全 文 ：第 !" 卷 第 # 期
$ % & ’ 年 # 月
林 业 科 学
()*+,-*. (*/0.+ (*,*).+
0123!"!,13#
.456!$ % & ’
718" &%6&&9%9:;6&%%&<9!##6$%&’%#&%
收稿日期" $%&$ =&& =%## 修回日期" $%&’ =%’ =$’$
基金项目" 林业公益性行业重点项目.我国典型森林类型健康经营关键技术研究/ %$%&%%!%%$& # 林业公益性行业科研专项.林分结构与
生长模拟技术研究/ %$%&&%!%$#& $
!孙华为通讯作者$
基于混合效应模型的杉木单木冠幅预测模型!
符利勇&B孙B华&!$
%&3中国林业科学研究院资源信息研究所B北京 &%%%"&# $3中南林业科技大学林业遥感信息工程研究中心B长沙 !&%%%!&
摘B要! B以湖南省黄丰桥国有林场 &%’ 块样地共 $ !>& 株杉木为例!建立单木冠幅模型$ 由于所调查数据是在
不同立地条件下相同样地中重复观察得到!数据间存在明显相关性!为解决此问题!将考虑立地指数和样地对冠幅
生长的随机影响!即建立嵌套 $ 水平非线性混合冠幅模型$ 从 &$ 个常用林分模型中选出较好的冠幅直径模型作
为构建混合模型的基础模型$ 除胸高直径外!还考虑其他 &9 个林分或树木因子对冠幅的影响$ 通过指标 .*)
%O‘O8‘F8LS1TWOE81L VT8EFT81L&和对数似然确定最佳形式参数随机效应组合类型!用指数函数(幂函数以及常数加幂
函数 ’ 种形式的残差方差模型消除异方差!最后对混合模型和传统回归模型进行比较及评价$ 结果表明" 逻辑斯
蒂形式的冠幅直径模型+模型%&’&,拟合效果较好!选择为基础模型# 胸径(冠底高(树高和样地优势高是影响冠幅
的主要因子# 幂函数消除异方差效果最好# 与立地指数相比!立地指数与样地的嵌套效应对冠幅影响更大# 模型
%&A&的嵌套 $ 水平比总体平均水平和立地指数水平预测精度高!相比于模型%&’&有明显改进$ 本文主要为方法研
究!对于其他树种可以用相似方法构建冠幅模型$
关键词" B杉木# 单木冠幅模型# 嵌套 $ 水平非线性混合模型# 异方差
中图分类号! (9A9BBB文献标识码! .BBB文章编号! &%%& =9!###$%&’$%# =%%>A =&%
S.@$V$@&"K5*1?.R$"%(+(*P*(@$7+$1.41*4",,*,7+)5*) 0),%#10)()
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#.(3$"#.-. ST1W&%’ U21EG21VOEF7 8L D4OL5SFL5u8O1GEOEF<1XLF7 S1TFGESOTW8L D4LOL IT1Z8LVF6?FVO4GF1SENFUT1Y2FW1S
N85N V1TTF2OE81L OW1L51YGFTZOE81LGEO‘FL ST1WENFGOWFGOWU2FU21E21VOEF7 8L 78SFTFLE2FZF2G1SG8EF8L7FQ! ENFTOL71W
FSFVEG1SG8EF8L7FQOL7 GOWU2FU21EGE1VT1XL 78OWFEFTXFTFV1LG87FTF7! LOWF2P! 7FZF21U8L5LFGEF7 EX12FZF2GL1L28LFOT
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S1TFGE6*L O778E81L E178OWFEFTOEYTFOGENF85NE! ENFFSFVEG1S1ENFT&$ GEOL7 1TETFFGSOVE1TGE1VT1XL 78OWFEFTXFTF
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8LS1TWOE81L VT8EFT81L& OL7 215OT8ENW28‘F28N1176-NTFFTFG874O2ZOT8OLVFW17F2G1S+QU1LFLE8O2S4LVE81L! U1XFTS4LVE81L
OL7 V1LGEOLEU24GS4LVE81L XFTF4GF7 E17FV28LFENFNFEFT1G‘F7OGE8V8EP6]8QF7 FSFVEGW17F2OL7 ETO78E81LO2TF5TFGG81L
W17F2XFTFV1WUOTF7 OL7 FZO24OEF7 S8LO2P6CFG42EGGN1XF7 ENOEVT1XL 78OWFEFT<78OWFEFTW17F21S2158GE8VS1TWO2NO7 O
YFEFTS8EFSFVEOL7 XOGGF2FVEF7 OGYOGFW17F2# 78OWFEFTOEYTFOGENF85NE! 4L7FTYTOLVN NF85NE! NF85NEOL7 71W8LOLE
NF85NE1SU21EXFTFG85L8S8VOLESOVE1TG8L VT1XL 78OWFEFTW17F2# U1XFTS4LVE81L NO7 OYFEFTOY828EPE17FV28LFENF
NFEFT1G‘F7OGE8V8EP# V1WUOT8L5E1G8EF8L7FQ! ENFLFGEF7 FSFVEG1SG8EF8L7FQOL7 U21EU2OPF7 W1TF8WU1TEOLET12F8L VT1XL
78OWFEFTW17F2# ENFUTF78VE81L FS8V8FLVP1SENFLFGEF7 EX12FZF21SW17F2%&A & XOGN85NFTENOL G8EF8L7FQ2FZF2OL7
U1U42OE81L OZFTO5F2FZF2! OL7 1YZ814G2P8WUT1ZF7 V1WUOT8L5X8EN W17F2%&’&6-N8GOTE8V2FXOGWO8L2PFWUNOG8\FWFEN17
TFGFOTVN! 8EVOL YF4GF7 G8W82OTWFEN17 ENOEUT1U1GF7 8L EN8GGE47PE1Y482EVOL1UPX8EN W17F2S1T1ENFTETFFGUFV8FG6
林 业 科 学 !" 卷B
=(> ?1*@-" B!2((*(%9.,*. #.(3$"#.-.# 8L78Z874O2VT1XL 78OWFEFTW17F2# LFGEF7 EX12FZF2L1L28LFOTW8QF7 FSFVEG
W17F2# NFEFT1G‘F7OGE8V8EP
BB树冠是树木进行光合作用的重要场所!它决定
树木的活力和生产力!在树木生长过程中也是反映
树木长期竞争水平的重要指标 %?858L5$-.#=!
