全 文 ：第 26 卷第 9 期
2006 年 9 月
生 　　态 　　学 　　报
ACTA ECOLOGICA SINICA
Vol. 26 ,No. 9
Sep. ,2006
Weibull 分布参数辨识改进及对浙江毛竹林
胸径年龄分布的测度
周国模1 ,刘恩斌1 ,刘安兴2 ,周宇峰1
(1. 浙江林学院环境科技学院 , 临安　311300 ; 2. 浙江省森林资源监测中心 ,杭州　310020)
基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (30271072) ;浙江省科技厅资助项目 (2003C32029)
收稿日期 :2006201209 ;修订日期 :2006207211
作者简介 :周国模 (1961～) ,男 ,浙江省诸暨人 ,博士 ,教授 ,主要从事森林资源与环境管理研究. E2mail :zhougm @zjfc. edu. cn
Foundation item : The project was supported by National Natural Science Foundation of China (No. 30271072) ; the Department of Science and Technology of
Zhejiang Province (No. 2003C32029)
Received date :2006201209 ;Accepted date :2006207211
Biography :ZHOU Guo2Mo , Ph. D. , Professor ,mainly engaged in forest resources and environment management . E2mail :zhougm @zjfc. edu. cn
摘要 :非线性模型迭代参数初始值的选取及拟合的结果能否可用非常重要且一直是一个难题。传统的方法只是凭感觉偿试不
进行定量评估 ,对于用阻尼最小二乘进行拟合只注重精度高低 ,没有从理论上研究和分析评价得出的结果能否可用。为了克服
这一不足 ,使参数选取较好 ,阻尼最小二乘得出结果可用。利用非线性回归原理在这两方面做了探讨 ,提出了二个判别指标 :
βT < 1 ,βN < 1 ,分析了每一指标在参数不同状态的控制作用 ,并在 Weibull 分布函数参数辨识中做了应用。针对目前毛竹林林分
结构规律研究的不足 ,利用浙江省 230 个毛竹林样地资料研究了省域尺度的毛竹林胸径分布规律 ,经 SPSS软件中的 P2P图检验
与柯尔莫哥洛夫检验 ,表明毛竹林胸径结构服从 Weibull 分布 ;再经对 Weibull 分布模型拟合求解与作图对比 ,结果显示 Weibull
分布能很好地描述毛竹林胸径分布规律。利用 Weibull 分布三参数与林分特征因子间的相关关系 ,经分析研究 ,导出了一个改
进的二元分布模型 ,用该二元分布模型很好地测度了浙江省毛竹林胸径和年龄分布规律 ,最后得到了浙江省毛竹林株数按胸径
年龄分布的理论频数。
关键词 :Weibull 分布 ;参数辨识 ;毛竹林 ;直径分布 ;二元分布模型
文章编号 :100020933(2006) 0922918209 　中图分类号 :Q14 ,S71815 ,S758 　文献标识码 :A
The algorithm update of Weibull Distribution parametric identif ication and its
application on measuring the distribution of diameter and age of Moso bamboo
forests in Zhejiang Province , China
ZHOU Guo-Mo1 , LIU En-Bin1 , LIU An- Xing2 , ZHOU Yu- Feng1 　(1. School of Environment Sciences , Zhejiang Forestry Universitry ,Lin′
an 311300 , China ; 2. Monitoring Center for Forest Resources , Zhejiang Province , Hangzhou 310020 , China) . Acta Ecologica Sinica ,2006 ,26( 9) :2918～2926.
Abstract : It is very important and difficult to select initial parametric value and to evaluate the result which is applicable or not of
nonlinear model . To solve nonlinear equation with Levenberg2marqurt iteration method , the traditional approach to select initial
parametric value is based on the sense and multiple testing , and only focuses on the accuracy of the fitted value while ignores the
applicability of the result theoretically. These shortcomings were overcome in this study through. In order to conquer these
shortcomings , this paper makes the Nonlinear Regression Statistics and two key estimation indicesβT < 1 , βN < 1. The control
function of βT < 1 , βN < 1 in the various parametric states were analyzed and used to solve parameters of Weibull Distribution
function as well . About 230 samples’datum of Moso bamboo ( Phyllostachys pubescens) in Zhejiang Province were applied to study
the distribution pattern of diameter of Moso bamboo forests. The results show that the diameter distribution pattern of Moso bamboo
forest is conformed to Weibull Distribution through the P2P chart and Kolmogorov test . Using of the relationship with Weibull’s
three parameters and characteristic factors of forests , two2dimensional distribution function is induced. In the presented report , we
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also demonstrated that two2dimensional distribution function had high accuracy in the measurement on the distribution patterns of
diameter and age of Moso bamboo forests. Finally , the theoretical probability value of diameter and age distribution of Zhejiang
Province were presented.
