全 文 ：第 52 卷 第 1 期
2 0 1 6 年 1 月
林 业 科 学
SCIENTIA SILVAE SINICAE
Vol. 52，No. 1
Jan．，2 0 1 6
doi:10．11707 / j．1001-7488．20160104
收稿日期: 2015 － 03 － 23; 修回日期: 2015 － 08 － 30。
基金项目: 林 业公益性行业科研专项 ( 20150430304 ) ; 国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 ( 31370636 ) ; 科 技 部 十 二 五 科 技 支 撑 计 划
(2012BAD22B0304)。
* 黄选瑞为通讯作者。
基于非线性混合模型的针阔混交林
树高与胸径关系*
王冬至1，2 张冬燕1，3 张志东1，2 黄选瑞1，2
(1． 河北农业大学林学院 保定 071000; 2． 河北省林木种植资源创新与保护实验室 保定 071000;
3． 河北农业大学商学院 保定 071000)
摘 要: 【目的】建立多树种、多层次混交林的树高 － 胸径生长关系非线性混合效应模型，为研究混交林多树种
生长规律提供参考依据。【方法】以河北省塞罕坝国家森林公园华北落叶松 － 白桦针阔混交林为研究对象，基于
87 块标准地(20 m × 30 m)的 4 953 株华北落叶松和 3 608 株白桦单木数据，选取 13 个具有代表性且具有生物学意
义的树高 －胸径模型进行拟合，从中筛选出拟合优度较高的模型作为构建混合效应模型的基础模型，并在混合效
应模型中加入哑变量以解决样地内不同树种带来的差异。【结果】1) 在 13 个树高 － 胸径候选模型中，模型 13 的
确定系数最大(Ｒ2 = 0. 915 7)，绝对误差(Bias = 1. 200 6)、均方根误差(ＲMSE = 0. 129 1) 最小，其拟合效果较好。
2) 以模型 13 为基础模型建立华北落叶松 －白桦混交林树高 －胸径关系混合效应模型，华北落叶松混合模型确定
系数(Ｒ2 )为 0. 926 4，AIC 值为 319. 7，均方根误差(ＲMSE)值 1. 070 8，绝对误差(Bias)为 0. 084 1; 白桦混合模型确
定系数(Ｒ2 )为 0. 918 7，AIC 值为 297. 6，均方根误差(ＲMSE)为 1. 102 2，绝对误差(Bias)为 0. 070 5，表明模型拟合
效果较好。3) 利用所构建的混合效应模型，以 2 cm 为一个径阶对华北落叶松和白桦树高进行预测，其树高预测结
果与测量值分布一致，表明包含树种哑变量混合效应模型中的参数充分反映出相同径级树高的变异趋势，提高了
混交林树高 －胸径模型预估精度。【结论】包含哑变量的混合效应生长模型可解决混交林中样地间及样地内树种
对树高 －胸径生长关系的影响，提高模型精度及适用性，为该地区提高针阔混交林经营水平及经营效果提供科学
支撑。
关键词: 非线性混合模型; 华北落叶松; 白桦; 树高 －胸径; 混交林
中图分类号:S758. 5 + 7 文献标识码:A 文章编号:1001 － 7488(2016)01 － 0030 － 07
Height-Diameter Ｒelationship for Conifer Mixed Forest Based on
Nonlinear Mixed-Effects Model
Wang Dongzhi1，2 Zhang Dongyan1，3 Zhang Zhidong1，2 Huang Xuanrui1，2
(1 ． Forestry College，Agricultural University of Hebei Baoding 071000; 2 ． Forest Ｒesources Innovation and Protection
Laboratory of Hebei Baoding 071000; 3 ． Business College，Agricultural University of Hebei Baoding 071000)
Abstract: 【Objective】This paper established the nonlinear mixed effects model for height-diameter relationship in
multi-storied and multi-species mixed forests． The purpose of this study was to provide some references for the further
study on growth rule in mixed forests． 【Method】A total of 87 temporary plots were used in Larix principis-rupprechtii and
Betula platyphylla mixed forest of Saihanba National Forest Park，Hebei Province，China． Plot size was 20 m × 30 m． A
