全 文 ：森林生态效益的线性联立方程组模型的研究 3
郎奎建
(东北林业大学 ,哈尔滨 150040)
【摘要】　在森林生态效益似乎不相关模型的基础上 ,分析众多生态效益中的相互依存和从属关系 ,引入内
生变量 Y1 、Y2 作为另一个生态方程的自变量 ,构造联立方程组模型. 该模型比较深入地刻画了在森林生
态效益因变量集中 ,以森林涵养水源效益为主导 ,与其它生态效益间的支配关系. 从森林生态效益自身规
律出发 ,构造联立方程组结构参数矩阵 B 和Γ ,根据其中隐含的参数间约束条件 ,生成线性限制方程 HA
= L ,是确保本森林生态效益联立方程组模型成功的关键. 特别是对森林生态效益因变量与自变量非线性
关系的分析 ,为森林生态效益联立方程组模型的构造奠定科学基础. 本模型是过度可识别且误差结构矩阵
不是对角矩阵的联立方程组模型. 用三步最小二乘估计法的 Matlab 程序 ,得森林涵养水源、森林固土、森
林保肥和森林防风固沙效益联立方程组模型 ,平均精度可达 80 %以上. 由此估计出全国 2000 年的森林涵
养水源生态效益量为 4 227 ×108 t ;森林固土效益量为 319 ×108 t ;森林保肥效益量为 417 ×108 t ;森林防风
固沙量为 2218 ×108 t .
关键词 　森林生态效益 　联立方程组 　过度可识别 　三步最小二乘估计.
文章编号 　1001 - 9332 (2004) 08 - 1323 - 06 　中图分类号 　S71815 　文献标识码 　A
Linear consociation equation set model of forest ecological benef its. LAN G Kuijian ( Northeast Forest ry U niver2
sity , Harbin 150040 , China) . 2Chin. J . A ppl . Ecol . ,2004 ,15 (8) :1323～1328.
Based on the similar irrelative model of forest ecological benefits ,the study analyzed the subordinate relations of
numerous ecological benefits ,and introduced end genetic variables Y1 and Y2 as the independent variables of an2
other ecological equation to construct consociation equation set model. Leading from the forest’s water absorption
benefits ,it deeply depicted the dependent and subordinate relations between the forest ecological benefits depen2
dent variable set . Staring from the basic rule of forest ecological benefits ,constructed the consociation equation set
structure parameters matrix B andΓ restricted by parameter to get linear limit equation HA = L ,which is the
key to the forest ecological benefits consociation equation set . Especially ,the study on the non2linear relation of
forest ecological benefits dependent and independent variable was the foundation of forest ecological benefits
consociation equation set . The model was excessiveness identified and error structure matrix ,not cross matrix.
The forest absorbing water and stabling soil and keeping fertilizer and defending sand benefits estimate equations
were gotten through the three steps least square estimation method with Matlab program ,and the average preci2
sion was morn than 80 %. From this method ,the whole country forest absorbing water benefit was estimated as
417 ×108 t ,forest fixing soil benefits was 39 ×108 t ,forest keeping fertilizer benefit was 417 ×108 t and defend2
ing sand benefits was 2218 ×108 t .
Key words 　Forest ecological benefits , Consociation equation set , Excessiveness identification , Three steps least
square estimatation. 3 国家自然科学基金资助项目 (30170774 和 30300274) .
2003 - 12 - 14 收稿 ,2004 - 03 - 11 接受.
1 　引 　　言
近年来 ,森林生态效益的计量模型已由最初的
单个线性回归方程 ,向整体相容的线性模型方向发
展. 特别线性模型理论和应用的发展[1 ,3 ,4 ,17 ,18 ] ,大
大地拓宽了森林生态效益模型的视野[15 ,16 ] . 森林生
态效益模型是生物数学模型的一种. 生物数学模型
是刻画生物现象的因果关系 ,其统计精度除受自身
生物特性约束外 ,还依赖于构造模型的数据和方程
本身[5 ,6 ] . 由于森林生态效益模型是一簇模型的集
合 ,所以从模型集合的整体考虑要比单个建模要好
的多 ,于是产生了广义线性模型. 本文在与森林生态
效益似乎不相关的模型应用研究基础上[11 ] ,更进一
步探讨森林生态效益联立方程组模型构造.