Key words :Weibull Distribution ;parametric identification ;Moso bamboo ( Phyllostachys pubescens) forest ; diameter distribution ;
two2dimensional Distributing Model
浙江省位于我国东南沿海 ,地处中亚热带 ,其地理坐标为东经 118°01′～123°10′,北纬 27°06′～31°11′。是
我国毛竹 ( Phyllostachys pubescens) 分布最丰富的省份之一。据 2005 年统计资料 ,全省有毛竹林面积 57153 万
hm2 ,占全省森林面积的 9184 % ,竹林产值 180 亿元 ,是浙江省山区农民经济收入的重要来源。据研究毛竹林
还是重要的森林碳汇 ,其年固碳能力位居亚热带区域树种之最[1 ] ,对全球气候变化具有不可低估的作用。而
目前在有关毛竹林的研究方面 ,还未见有毛竹林胸径年龄分布规律的研究报道。毛竹林的胸径年龄分布状况
与毛竹林群落的产量结构及机能有着密切的关系 ,合理的毛竹林分结构是充分发挥毛竹林效能的基础 ,研究
毛竹林胸径年龄分布规律可预估毛竹林各径级年龄株数 ,进而为计算毛竹林生物量及生物碳库提供了科学
依据。
选择一个合适的概率密度函数 ,对毛竹林直径分布模型的建立和使用起着至关重要的作用 ,研究认为灵
活性大、适应性强且积分形式简单的威布尔分布 (Weibull Distribution) 能很好地描述林木的直径分布状态[2 ] ,
它同样可用来描述毛竹林直径分布规律。目前 ,威布尔分布已应用于生态领域[3 ,4 ] ,在林业上应用最广泛的还
在于研究林木直径分布方面[2 ,5～9 ] 。
有关 Weibull 分布参数辨识的方法最常用的是最小二乘法 ,但大多数研究都普遍注重参数拟合精度[6 ,7 ,9 ] ,
而对参数初始值选取好坏评价及拟合得到的结果能否可用还未有研究。
本文试图用 Weibull 分布来研究浙江省毛竹林的直径年龄分布规律 ,并对 Weibull 分布参数辨识改进方面
做一些探索性工作。
1 　资料来源
浙江省于 1979 年建立了森林资源连续清查体系 ,以 5a 为一个复查周期。共设置固定样地 4250 个 ,样点
格网为 4km ×6km ,样地形状为正方形 ,边长 28128m ,面积 800m2 ,其中属于毛竹纯林的样地共有 230 个 ,本研
究即取此 230 个样地资料。样地内 5cm 以上的竹子均要调查记载 ,调查内容主要有量测胸径 ,测定年龄 (当年
生新竹记为 0 度竹 ,仅记录株数 ,不测胸径 ;1～2 年生竹记为 1 度竹 ;3～4 年生竹记为 2 度竹 ,依此类推) 。
230 个大小为 28128m ×28128m 的毛竹样地资料的基本统计数据见表 1。其胸径从 5～15cm ,年龄为 1～4
度 3 以上 ,样地毛竹株数从 18～461 株不等。
表 1 　浙江省毛竹林胸径年龄样地统计(株)
Table 1 　Sample data( No . ) on diameter and age of Moso bamboo ( Phyllostachys pubescens) in Zhejiang Province
龄阶 (度 3 )
Age class(du 3 ) 胸径 Diameter (cm)5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1047 1238 1747 1817 1698 1292 637 295 86 23 3
2 898 1285 1783 1986 1845 1386 768 384 109 31 11
3 275 426 624 814 693 590 322 169 49 7 2
4 及以上 4 above 125 191 319 422 462 394 266 145 40 10 4
总数 Total 2345 3140 4473 5039 4698 3662 1993 993 284 71 20
　　3 度是毛竹的年龄单位 ,1 度包含 2 年　du is a age unit for bamboo , one du contains two years
2 　毛竹林直径一元分布模型及求解
2. 1 　威布尔分布函数
威布尔分布的一般形式为 :
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f ( x , a , b , c) = x - ab
c
c
x - a
e
-
x - a
b
c
