析!常用的非线性方程会导致小径阶的立
木生物量估计值存在较大偏差!采用带截距的非线
性方程或分段建模方法可以有效消除这种偏差) 最
近!曾伟生等+$&,在考虑与材积相容的基础上!针对
材积属于误差变量这一特性!利用误差变量联立方
程组方法!建立了贵州杉木"+400=01*(C=( F(0)$"F(2
&( "e8ENP# \AAQP#人工林的相容性立木材积方程
生物量方程和生物量转换函数) 本文以我国东北地
区的落叶松"5(#=G7KKP#为例!采用误差变量联立方
程组+$% U$),和分段建模方法!研究建立分段相容性立
木材积方程和生物量方程及其生物量转换函数!并
与常用模型进行对比分析)
$!数据来源
本文所用数据为我国东北地区落叶松的立木材
积和地上生物量实测数据!共 $%# 株样木+$(, ) 采集
时间为 "##( 年!采集地点涉及内蒙古黑龙江吉
林辽宁 & 省区!样本单元数按各省资源多少分配!
全部样木按 "&*)$"$*"#"*.".) :E以上
$# 个径阶均匀分布!每个径阶的样木按树高级也均
匀分布!在大尺度范围具有广泛的代表性) 全部样
木都实测胸径和冠幅!将样木伐倒后!测量树干长度
"树高#和活树冠长度"冠长#!在树高的 ##P#%
#2$#P"#P.#P&#P%#P*#P/#P)#P( 长度处将
树干区分为 $$ 段!测量每一段的下部直径并按区分
求积法计算树干材积*同时分干材干皮树枝树叶
称鲜质量!并分别抽取样品带回实验室!在 )%V恒
温下烘干至衡质量!根据样品鲜质量和干质量分别
推算样木各部分干质量并汇总得到地上部分生
物量)
"!方法
?P@A误差变量联立方程组
通常的回归模型!是假定自变量的观测值不含误
差!而因变量的观测值含有误差) 误差可能有各种来
源!如抽样误差测量误差等!一般统称为度量误差)
当自变量和因变量的观测值中都含有度量误差时!通
常的回归模型估计方法就不再适用!而必需采用误差
变量模型方法+$% U$/, *当涉及到多个方程的联合估计
时!则必需采用误差变量联立方程组+$&!"# U"$, )
多元非线性误差变量联立方程组"也称非线性
度量误差模型#的向量形式为+$), $
3"H
=
!G
=
!)# J#
/
=
JH
=
N$
=
!=J$!"!0!0
-"$
=
# J#!:AO"$
=
# J
"
"
{
#
"$#
式中!G
=
是>维无误差变量"69A9B966O89?8NL6#的观
测数据!H
=
是@维误差变量"69A9?=O89?8NL6#的观测
数据!3是C维向量函数!/
=
是H
=
的未知真值!误差的
协方差矩阵记为
$
J
"
"
%
!
%
是$
=
的误差结构矩阵!
"
" 为估计误差)
常用的非线性立木材积和生物量方程为如下结
构形式+$ U"!$. U$&, $
HJ)
$
G
$
)
"
G
"
)
.
0G
=
)
=N$
""#
式中!H为立木材积或生物量!G
=
为胸径树高等解
释变量!)
=
为参数) 对于非线性二元立木材积和生
物量方程!其常用形式分别表示为$
WJ(
$
U
(
"
,
(
.
".#
P JE
$
U
E
"
,
E
.
"&#
!!式中!W为立木材积!P为立木生物量!U为胸
径!,为树高!(
=
E
=
"=J$!"!.# 为参数)
因为立木生物量与材积高度相关!根据已有的
研究成果+( U$"!$&, !在只考虑U,这 " 个解释变量的
前提下!生物量与材积之间的回归关系可以表示为
如下形式$
P J3"U!,#/W "%#
式中! 3"U!,# 相当于立木材积与地上生物量之间
的转换函数"也可称转换因子#) 当立木材积和生
物量采用常用的".#"&#式时!生物量及其转换函
数+!可分别表示为$
P J)
$
U
)
"
,
)
.
/W "*#
+!J)
$
U
)
"
,
)
.
"/#
!!其参数)
=
"=J$!"!.# 与".#"&#式的参数存在
着如下函数关系$
)
$
JE
$
O(
$
!)