2 　问题的提出
根据森林生态效益的定义[10 ] ,森林生态效益是
一簇包含森林涵养水源、保持水土、抑制风沙、改善
小气候、吸收二氧化碳、净化大气、减轻水旱灾等效
益的集合. 它们都是在大气环流和太阳辐射的作用
应 用 生 态 学 报 　2004 年 8 月 　第 15 卷 　第 8 期 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
CHIN ESE JOURNAL OF APPL IED ECOLO GY ,Aug. 2004 ,15 (8)∶1323～1328
下 ,森林通过物理和化学作用而产生的对人类有益
的使用价值. 从森林生态效益向量空间的角度来看 ,
其使用价值应该独立. 但由于其自身的特点 ,各森林
生态效益的因变量是相关的 ,不独立的.
由于各个森林生态效益的因变量所对应的自变
量集 (包括变量和个数) 不可能相同 ,常规的多对多
的多元线性模型遇到困难. 似乎不相关的线性模型
能比较好地解决这个问题[11 ] . 但在上述模型中 ,有
一类变量间的作用不容忽视 ,即某个森林生态效益
的因变量是主导的 ,它对另一个 (或另几个) 森林生
态效益起着某种支配、相关性的作用. 例如森林保持
水土 ,显然与森林涵养水源呈单调的递增关系 ,又如
森林减轻水旱灾是上述二者共同派生的效益[10 ] . 因
此 ,在森林生态效益的广义线性模型中 ,引入相关的
因变量作为另一个森林生态效益方程的自变量 ,能
更深地刻画森林生态效益的因果关系. 这种不明确
传统的因变量和自变量关系 ,只区分随机变量 (内
生)和非随机变量 (外生) ,且其参数集满足某些约束
条件的模型 ,称为联立方程组模型. 显然该联立方程
组模型不仅刻画各森林生态效益变量 X 、Y 之间的
关系 ,而且刻画各森林生态效益变量 Y 之间关系.
本文仅对 4 个主要的森林生态效益构造联立方程组
模型.
3 　森林生态效益的线性联立方程组模型
311 　森林生态效益的内生变量和外生变量
31111 内生变量和外生变量概念 　由于在线性联立
方程组中 ,作为某一方程的因变量有可能会出现在
另一方程的右边. 也就是说 ,该方程的因变量在另一
方程中可以自变量的形式出现. 因此 ,在线性联立方
程组中没有必要按常规地分清自变量和因变量. 可
按变量的性质划分为两类[16 ] :一类是与观测误差有
关的随机变量 ,称为内生变量 (即因变量) ,记为 Y1 、
Y2 ⋯⋯. 另一类是与观测误差无关的变量 ,称为外
生变量 (即自变量) ,记为 X1 、X2 ⋯⋯.
31112 森林生态效益的内生变量 　在本文采用的森
林生态效益的内生变量中 , Y1 为森林涵养水源的年
效益量 (t·hm - 2·年 - 1) , Y2 为森林固土量的年效益
量 (t·hm - 2·年 - 1) , Y3 为森林保肥量的年效益量 ( t
·hm - 2·年 - 1) , Y4 为森林防风固沙的年效益量 ( t·
hm - 2·年 - 1) .
31113 森林生态效益的处生变量 　由于森林生态效
益是大气环流和森林共同作用的产物 ,所以影响它
的自变量分为森林变量和环境变量两类[10 ] . 由于观
测样本的限制 ,影响森林生态效益的外生变量 ———
林分类型、龄组和郁闭度因子未被引入. 本文采用的
森林生态效益的外生变量是平均水平 X1 、坡度 X2 、
年平均降水量 X3 、经度 X4 、纬度 X5 ,共 5 个变量.