&""$&$ 冠幅是树冠结构的重要特征因子之一
% (U4TT$-.#=! &"#%# ]1LGFT47 $-.#=! &""># C4GGF2
$-.#=! $%&&&!在单木生长模型中常作为协变量预测
树高和胸径生长量以及树木枯损等%]1LGFT47 $-.#=!
&""># C4GGF2$-.#=! $%&&&!同时利用冠幅计算林木的
竞争指数%KP‘1S! &""%# ?858L5$-.#=! &""A# ]1L2F1L
$-.#=! $%%!# -1LFP$-.#=! $%%"&$ 此外!冠幅也是林分
可视化的重要参数%雷相东等! $%%>&$
目前对冠幅的研究主要集中在定性和图表层面
%KP‘1S! &""%# ]1LGFT47 $-.#=! &"">&!利用传统回
归方法建立冠幅与一些林分因子!如胸高直径(树
高(胸高断面积(林分密度等因子的线性关系 %f82
$-.#=! $%%%# ?FVNE127! $%%!&$ 通常情形下!由于所
分析数据来源于重复调查数据或多水平数据!如在
不同立地条件下相同样地中对树木冠幅重复观察或
对同一株树木不同时间段多次观察等!因此数据间
可能存在明显的自相关和异相关等 %i\1N $-.#=!
$%%#&$ 回归分析方法假定数据间相互独立且非异
质性%eFGF2WOL $-.#=! &"""# fOTTFE$-.#=! $%%!&!反
映林分总体变化情况!无法分析不同水平或林分因
子对冠幅生长的随机影响$ 然而!混合模型能有效
地解决此类问题 %i\1N $-.#=! $%%## 符利勇等!
$%&$O# $%&$Y&$
国内外少数学者利用混合模型预测冠幅!例如!
(}LVNF\效应模型构建西班牙栓皮栎%P2$+32112L$+&冠幅模
型!把样地作为随机效应因子!结果为混合模型的预
测精度比普通回归模型高$ 但模型中只考虑对象木
胸高直径和样地平均直径对冠幅的影响!对于如何
利用所建模型对建模之外的样地进行预测尚未研
究$ 对于考虑 $ 个及 $ 个以上相互嵌套的林分因子
对冠幅随机影响的研究至今还未发现$ 基于以上问
题!本研究以湖南省黄丰桥国有林场 &%’ 块样地共
$ !>& 株杉木 %!2((*(%9.,*. #.(3$"#.-.&为例!把立
地指数和嵌套在立地指数中的样地作为随机效应因
子!详细介绍如何利用嵌套 $ 水平非线性混合效应
模型构建冠幅模型$ 文中从基础模型选型(林分变
量选取(混合模型参数构造到模型预测时随机效应
参数估计都始终以实用性为宗旨!保证了模型的通
用性$
&B材料与方法
CBCD研究区概况
研究区位于湖南省黄丰桥国有林场!该林场呈
带状横跨株洲市攸县东西部!介于 &&’r%!s’&&’r
!’s+!$9r%>s’$9r$!s,之间$ 东北部与江西的莲
花(萍乡交界!东南与茶陵县接壤!西北部与株洲(醴
陵毗邻$ 全场地貌以中低山为主!坡度介于 $% h
’Ar之间$ 林场地处中亚热带季风湿润气候区!年均
气温 &93# H!年均降水量& !&%3# WW$ 全场现有
林地面积&% &$$3> NW$!活立木蓄积#9" 9%A W’!森
林覆盖率为#>3$!c$ 树种主要以杉木(松类%D*(21
GUU6&为主!其中杉木面积’ &"93> NW$!占用材林面
积的 #"3"c!蓄积A"’ 9’# W’!占 ">3A>c!全部为
人工造林$ 木材资源以用材林为主!大多为中龄林(
成过熟林$
CBAD试验数据
在黄丰桥国有林场随机布置 &%’ 块样地!每块
样地调查内容有胸径 A VW以上的活立木胸径%X&(
树高%8&(冠底高% NF85NEE1VT1XL YOGF!简称 D)?&
以及东南西北 ! 个方向的冠幅半径(样地郁闭度
%VOL1UP7FLG8EP! 简称 )g&$ 所调查的样地中!随机
取出 >" 块作为建模数据!剩下 ’! 块作为检验数据!
统计信息见表 &$ 文中所指冠幅%VT1XL X87EN!简称
)K&为 ! 个方向的平均值$ 立地指数%G8EF8L7FQ!简
称 (*&由下式%杜纪山等! $%%%&计算得到"
(*?87FQU%LENALEN%&$ %&&
式中" 87 为优势木平均高%W&# N为林分年龄# N%
为基准年龄! L?&&=A!N% ?$% 年$
CBED非线性混合效应模型
嵌套多水平非线性混合效应模型!以 $ 水平为
例!表达式为%I8LNF8T1$-.#=! $%%%&"
7*’*2* a:%%!*&&!2*式中" 5为第 & 水平因子等级数# 5*为第 & 水平因
子第 *等级对应的第 $ 水平因子等级数# (*<为第 &
水平因子第 *等级第 $ 水平因子第 <等级的重复观
测次数# 7*水平因子第 <等级对应的第 C次重复调查时因变量
>>
B第 # 期 符利勇等" 基于混合效应模型的杉木单木冠幅预测模型
和自变量的观测值# &是关于参数向量 ’*和(*的非
线性函数# " 为 O[& 维固定效应参数# 2*为 ‘& [&
维的第 & 水平随机效应参数!假定服从期望为 %(方
差为 *& 的正态分布# 2*<为 ‘$ [& 维的第 $ 水平随机
效应参数!假定服从期望为 %(方差为 *$ 的正态分
布#’*<为形式参数%简称形参&!它与 " ! 2*及 2*<呈
线性函数关系# N*设计矩阵# )*差为 0的正态分布!并假定 2*! 2*<和误差项 )*间相互独立$
表 CD建模数据和检验数据统计信息!