"
JE
"
K(
"
!)
.
JE
.
K(
.
")#
!!众所周知!如果分别独立拟合".#"&#"*#式!
则其参数不可能满足")#式) 因此!为了保证生物
量P与材积W之间的相容性!可以将".#"*# 两式
构成非线性误差变量联立方程组!将 U,作为无误
差变量!WP作 为误差变量!采用非线性度量误差
模型方法来求解各个参数!保证以同一套数据为基
础建立的材积方程生物量方程是相容的!并同时得
到满足相容性的材积与生物量之间的转换函数"/#
式) 作为对比!对只考虑胸径 U的一元模型也进行
拟合) 同时!为了保证材积与生物量之间转换单位
(%%
林!业!科!学!研!究 第 "% 卷
的协调一致性!P以 QJ为单位!对应的 W以 DE. 为
单位!相当于".#式中的参数 (
$
在 平常的基础上扩
大 $ ### 倍)
?P?A分段建模
由于利用全部 $# 个径阶组的数据拟合的模型
在小径阶会存在明显系统偏差!而采用分段建模方
法可以有效消除这种偏差+$., ) 因此!本文采用分段
建模方法) 根据已有研究结果+$., !最小的 & 个径阶
""&*) :E#存在明显偏差!同时考虑到常规林木
和下木以 % :E作为临界直径!因此!这里兼顾科学
性和实用性!直接以 % :E作为分段建模的节点) 也
即!需要分两段来建立相容性立木材积和生物量
模型$
W
$
J(
$$
U
(
$"
,
(
$.
!"U
$
% )C# "(#
P
$
JE
$$
U
E
$"
,
E
$.
J)
$$
U
)
$"
,
)
$.
/W
$
!"U
$
% )C#
"$##
W
"
J(
"$
U
(
""
,
(
".
!"UX% )C# "$$#
P
"
JE
"$
U
E
""
,
E
".
J)
"$
U
)
""
,
)
".
/W
"
!"UX% )C#
"$"#
!!为了保证在节点处无缝对接!上述模型参数 (
=V

E
=V
"=J$!"* VJ$!"!.# 之间要满足+$., $
(
$$
U
#
(
$"
J(
"$
U
#
(
""
!(
$.
J(
".
"$.#
E
$$
U
#
E
$"
JE
"$
U
#
E
""
!E
$.
JE
".
"$&#
!!式中U
#
c% :E) 因为 % :E以上林木是森林生
物量的主体!因此先利用 $"# 株 % :E以上样木数据
估计联合方程组"(#"$##的参数*再通过"$.#
"$&#式的限制条件!利用 .# 株 % :E以下样木数据
估计联合方程组"$$#"$"#的参数) 尽管 " 个二元
分段模型共有 * 个参数!但独立参数只有 & 个!因此
计算总体样本的有关统计指标时!模型参数按 & 个
计算*对于一元分段模型!& 个参数中只有 . 个是独
立的!因此按 . 个模型参数计算有关统计指标)
?PBA异方差处理
由于生物量和材积数据普遍存在着异方差性!
在利用度量误差模型方法进行拟合时还要采取措施
消除异方差的影响+$ U"!"" U"*, ) 常用的方法是采用对
数回归或加权回归!这里采用非线性加权回归方法)
通过对通用权函数+". U"&,:J$O3"G# "及根据独立拟
合方程的方差建立的权函数+$ U",: J$O1"G# " 进行
对比分析后发现!二者差异很小!故本文采用通用权
函数进行拟合) 在采用CA94>8>"P$ 软件%统计分析&
模块的%非线性误差变量联立方程组&求解参数时!
采取每一个方程两边乘以权重变量 方法进行处理)
?PCA模型的评价与检验
用于模型评价和检验的基本统计指标包括以下
* 个$ ""确定系数#?--"估计值的标准差#
T-"总相对误差#P?-"平均系统误差#PY-"平
均预估误差# 和 PY?-"平均百分标准误差#!其计
算公式为+"/, $

"
J$ K
!
"H
=
K
M
H
=
#
"
O
!
"H
=
K
"
H#
"
"$%#
?--J
!
"H
=
K
M
H
=
#
"
O"0 K@槡 # "$*#
T-J
!
"H
=
K
M
H
=
#O
!