其中经度和纬度是森林生态效益的区域变量[6 ,11 ] ,
这是由于我国的降水量呈东向西单调变化、温度从
南向北单调变化的缘故.
31114 相关资料来源 　相关资料 ( x i1 , x i2 , x i3 ,
x i4 , x i5 , y i1 , yy2 , y i3 , y i4 ) ( i = 1 , 2 , ⋯, n ) 来自国家
“九五”攻关项目 ———“生态林业工程和森林生态效
益的计量”基础数据集 (全国生态观测网站资料) ,并
对其数据进行了标准化处理[10 ] .
312 　森林生态效益线性联立方程组模型的概念
31211 线性联立方程组模型的定义 　在森林生态效
益众多的内生变量中 ,森林涵养水源量 Y1 是主导
内生变量 ,而其它森林生态效益大多是非主导的 ,且
与 Y1 是相关的内生变量. 显然 , Y2 、Y3 可写成外生
变量 X1 、X2 、X3 、X4 、X5和内生变量 Y1 或 Y2 的函
数. 森林生态效益的线性联立方程组模型的可写为 :
ln Y1 = a1 ,1 X1 + a1 ,3 X3 + a1 ,4 X4 + a1 ,5 X5 +ε1
ln Y2 = a2 ,2 X2 + a2 ,3 X3 + a2 ,4 X4 + a2 ,5 X5 +
　　　　010106 ×ln Y1 +ε2
ln Y3 = a3 ,2 X2 + a3 ,3 X3 + a3 ,4 X4 + a3 ,5 X5 +
　　　　010132 ×ln Y2 +ε3
ln Y4 = a4 ,1 X1 + a4 ,4 X4 + a4 ,5 X5 +ε4
(1)
由 (1) 式可见 :1) 关于森林生态效益的因变量
取对数的解释. 森林生态效益的因变量与自变量的
关系有两种方式可描述 :一种是线性的、另一种是非
线性的. 究竟哪一种描述更准确 ?考查降水量与森林
涵养水源的关系. 一般地 ,随着降水量的增加 ,森林
涵养水源的总量是在增加的. 但这种增加速率随着
降水量的增加会不断地下降 ,达到一定降水量的极
限水平 ,森林涵养水源总量的增加速率会衰减到零.
类似的森林生态效益还有一些 ,只不过它们的非线
性程度有所区别. 经模拟试验 , 非线性关系要好一
些. 把线性关系看成是非线性关系的特例 ,可对森林
生态效益的因变量取对数. 在下面的线性模型中 ,把
ln Y 看成 Y ,不再另设变量. 只不过进行误差自检验
时 ,取指数复原. 2) 作为第 1 方程因变量的 Y1 在第
2 个方程中成为自变量. 作为第 2 方程因变量的 Y2
4231 应 　用 　生 　态 　学 　报 　　　　　　　　　　　　　　　　　　15 卷
在第 3 个方程中成为自变量 ,这里包含 Y1 的作用.
显然 ,联立方程组更深刻地刻画森林生态效益变量
之间的依存 (从属) 关系. 3) 方程组中有些系数是常
数. 方程 2 中 Y1 的系数 010106 是森林固土量 Y2 和
森林涵养水源量 Y1 的总体平均数的经验比值. 方
程 3 中 Y2 的系数 010132 是森林保肥量 Y3 与森林
固土量 Y2 的经验比值. 由于它们间呈单调递增关
系 ,所以取加号. 它们相当于某种森林生态效益的平
均水平 , 即相当于一般线性回归方程中 a (这里是
X1) 的作用. 上述常系数 (而不取未知参数) 对生态
效益方程起着某种稳定性控制作用. 4) 有些方程的
系数必须受到某些限制 ,如方程 1、2、3 和 4 中的某
些系数 : a2 ,1 = 0 , a3 ,1 = 0 , a4 ,2 = 0 , a4 ,3 = 0 . 这是
方程构造中由森林生态效益的生物学特性产生的.