total of 4 953 individuals of Larix principis-rupprechtii and 3 608 individuals of Betula platyphylla were investigated． 13
typical models were selected to fit height-diameter relationship． The best-fit model was chose as the basis for building
mixed-effects models． Both fixed- and random-effects parameters expressed in terms of high species strengths and stand
basal area were considered to establish height-diameter relationships． Furthermore，dummy variables were added to the
mixed-effects models in order to solve intra-plot variability resulting from species difference． The goodness-of-fit criteria
used were the coefficient of determination ( Ｒ2 )，the absolute error of estimate ( Bias) and the root mean square error
第 1 期 王冬至等: 基于非线性混合模型的针阔混交林树高与胸径关系
(ＲMSE) ． 【Ｒesult】1) Among the 13 pieces of height-diameter candidate models，model 13 (M13) provided the most
accurate prediction of height with the highest Ｒ2 (0. 915 7)，the lowest Bias (1. 200 6) and ＲMSE (0. 129 1) ． 2) For
Larix principis-rupprechtii and Betula platyphylla，mixed effects models were established based on M13，respectively． Both
models had the best fits with the fit statistics values (Ｒ2 = 0. 926 4; AIC = 319. 7; Bias = 0. 084 1; ＲMSE = 1. 070 8) for
Larix principis-rupprechtii and values ( Ｒ2 = 0. 918 7; AIC = 297. 6; Bias = 0. 070 5; ＲMSE = 1. 102 2 ) for Betula
platyphylla． 3) To further evaluate mixed-effects models for two species，trees from the validation data were divided into
different DBH classes with every 2 cm interval． The average values of height prediction bias ( observed-predicted) were
small for both species． The above results indicated that mixed-effects models including species dummy variable provided in
a better fit to the data and improved prediction accuracy． 【Conclusion】The mixed-effects models with dummy variables
solved the negative effects of species differences between plots and within plot on height-diameter relationships in mixed
forests． It was proved able to provide better model fitting，more applicability and more precise estimations than the basic
generalized model．
Key words: nonlinear mixed model; Larix principis-rupprechtii; Betula platyphylla; height-diameter; mixed forest
胸径和树高是森林资源清查工作中 2 个最基本