’" -+"+$-+$7-41*%1@(K$.3 ".@V"K$@"+$1.@"+" -(+-
数据
gOEO
指标
*L7FQ
最小值
]8L6
最大值
]OQ6
平均值
]FOL
标准差
(g
变异系数
)0%c&
建模数据 ]17F28L57OEO )K:W %3# 9 ’3>! %3"A $>3%&
D)?:W & $ >3>! $3!" ’93!!
X:VW A3A ’"3A #$ A3$% $93>&
8:W !3’ $A3# &$3"% ’3%> $’3>"
N:O > ’A &"39% A3’& $>3"#
5:%ETFF0NW=$ & $’93>$ & 9&"3$9 >$#39> $$93’$ ’>3&A
(* !3"> ’%3&! &A3A9 ’3!# $$3’9
)g %3’ %3# %39% %3&& &>3’’
87 :W A3A> $’3># &!3A> ’3%$ $%39#
检验数据 0O287OE81L 7OEO )K:W %3>A >3& ’3!$ %3"% $>3’#
D)?:W &3# &A3$ >39A $3’% ’!3&!
X:VW A ’93$ &93>" A3$& $"3!9
8:W !3! &"3A &$3%" $3"% $’3""
N:O A ’A '’ A3"A ’&3#%
5:%ETFF0NW=$ & $A#3$9 & 9&’3’$ >"!3$# $"’3&> !$3$$
(* &&39> >A3#"& &A39A >3## !’39%
)g %3$ %3" %39% %3&$ &93%#
87 :W >3&# &93"! &’3>! $3#& $%3A9
BB" 5为林分密度$ 58GGEOL7 7FLG8EP6
BB立地指数是影响林分生长的主要因子%i\1N $-
.#=! $%%#&$ 各样地间立地质量的好坏呈随机分布!因
此!各样地间树木冠幅生长存在随机差异$ 按 (*o
&$!&$#(*o&’!&’#(*o&!!&!#(*o&A!&A#(*o&>!
&>#(*o&9!&9#(*o&# 和 (*%&# 把立地质量划分成
& h# 个等级$ 由于不同立地质量等级中嵌套着一定
数量的样地!因此本研究把立地质量作为第 & 水平随
机效应因子!样地作为第 $ 水平随机效应因子!通过
构建嵌套 $ 水平非线性混合效应模型分析立地指数(
样地以及它们之间交互作用对冠幅生长的随机影响$
&3’3&B基础模型B选用 &$ 种冠幅 =胸径模型作为
候选基础模型!见表 $$ 其中! ({LWF\% $%%" & 和
(}LVNF\其辽东云杉%D*3$. "+*$(-.#*1&和西班牙栓皮栎冠幅
进行拟合!后 ! 种为林业上常见林分生长模型$ 利
用平均残差% ’$&(残差方差% +$ &(均方误差% $&和
决定系数% 0$ &! 个指标选出一种拟合效果最好的
模型作为构建冠幅混合模型的基础模型$ 平均残差
% ’$&(残差方差% +$ &和均方误差% $&的计算见公
式%!& h%>&"
表 AD候选基础模型!
’"函数 @4LVE81L 函数表达式 @4LVE81L FQUTFGG81L 函数形式 @4LVE81L S1TW 来源 (14TVF
#6& )Kb’& _’$X 线性 /8LFOT (}LVNF\#6$ )Kb’& _’$X_’’X
$ 二次型 J4O7TOE8V (}LVNF\#6’ )Kb’&X’$ 幂函数 I1XFT (}LVNF\#6! )Kb’& +& =FQU% =’$X& , ]1L1W12FV42OT (}LVNF\#6A )Kb+g:%’& _’$X& ,
$ D1GGSF27 & (}LVNF\#6> )Kb’& %’$ &
X )1WU14L7 ({LWF\! $%%"
#69 )KbFQU%’& _’$X& fT1XEN ({LWF\! $%%"
#6# )Kb’&FQU%’$X& 指数函数 +QU1LFLE8O2 ({LWF\! $%%"
#6" )Kb’& +& =$@O% =’$X& ,’’ C8VNOT7G
#6&% )Kb’& :+& _’$FQU% =’’X& , /158GE8V
#6&& )Kb’& :& _FQU+’$ _’’2L%X_&& , /158GE8V
#6&$ )Kb’& +& =FQU% =’$X’’ & , KF8Y42
BB" ’& !’$ 和 ’’ 分别为形式参数$ ’& !’$ !’’ OTFS1TWO2UOTOWFEFTG6
9>
林 业 科 学 !" 卷B
’$?(
5
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(*<
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%)K*,?(
5
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(
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C?&
%$*A’$&
$E%:A&&# %A&
$? ’$$ G槡 ,$ %>&
式中" )Ka *平均值$
&3’3$B林分变量B除与胸径相关外!冠幅还受其他
林分变量的影响!如树木大小和林分活力因子(立地
条件因子以及林分竞争因子等% (}LVNF\.#=! $%%## ({LWF\! $%%"# 雷相东等! $%%>&$ 同时
在模型中增加林分变量能降低林分或单木水平随机
效应差异对冠幅的影响%I8LNF8T1$-.#=! &""#&$ 本
研究考虑的林分变量有"
树木大小和林分活力因子’’’林分年龄 %N&(
林分密度 %5&(郁闭度 %)g&(树高 %8&(冠底高
%D)?& % )O2OWO$-.#=! $%%!# (}LVNF\立地条件因子’’’立地指数% (*& % (U4TT$-.#=!