M
H
=
Z$## "$/#
P?-J
!
"H
=
K
M
H
=
#O
M
H
=
O0 Z$## "$)#
PY-J&
!
/"?--O
"
H# 槡O0 Z$## "$(#
PY?-J
!
"H
=
K
M
H
=
#O
M
H
=
O0 Z$## ""##
!!式中!H
=
和MH
=
分别为第=株样木的实测值和预估
值!"H为全部样木实测值的平均数!0 为样木总数!@
为参数个数!&
!
为自由度 0 K@置信水平
!
时的&值
"此处取 ( J#2#%!&
!
J$2()#!其中T-和P?-两
项指标还分别径阶进行计算) 另外一项重要的评价
指标就是残差分布图!此处采用相对残差!也即乘以
权重变量后得到的新模型的残差)
.!结果与分析
利用东北地区 $&* 株样木"剔除了 & 株异常样
木!其中 % :E以上和以下各 " 株#的立木材积和地
上生物量实测数据!分别常用方程和分段方程!采用
误差变量联立方程方法通过 CA94>8>"P$ 软件求解一
元和二元非线性模型的参数估计值!并利用参数估
计值计算 * 项基本统计指标 "?--T-P?-
PY-和PY?-!结果见表 $ 和表 ")
表 " 结果表明$不管是常用模型还是分段模型!
一元立木材积方程和地上生物量方程的确定系数

" 和有关误差指标相差都不大!其中平均预估误差
均未超过 %3*而对于二元模型!则立木材积方程的
相关统计指标得到明显改进!但地上生物量方程的
相关统计指标改进的幅度要小得多) 从常用模型与
分段模型的对比看!总体上分段模型的效果要好于
常用模型!这一点从二元材积方程和生物量方程的
各项统计指标对比可以明显体现出来) 一元方程的
部分统计指标之所以分段模型还不如常用模型!主
要是由 .) :E以上特大径阶样木的估计误差引起
的) 从反映模型拟合和预估效果的两项重要指标
#*%
第 % 期 党永峰等$用分段建模方法建立东北落叶松立木材积和生物量方程
T-和P?-分径阶的情况看!常用一元和二元模型
在小径阶存在明显的系统偏差!而采用分段模型则
能显著改善其拟合效果"表 . 和表 &#) 图 $ 和图 "
直观展示了常用二元立木材积方程与分段建模方程
的残差对比情况!二元生物量方程及一元方程的残
差图也完全类似)
表 @A相容性立木材积方程和地上生物量方程的参数估计值
模型 类别
参 数 估 计 值
(
$
(
"
(
.
E
$
E
"
E
.
)
$
)
"
)
.
常用
分段
一元 #2$&/ .% "2&)/ // a #2$$( )* "2.*) &" a #2)$. && U#2$$( .% a
二元 #2#)* /$/ $2)/$ "/ #2)*" .* #2#(& "$) "2#)( $$ #2.($ )& $2#)* &( #2"$/ )& U#2&/# %"
一元
二元
$
% :E #2$$/ )* "2%*" ). a #2#)& (%. "2&). %# a #2/"# )# U#2#/( .. a
q% :E #2"". .$ "2$*% /* a #2"$* (. $2(#$ ## a #2(/$ && U#2"*& /* a
$
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q% :E #2$&" %. $2."# /" #2()% %* #2$/. *. $2%#& "$ #2&/" )$ $2"$) "$ #2$). &( U#2%$" /%
表 ?A相容性立木材积方程和地上生物量方程的统计指标
模型 类别
确定系数"
材积 生物量
估计值的标准差
?--
材积 生物量
总相对误差
T-a3
材积 生物量
平均系统误差
P?-a3
材积 生物量
平均预估误差
PY-a3
材积 生物量
平均百分标准误差
PY?-a3
材积 生物量
常用
分段
一元 #2(*# / #2(%( $ )*2*( &/2)# #2). "2%% #2## #2## &2." &2." $%2.$ $%2*(
二元 #2(). # #2(*& ) %/2$) &&2%% &2$# .2)& #2## #2## "2)% &2#" $#2$. $&2*/
一元 #2(%& ( #2(%. / (.2&& %$2"* U"2&& U"2"# #2## #2## &2*% &2*. $.2)" $.2%.
