全 文 ：广义 Schumacher 模型的改进及其应用 3
洪　伟　吴承祯 3 3 　闫淑君
(福建农林大学 ,南平 353001)
【摘要】　通过对前人提出的生长方程的具体分析 ,提出了一种改进的 Schumacher 生长方程. 该模型包含
了 Gompertz 函数、Schumacher 方程及广义 Schumacher 方程 ,具有很强的自适应性和实用性. 采用遗传算
法 ,利用该模型对珍稀植物长苞铁杉和侧柏生长资料分别进行了拟合. 结果表明 , 改进的 Schumacher 方程
的拟合精度明显优于 Schumacher 方程和广义 Schumacher 方程 ,也优于经典的 Logistic 模型和李新运等自
适应模型 ,可以在林木生长动态模拟及种群增长动态研究中广泛应用.
关键词 　生长动态 　Schumacher 方程 　遗传算法 　改进模型
文章编号 　1001 - 9332 (2004) 02 - 0241 - 04 　中图分类号 　S718. 5 　文献标识码 　A
Modif ication and its application of generalized Schumacher model. HON G Wei , WU Chengzhen , YAN Shujun
( Fujian A griculture and Forest ry U niversity , N anping 353001 , China) . 2Chin. J . A ppl . Ecol . ,2004 ,15 (2) :
241～244.
Based on the concrete analysis on growth equations presented by others , a modified Schumacher growth equation
was proposed as , which included Gompertz function , Schumacher equation and generalized Schumacher equa2
tion , and had stronger self2adaptability and practicality. The analytic character and adaptability of the modified
Schumacher equation were analyzed. According to the genetic algorithms method , this model was used to fit the
growth data of endangered plant of Tsuga longibracteata and Platycladus orientalis . The results showed that
the modified Schumacher equation was not only better than Schumacher equation and generalized Schumacher e2
quation significantly , but also better than classical Logistic model and Li’s self2adaptive model. So it could be
used to study the dynamics simulation for tree growth and dynamics law for population growth.
Key words 　Growth dynamics , Schumacher equation , Genetic algorithms , Modified model.
3 中国博士后科研基金项目、福建省自然科学基金项目 (B0110026)
及福建省科技厅重大资助项目 (2001F007) .3 3 通讯联系人.
2002 - 09 - 24 收稿 ,2003 - 06 - 12 接受.
1 　引 　　言
在一定的生存环境和有限的自然资源条件下 ,
任何生物种群的增长均不可能无限增长 ,而林木的
生长也不例外. 描述树木生长的模型有多种多样 ,如
Logistic 方程、单分子方程、Richards 方程等. 在这些
方程中 Richards 方程应用最为广泛. 但 Richards 方
程也存在一定的缺陷 ,如当 m < 0 时 ,退化为一般的
经验方程[7 ] ;解析性较差 ,当参数 m 较小时 ,其拐点
位置与树木实际生长的拐点位置相差较大等. 为此 ,
Schumacher [2 ]提出了 Schumacher 生长方程 ,认为许
多树种的生长可以用 c = 1 的特例来描述. Stage、
Bailey 和 Clutter、Brewer[1 ]及李凤日[6 ]相继采用该
方程描述过树高生长 ,效果较好. 为了发挥 Schu2
macher 方程的长处 ,李凤日[7 ]基于树木生长的一般
性理论分析 ,导出了广义的 Schumacher 方程 ,并针
对于 p > 1 及 p < 1 两种情形 ,广义 Schumacher 方
程又可以分为 L I2A 型和 L I2B 型方程. 这两个区域
是以 Gompertz 函数 ( p = 1) 来隔开并相互独立 ,其
中 L I2A 型方程适于描述拐点在 0～ A / e 之间的树 木生长 ,而 L I2B 型方程适于描述拐点在 A / e～ A之间具有初始值的生物种群或器官的形成及伸长生长. 但在实际应用中如何选择这两种方程 ,存在一定的难度 ,往往靠尝试方法加以确定. 因此从某种意义上讲 ,广义 Schumacher 方程也存在一定的缺陷. 寻找一种新的统一的林木生长模型 ,通过对特定参数值的自适应调控 ,把 Gompertz 函数、Schumacher 方程及广义 Schumacher 方程分别作为该模型的特例 ,并建立描述林木生长及种群变化的表达式 ,具有重要的理论意义与实践价值.2 　生长方程的广延　　针对 Richards 方程的缺陷 , Schumacher[2 ]提出一种生长方程 :　　y = A e - bt - c (1)其中 , y 为树木大小 , t 为年龄 , A 、b、c > 0 , 为方程参数. 在此基础上 ,李凤日[7 ]基于树木生长的一
应 用 生 态 学 报 　2004 年 2 月 　第 15 卷 　第 2 期 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
CHIN ESE JOURNAL OF APPL IED ECOLO GY ,Feb. 2004 ,15 (2)∶241～244
般性理论分析 ,导出了广义的 Schumacher 方程 :
　　1y
d y
d t = q (ln
A
y
) p (2)
其中 , q 为内禀增长率 , p 为衰减幂指数 , A 为环
境容纳量. 当 p = 1 时 , (2) 式即为 Gompertz 函数.