&"#%# (}LVNF\林分竞争因子’’’样地算术平均直径 %]g&(
样地优势木平均高 %gD&(样地优势木平均直径
%gg&(样地平方平均直径%]gg&(样地中大于对象
木直径树木的总株树%/g,&(样地中大于对象木直
径所有树木胸高直径和 %/g(g&(样地中大于对象
木直径所有树木胸高直径的平均值%/g]g&(样地
中大 于 对 象 木 直 径 所 有 树 的 胸 高 断 面 积 和
%/g(.&(样地中大于对象木直径所有树的胸高断
面积平均值(样地中大于对象木树高所有树的树高
和%/D(D&(样地中大于对象木树高所有树的树高
平均 值 % /D]D& % i\1N $-.#=! $%%## (}LVNF\<
f1L\}2F\$-.#=! $%%#&$ 林分变量选择标准见文献
)O2OWO等%$%%!&和 i\1N 等%$%%#&$
&3’3’B形式参数构造B给定基础模型后!利用评价
指标 .*)和对数似然 /1528‘ 确定最优随机效应组合
构造类型%ROL5$-.#=! $%&&&$ 为避免模型参数过
多!本文利用似然比检验%@OL5$-.#=! $%%&&"
/C-?$25%K&EK$& ?$%25K& A25K$&$
式中" K& 和 K$ 分别为模型 & 和模型 $ 的似然函数
值!/C-服从自由度为 C& AC$ 的 -分布$ 给定可靠
性#?%=%A!当 /C-% -#%C& AC$& 拒绝原假设!说
明这 $ 个模型差异显著# 反之! $ 个模型差异不显
著!故选择含随机效应参数较少的模型$
&3’3!B随机效应参数方差 !*& 和*$ "结构B与
)O2OWO等%$%%A&的方法相似!假定 *& 和*$ 为无结
构类型!以 ’ [’ 维矩阵为例! *& 或*$ 写为"
+$& .&$ .&’
.$& +
$
$ .$’
.’& .’$ +

$’
$
其中" +$*% *?&!$!’ &为第 *个随机效应参数方差#
.*<% 机效应的协方差!满足 .*&3’3AB误差项方差协方差!0"结构B在重复观测
数据中!误差项的方差协方差矩阵 0可能存在明显
异方差和自相关$ 为解决该问题! gOZ878OL 等
%&""A&(]FL5等%$%%"&采用下式"
0*$ ]%=A*< /*<]
%=A
*< $ %9&
式中" +$ 为误差扩散的比例因子 %fTv518TF$-.#=!
&""A&!由模型的残差方差值所给定# /*<为用来描
述对象内误差自相关的 (*<[(*<维矩阵!本研究中由
于各样地内观测数据间没有明显的相关性!故/*<为
单位矩阵#]*<是用来描述对象间方差异质性的 (*<[
(*<维对角矩阵!其中!对角元素为相应误差项的标
准差$
本研究试图通过对残差方差增加权重消除异方
差%I8LNF8T1$-.#=! $%%%# )O2OWO$-.#=! $%%A&$ 从自
变量为胸径的指数函数(幂函数和常数加幂函数 ’
个候选模型中由 .*)和似然比检验确定一个效果
最好的残差方差模型%I8LNF8T1$-.#=! $%%%&$
类型 &" 指数函数
ZOT%)*$FQU%$&X*BB类型 $" 幂函数
ZOT%)*$X*$&# %"&
BB类型 ’ 常数加幂函数
ZOT%)*$ %&& GX
&$
*$$ %&%&
式中" &!&& 和 &$ 为待估参数$
CBGD参数估计
本研究混合模型的计算是在 (函数上实现的!该函数中参数估计方法为 /?算法
%/8L7GET1W$-.#=! &"%%&!主要包含 $ 个步骤" 惩罚
最小二乘步 %I,/(&和线性混合效应步 %/]+&!模
型中所有待估参数通过这 $ 个步骤相互交替运算得
到!详细 计算 见 符 利 勇 等 % $%&$Y &( I8LNF8T1等
%$%%% &$ 选 用 限 制 极 大 似 然 参 数 估 计 方 法
%TFGET8VEF7 WOQ8W4W28‘F28N117! C+]/& %ROL5$-.#=!
$%&&&$
#>
B第 # 期 符利勇等" 基于混合效应模型的杉木单木冠幅预测模型
CB8D模型预测和评价
在利用考虑立地指数和立地指数与样地嵌套效
应的嵌套 $ 水平非线性混合效应模型对冠幅进行预
测时!需考虑以下 $ 种情形 %01LFGN $-.#=! &""9#
@OL5$-.#=! $%%&# )O2OWO$-.#=! $%%A&"
&& 总体平均响应!又称固定效应响应!即预测
冠幅时!只需在预测样地中测量模型中所含的林分
变量和对象木胸高直径$
$& 主体特定%G4Y;FVE应!即预测冠幅时!除测量模型中所含自变量外!还
需测量一定数量对象木的冠幅来估计随机效应参数
%立地指数效应和立地指数与样地嵌套效应&$ 通
常测量对象木的冠幅越多!模型预测精度越高
%ROL5$-.#=! $%%"&$ 为考虑测量成本和模型实用
性!)O2OWO等%$%%A&建议随机测量 ! 株株对象木就
能有效估计随机效应参数值!本研究采取该方法$
&3A3&B总体平均模型B总体平均模型% U1U42OE81L<
OZFTO5F7 W17F2!又称 I.模型&是指模型中形式参数
只含固定效应部分!所有随机效应参数值默认为 %
%ROL5$-.#=! $%%"&!即"
)K*式中" )K*样地中第 C株杉木的冠幅和自变量# ’a*<为形式参
数!在 I.模型中!它只包含固定效应参数 "a$
&3A3$B立地指数水平B假定最终模型中只考虑立
地指数效应对冠幅的影响!而不考虑其他效应 %如
立地指数与样地的嵌套效应&!即公式%&&&中 ’*<含
有 "a和2a*$ 通常 2a*由下式%01LFGN $-.#=! &""9&计算
得到"
La*) ]a!a
H
*%0a*G!a*]a!a
H
*&
A& F$*$ %&$&
式中" La* ?2a*为立地指数所产生的 ‘& [& 维随机效
应# ]a?*a& 为‘& [‘& 维方差协方差矩阵#!a*? a^*为
(*[‘& 维设计矩阵# (* ?(
5*
*?&
(*<$
表 & 中!由于检验数据的区组与建模数据完全
相同!因此不需重新计算 2a*! 预测时可直接取自最
终模型参数的估计结果$
&3A3’B立地指数和样地嵌套 $ 水平!立地指数 _立
地指数!样地"B当模型中同时考虑立地指数效应
和立地指数与样地的嵌套效应对冠幅的影响时!公
式%&&&的 ’*<中除 "a外还有 2*和2*<$ 同样随机效应
由 公 式 % &$ & 计 算 得 出! 此 时! La* ?
%2H*!2
H
*&!2
H
*$!-!2
H
*5*
&H为 %‘& G5*‘$& [& 维增广随
机效应参数向量 %I8LNF8T1$-.#=! $%%% &! ]a ?