的观测变量，其中对胸径的观测相对简单，并且精度
较高(Vargas-Larreta et al．，2009)，而对树高的观测
通常会受林下植被分布状况、林分稀疏程度、地形是
否复杂等因子的影响(Peng et al．，2001; Temesgen et
al．，2004)，使得树高调查耗时并且成本较高。研究
表明，在实地调查中可以观测样地中部分立木树高，
利用树高 －胸径关系模型来预测样地内未观测立木
树高，从而可降低调查立木数据成本(Arabatzis et
al．，1992; Huang et al．，2000)。
在林业相关文献中，已有较多线性或非线性模
型被用来描述树高 － 胸径关系(Huang et al．，1992;
Soares et al．，2002; Sánchez et al．，2003; Dorado et
al．，2005; Trincado et al．，2007)。最初的模型没有
将年龄当作一个独立变量作为模型参数，因为在估
计树高 －胸径生长关系模型时，年龄在混交林中没
有实际意义(Huang et al．，1994)。在同一样地，一个
树种高径生长关系是相对固定的，而不同样地间数
据是相互独立的 ( Lappi，1997; 2006 )，De’Ath
(2002)认为多树种不同样地树高可以用树高 － 胸
径回归方程来进行预测，因此建立适应不同样地多
树种的树高和胸径关系模型非常必要。目前已经建
立的树高 － 胸径关系模型主要以纯林( Sánchez et
al．，2003; Calama et al．，2004; Dorado et al．，2005;
2006) 为 研究对象，如传统的非线性回归模型
(Schrder et al．，2001; Soares et al．，2002)、哑变量
模型 ( Eerikinen，2009 ) 及非线性混合效应模型
(Calama et al．，2004; Saunders et al．，2008; 符利勇
等，2012; 李春明，2012)。从现有研究来看，描述
多树种、多层次混交林中不同树种的树高 － 胸径生
长关系比纯林要困难很多( Schmidt et al．，2011)，导
致对混交林树高 －胸径关系混合效应模型的研究较
少(Temesgen et al．，2004; Sharma et al．，2007)。在
混交林生长模型研究中，急需在同一个模型中既能
解决样地对树高和胸径关系影响、又能反映不同树
种间树高和胸径关系的混合效应模型，因此建立混
交林不同树种的树高 －胸径关系模型对预测立木生
长具有重要意义。
本文以华北暖温带华北落叶松( Larix principis-
rupprechtii) －白桦(Betula platyphylla)混交林为研究
对象，从目前应用较广的树高 － 胸径关系模型中筛
选出拟合优度较高的模型作为研究的基础模型，建
立不同树种的非线性混合效应模型来描述混交林中
不同树种的树高 － 胸径生长关系，为研究混交林中
不同树种的树高 － 胸径关系提供方法，进而为混交
林经营提供依据。
1 研究区概况
塞罕坝机械林场总场(41°22—42°58N，116°
53—118°31E)位于河北省最北部，与内蒙古接壤，
总面积 92 634. 7 hm2，总蓄积 8 106 388 m3，属阴山
山脉与大兴安岭余脉的交接地带，地势北高南低，呈
现由北向南倾斜的独特地貌。林区属华北暖温带立
地类型区域，海拔 1 010 ～ 1 940 m，年均气温 － 1. 2
℃，年均最高气温 33. 4 ℃，年均最低气温 － 43. 3
℃，≥0 ℃ 年 积 温 2 072. 8 ℃，≥ 5 ℃ 年 积 温
1 957. 1 ℃，≥10 ℃年积温 1 643. 7 ℃。年均日照
时数 2 548. 7 h; 年均降水量约 452. 2 mm，主要集中
在 6—8 月份; 年均积雪日数 169 天; 年均蒸发量
1 339. 2 mm，年均相对湿度为 68% ; 土壤分 6 个土
类、13 个亚类、20 个土属、30 个土种，土壤类型主要
以褐色森林土、棕色森林土、砂壤土、壤土、风沙土、
13
林 业 科 学 52 卷
沼泽土、砾石土、草甸土为主，成土母质主要为坡积
物、残积物、洪积物、冲积物、沉积物、风积物 6 种。
研究区主要乔木树种有华北落叶松、白桦、云杉
( Picea asperata )、樟 子 松 ( Pinus sylvestris var．
mongholica)、山杨 (Populus davidiana)、油松 ( Pinus
tabulaeformis)、蒙古栎 (Quercus mongolica)等，主要
灌木 树 种 有 绣 线 菊 ( Spiraea salicifolia )、沙 棘
(Hippophae rhamnoides)、胡枝子( Lespedeza bicolor)、
山刺玫 (Ｒosa daverica)、稠李 ( Prunus padus)、华北
忍冬 ( Lonicera tatarinowii )、大 叶 小 檗 ( Berberis
ferdinandi-coburgii )、 栓 翅 卫 矛 ( Euonymus