式中 , a , b , c 为威布尔分布的 3 个参数。a 为位置参数 , b > 0 时 ,为尺度参数 ,是疏散性指标 , c > 0 时 ,为形状
参数 ;当 c < 1 时 ,威布尔分布为倒 T 型分布 ;当 c = 1 时 ,威布尔分布为指数分布 ,当 c = 2 时 ,威布尔分布为
卡方 (χ2 )分布 ,当 c = 316 时 ,威布尔分布近似正态分布 ;当 c →∝时 ,威布尔分布化为单点分布。
212 　毛竹林胸径服从威布尔分布的假设检验
21211 　P2P 图检验 　对于已有数据服从哪种分布还不能确定时 ,首先要对数据做分布预检验 ,以保证后续工
作的有效性 ,也为确定应采用的统计检验方法提供依据。而 SPSS中的 P2P 图提供了这种功能[10 ] 。
图 1 　毛竹胸径 Weibull P2P 散点图
Fig. 1 　Weibull P2P Plot of Moso bamboo’diameterSPSS中的 P2P 概率图是用于检验样本的概率分布是否服从某种理论分布的图形 ,检验是根据某变量概率累积比与指定分布概率累积比之间的关系。可以利用P2P 概率图检验实际数据是否符合指定的分布 ,当符合指定分布时 ,数据对应的散点位于图中右斜对角位置近于直线分布 ,而在无趋势 P2P 图中则呈离散分布 ,并对称于以 0 为水平轴的带内。如果不成直线 ,但有一定规律 ,可以对变量数据按照某种转换方式进行转化 ,使转化后的数据更接近指定的分布。对浙江省实测的毛竹株数按径阶的概率累积分布数据进行 Weibull 分布检验 ,生成的检验图形见图 1 和图 2。结果显示 :图 1 所示的 Weibull P2P 图的散点近似呈一条直线 ;而无趋势 Weibull P2P 图 (图 2) 的散点均匀
图 2 　毛竹胸径无趋势 Weibull P2P 散点图
Fig. 2 　Detrended Weibull P2P Plot of Moso bamboo’diameter分布在纵坐标为 0 的直线上下 ,故可以认为浙江省毛竹株数的径阶分布服从威布尔分布。2. 2. 2 　柯尔莫哥洛夫检验 　上述用 SPSS软件中的 P2P概率图较为直观形象地验证了毛竹林胸径服从威布尔分布 ,在此进一步对分布函数型式进行理论检验。常用的分布拟合检验方法有 :χ2 检验与柯尔莫哥洛夫检验[11 ] 。χ2 检验法是将总体各单元可能的取值范围分成若干区间 ,根据每一区间上理论频数与样本的实际频数值之差对总体分布作出的检验。柯尔莫哥洛夫检验是对每一样本单元值均考虑与其相应理论值的偏差 ,而且还是样本累积频率与实测累积频率的比较 ,因此它要比
χ2 检验要精确些。
当不知道总体服从那种类型的分布时 ,可用柯尔莫哥洛夫统计量来检验总体是否服从指定的分布 ,这里
先假定总体服从 Weibull 分布。
对于浙江省毛竹林来说 ,230 个样地不同胸径的毛竹总株数可以当作是样本 ,根据柯尔莫哥洛夫检验原
理得 :
λ = nsup | Fn ( x) - F ( x) | = 01379219
　　式中 , n 为样本单元数 , Fn ( x)为实测样本累积频率分布函数 , F ( x) 为理论累积分布函数 ,sup 为取上界。
经查表得 Q (λ) = Q (01379219) = 01001285 ,则 1 - Q (λ) = 01998715 是一个很大的概率 ,所以原假设成立 ,毛竹
胸径服从 Weibull 分布。
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经上述两种方法的假设检验 ,说明浙江省毛竹林直径是服从 Weibull 分布的。
213 　模型的拟合与检验
21311 　非线性模型参数的评价指标 　由于各种方法需用数值方法进行迭代求解 ,在迭代求解过程中 ,若迭代
初始点选得不好 ,迭代过程不一定收敛。因为有的非线性模型对参数的近似值十分敏感 ,只有在参数近似值
的近似程度非常好的情况下 ,才能得到可用的结果 ,有的非线性模型在给定初值处即使收敛也不一定能很好
地反映模型对客观实际的描述。这是因为非线性模型可能有几个收敛域 ,在某个收敛域内迭代得到的结果不
一定可用[12 ] 。在此笔者提出了参数检验标准 :
　　对于非线性模型 Y = f ( X ,θ) +ε (1)
经过一系列的推理证明得到如下两个指标 (具体推理见附录) :
βN = ‖W
N dβ‖22
‖V ‖22 < 1 ,
βT = ‖W
T dβ‖22
‖V ‖22 < 1
(2)
式中 ,βN 是说明模型非线性强度的指标 ,βN < 1 说明模型非线性强度不大 ,可以取至泰勒公式展开一阶项进
行线性化 ,βN 越小则模型非线性强度越弱。βT 是说明模型参数选取好坏的指标 ,当βT < 1 说明参数选取比较