78O5%*&!*$!-!*$& 为 %‘& G5*‘$& [%‘& G5*‘$& 维
对角块正定矩阵#
!a* ?
*^& ’*& % % %
*^$ % ’*$ % %
6 % % * %
*^5*
% % % ’*5


* (*[%‘&G5*‘$&
为设计矩阵$ 与只考虑立地指数效应相类似!表 &
中检验数据与建模数据有相同的立地指数等级!因
此不需重新计算 2a*$
&3A3!B模型评价B利用 ’$!+$!$!0$ 和似然比检验
对模型进行评价!其中指标 ’$!+$!$计算见公式
%!& h%>&!似然比检验见 &3’3’ 节$
$B结果
ABCD基础模型
表 ’ 为模型 %#6&&’模型 %#6&$ &的评价指
标$ 从表 ’ 中可看出!在建模数据和检验数据中!尽
管所有模型指标较接近!但模型%#6&%& %逻辑斯蒂
模型&比其他模型预测效果稍好点!而且模型%#6
&%&在林分生长模型中也经常被用到%D4OL5$-.#=!
$%%%# 李永慈等! $%%!&!因此本文选择它作为构建
冠幅混合模型的基础模型"
)K*%&’&
式中" )K*样地第 C株对象木冠幅%W&和胸高直径%VW&# ’& !
’$ 和 ’’ 为形式参数$
ABAD林分变量
为避免模型中过多参数和变量间共线性!将选
择与冠幅相关性较大的样地优势木平均高%gD&(
对象木冠底高%D)?&和对象木树高%8&作为新增加
的林分变量!模型表达式为"
)K*FQU+A%’’ G’>8*式中"gD*<为立地指数第*等级中第<个样地的优势
木平均高%W&# )D*样地第 C株对象木冠底高%VW&和树高%W&# ’! ! ’A
和 ’> 为形式参数$
ABED混合模型构造
当同时考虑立地指数效应和立地指数与样地嵌
套效应时!共有 >’ 种不同随机效应组合形式!其中
&$ 种形式计算收敛!当立地指数效应和立地指数与
样地的嵌套效应同时作用在 ’’ 和 ’A 上时!.*)b
">
林 业 科 学 !" 卷B
BBBB 表 ED模型评价指标
’"模型
]17F2
建模数据 ]17F28L57OEO 检验数据 0O287OE81L 7OEO
’$ , $ 0$ ’$ , $
#6& =%3%%& % %39>’ > %39>’ > %3’A% > =%3&%& & %3>&% ’ %3>&# 9
#6$ %3%&> % %39>& # %39>& " %3’A’ ! =%3%#% ! %3>%" & %3>&! !
#6’ %3%%% % %39>$ # %39>$ # %3’A& " =%3%"& $ %3>%# ’ %3>&A &
#6! %3%%’ % %39>> ! %39>> ! %3’!A # =%399& % %3>&! # %3>&" >
#6A %3%%$ 9 %39># 9 %39># 9 %3’!& # =%3%9A ’ %3>$& & %3>$A >
#6> =%3%%% ! %399% A %399% A %3’’# 9 =%3&&& 9 %3>$> " %3>’> 9
#69 =%3%%A " %399% A %399% A %3’’# 9 =%3&&> 9 %3>$> ’ %3>’9 &
#6# %3%%& ! %399% A %399% A %3’’# 9 =%3&&% % %3>$9 & %3>’> >
#6" =%3%’" & %39>$ " %39>’ " %3’A& " =%3&$# # %3>%9 9 %3>$& $
#6&% %3%%% & %39>% # %39>% # %3’A! " =%3%"# % %3>%9 % %3>&! "
#6&& %3%%% A %39>$ 9 %39>$ 9 %3’A$ & =%3%"& " %3>%# $ %3>&A &
#6&$ %3%%! A %39>$ # %39>$ " %3’A& " =%3%#> 9 %3>%# ! %3>&! A
$ 9&!3>!最小!/1528‘ b=& ’!!3’$最大!模型表达
式为"
)K*+"$ G%"A G2A*G2A*<&D)?*FQU+A%"’ G2’*G2’*8*%&A&
式中" "& a"> 为固定效应参数# 2’*和 2A*分别为立
地指数作用在’’和’A上的随机效应参数# 2’*<和 2A*<
分别为样地作用在 ’’ 和 ’A 上的随机效应参数$
ABGD误差项方差协方差#8$结构
表 ! 为模型%&A&对应 ’ 种加权残差方差模型
和不加权%独立等方差&时模型的评价指标$ 从表 !
中可知!考虑残差加权的 ’ 种模型与不加权模型差
异显著%Do%3%%&&!表明 ’ 种加权残差方差模型能
明显解除异方差$ 其中!幂函数+模型%"&,的指标
最小!故选它为模型%&A&的残差方差模型$
表 GD各残差方差模型评价指标
’"残差方差模型
CFG874O2ZOT8OLVFW17F2
.*) /1528‘ D
独立等方差 (VO2F7 *7FLE8EP $ 9&!3"# =& ’!!3!"
幂函数 I1XFTS4LVE81L $ >’#3A& =& ’%A3$> Do%3%%&
指数函数 +QU1LFLE8O2S4LVE81L $ >!&3&$ =& ’%>3A> Do%3%%&
常数加幂函数
)1LGEOLEU24GU1XFTS4LVE81L
$ >!$3’’ =& ’%>3&9 Do%3%%&
AB8D模型参数估计
表 A 给出了模型%&’&(模型%&!&和模型%&A&的
参数估计值以及评价指标 %.*)和 /1528‘&$ 模型
%&’&和模型%&!&未考虑随机效应和对残差方差加
权!故方差参数只有 +$ $ 模型 %&A&的评价指标比
另外 $ 个模型明显要好!说明立地指数以及立地指
数和样地的嵌套效应对冠幅影响较大$ 把固定效应
参数估计值代入到模型%&A&中!得到杉木冠幅的一
般模型表达式为"
)K*+$3"%> ! G%A%3%"A ! G2A*G2A*<&D)?*FQU+A%%3%!& 9 G2’*G2’*%3%%% #8*其中! 2* ?
2’*
2A
[ ]
*
a : [ ]%% !*& ? % &( ){ }& %3%$! # !