phellomanusloes ) 等，主 要 草 本 植 物 有 蒲 公 英
(Taraxacum mongolicum)、野蔷薇(Ｒosa multiflora)、
曼 陀 罗 ( Dature stramonium )、苔 草 ( Carex
tristachya)、草地老鹳草 ( Geanium daharicum var．
alpinum)、藜芦(Veratrum nigrum)、地榆( Sanguisorba
officinalis)、唐松草(Thalictrum aquilegifolium)等。
2 研究方法
2. 1 数据来源
数据来源于 2014 年 7—8 月，在北曼甸、大唤
起、阴河、千层板、第三乡 5 个林场共设置 20 m ×
30 m华北落叶松 －白桦混交林临时样地 87 块，对样
地内胸径大于 5 cm 的立木进行每木检尺。调查时
在每块样地内以每 0. 01 hm2(Nigh，2002)分别选取
不同树种优势木各 5 株，并用生长锥确定其年龄及
生长量。共调查立木 8 561 株 (华北落叶松 4 953
株、白桦 3 608 株)，其中优势木 1 044 株(华北落叶
松 522 株、白桦 522 株)，并将数据分为建模数据和
模型检验数据(表 1、表 2)。
2. 2 模型选择
在本研究中，选择具有生物学意义且能够较好
表述立木树高 － 胸径关系的 13 个模型(表 3)作为
研究混交林树高 －胸径关系的基础模型。
表 1 模型建立数据
Tab． 1 Data of establishment model
因子
Factors
海拔
Elevation /m
株数 Number
of stems / hm － 2
土层厚度 Soil
thickness / cm
华北落叶松 Larix
principis-rupprechtii
白桦
Betula platyphylla
年龄
Age / a
胸径
Diameter / cm
树高
Height /m
年龄
Age / a
胸径
Diameter / cm
树高
Height /m
平均值 Mean 1 431 1 088 39 29 19. 8 11. 7 30 17. 2 10. 7
最大值 Max． 1 672 1 986 52 45 34. 7 17. 5 57 33. 2 17. 2
最小值 Min． 1 176 675 31 14 7. 2 5. 2 12 6. 9 6. 8
标准差 SD 154. 34 248. 56 4. 28 5. 51 4. 69 2. 05 6. 81 4. 02 1. 73
表 2 模型检验数据
Tab． 2 Data of test model
因子
Factors
海拔
Elevation /m
株数 Number
of stems / hm － 2
土层厚度 Soil
thickness / cm
华北落叶松 Larix
principis-rupprechtii
白桦
Betula platyphylla
年龄
Age / a
胸径
Diameter / cm
树高
Height /m
年龄
Age / a
胸径
Diameter / cm
树高
Height /m
平均值 Mean 1 428 1 012 36 31 20. 1 11. 2 24 16. 8 10. 2
最大值 Max． 1 607 1 883 53 47 32. 9 17. 1 53 33. 8 16. 9
最小值 Min． 1 121 687 34 19 6. 8 5. 7 18 7. 1 6. 5
标准差 SD 161. 12 251. 45 4. 17 5. 64 4. 22 1. 97 6. 94 3. 92 1. 66
2. 3 模型及参数检验
对所选择的 13 个树高 －胸径模型(M1 ～ M13)
参数进行拟合，并选用绝对误差(Bias)、均方根误差
(ＲMSE)及确定系数(Ｒ2)对模型拟合参数精度进行
评价和比较:
Bias = 1
M∑
M
r = 1
∑
n
i
(hi － h
^
i) / n; (1)
ＲMSE = 1
M∑
M
r = 1
∑
n
i
(hi － h
^
i)
2
槡 / n; (2)
Ｒ2 = 1 －∑
M
r = 1
∑
n
i
(hi － h
^
i)
2 /∑
M
r = 1
∑
n
i
(hi － h
－
i)
2。
(3)
式中:M 为样地数;n 为样地内第 r 个树种株数;hi为
观测树高(m); h
^
i 为预测树高(m); h
－
为平均高(m)。
2. 4 混合效应模型
本研究为了解决塞罕坝林场针阔混交林不同样
地及树种间效应对树高 － 胸径生长关系的影响，采
用非线性混合效应模型来描述混交林中树高 －胸径
23
第 1 期 王冬至等: 基于非线性混合模型的针阔混交林树高与胸径关系
表 3 候选树高 －胸径关系模型
Tab． 3 Candidate models of height-diameter function
模型 Model 文献 Ｒeferences 表达式 Form
M1 Chapman-Ｒichards (Ｒichards，1959; Garman et al．，1995) h = 1 ． 3 + b0 (1 － e
