全 文 ：第 29 卷第 2 期
2015 年 2 月
白 城 师 范 学 院 学 报
Journal of Baicheng Normal University
Vol． 29，No． 2
Feb．，2015
车轴草与粉苞苣的竞争系统数学模型分析
刘玉丽，姜玉秋
(吉林师范大学 数学学院，长春 130103)
摘要:本文研究了竞争系统的两种群在受资源限制的情况下而产生的数学模型，并对
其平衡点进行了动力学行为分析，用 MATLAB进行数值模拟得到与理论分析相一致的结
果．
关键词:竞争系统;平衡点;Matlab数值模拟
中图分类号:O175 文献标识码:A 文章编号:1673-3118(2015)02-0040-03
收稿日期:2014 － 11 － 20
作者简介:刘玉丽(1989———) ，女，硕士研究生，研究方向:生物数学．
通讯作者:姜玉秋(1966———) ，女，教授，硕士生导师，研究方向:生物数学．
1 引言
在北美地区的一个理想小生境中生长着两种重要的牧草作物，车轴草与粉苞苣，它们生长在同一环
境，利用同一资源，由于资源受限，故发生竞争关系，这种竞争长时间地进行势必会导致其中一种种群的生
长数量减少，为了保护资源，我们将人为的控制和干预使其达到生态平衡，为了更好地描述这两种群的变
化，我们将对 Volterra模型进行分析．
假设这个小生境里的每棵车轴草与粉苞苣都处于健康的生长状态，那么这两个种群相互竞争时，每个
物种在 t时刻的增长情况，满足以下方程:
dx1
dt = x1(r1 － a11x1 － a12x2)
dx2
dt = x2(r2 － a21x1 － a22x2
{ ) (1． 1)
其中 x1和 x2分别表示在这个小生境中车轴草与粉苞苣的总数量，r1和 r2分别表示车轴草与粉苞苣的
內禀增长率，a11 和 a22 分别表示车轴草与粉苞苣自身受营养物质、水分和环境等因素影响的密度制约项，
a12 表示每颗粉苞苣对车轴草的增长所起的抑制影响，a21 表示每棵车轴草对粉苞苣增长所起的抑制影响，
dx1
dt 和
dx2
dt 分别表示车轴草与粉苞苣在这个小生境的相对增长率．
便于讨论，我们首先给出相关定理:
dx1
dt = P(x1，x2)
dx2
dt = Q(x1，x2
{ ) (1． 2)
定理 1 (Bendixson － Dulac判别法)若在单连通域 G内存在函数 B(x，y)∈ C1(G)，使
(BP)
x
+ (BQ)
y 
0( 0)，(x，y)∈ G
04
且不在 G的任一子区域内恒为零，则系统(1． 1)不存在全部位于 G 内的闭轨线和具有有限个奇点的
奇异闭轨线．函数 B(x，y)常称为 Dulac函数．
定理2 若在单连通区域 G内Px
+ Q
y
= 0，(x，y)∈ G，则系统(1． 1)不存在全部位于 G内的极限环．
2 系统分析
考虑到车轴草与粉苞苣的实际生长状态和生物学的涵义，本文仅在 D = (x，y)| x 0，y{ }0 中考
虑这两种群．在区域 D上将系统(1． 1)变形为:
dx1
dt = x1(r1 － a11x1 － a12x2) P(x1，x2)
dx2
dt = x2(r2 － a21x1 － a22x2) Q(x1，x2
{ ) (2． 1)
其中 r1，r2，aij(i，j = 1，2)均为常数．
在系统(2． 1)中必存在四个平衡点，即 A(0，0)，B(0，
r2
a22
)，C(
r1
a11
，0)，E(x*1 ，x
*
2 )，其中非零平衡点 x
*
1
=
a22 r1 － a12 r2
a11a22 － a12a21
，x*2 =
a11 r2 － a21 r1
a11a22 － a12a21
由于实际背景的车轴草与粉苞苣的数量关系，对于点 A(0，0)表示车轴草与粉苞苣都为零的情况．平
衡点 B(0，
r2
a22
)和 C(
r1
a11
，0)均表示有一种群为零的情况．对以上三个平衡点的研究都不能使两个种群达
到平衡和稳定，没有实际的生物意义［2］．仅讨论当 x*1 ＞ 0，x
*
2 ＞ 0时平衡点 E在 Ｒ
2
+ 内部时的稳定性的情
况．
系统还有一平衡点 E(x*1 ，x
*
2 )的外围区域 D不存在极限环，选取 Dulac函数 B(x
*
1 ，x
*
2 )= x
* －1x2
* －1，
则
(BP)
x*1
+ (BQ)
x*2
= － a11x
* －1
2 － a22x1
* －1 ＜ 0，由定理 2，Dulac判据知系统(2． 1)的平衡点 E(x*1 ，x