2*2’*<
2A
[ ]
*<
a : [ ]%% !*$ ? %3%$$ A %3A’$( ){ }%3A’$ %3%"! ! !
)*%3A
*<4(*]
%3A
*<&!ZOT%)*&3&$>
*ABND模型预测和评价
表 > 列出模型%&A&对应的总体平均水平%I.&(
立地指数水平 % (*&以及同时考虑立地指数和立地
指数与样地的嵌套效应% (*_(*!I21E!简称嵌套 $
水平&的评价指标$ 为与混合模型比较!表 > 还给
出了模型%&’&和模型%&!&对应的评价指标$ 从表
> 中可知!嵌套 $ 水平预测效果最好!其次是 (*水
平!而 I.水平预测效果最差$ ’ 种水平的平均预测
残差%’$&都显著地不等于 %%#b%3%A&$
与模型%&’&和模型%&!&相比!模型%&A&的嵌套
$ 水平 % (*_(*!I21E&明显提高了模型预测精度$
例如!在建模数据中!对于 0$!模型%&A&的嵌套 $ 水
平比基础模型 %&’&提高了 &&&3A$c!比基础模型
%&!&提高了 #&3AAc$ 在检验数据中!对于 $!模型
%&A& 的 嵌 套 $ 水 平 比 基 础 模 型 % &’ & 减 少 了
!$399c!比基础模型%&!&减少了 ’"3#%c$ 而模型
%&A&的 I.水平和 (*水平与模型%&’&和模型%&!&
预测效果较接近!说明立地指数和样地的嵌套效应
对冠幅的随机效应较大$
%9
B第 # 期 符利勇等" 基于混合效应模型的杉木单木冠幅预测模型
表 8D各模型参数估计值和评价指标!
’"参数
IOTOWFEFTG
模型%&’&
]17F2%&’&
模型%&!&
]17F2%&!&
模型%&A&
]17F2%&A&
模型%&>&
]17F2%&>&
模型%&9&
]17F2%&9&
固定效应参数 "& >3%’’ ’ A3"&9 ! 93&"A " 93#&’ % >3"&" $
@8QF7 FSFVEGUOTOWFEFTG "$ $3"&& $ &3$9> & $3"%> ! ’3’A> ! $3"!! $
"’ %3%#% $ =%3%A> ! %3%!& 9 %3%A# & %3%!$ ’
"! ’ =%3%A$ A =%3%’’ ! %3%%% ’ %3%%% 9
"A ’ =%3%$’ ! =%3%"A ! =%3&%# > =%3%"’ 9
"> ’ %3%%# 9 %3%%% # =%3%9# $ =%3%&9 #
郁闭度效应 "%&&& ’ ’ ’ ’ %3$!$ ’
)OL1UP7FLG8EPFSFVEG "%$&& ’ ’ ’ ’ %3%&’ &
"%’&& ’ ’ ’ ’ %3&A# &
"%!&& ’ ’ ’ ’ %3%’% ’
方差参数 +$I’ ’ ’ %3%%% % %3%%% $ %3%%! A
0OT8OLVFUOTOWFEFTG +$IA ’ ’ %3%$! # %3%%% &
.I’A ’ ’ &3%%% % &3%%% %
+$I!D’ ’ ’ %3%$$ A %3%$% " %3%$$ "
+$I!DA ’ ’ %3%"! ! %3%"> %
.I!D’A ’ ’ %3A’$ %3>%% %
+$ %3A9" " %3A$9 " %3%"’ % %3%"" A %3%"% ’
& ’ ’ %3A>’ % %3A!" A %3A9’ $
评价指标 .*) ’ "!93$A ’ #$%3A> $ >’#3’’ $ >>"3’# $ >’%3!
+ZO24OE81L 8L7FQFG /1528‘ =& ">"3>$ =& "%’3$# =& ’%A3&9 =& ’$!3>" =& $"93’!
BB" "%&&& !"
%$&
& !"
%’&
& 和 "
%!&
& 分别为固定效应参数 "& 对应的郁闭度第 &!$!’ 和 ! 等级与第 A 等级差异程度#+
$
I’ !+
$
IA 和.I’A 为 2*的方差协方
差参数# +$I!D’ ( +
$
I!DA 和 .I!D’A 为 2*<的方差协方差参数$ "
%&&
& ! "
%$&
& ! "
%’&
& OL7 "
%!&
& OTFENF78SFTFLVFG1SENFS8TGE! GFV1L7! EN8T7 OL7 S14TEN V2OGG1S
VOL1UP7FLG8EPE1ENOE1SENFS8SEN#+$I’ !+
$
IA OL7.I’A OTFZOT8OLVF$
I!D’ !+
$
I!DA OL7.I!D’A OTFZOT8OLVFS1T2*<=
表 ND各模型评价指标
’"模型 ]17F2
建模数据 ]17F28L57OEO 检验数据 0O287OE81L 7OEO
’$ , $ 0$ ’$ , $
I. %3%&! A %39>$ # %39>’ % %3’A$ ’ =%3&&> ’ %3>&# " %3>$" #
((% (*& %3%%% & %39!> " %39!> " %3’9# # =%3&&’ & %3>%" 9 %3>$% &
((% (*_(*!I21E& =%3%%$ % %3!9’ $ %3!9’ $ %39A% 9 =%3%%9 > %3’A& > %3’A& 9
模型 ]17F2%&’& %3%%% & %39>& % %39>& % %3’A! " =%3%"# % %3>%> > %3>&! A
模型 ]17F2%&!& =%3%&% & %39$A A %39$A > %3!&’ A =%3&&> 9 %3A9$ ! %3A#! $
模型 ]17F2%&>& =%3%%’ & %3!"% 9 %3!"% 9 %39’& # =%3%%" & %3’>! A %3’>! >
模型 ]17F2%&9& =%3%%& $ %3!>’ 9 %3!>’ 9 %39>& ! =%3%%A ’ %3’%! > %3’%! 9
BB图 & 为模型%&A&对应的 I.水平((*水平((*_
(*!I21E水平以及模型%&’&和模型%&!&拟合建模数
据的残差分布图$ 从图 & 中可知!模型%&’&和模型
%&!&的残差呈喇叭分布!即存在异方差!而模型
%&A&的 (*_(*!I21E水平残差分布比其他模型明显
紧密且平行于横坐标$ 同时通过图 & 还能说明残差
方差加权不能明显消除模型 %&A&的 I.水平和 (*
水平的异方差$ 对于检验数据!各模型残差分布与