b1d ) b2
M2 Yang et al． (1978) h = 1 ． 3 + b0 (1 － e
b1db
2
)
M3 Eq． (1) with BAL and BA h = 1 ． 3 + b0 (1 － e
b1d ) b2 b0 = a0 + a1 × BAL + a2 × BA
M4 Eq． (2) with BAL and BA h = 1 ． 3 + b0 (1 － e
b1d
b2 ) b0 = a0 + a1 × BAL + a2 × BA
M5 Eq． (1) with BAL and N h = 1 ． 3 + b0 (1 － e
b1d ) b2 b0 = a0 + a1 × BAL + a2 × N
M6 Eq． (2) with BAL and N h = 1 ． 3 + b0 (1 － e
b1d
b2 ) b0 = a0 + a1 × BAL + a2 × N
M7 Eq． (1) with h0 and BA h = 1 ． 3 + b0 (1 － e
b1d ) b2 b0 = a0 + a1 × h0 + a2 × BA
M8 Eq． (2) with h0 and BA h = 1 ． 3 + b0 (1 － e
b1d
b2 ) b0 = a0 + a1 × h0 + a2 × BA
M9 Hui et al． (1993) h = 1 ． 3 + b1·h
a0
0 ·d
b2·h
a10
M10 Soares et al． (2002) h = h0［1 + ( a0 + a1 h0 + a2 d0 ) e
b1h0］·(1 － eb2d / h0 )
M11 Temesgen et al． (2004) h = 1 ． 3 + ( b1 + a0 BAL) d
a1
0 d
b2 ha20
M12 Sharma et al． (2007) h = 1 ． 3 + a0·h
a1
0 ·(1 － e
－ b1d
－ a20 d ) b2
M13 Temesgen et al． (2014) h = 1 ． 3 + eb0 +
b1
d + b2 b0 = a0 + a1 × h0 + a2 × BA
①a，b 为模型参数，h 为树高(m)，d 为胸径 ( cm)，BAL 为优势种断面积 (m2·hm － 2 )，BA 为林分断面积 (m2·hm － 2 )，N 为每公顷株数
( hm － 2 )，d0为树种优势木胸径( cm)，h0为树种优势高(m)。a and b are parameters of the model，h is height(m)，d is diameter at breast height
( cm)，BAL is basal area of dominant species(m2·hm － 2 )，BA is basal area of stand(m2·hm － 2 )，N is number of stems( hm － 2 )，d0 is diameter of
dominant species( cm)，h0 is height of dominant species(m) ．
生长关系 ( Pinheiro et al．，2000 )。依据 Fang 等
(2001)的研究，构建混合效应模型包括 3 个步骤:
首先，确定模型固定效应参数和随机效应参数; 其
次，确定用于说明不同样地林木内方差和协方差矩
阵结构; 最后，确定方差 － 协方差随机效应矩阵。
那么第 i 个样地上第 j 株树高的混合模型可表述为:
hij = f(β ij，dij) + ε ijε ij ～ N(0，σ
2)。 (4)
式中:β ij为参数向量; f 为包含树高和胸径因子的函
数表达式(表 2); ε ij为误差; hij为树高(m); dij为胸
径( cm)。
混合效应模型参数矩阵 β ij的固定效应参数和
随机效应参数可表述为:
β ij = xijβ + zij b i b i ～ N(0，)。 (5)
式中:β 为固定效应参数，bi为第 i 个样地随机效应
参数; 假设 bi遵循正态分布，均值为 0，协方差矩阵
为 φ; xij和 zij是第 i 个样地第 j 株树协方差矩阵。
随机效应参数数目可以减小系统误差，使模型
能够收敛(Sharma et al．，2007)，因此只有将模型渐
近线参数( b0 )进行混合来建立混交林树高 － 胸径
生长关系混合模型(Temesgen et al．，2014)才能使模
型收敛效果较好。通常混合效应模型中内方差 －协
方差残差效应由包括相关因子和加权因子的矩阵
Ｒi来平衡误差，其计算公式为:
Ｒi = σ
2
eG
0 ． 5
i Γ i G
0 ． 5
i 。 (6)
式中:Gi为描述异构方差的对角阵; Γ i为样地 i 观测
矩阵 ni ni; σ
2
e为误差扩散的比例因子，即模型剩余
方差值(Grégoire et al．，1995)。
随机效应的方差 － 协方差矩阵(D)、样地间协
方差矩阵用于确定样地间差异，因为模型中仅有 1
个随机效应参数，因此方差 － 协方差的随机效应矩
阵(D)为:
D = σ2μ。 (7)
2. 5 统计处理