*
2 )在
外围区域 D内无闭轨．
下面证明 E(x*1 ，x
*
2 )是局部渐进稳定的．
图 1 车轴草与粉苞苣两种群数量变化图
正平衡点 E(x*1 ，x
*
2 )的 Jacobi矩阵 J(x
*
1 ，x
*
2 )=
r1 － 2a11x1
* － a12x2 － a12x
*
1
－ a21x
*
2 r2 － a21x
*
1 － 2a22x
*[ ]
2
Δ = (r1 － 2a11x
*
1 － a12x
*
2 )(r2 － a21x
*
1 － 2a22x
*
2 )+ a12a21x
*
1 x
*
2
δ = －(r1 － 2a11x
*
1 － a12x
*
2 + r2 － a21x
*
1 － 2a22x
*
2 )= r1 － r2 + x
*
1 (2a11 + a21)+ x
*
2 (a12 + 2a22)
14
车轴草与粉苞苣的竞争系统数学模型分析
当 r1 ＞ r2 时，Δ ＞ 0，δ ＞ 0．可知 E(x
*
1 ，x
*
2 )是局部渐进稳定的．
综上所述:当 r1 ＞ r2 时，系统(1． 1)的正平衡点 E(x
*
1 ，x
*
2 )是全局渐进稳定的．
用 Matlab模拟出系统(2． 1)在稳定平衡点 E(x*1 ，x
*
2 )附近的轨线，取 r1 = 1，r2 = 1，c = 2，a = 1，
b = 3，d = 1 在 Matlab的命令窗口输入相应语句可以画出系统分别过初始值点(2． 8，0． 1)、(2． 8，0． 25)、
(2． 8，0． 5)、(2． 8，1． 0)、(2． 8，2)、(1． 5，0． 2)、(0． 1，2． 9)、(1． 2，2． 9)、(0． 1，2． 9)、(2． 9，0． 1)、(0． 01，1)、
(2． 5，2． 9)、(0． 7，0． 2)的曲线积分图像如图 1 所示．
3 生物学意义
我们对系统(2． 1)进行了稳定性的研究与讨论，得到了适合车轴草与粉苞苣生存的数量 E(x*1 ，x
*
2 )，
在现实生活中，大自然的环境是时常发生变化的，受着各种因素的影响，当两种群为了生存空间或者有限
资源而发生竞争时，其中一个种群的数量就会相对减少，这时，我们可以利用这个模型找到适合两种生存
的平衡点 E(x*1 ，x
*
2 )，进行人为的干预，使其达到生态平衡又使两种群共存的目的．
参考文献:
［1］马知恩，周义仓．常微分方程定性与稳定性方法［M］．北京:科学出版社，2001．
［2］尚玉昌．普通生态学［M］．北京:北京大学出版社，2002．
［3］王顺庆，王万雄，徐海根．数学生态学稳定性理论与方法［M］．北京:北京科学出版社，2004．
［4］毛凯，李日华．种群竞争的稳定性分析［J］．生物数学学报，1999，14(3):288 ～ 292．
［5］Verhust F． Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems［M］． Berlin:Springer － Verlag，1996．
Analysis on the Competion System Mathematical
Models of Clover and Chondrilla
LIU Yu － li，Jiang Yu － qiu
(Mathematics Department，Jilin Normal University，Changchu 130103，China)
Abstract:This paper studies the mathematical model made of two species from the competition system in
the resource limited situations，analyses its equilibrrium point based on the dynamic behavior，and draws a con-
clusion that the MATLAB numerical simulation and the theory analysis are consistent．
Key Words:competition system;equilibrrium point;matlab simulation
责任编辑:王丽萍
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