二元 #2()) $ #2(*% / &)2$" &&2". U#2.. U$2$/ #2## #2## "2&# .2(( )2#% $$2)&
表 BA相容性立木材积方程常用模型和分段模型分径阶的拟合效果
径阶a:E
一元立木材积方程
常用模型
T-a3 P?-a3
分段模型
T-a3 P?-a3
二元立木材积方程
常用模型
T-a3 P?-a3
分段模型
T-a3 P?-a3
" $&2%) $%2($ #2&* #2*/ $%2$% U"2.% $2%) U$2(#
& U(2)$ U)2)$ U*2." U%2)* U"2*% *2." %2$) /2#)
* U$*2/) U$/2#( U(2#) U(2.* U$&2./ U#2.% U%2"/ U#2#%
) U$2.% U$2$% %2.& %2*" U(2"% #2$# U$2%( #2#&
$" U#2.. U#2.( .2") .2"% U*2$* U$2## U$2&. U$2&&
$* U"2)) U"2(( U$2%. U$2*. U$2&( $2$( $2## #2((
"# *2/% *2*$ *2%/ *2&& $2(% $2./ $2). #2)(
"* .2%) .2/) $2.* $2%) .2&& #2") #2)" #2&.
." *2#% *2#( "2". "2"/ /2/. "2"$ "2)( "2$#
$
.) U.2/& U.2/" U)2*. U)2%/ &2"% U"2*) U"2$% U.2#*
表 CA相容性地上生物量方程常用模型和分段模型分径阶的拟合效果
径阶a:E
一元地上生物量方程
常用模型
T-a3 P?-a3
分段模型
T-a3 P?-a3
二元地上生物量方程
常用模型
T-a3 P?-a3
分段模型
T-a3 P?-a3
" $*2". "#2"* U.2$% U$2%& $*2%. ""2&* U&2.* U"2/%
& U$#2"" U)2"& U&2"$ U.2$. U/2#& U%2.& $2&/ "2"&
* U$)2$) U$)2/" U*2$$ U*2*% U$/2#) U$/2&" U"2"" U"2.(
) U%2)) U%2/% &2"/ &2%$ U(2"* U(2## $2** "2"#
$" U(2#* U)2)& U.2/) U.2&( U$$2%( U$$2** U%2($ U%2(%
$* .2$. .2"" %2%& %2** .2(( .2*) /2$( /2#$
"# "2). "2&/ "2/% "2&# #2** U#2#. #2.% U#2.#
"* *2./ *2&/ .2$# .2"$ *2$/ *2$" "2*# "2%(
." )2#* )2#$ "2.& "2.# )2%) )2&. "2.# "2$/
$
.) U$2.# U$2"/ U)2/# U)2*" "2$" $2(/ U%2)" U%2)(
$*%
林!业!科!学!研!究 第 "% 卷
图 $!常用二元立木材积方程的相对残差
图 "!分段二元立木材积方程的相对残差
从表 .表 & 可以明显看出!不论是立木材积方
程还是地上生物量方程!常用模型在小径阶都存在
显著系统偏差!其中 " :E径阶系统偏大!而 &*)
$" :E径阶又系统偏小!如地上生物量方程 " :E径
阶的P?-达到 "#3以上*而分段建模则能有效解决
这种系统偏估问题!一元立木材积方程和地上生物
量方程各个径阶的预估误差都能控制在 r$#3以
内!二元立木材积方程和地上生物量方程各个径阶
的预估误差基本能控制在 r/3以内) 图 $ 明显反
映出了常用模型在小径阶存在的系统偏估问题""
:E径阶有 $ 株样木的相对残差达到 ($P&)3!未能
在图上反映出来#!而图 " 则反映出分段建模各个径
阶的残差分布是近似随机的!单株样木的估计误差
绝大部分在 r"#3以内!误差最大的也不超出
r)
&!结论
以东北地区落叶松为对象!通过利用误差变量
联立方程组方法!研究建立了相容性立木材积方程
地上生物量方程及生物量转换函数!并对常用模型
和分段模型的拟合效果进行了对比分析) 可以得到
以下结论$
"$#利用误差变量联立方程组方法!能有效解
决立木材积方程和地上生物量方程之间不相容的问
题!并可同时建立立木材积方程地上生物量方程及
其转换函数!确保了相互之间估计结果的协调一
致性)
""#通过对常用模型和分段模型的对比分析!