样地数据处理及模型建立采用 SPSS21. 0 软件
和 SAS9. 3 软 件 中 PＲOC NLIN 语 句 及 PＲOC
NLMIXED 完成。
3 结果与分析
3. 1 混交林树高 －胸径分布
在华北落叶松 － 白桦混交林中，不同树种的树
高与胸径分布如图 1 所示。华北落叶松胸径集中分
布在 12 ～ 26 cm，树高集中分布在 8 ～ 16 m; 白桦胸
径集中分布在 12 ～ 22 cm，树高集中分布在 6 ～ 12
m; 在华北落叶松 － 白桦针阔混交林中，华北落叶
松立地指数和胸径集中分布范围均比白桦要高。
3. 2 候选模型拟合与评价
在华北落叶松 － 白桦混交林中，华北落叶松为
优势树种，因此以华北落叶松调查数据为基础对候
选模型进行拟合与筛选。不同非线性树高 －胸径模
型参数估计值、确定系数(Ｒ2 )、绝对误差 (Bias)及
均方根误差 (ＲMSE)如表 4 所示。模型 M1 与 M2
为具有生物学意义的传统树高 － 胸径关系模型，反
映了树高 －胸径生长关系的趋势，但是对不同林分
类型树高预测精度较低; 而模型 M3 ～ M6 加入了每
公顷株数、林分断面积及优势树种断面积，提高了模
型预测精度; 此外模型 M7 ～ M13 还加入了能够反
映立地质量的树种优势高及对应胸径，使树高 － 胸
径生长关系模型得到了进一步发展。
33
林 业 科 学 52 卷
图 1 混交林中不同树种的树高 －胸径分布
Fig． 1 Height-diameter distribution of different tree species in mixed forest
表 4 模型参数估计及统计检验
Tab． 4 Parameter estimations and goodness-of-fit statistics of models
模型 Model a0 a1 a2 b0 b1 b2 Ｒ2 ＲMSE Bias
M1 — — — 14. 999 8 － 0. 055 7 0. 872 3 0. 813 4 1. 788 6 － 0. 180 7
M2 — — — 3. 020 3 － 18. 366 4 7. 746 4 0. 820 5 1. 600 6 0. 177 4
M3 14. 570 9 0. 000 2 － 0. 000 1 — － 0. 107 9 2. 016 3 0. 845 4 1. 500 7 0. 190 1
M4 － 61. 137 3 － 0. 145 4 0. 148 6 — － 23. 956 5 － 2. 870 3 0. 837 2 1. 466 6 － 0. 178 1
M5 25. 101 3 － 0. 000 5 0. 022 4 — － 0. 049 5 1. 763 1 0. 819 4 1. 710 5 0. 195 5
M6 4. 328 8 0. 006 9 － 0. 037 1 — － 15. 858 9 － 1. 635 6 0. 840 7 1. 479 5 0. 164 8
M7 9. 195 8 0. 210 1 0. 000 3 — － 2. 961 4 1. 800 5 0. 881 2 1. 334 2 0. 158 4
M8 9. 669 4 0. 152 8 0. 000 1 — － 12. 227 3 － 0. 622 8 0. 904 4 1. 241 1 0. 130 6
M9 0. 599 7 － 0. 244 5 — — 0. 431 9 1. 444 8 0. 826 3 1. 661 7 0. 166 3
M10 1. 747 9 0. 052 9 0. 002 4 — － 0. 074 3 － 0. 520 1 0. 880 9 1. 312 1 － 0. 132 2
M11 0. 009 2 － 0. 016 1 0. 132 5 — 1. 618 6 0. 555 3 0. 848 1 1. 488 3 0. 140 9
M12 11. 937 4 0. 087 7 － 0. 103 6 — 0. 135 5 6. 549 1 0. 867 7 1. 591 1 0. 135 7
M13 2. 647 3 0. 029 4 － 0. 001 5 — － 7. 312 8 － 2. 550 2 0. 915 7 1. 200 6 0. 129 1
从 13 个候选模型(M1 ～ M13)的拟合效果看，
包含树种优势高和林分断面积的树高 －胸径关系模
型(M13)拟合效果最好，其确定系数(Ｒ2 = 0. 915 7)
最大，绝对误差 ( Bias = 0. 129 1 ) 及均方根误差
(ＲMSE = 1. 200 6)最小。
3. 3 非线性混合效应模型构建
将 M13 中渐近线参数( b0 )作为样地间固定效
应和随机效应的组合参数，模型中所有估计参数作
为固定效应参数，并使用哑变量来解决样地内不同
树种对参数 b1 的影响，那么包含哑变量的混交林树
高 －胸径生长关系模型表达式为:
hij = 1 ． 3 + e
( b0 + μ i +
b1 +γ1 +γ2 +···+γn
d ij + b2
) + ε ij; (8)
b0 = a0 + a1 × h0 + a2 × BA。 (9)