其中 a2 ,1 = 0 , a3 ,1 = 0 是因为方程有了平均水平的
作用 ,而无需再将 X1 放进去. 5) 方程 1、4 是普通意
义下的方程. 6) 线性联立方程组与似乎不相关方程
一样 , 各个方程中出现的自变量不必完全相同. 7)
上述各方程都是可化为线性的方程.
31212 联立方程组的标准型 　由于内生变量和外内
生变量在方程中位置与解无关 ,所以可将内生变量
和外内生变量都写在方程的左端 ,将 (1)式改为等价
的下式 :
Y1 - a1 ,2 X1 - a1 ,3 X3 - a1 ,4 X4 - a1 ,5 X5 =ε1
- 010106 Y1 + Y2 - a2 ,2 X2 - a2 ,3 X3 - a2 ,4 X4 - a2 ,5 X5 =ε2
- 010132 Y2 + Y3 - a3 ,2 X2 - a3 ,3 X3 - a3 ,4 X4 - a3 ,5 X5 =ε3
+ Y4 - a4 ,1 X1 - a4 ,4 X4 - a4 ,5 X5 =ε4
(2)
将 (2) 中的系数分块转置 ,令
B =
1 - 010106 0 0
0 1 - 010132 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Γ =
- a1 ,1 0 0 a4 ,1
0 - a2 ,2 - a3 ,2 0
- a1 ,3 - a2 ,3 - a3 ,3 0
- a1 ,4 - a2 ,4 - a3 ,4 - a4 ,4
- a1 ,5 - a2 ,5 - a3 ,5 - a4 ,5
(3)
则 (2) 可用矩阵表达为 :
Y
n×p
B
p×p
+ X
n×q
Γ
q×p
= ε
n×p
E (ε) = 0
n×p
cov (ε
_
) = 6
p×p
á I n (4)
称 (4) 为森林生态效益的联立方程组的标准型[16 ] .
式中 , n 是样本数 , Y = ( Y1 , Y2 , Y3 , Y4) 为内生变
量 , p 是内生变量数 (4) , X = ( X1 , X2 , X3 , X4 , X5)
为外生变量 , q 是外生变量数 (5) ,ε = (ε1 ,ε2 ,ε3 ,
ε4) 为模型的随机误差 , 6
p×p
á I n 是误差矩阵 ,它是
协方差矩阵 6
p×p
和单位阵 I的叉乘 ,Β和 Г是该联立
方程组的待估参数矩阵. 共 ( p ×q) + P2 = 36 个待
估参数.Β和 Г中元素有的是未知的 ,有的是已知
的或已知其某种约束关系 (其中 B 也可有待估的参
数) ,后者称为联立方程组的约束条件. 约束条件方
程是联立方程组必需有的 ,否则不可能有解.
313 　森林生态效益线性联立方程组的可识别性
31311 线性联立方程组可识别性的提出 　为了求解
待估的参数矩阵 B 和Γ ,对 (4)中的第一式右乘B - 1
(一般 B 可逆) :
YBB - 1 + XΓB - 1 =εB - 1
记Π= - Γ
q ×p
, e =εB - 1 ,则联立方程组 (4) 可简化为
多元线型模型 :
Y
n×p
= X
n×q
×Π
q×p
+ e
n×p
(5)
由多元线性模型理论 ,只要 X 列满秩 ,可得简化参
数矩阵Π唯一的最小二乘解 :
Π^ = ( X′X) - 1 X′Y (6)
显然Π满足关系ΠB +Γ= 0 且矩阵维数 q ×p ,所
以通过 (6) 式可解出 q ×p = 20 个待估参数 ,称之为
间接最小二乘法.
由于 (6)不是联立方程组 (4) 全部的待估参数 ,
所以由联立方程组简化 (5) 式是不可能求出它的全
部解 ,必需利用联立方程组的约束条件方程. 这就是
说 ,不是所有的联立方程组模型均可有解. 这个问题
称为联立方程组模型是否可识别问题.