对 (2)积分后得 :
　　y = Ae - b ( c ±t)
-
1
p - 1 (3)
当以 p = 1 为界 ,分成两个区域时 , (2)式可分为 :
　　y = A e - b( c + t)
-
1
p - 1 　　( p > 1 ,L I2A 型) (4)
　　y = A e - b( c - t)
-
1
p - 1 　　( p < 1 ,L I2B 型) (5)
　　L I2A 型方程适于描述拐点在 0～ A / e 之间的
树木生长 ,而 L I2B 型方程适于描述拐点在 A / e～ A
之间具有初始值的生物种群或器官的形成及伸长生
长. 本文提出如下改进的 Schumacher 方程 :
　　y = A e - b( c + dt)
-
1
p - 1 (6)
其中 , d 为环境制约参数. 当 d = 1 时 , (6) 式即为
(4)式所描述的广义 Schumacher 方程的 L I2A 型方
程 ;当 d = - 1 , (6)式即为 (5)式所描述的广义 Schu2
macher 方程的 L I2B 型方程. 由于新增加了参数 d ,
改进的 Schumacher 方程比广义 Schumacher 方程具
有更大的灵活性 ,所以也必将带来更大的适用性.
　　改进的 Schumacher 方程的解析性和适用性分
析表明 :1)存在 2 条渐近线. t →0 + 时 , y →y0 ; t →∞
时 , y →A . 2) 单调递增性. d yd t = ybd (
1
p - 1 ) ( c +
d t) p/ 1 - p ,结合实例可以验证 ,当 p > 1 时 ,有 gdg >
0 ;当 p < 1 时 ,有 gdg < 0 ,故恒有d yd t > 0. 3) 存在一
个拐点 , t = 1d (
b
p
) p - 1
-
c
d ,此时有 y = A e
- p
. 对于
改进的 Schumacher 方程 ,由于 p 的可能取值为 0～
∞,当 p →0 时 ,有拐点值 ymax = A e - p = A ;当 p →
∞时 ,有拐点值 ymin = A e - p = 0 ,所以 Schumacher
方程 (5)式可以描述拐点在 0～ A 之间的各种“S”型
林木生长、种群增长过程.
　　参数 p 决定了改进的 Schumacher 方程的曲线
形状和拐点位置 ,且 p 值越大 ,生长越慢 ,拐点出现
的时间也就越迟. 参数 A 作为环境容纳量 ,是表示
林木生长因子或种群增长的最终达到值. 它所表达
的是在一定的资源与环境空间内 ,林木生长因子或
种群增长所能达到的最大可能值.
3 　改进的 Schumacher 方程的参数估计方法
　　由于本文提出的改进的 Schumacher 模型为非
线性函数 ,对其参数 A 、b、c、d 和 p 的估计 ,尽管可
以采用对数线性最小二乘法求解 ,但此时求解得到
的参数仅对对数线性化后的模型是最优的 ,而对于
原模型则不一定是最优的. 为此 ,本文采用遗传算法
( GA)对模型参数 A 、b、c、d 和 p 进行最优估计.
　　1975 年 , Holland [5 ]受生物学中“生物进化”和
“自然选择”学说的启发 ,提出了著名的遗传算法. 经
过 20 多年的研究和应用 ,遗传算法已成为非线性优
化的有效工具 ,被广泛地应用于非线性参数估计、规
划控制等研究 ,并取得了很好的效果[9 ,11～13 ] .