式中:b0，a0，a1，a2，b1，b2 为模型固定效应参数; μ i
为模型样地间随机效应参数; 1… n为混交林不同
树种哑变量; h0为树种优势高(m); BA 为林分断面
积(m2·hm － 2)。
3. 4 模型拟合
对混交林中不同树种构建的非线性混合模型进
行拟合，不同树种混合模型参数估计值、Ｒ2、Bias、
ＲMSE 及 AIC 值见表 5，其中华北落叶松 － 2Log
Likelihood 值为 305. 7，白桦 － 2Log Likelihood 值为
283. 6。运用拟合模型对混交林不同树种树高值进
行预测，不同树种残差分布如图 2 所示。
3. 5 模型应用
将混交林中华北落叶松和白桦分别按胸径 2
cm 为一个径阶进行划分，利用建立的非线性混合效
应模型拟合的数据结果对数据进行统计分析 (图
3)，箱体中间线表示每个径阶的树高中值，正方形
表示树高估计值，方框两端分别表示上下四分位数，
箱体高度表示树高在 25% ～ 75%百分位数，显然方
框内包含了每个径阶 50%的树高分布值，方框上下
2 条线为除去异常值以外的树高最大和最小值。
用包含树种哑变量的混合模型来预测不同立木
优势高时，由于模型中包含了样地间随机参数和样
地内树种哑变量参数，使相同径级立木树高具有较
大的可变性，并与树高观察值分布一致，因此在包含
树种哑变量的混合效应模型中参数充分模拟了相同
径级树高的变异趋势，从而提高了混交林中不同树
种树高 －胸径生长关系模型的预测精度。
43
第 1 期 王冬至等: 基于非线性混合模型的针阔混交林树高与胸径关系
表 5 非线性混合模型参数估计及统计检验
Tab． 5 Parameter estimations and goodness-of-fit statistics of mixed models
参数
Parameters
华北落叶松 Larix principis-rupprechtii 白桦 Betula platyphylla
估计值 Estimate SD t P 估计值 Estimate SD t P
a0 3. 002 5 0. 136 8 21. 94 ＜ 0. 000 1 3. 922 5 0. 120 1 32. 66 ＜ 0. 000 1
a1 0. 009 5 0. 006 3 1. 49 0. 046 6 0. 010 8 0. 008 6 1. 26 0. 020 2
a2 － 3. 95E － 7 2. 01E － 6 － 0. 19 0. 0462 － 2. 83E － 6 2. 53E － 6 － 1. 12 0. 042 7
b1 － 11. 074 8 0. 887 5 － 12. 48 0. 022 7 － 147. 73 0. 001 5 － 963 5 ＜ 0. 000 1
b2 － 0. 002 7 1. 070 8 － 0. 94 0. 047 4 67. 396 7 0. 002 9 2 324 ＜ 0. 000 1
μ i 0. 005 3 0. 002 5 2. 12 0. 043 6 0. 004 4 0. 002 8 1. 58 0. 024 7
σ2e 1. 621 9 0. 315 9 5. 13 ＜ 0. 000 1 1. 415 8 0. 259 3 5. 46 ＜ 0. 000 1
Ｒ2 0. 926 4 0. 918 7
Bias 0. 084 1 0. 070 5
ＲMSE 1. 070 8 1. 102 2
AIC 319. 7 297. 6
图 2 不同树种残差分布
Fig． 2 The residual distribution of different species
图 3 不同树种树高 －胸径分级箱式图
Fig． 3 Box-plots of height distributions against diameter classes of different species
4 讨论
在森林资源调查中有许多不同形式的树高 －胸
径模型可供选择，以提高对样地内未观测立木树高
的预测精度，混交林样地内树种、胸径、相对密度、断
面积等林分因子比较容易观测，将这些因子加入到
基础模型中可提高模型精度及适用性。本研究中选
择了具有生物学意义的 13 个树高 －胸径关系模型，
结果表明包含树种优势高和林分断面积的模型 13
拟合效果较好，并将其作为基础模型来构建混交林
不同树种树高 －胸径生长关系混合效应模型。在混
合效应模型中，将渐近线参数( b0 )中加入随机效应
参数 μ i来提高模型在不同样地的适用性，并在与生
长速率有关的参数( b1 )中加入哑变量来解决样地
内树种间的影响，从而提供了模型精度。
本文以方法研究为主，可为准确描述混交林中
不同树种树高 －胸径关系提供参考依据。在本研究
中没有考虑不同树种空间自相关对树高 －胸径模型
的影响，然而混交林中华北落叶松和白桦树高 － 胸
径模型参数拟合精度较高，可用于塞罕坝华北落叶
53
林 业 科 学 52 卷
松 －白桦混交林立木蓄积量和生物量估计。
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(责任编辑 石红青)
63