建模数据相类似!本研究不再给出$
综合以上分析!把同时考虑立地指数效应和立
地指数与样地嵌套效应的模型%&A&作为预测杉木
冠幅大小的最终模型$
’B结论与讨论
与)O2OWO等%$%%A&的做法一样!首先从常见林
分模型中确定一个较好描述冠幅和胸高直径关系的
模型作为基础模型$ 关于模型中形式参数是否包含
随机效应!)O2OWO等%$%%A&是在考虑各形式参数是
否包含林分变量之前确定!但通常由于模型增加林
分变量后将新增加部分形式参数!这些形式参数可
能受随机效应因子的影响$ 基于该问题!本研究首
先在基础模型中增加林分变量!然后在增加林分变
量的模型中确定各形式参数是否考虑随机效应$ 如
果按照)O2OWO等%$%%A&方法!本实例最终选择的最
&9
林 业 科 学 !" 卷B
图 &B各模型残差分布
@853&BCFG874O2G78GET8Y4E81L S1TFOVN W17F2
佳混合模型为"
)K*FQU+A%"’ G2*G2*8*&
即!增加的林分变量对应的形式参数!如 ’!!’A 和
’> 不考虑随机效应!故 ’! ?"!!’A ?"A!’> ?"> 只
含固定效应部分!而之前基础模型%&’&中的 ’& 和
’$ 不考虑随机效应参数! ’’ 考虑立地指数效应和
立地指数与样地的嵌套效应$ 模型 %&>&的参数估
计量见表 A!对应的建模数据和检验数据评价指标
见表 >$ 模型%&A&的 .*)比模型%&>&要小!/1528‘
比模型%&>&要大!通过似然比检验 $ 个模型差异显
著%Do%3%%% &&$ 同时预测指标 ’$! ,! $!0$ 都满
足模型%&A&比模型%&>&要好!因此说明本研究所使
用的方法比 )O2OWO等%$%%A&要好$
为改进模型预测精度!除胸高直径外!本研究还
考虑 &9 个林分和树木因子对冠幅的影响$ 研究发
现对象木树高(冠底高和优势木平均高对冠幅影响
最大$ ’ 个指标中!优势木平均高为样地水平!剩下
$ 个为单木水平$ 尽管模型中增加优势木平均高能
减少各样地间随机效应差异%I8LNF8T1$-.#=! &""##
)O2OWO$-.#=! $%%A# ROL5$-.#=! $%%"&!但模型%&A&
的 (*水平和 (*_(*! U21E水平预测效果差异较大
%表 >&!表明在模型%&A&中再增加样地水平变量能
进一步提高模型预测精度$ 林分郁闭度 %VOL1UP
7FLG8EP!简称 )g&是除被选中的 ’ 个指标外对冠幅
影响最大的一个样地水平变量$ 把样地按 )go
%3A!%3A#)go%3>!%3>#)go%39!%39#)go%3#
和 )g%%3# 划为 A 个等级!构造哑变量 J! 其中
J& ?& 表示郁闭度第 & 个等级!J& ?% 为剩下其他
等级! J$ ?& 表示郁闭度第 $ 个等级! J$ ?% 为剩
下其他等级!依次类推!其中 J& ?J$ ?J’ ?J! ?
% 时表示郁闭度第 A 个等级 %)O2OWO$-.#=! $%%A&$
假定把哑变量 J作用在形式参数 0& 上!模型写为"
)K*%&&
& J& G"
%$&
& J$ G"
%’&
& J’ G"
%!&
& J! G
"!gD*FQU+A%"’ G2*G2*8*%&9&
模型中其他变量与模型%&A&完全相同$ 通过对模
型%&9&进行计算!参数估计量(.*)和 /1528‘ 见表
A!对应建模数据和检验数据的评价指标见表 >$ 从
表 A 和表 > 可知!模型%&9&在模型%&A&的基础上能
进一步提高预测精度$ 图 $ 为模型 %&9&拟合建模
数据时各等级的残差分布图$ 同样模型 %&A&还可
增加其他样地水平变量提高模型预测精度$ 需注意
的是模型中过多参数可能会影响模型计算不收敛!
与此同时模型中林分变量过多会增加野外调查成
本!从而限制模型应用%I8LNF8T1$-.#=! $%%%# )O2OWO
$-.#=! $%%A# .7OWF$-.#=! $%%#&$ 本研究基于这些
问题!最终只选择包含胸高直径在内的 ! 个主要林
分变量$
利用模型%&A&对冠幅进行预测时!最关键的步
骤是对随机效应参数估计 %@OL5$-.#=! $%%&#
)O2OWO$-.#=! $%%A&$ 应用时!除调查模型中含有的
林分变量外!还需在样地中测量一定株树的冠幅来
$9
B第 # 期 符利勇等" 基于混合效应模型的杉木单木冠幅预测模型
B
图 $B模型%&9&对应 A 个不同郁闭度等级的残差分布
@853$BCFG874O2G78GET8Y4E81L 1SA 78SFTFLEVOL1UP7FLG8EP5TO7FGS1TW17F2%&9&
估算立地指数效应和立地指数与样地的嵌套效应$
)O2OWO等%$%%A&和 ROL5等%$%%"&对需抽取多少株
树木计算随机效应最合适进行详细研究$ ROL5等
%$%%"&建议估计随机效应参数时所调查的树木株
树越多越好!但这需根据实际情况而定$ 目前较常
用的是在所预测样地的子样地中随机抽取 ! 株树木
估计随机效应%)O2OWO$-.#=! $%%A&!本研究进一步
验证该方法可行$ 本文主要为方法研究!除杉木树
种外!其他树种都可以利用相似方法来构建冠幅
模型$
参 考 文 献
杜纪山!唐守正!王洪良6$%%%6天然林区小班森林资源数据的更新
模型6林业科学! ’>%$& " $> =’$6
符利勇! 李永慈! 李春明! 等6$%&$O6利用 $ 种非线性混合效应模
型%$ 水平 & 对杉木林胸径生长量的分析6林业科学! !#
%A& "’> =!’6
符利勇! 唐守正6$%&$Y6基于非线性混合模型的杉木优势木平均
高6林业科学! !# %9& " >> =9&6
雷相东! 张则路! 陈晓光6$%%>6长白落叶松等几个树种冠幅预测
模型的研究6北京林业大学学报! $#%>& " 9A =9"6
李永慈!唐守正6$%%!6用 ]8QF7 和 ,2W8QF7 过程建立混合生长模型6
林业科学研究! &9%’& " $"9 =$#’6
.7FWFI! 7F2C~1g! )OF2OG*6$%%#6.W8QF7 L1L28LFOTNF85NE<
78OWFEFTW17F2S1TIPTFLFOL 1O‘ % P2$+321O7+$(.*3. K8276&6
@1TFGE+V1215POL7 ]OLO5FWFLE! $A>%& :$& " ## ="#6