　　遗传算法是基于生物学进化原理的一种搜索算
法.其求解改进的 Schumacher 模型参数 A 、b、c、d
和 p 的基本思想是将模型参数的求解表示成“染色
体”,从而构成一群染色体 ,将这群染色体置于模拟
问题的“环境中”,根据适者生存、优胜劣汰的原则 ,
从中选择出适应环境的染色体进行复制 ,通过交换、
变异产生出新一代更适应环境的染色体群. 这样 ,经
过若干代的不断进化 ,最后收敛到一个适应环境的
个体上 ,从而求得问题的最优解. 复制是自然选择过
程中的基本操作. 它根据个体对环境的适应程度 ,决
定个体被复制多少. 一般来讲 ,适应值越大的个体其
复制的后代越多. 交换是按一定的概率随机地对复
制出的群体中选择两个个体配对 ,然后部分地交换
配对个体的某些位 ,形成新的个体串. 交换是最重要
的遗传操作 ,对搜索过程起决定性作用. 变异是以一
定的概率改变某些个体串的某些位 ,其作用是充分
搜索参数空间. 这样经过遗传操作中的复制、交换、
变异等 ,将最合适的保留下来. 其算法的具体方法及
步骤参阅文献[7 ,11～13 ] .
4 　改进的 Schumacher 方程的应用实例
411 　长苞铁杉 ( Tsuga longibracteata)生长模型
　　本文采用的珍稀濒危植物长苞铁杉树干解析资
料引用于文献[18 ]中所收集的生长进程资料 (表 1) .
用改进的 Schumacher 方程对珍稀濒危植物长苞铁
杉解析木材料拟合 ,计算方程参数 A 、b、c、d、p 对
应的检验值 (表 1) 、残差平方和及相关指数 ,结果表
明胸径、树高及材积的拟合残差平方和均较采用
Schumacher 方程和广义 Schumacher 方程有较大程
度的减小. 其中改进的 Schumacher 模型拟合胸径生
长的残差平方和仅为 Schumacher 方程和广义 Schu2
macher 方程的 13. 88 %和 14. 04 % ;拟合树高生长
的残差平方和仅为 Schumacher方程和广义 Schu2
242 应 　用 　生 　态 　学 　报 　　　　　　　　　　　　　　　　　　15 卷
表 1 　长苞铁杉解析资料
Table 1 Means of analytic wood of Tsuga longibracteata
年龄
Age
(yr)
胸径 DBH(cm)
实测值
Real
value
理论值
Theoretical
value
树高 Tree height (m)
实测值
Real
value
理论值
Theoretical
value
材积 Volume (m3)
实测值
Real
value
理论值
Theoretical
value
15 0. 6 0. 44 2. 6 2. 56 0. 0004 0. 0000
20 1. 7 1. 34 4. 3 4. 09 0. 0007 0. 0001
25 3. 2 3. 09 5. 4 5. 78 0. 0029 0. 0001
30 5. 7 5. 76 7. 6 7. 49 0. 0114 0. 0040
35 9. 3 9. 22 9. 3 9. 12 0. 0313 0. 0253
40 13. 0 13. 13 10. 6 10. 62 0. 0740 0. 0734
45 17. 1 17. 19 11. 8 11. 94 0. 1334 0. 1459
50 20. 7 21. 08 12. 9 13. 09 0. 2112 0. 2354
55 24. 4 24. 62 14. 0 14. 09 0. 3137 0. 3343
60 28. 0 27. 74 15. 1 14. 95 0. 4431 0. 4367
65 30. 9 30. 39 15. 9 15. 67 0. 5604 0. 5388
70 32. 8 32. 61 16. 5 16. 28 0. 6540 0. 6381
75 34. 3 34. 42 16. 9 16. 80 0. 7320 0. 7332
80 35. 9 35. 91 17. 2 17. 24 0. 8402 0. 8236
85 37. 3 37. 10 17. 5 17. 61 0. 9274 0. 9083
90 37. 9 38. 05 17. 8 17. 93 0. 9712 0. 9880
91 38. 0 38. 22 17. 9 17. 98 0. 9812 1. 0033
macher 方程的 30. 81 %和 31. 10 % ;拟合材积生长
的残差平方和仅为 Schumacher 方程和广义 Schu2
macher 方程的 17. 99 %和 83. 00 % (表 2) . 由此可
见 ,改进的 Schumacher 方程能客观地反映林木生长
的动态规律 ,拟合精度明显优于 Schumacher 方程和
广义 Schumacher 方程.