31312 森林生态效益联立方程组的线性限制条件 　
在森林生态效益联立方程组 (4)中 ,将待估参数矩阵
B 和拉直 ,合并为列矩阵 A :
A =
B
Γ
_ = (1 ,0 ,0 ,0 , - 010106 ,1 ,0 ,0 , 0 , - 010132 , 1 ,
0 ,0 ,0 ,0 ,1 , - a11 , 0 , - a13 , - a14 , - a15 , 0 ,
- a22 , - a23 , - a24 , - a25 , 0 , - a32 , - a33 ,
- a34 , - a35 , - a41 ,0 ,0 , - a44 , - a45)
称 A 为待估参数矩阵 ,又称为联立方程组的结构参
数矩阵. 可根据上述 A 得出表示参数矩阵元素间约
束条件的线性限制方程 :
HA = L (7)
式中 :
52318 期 　　　　　　　　　　　　郎奎建 :森林生态效益的线性联立方程组模型的研究 　　　　　　　　　　　
H =
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
　　L = (1 ,0 ,0 ,0 , - 010106 ,1 ,0 ,0 ,0 , - 010132 ,
1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0)’
显然联立方程组模型 (4)的解问题 (即是否可识别问
题)全部由 (6)和 (7)式所决定.
31313 可识别性的 3 种情况 　在联立方程组中 YB
+ XΓ=ε,由关系式ΠB +Γ = 0 的等价关系式 (利
用矩阵的拉直和叉积的性质可证明) 和限制方程
HA = L 联合确定结构参数矩阵 A 的方程组为 :
( I p á ΠI pq) A = 0
HA = L
(8)
关于该方程组解 (也就是联立方程组的全部解)可能
有 3 种情况 :1) 如果 (8) 中第一个方程 A 的系数矩
阵是行满秩 ,且 HA = L 的独立限制个数等于 P2 ,
则 (8)有唯一的关于 A 的最小二乘解 ,称为恰好可
识别的. 2)如果 (8) 中第一个方程 A 的系数矩阵是
行满秩 ,但 HA = L 的独立限制个数大于 P2 ,则存
在矛盾解 ,需要删除 (8) 中多余的方程 ,称为过度可
识别的. 它的解是相合解. 3) 如果条件 1 不满足或
HA = L 的独立限制个数小于 P2 ,称此联立方程组
模型为不可识别的. 在森林生态效益联立方程组中 ,
因为待估 A 中未知参数的个数 36 ,而可解出的参
数 20 个. 而 HA = L 的独立限制个数 21 个 ,大于
P2 ( = 16) ,所以本文的联立方程组是过度可识别
的. 关于可识别性的判别准则见文献[11 ] .
当联立方程组模型为不可识别时 ,需要先通过
增加限制方程数 ,使它成为可识别模型.
314 　联立方程组模型中的三步最小二乘法
不管是恰好可识别的 ,还是过度可识别的联立
方程组都可以采用三步最小二乘法求它的解. 其计
算步骤[16 ]为 :1)一步最小二乘法. 先用 (6) 式计算简
化模型参数矩阵. 2) 根据 (8) 式 ,由可识别性的判别
准则判断该联立方程组模型是否可识别 ,如果不可
识别的 ,就停止运算. 3) 计算简化模型 (5) 的估计值
Y^ = XΠ^ ,作为代替 (4) 式中等号左边的内生变量 Y ,
进一步将联立方程组 (4) 化为带限制的似乎不相关
方程[16 ] . 求出它的二步最小二乘解 ,记为 A^2SLS.
A^2SLS = D1 - D2 ( D2 w D2) + D2 w D1 (9)
其中 :
D1 = H′( HH′) - 1 L
Z = ( I p á Y^I p á X)
w = Z′Z
D2 = I ( pp + q) - H′( HH′) - 1 ÛH (10)
4)若 rk ( H) = p2 ,则该联立方程组模型恰好是
可识别的 ,输出 B^2SLS和Γ^2SLS ,结束 ;否则是过度可
识别的 ,转入 5. 5)用 A2SLS估计协方差矩阵 6∧ . 用估
计量 6∧来代替未知的协方差结构 6～ .6∧ = 1
n
( Y - Y^ + Y^B^2SLS + XΓ^2SLS)′
( Y - Y^ + Y^B^2SLS + XΓ^2SLS) (11)
再检验它是否是对角阵 16) 利用 (9) 和 (10) 式计算
三步最小二乘估计量[16 ] A^3SLS. 其中 w 按下式计
算 :
w = Z′( 6^ - 1 á In) Z (12)
7)可以证明预估方程 Y^ = - XΓB - 1 ,回代数据
进行模型的自检验.