结果表明以起测直径 % :E作为临界直径进行分段
建模!立木材积和地上生物量方程小径阶存在的系
统偏估问题能得到明显改进)
".#所建立的东北地区落叶松的一元相容性立
木材积和地上生物量!其平均预估误差均未超过
%3*而二元相容性方程!地上生物量的预估误差基
本在 &3左右!立木材积的预估误差则小于 .3)
参考文献!
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%(.
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CA9567! "##$! .$$ )*% U)/)
+., +?\! 0@E69R! e8EN69>1RP,DD?>?O6N?AE8776F@8>?A=7BA9=8>?O6
6@:8LHK>BA967>>9667AB>6EK698>6,@7>98L?8+R,P09667! "##&! $)$
&*/ U&/(
+&, 张会儒!赵有贤!王学力!等P应用线性联立方程组方法建立相容
性生物量模型研究+R,P林业资源管理!$((("*#$*. U*/
+%, 胥!辉!刘伟平P相容性生物量模型研究+R,P福建林学院学报!
"##$!"$"$#$$) U".
+*, 刑艳秋!王立海P基于森林调查数据的长白山天然林森林生物量
相容性模型+R,P应用生态学报!"##/!$)"$#$$ U)
+/, 程堂仁!冯!菁!马钦彦!等P基于森林资源清查资料的林分生物
量相容性线性模型+R,P北京林业大学学报!"##/!"("%#$ $$#
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+), 程堂仁!冯!菁!马钦彦!等P小陇山油松林乔木层生物量相容性
线性模型+R,P生态学杂志!"##)!"/".#$.$/ U.""
+(, 胥!辉P一种与材积相容的生物量模型+R,P北京林业大学学报!
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+$#, 骆期邦!曾伟生!贺东北!等P立木地上部分生物量模型的建立
及其应用研究+R,P自然资源学报!$(((!$&".#$ "/$ U"//
+$$, 曾伟生!骆期邦!贺东北P兼容性立木生物量非线性模型研究
+R,P生态学杂志! $(((!$)"&#$$( U"&
+$", 唐守正!张会儒!胥!辉P相容性生物量模型的建立及其估计方
法研究+R,P林业科学!"###!.*"专刊 $#$$( U"/
+$., 张连金!曾伟生!唐守正P用带截距的非线性方程和分段建模方
法对立木生物量估计的比较+R,P林业科学研究! "#$$! "&
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+$&, 曾伟生!夏忠胜!朱!松!等P贵州人工杉木相容性立木材积和
地上生物量方程的建立+R,P北京林业大学学报! "#$$! ..
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第 % 期 党永峰等$用分段建模方法建立东北落叶松立木材积和生物量方程
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+$/, 唐守正!李!勇P生物数学模型的统计学基础+1,P北京$科学
出版社!"##"
+$), 唐守正!郎奎建!李海奎P统计和生物数学模型计算"CA94>8>教
程#+1,P北京$科学出版社!"##)
+$(, 尹艳豹!曾伟生!唐守正P中国东北落叶松立木生物量模型研建
+R,P东北林业大学学报! "#$#! .)"(#$ ". U"*
+"#, 李永慈!唐守正!李海奎!等P用度量误差模型方法编制相容的
生长过程表和材积表+R,P生物数学学报!"##&!$( ""#$ $((
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+"$, 李永慈!唐守正P带度量误差的全林整体模型参数估计研究
+R,P北京林业大学学报!"##*!")"$#$ ". U"/
+"", 骆期邦!宁!辉!贺东北!等P二元立木材积动态模型研究+R,P
林业科学研究!$(("!%".#$"*. U"/#
+"., 曾伟生P再论加权最小二乘法中权函数的选择+R,P中南林业调
查规划!$(()!$/".#$( U$$
+"&, 曾伟生!骆期邦!贺东北P论加权回归与建模+R,P林业科学!
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+"%, 张会儒!唐守正!胥!辉P关于生物量模型中的异方差问题+R,P
林业资源管理!$((("$#$&* U&(
+"*, 胥!辉P生物量模型方差非齐性研究+R,P西北林学院学报!
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+"/, 曾伟生!唐守正P立木生物量模型的优度评价和精度分析+R,P
林业科学! "#$$! &/"$$#$ $#* U$$.
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