412 　侧柏 ( Platycladus orientalis)生长模型
　　李新运等[8 ]曾提出一个自适应种群增长模型 ,
并应用于济南市灵岩山侧柏生长过程模拟. 这里采
用改进 Schumacher 方程对其生长过程资料[8 ,15 ] (表
3)进行拟合 ,计算方程参数 A b、c、d 、p 对应的检
验值 (表 3) 、残差平方和及相关指数 ,并与 Schu2
macher 方程、广义 Schumacher 方程、Logistic 模型及
李新运等提出的自适应模型拟合结果进行比较 (表
表 2 　长苞铁杉生长的改进 Schumacher 方程参数
Table 2 Parameters for modif ied Schumacher equation for Tsuga longibracteata growth
生长量1) 模型 Model
参数 Parameters
A b c p d 残差平方和2) 相关指数3)
胸径 Schumacher 方程4) 53. 05897 958. 8953 - 1. 778422 6. 4465 0. 9989
DBH 广义 Schumacher 方程5) 53. 74427 959. 1418 0. 734257 1. 565733 6. 3697 0. 9989
改进 Schumacher 方程6) 41. 86166 1247. 705 1. 252581 1. 047458 0. 00350627 0. 8945 0. 9999
树高 Schumacher 方程4) 26. 83475 43. 47091 - 1. 046264 1. 5416 0. 9981
Tree height 广义 Schumacher 方程5) 27. 17345 43. 01738 0. 358434 1. 964632 1. 5272 0. 9981
改进 Schumacher 方程6) 20. 01289 47. 87417 1. 574320 1. 198778 0. 01969466 0. 4749 0. 9994
材积 Schumacher 方程4) 6. 38011 120. 8142 - 0. 928549 0. 019177 0. 9958
Volume 广义 Schumacher 方程5) 2. 87132 138. 0047 - 14. 225340 1. 890303 0. 004155 0. 9991
改进 Schumacher 方程6) 2. 70866 138. 0454 - 13. 729560 1. 860596 0. 9186372 0. 003449 0. 9992
1) Growth amount ;2) Surplus square ;3) Correlation index ;4) Schumacher equation ;5) Generalized Schumacher equation ;6) Modified Schumacher equa2
tion.
表 3 　济南灵岩山侧柏生长资料
Table 3 Ggrowth data of Platycladus orientalis at Lingyanshan ,Jinan
年龄
Age
(yr)
胸径 DBH(cm)
实测值
Real
value
理论值
Theoretical
value
树高 Tree height (m)
实测值
Real
value
理论值
Theoretical
value
材积 Volume (m3)
实测值
Real
value
理论值
Theoretical
value
10 0. 4 0. 0007 0. 75 0. 29 0. 00004 0. 00001
20 0. 7 0. 22 1. 55 1. 08 0. 00025 0. 00008
30 1. 7 1. 20 2. 15 2. 06 0. 00102 0. 00082
40 2. 9 2. 84 2. 75 3. 06 0. 00183 0. 00322
50 4. 8 4. 85 3. 60 4. 05 0. 00526 0. 00816
60 6. 7 7. 00 4. 25 4. 99 0. 01194 0. 01612
70 8. 6 9. 19 5. 60 5. 88 0. 01845 0. 02733
80 10. 8 11. 33 6. 85 6. 71 0. 03243 0. 04178
90 13. 3 13. 40 8. 00 7. 49 0. 05442 0. 05939
100 15. 7 15. 36 8. 85 8. 23 0. 08402 0. 07997
110 17. 8 17. 23 9. 30 8. 92 0. 10906 0. 10331
120 19. 3 19. 00 9. 90 9. 57 0. 13621 0. 12918
130 20. 9 20. 68 10. 20 10. 19 0. 16201 0. 15736
140 22. 8 22. 26 10. 75 10. 77 0. 19586 0. 18764
150 24. 4 23. 76 11. 30 11. 32 0. 24178 0. 21981
160 25. 5 25. 17 11. 55 11. 85 0. 26212 0. 25368
170 26. 6 26. 51 12. 15 12. 34 0. 29239 0. 28907
180 27. 5 27. 78 12. 60 12. 82 0. 32013 0. 32582
190 28. 3 28. 99 13. 00 13. 27 0. 34539 0. 36378
200 29. 2 30. 13 13. 85 13. 71 0. 38586 0. 40282
210 30. 3 31. 22 14. 20 14. 12 0. 42765 0. 44282
220 31. 8 32. 26 14. 65 14. 52 0. 47937 0. 48367
230 33. 0 33. 26 14. 95 14. 90 0. 51889 0. 52527
240 34. 4 34. 21 15. 20 15. 27 0. 56831 0. 56751
250 35. 6 35. 11 15. 70 15. 62 0. 63284 0. 61033
260 37. 0 35. 98 15. 80 15. 96 0. 65735 0. 65365
4、5) . 拟合结果表明 ,改进的 Schumacher 方程对侧
柏胸径、树高和材积的拟合残差平方和明显小于相
应的 Schumacher 方程和广义 Schumacher 方程的拟
合残差平方和 ,也明显小于 Logistic 模型及李新运
等提出的自适应模型. 因此 ,改进的 Schumacher 方
程不仅能客观描述林木生长过程 ,而且比经典的
Logistic 模型及李新运等提出的自适应模型效果更
好.