6231 应 　用 　生 　态 　学 　报 　　　　　　　　　　　　　　　　　　15 卷
4 　研究结果
411 　森林生态效益的线性方程组模型的解
1) 协方差矩阵的估计值6～ = 010421 010010 010510 010087010010 010583 010182 - 010110
010510 010182 014238 - 010146
010087 - 010110 - 010146 012049
在一元线性模型 Y = Xβ+ε中 ,由于误差协方
差矩阵 ∑的结构不同 ,可得到不同的线性模型. 协方
差矩阵 ∑最简单的结构是对角阵. 协方差矩阵 ∑还
存在一个由样本的估计和检验问题 ,通常要采用二
步最小二乘法 ,这时得到的参数估计量β^是拟 GM
( Gauss2Markov)估计量. 在森林生态效益的联立方
程组模型中 ,通过对协方差矩阵 ∑
～
的χ2 检验得知它
是一个非对角阵 ,这就进一步证实了各森林生态效
益的方程间是不独立的. 由 ∑
～
第 1 行 (列)的估计值 ,
可知森林涵养水源对其它生态效益起着主导的且正
相关的作用.
2) 三步最小二乘解 A 3SLS = (1 ,0 ,0 ,0 , - 010106 ,
1 , 0 , 0 , 0 , - 010132 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , - 615699 , 0 , -
01001 , 010022 , 010026 , 0 , - 010213 , - 010001 , -
010225 , - 010063 , 0 , - 010745 , 010003 , - 010096 ,
010263 , - 017591 ,0 ,0 ,010141 , - 010050)
在联立方程组模型中 ,由于不能写出 Y 关于 X
的显式表达式 ,所以不能采用直接的最小二乘法 ,而
且它的估计量既不是无偏的 ,也不是相合的. 当协方
差矩阵 ∑
～
近似为对角阵时 ,可采用二步最小二乘估
计 ;而当森林生态效益的协方差矩阵 ∑
～
是非对角阵
时 ,只好采用三步最小二乘估计. 当联立方程组模型
恰好可识别时上述两种算法以概率 1 相同. 总之 ,三
步最小二乘法是联立方程组模型最通用的算法 ,它
可适应大多数情况 ,除非该模型是不可识别的.
3) 估计的结构参数矩阵
由三步最小二乘解 A 3SLS分解出公式 (4) 中联
立方程组模型的结构参数矩阵为 :
B =
1 - 010106 0 0
0 1 - 010132 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Γ=
- 615699 0 0 - 017591
0 - 010213 - 010745 0
- 010010 - 010001 - 010003 0
- 010022 - 010225 - 010096 010141
- 010026 - 010063 - 010263 - 010050
由此可直接得到公式 (1) 的森林生态效益联立
方程组预估模型.
4) 森林生态效益的联立方程组的误差检验
将 B^2SLS和Γ2SLS回代数据 X , Y ,进行模型的自
检验 ,平均误差 10 %～20 %。
412 　中国森林生态效益量初步估计
将各省区的森林自变量条件代入森林生态效益
联立方程组模型 (1) 得到平均的森林生态效益的因
变量 ,从而得到中国 (含黑龙江省) 森林生态效益总
体估计值 (表 1) . 这里应指出 ,本文估计的实质是森
林的生态效能的物理量 ,而不是真正具有使用价值
意义上的效益 ,因为二者是不全等价的[11 ] . 特别森
林固沙效能 ,不全是森林的固沙效益[11 ] ,各省区有
很大差别.