?FVNE127 K .6$%%!6/OT5FGEVT1XLGUFV8FG8L ENFXFGEFTL iL8EF7 (EOEFG6KFGEFTL 1^4TLO21S.UU28F7
@1TFGETP! &"%!& " $!A =$A%6
?858L5f (! g1YYFTE8L ]6&""A6+ZO24OE81L 1SV1WUFE8E81L 8L78VFG8L
8L78Z874O2ETFF5T1XEN W17F2G6@1TFGE(V8FLVF! !& %$& " ’>% =’996
?858L5f(! g1YYFTE8L ]6&""$6.V1WUOT8G1L 1S78GEOLVF<7FUFL7FLE
V1WUFE8E81L WFOG4TFGS1TNF85NEOL7 YOGO2OTFO5T1XEN 1S8L78Z874O2
V1L8SFTETFFG6@1TFGE(V8FLVF! ’#%’& " >"A =9$%6
)O2OWOC! ]1LEFT1f6$%%A6]42E82FZF228LFOTW8QF7 W17F2S1TETFF
78OWFEFT8LVTFWFLE8L GE1LFU8LF % D*(21O*($. & " OVO28YTOE8L5
OUUT1OVN6(28ZO@FLL8VO! ’"%&& " ’9 =A!6
)O2OWOC! ]1LEFT1f6$%%!6*LEFTTF581LO2L1L28LFOTNF85NE<78OWFEFT
W17F2X8EN TOL71WV1FS8V8FLEGS1TGE1LFU8LF8L (UO8L6)OLO78OL
1^4TLO21S@1TFGECFGFOTVN! ’!%&& " &A% =&>’6
gOZ878OL ]! f82E8LOL g ]6&""A6 ,1L28LFOTW17F2GS1TTFUFOEF7
WFOG4TFWFLE7OEO6)NOUWOLzDO2! ,FXR1T‘6
@OL5M! ?O82FPC/6$%%&6,1L28LFOTW8QF7 FSFVEGW17F28L5S1TG2OGN
U8LF 71W8LOLE NF85NE 5T1XEN S121X8L5 8LEFLG8ZF G82Z8V42E4TO2
ETFOEWFLEG6@1TFGE(V8FLVF! !9%’& " $#9 =’%%6
fOTTFE] @! /O8T7 , ]! KOTF^D6$%%!6.UU28F7 21L58E478LO2
OLO2PG8G6 K82FP<*LEFTGV8FLVF! 1^NL K82FP OL7 (1LG! *LV6!
I4Y28VOE81L! ,FX F^TGFP6
f82( !^ ?858L5f(! ]4TUNP.)6$%%%6]17F28L5V1L8SFTETFFVT1XL
TO784G OL7 FGE 8WOE8L5 VOL1UP V1ZFT6 @1TFGE +V1215P OL7
]OLO5FWFLE! &$>%’& " !%A =!&>6
fTv518TF-f! (VNOYFLYFT5FT[! ?OTTFE I^6&""A6/8LFOTW17F28L51S
8TTF542OT2PGUOVF7! 4LYO2OLVF7! 21L58E478LO27OEOST1W UFTWOLFLE
U21E WFOG4TFWFLEG6 )OLO78OL 1^4TLO2 1S @1TFGE CFGFOTVN!
$A%&& " &’9 =&A>6
D4OL5(! IT8VFg! -8E4G( 6^$%%%6gFZF21UWFLE1SFV1TF581LNF85NE<78OWFEFTW17F2GS1TXN8EFGUT4VF8L Y1TFO2S1TFGEG6@1TFGE
+V1215POL7 ]OLO5FWFLE! &$"%& :’& " &$A =&!&6
eFGF2WOL D !^ .258LO^ ! e1XO2VN4‘ Ce! $-.#=&"""6.V1WUOT8G1L 1S
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TFUFOEF7 WFOG4TFG7OEO6?81WFET8VG! !>%’& " >9’ =>#96
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FSFVEGW17F2G7FW1LGETOEF7 1L ONF85NE5T1XEN S4LVE81L6@1TFGE
(V8FLVF! AA%’& " $’" =$!#6
’9
林 业 科 学 !" 卷B
]1L2F1L 0 !^ .\4WOg! fF7LFPg6$%%!6+u4OE81LGS1TUTF78VE8L5
4LV1WUOVEF7 VT1XL TOE81YOGF7 1L V1WUOVEF7 VT1XL TOE81OL7 ETFF
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]O78G1L! K8G6
I8LNFT81^ )! ?OEFGg]6$%%%6]8QF7(UT8L5<0FT2O5! ,FXR1T‘! ,R6
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Fu4OE81LGS1T&A ETFFGUFV8FG8L ]O8LF6KFGEFTL 1^4TLO21S.UU28F7
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(}LVNF\78OWFEFTOL7 VT1XL 78OWFEFTUTF78VE81L W17F2GS1TV1T‘ 1O‘ S1TFGEG
8L (UO8L6@1TFGE(PGEFWG! &>%&& " 9> =##6
({LWF-6$%%"6g8OWOEFTOEYTFOGENF85NEW17F2GS1T D*3$. "+*$(-.#*1= .ST8VOL 1^4TLO2 1S.5T8V42E4TO2
CFGFOTVN! !%’& " $&A =$&"6
(U4TT( D! ?OTLFG?06&"#%6@1TFGEFV1215P6’T7 F7L6^ 1NL K82FP! ,FX
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