5 　讨 　　论
　　本文在前人研究的基础上 ,提出一个适用性更
广、精度更高的改进的 Schumacher 方程. 长苞铁杉
及侧柏生长过程拟合表明 ,改进模型比 Schumacher
方程和广义 Schumacher 方程拟合效果更好 ,是描述
林木生长的理想模型.
　　采用种群增长模型描述林木生长过程的成功实
例有不少报道[3 ,10 ] ,而采用林木生长方程描述种群
增长的例子也不少[4 ,14 ] . 从理论上讲 ,林木生长方
程不仅能应用于林木生长过程的描述 ,而且可以应
用于种群增长动态的描述[14 ,15 ] . 本文在采用改进的
3422 期 　　　　　　　　　　　　　　洪 　伟等 :广义 Schumacher 模型的改进及其应用 　　　　　
Schumacher 方程拟合侧柏生长过程时 , 不仅与
Schumacher 方程和广义 Schumacher 方程进行了比
较 ,而且与经典的 Logistic 模型和李新运等提出的
自适应种群增长模型进行了比较 ,结果表明 ,改进模
型比 Logistic 模型和李新运等提出的自适应种群增
长模型拟合效果更好.
表 4 　侧柏生长的改进 Schumacher 方程参数
Table 4 Parameters of modif ied Schumacher equation of Platycladus orientalis
生长量1) 模型 Model
参数 Parameters
A b c p d
残差平方
和2)
相关指
数3)
胸径 广义 Schumacher 方程4) 93. 98100 43. 77589 3. 157729 2. 455464 8. 173210 0. 9988
DBH 改进 Schumacher 方程5) 84. 85914 41. 23307 - 3. 582227 2. 421181 0. 958016 6. 694364 0. 9990
树高 广义 Schumacher 方程4) 33. 23725 25. 13025 - 1. 916741 2. 580374 3. 444233 0. 9970
Tree height 改进 Schumacher 方程5) 46. 62421 19. 94854 2. 916264 2. 954236 1. 153774 2. 627312 0. 9977
材积 广义 Schumacher 方程4) 28. 91209 49. 17068 - 2. 239142 3. 162090 0. 0029482 0. 9987
Volume 改进 Schumacher 方程5) 26. 44775 57. 61049 - 2. 955121 3. 153634 1. 43276 0. 0024395 0. 9989
1) Growth amount ;2) Surplus square ;3) Correlation index ;4) Generalized Schumacher equation ;5) Modified Schumacher equation.
表 5 　侧柏生长模型比较
Table 5 Comparison of model f itting to the data of Platycladus orien2
talis
指标
Index
模型残差平方和 Surplus square of model
Logistic
模型1)
李新运等
模型2)
广义
Schumacher
方程3)
改进
Schumacher
方程4)
胸径 DBH(cm) 52. 50876 20. 32885 8. 173210 6. 694364
树高 Tree height (m) 9. 441745 4. 435172 3. 444233 2. 627312
材积 Volume (m3) 0. 0096679 0. 0044249 0. 0029482 0. 0024395
1) Logistic model (Li Xinyun et al . 1999) ;2) Li’s model (Li Xinyun et al. 1999) ;
3) Generalized Schumacher equation ;4) Modified Schumacher equation.
　　在有限的资源与环境空间内 ,种群的增长往往
受密度制约 ,且一般为非线性制约. 由于幂函数的图
像在单位正方形内根据指数的大小可呈现上凸或下
凹的曲线 ,可以用幂函数表达式很好地描述各种密
度制约机制 ,而改进的 Schumacher 方程正好是一种
幂函数表达式 ,因此从理论上讲 ,该模型还可广泛应
用于种群增长动态的研究. 改进的 Schumacher 方
程包含有 5 个参数 ,参数估计方法的合理性是决定
模型模拟效果的重要因子. 采用遗传算法对模型参
数进行最优估计 ,效果很理想. 建议在参数估计过程
中 ,先估计 Schumacher 方程参数 , 然后将 Schu2
macher 方程参数作为广义 Schumacher 方程的参数
的初始值对遗传算法进行优化 ,其中广义 Schu2
macher 方程的参数 c 值取 0 ; 最后将广义 Schu2
macher 方程的参数作为改进的 Schumacher 方程参
数的初始值 ,其中 d 值取 1. 这样可以减少计算机运
行时间 ,得到理想的效果.
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作者简介 　洪 　伟 ,男 ,1947 年生 ,教授 ,博士生导师 ,主要
从事森林生态学、森林培育学及种群生态学等研究 ,已发表
论文 200 多篇. E2mail :zjwucz @public. npptt . fj. cn
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