表 1 　中国森林生态效益初步估计
Table 1 Estimates of forest ecological benef its in forest industry region of China
地区
Region
总面积
Total area
(hm2)
森林生态效益 Forest ecological benefits
森林涵养水源效益
Forest fixing
water benefit
Y 1 ( ×104t·yr - 1)
森林固土效益
Forest fixing
soil benefits
Y 2 ( ×104t·yr - 1)
森林保肥效益
Forest keeping
fertilizer benefit
Y 3 ( ×104t·yr - 1)
森林防风固沙效能
Forest defending
sand benefits
固沙面积
Defending
sand area
Y4
( ×104t·
yr - 1)
固沙量
Defending
sand amount
( ×104t·
yr - 1)
全国 Nation 1589409 266011 42279879 2416 390912 219 47440 015 7963 228538
黑龙江省
Heilongjiang
Province
176031 145217 2557202 3611 63547 310 5281 014 704 20205
森林的固沙量是固沙面积的 2817 倍[10 ] . The quantum of forestry stabling sand are 28. 7 times of their area [10 ] .
5 　结 　　论
511 　本模型是过度可识别且误差结构矩阵不是对 角矩阵的联立方程组模型 ,用三步最小二乘估计法获得森林涵养水源、森林固土、森林保肥和森林防风固沙的年效益量的予估方程组 Y^ = - XΓB - 1 (平均
72318 期 　　　　　　　　　　　　郎奎建 :森林生态效益的线性联立方程组模型的研究 　　　　　　　　　　　
精度达 80 %以上) :
Y^ 1 = exp (615699 X1 + 010010 X3 + 010022 X4 -
　　　010026 X5)
Y^ 2 = exp (010213 X2 + 010001 X3 + 010225 X4 +
　　　010063 X5 + 010106ln Y1)
Y^ 3 = exp (010745 X2 + 010003 X3 + 010096 X4 +
　　　010263 X5 + 010132ln Y2)
Y^ 4 = exp (017519 X1 - 010141 X4 + 010050 X5)
512 　森林生态效益联立方程组模型具有似乎不相
关模型的一些特征 (相关且各生态方程中的自变量
不完全相同) . 引入内生变量 Y1 、Y2 作为另一个生
态方程的自变量 ,构造联立方程组模型 ,比较深入地
刻画森林生态效益 ,因变量集中 ,以森林涵养水源效
益为主导 ,与其它生态效益间相互依存.
513 　从森林生态效益自身规律出发 ,构造联立方程
组结构参数矩阵 B 和Γ. 其中隐含了参数间约束条
件方程 ,根据 B 和Γ生成线性限制方程 HA = L .
HA = L 是确保森林生态效益联立方程组模型成功
的关键之一.
514 　关于森林生态效益变量间的非线性关系问题.
由于非线性关系是普遍存在的 ,例如森林涵养水源
与降水量的关系就是一种典型的非线性关系. 类似
的森林生态效益还有一些 ,只不过它们的非线性程
度有所区别. 可把线性关系看成是非线性关系的特
例.不过 ,非线性关系一定要可化为线性关系. 本文
通过 Y取对数实现的 ,它还有一个优点就是使得将
来的 Y的估计值不可能出现负数.
515 　由于不是所有的联立方程组模型都可能有解
的 ,所以具体分析森林生态效益联立方程组可能出
现的三种情况 :恰好可识别、过度可识别和不可识
别. 对于前两种可用三步最小二乘估计法的 Matlab
程序求出它的解.
516 　根据国家林业局 2000 年“全国森林资源统计”
的森林面积初步估计出全国年的森林涵养水源生态
效益量 4 227 ×108 t ;森林固土效益量 39 ×108 t ;森
林保肥效益量 417 ×108 t ;森林防风固沙量 2218 ×
108 t .
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作者简介 　郎奎建 ,男 ,1941 年 ,硕士 ,教授 ,博士生导师 ,主
要从事广义生态效益、GIS 空间分析研究. Tel : 04512
82190599 ,13603609372 ; Email :lxydl @263. net
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