好 ,βT 越小则说明模型参数选取的越好。而βN 与βT 又是紧密相关互相依赖的 ,模型非线性强度越强越不易
线性化 ,对参数选择就越敏感 ,参数值越难选。
阻尼最小二乘拟合非线性模型时 ,其原理就是用泰勒公式逼近原有模型 ,取一阶项线性化处理。
从附录可以看出 :βN 与βT 这两个指标是针对阻尼最小二乘算法而提出的。
以下说明了这两个指标对模型参数状态的控制性评价 :
(1)在模型初值选取时 ,用βN 与βT 指标做一次检验 ,如果βN < 1 且βT < 1 说明非线性模型非线性强度不
大且初值选取得较好。从下面检验可以看到 ,如果初值检验能满足βN < 1 与βT < 1 则迭代很快收敛 ,而且很
稳定。但只满足βN < 1 与βT < 1 时 ,对有的非线性模型不一定能满足既定精度要求 ,所以要进行参数迭代。
(2)当满足既定精度要求时 ,对有的非线性模型来说 ,不一定能满足βN < 1 与βT < 1[5 ] ,所以参数迭代终
止时 ,再进行一次βN < 1 与βT < 1 指标的检验。如果βN < 1 ,则能满足阻尼最小二乘算法泰勒公式展开取至
一阶项的线性化要求 ,如果βT < 1 ,则此时的参数取值也较好。因此要使阻尼最小二乘算法得出结果可用必
须满足 3 个条件 :βN < 1 ,βT < 1 ,及达到既定精度要求。否则βN > 1 且即使迭代收敛也能满足既定精度要求 ,
但此时用阻尼最小二乘算法得出的结果 ,由于不满足其本身所要求的条件 ,所以信息失真太大而不能用。
具体实施过程可以用简单方便的矩估计[13～15 ]大概确定一下模型的初始值或根据 Weibull 3 个参数取值与
模型图像形状的关系 ,结合对应的散点图来取 ,在程序设计上可以加一个变量用来判断是否满足βN < 1 ,
βT < 1。
从以上可以看出参数状态可分为初值评价标准确定的参数状态 ( LB ) ,初选模型参数原始状态 ( L 0 ) 与满
足精度的参数真值最终近似状态 (L Z) ,从 LB 到 L Z 已证实能收敛 ,从 L0 到 LB 对初值的选取比直接从 L0 到
L Z 要容易的多。这就说明βN < 1 ,βT < 1 对模型初值选取提供了一个理论依据 ,使非线性模型初值选取更容
易且更有目的性 ,这也是此标准的实际意义所在。
表 2 　最后 5 次迭代过程
Table 2 　Ultimate five iteration process
迭代过程
Iteration
process
离差平方和
Deviation sum
of squre
参数 Parameters
a b c
11 0. 000448 1. 337068 7. 442110 3. 605851
12 0. 000448 1. 336439 7. 442711 3. 606148
13 0. 000448 1. 336439 7. 442711 3. 606148
14 0. 000448 1. 336666 7. 442494 3. 606041
15 0. 000448 1. 336666 7. 442494 3. 606041
2. 3. 2 　模型求解与检验
(1) Weibull 分布参数评价与相关系数检验 　利用
Weibull 三参数取值与模型图像形状的关系 ,结合对
应的散点图 ,取初值为 : a = 1125 , b = 5172 , c = 2158
时 , 用非线性模型参数检验标准得 : βN = 01088280 ,
βT = 01059859 ,经过 15 次迭代就达到稳定 ,下面只列
出了最后 5 次迭代结果 (表 2) 。这说明了 Weibull 分
布的非线性强度是比较弱的 ,同时也说明了许多学者
12929 期 周国模 　等 :Weibull 分布参数辨识改进及对浙江毛竹林胸径年龄分布的测度 　
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通常采用取常用对数进行线性化处理的原因。
保留前 5 位有效数字得拟合模型为 :
f ( x ,θ) = x - 1. 3366667. 442494
3. 606041 3. 606041
x - 1. 336666e
-
x - 1. 336666
7. 442494
3. 606041
　　从以上参数迭代过程可以得出各参数取值稳定 ,迭代终止 ,此时的βN = 110429 ×10 - 7 ,βT = 217614 ×
10 - 8 。决定系数为 R2 = 01991220 ,能满足精度要求。
　图 3 　全省毛竹林胸径分布理论频数曲线图与实测频数散点图
Fig. 3 　The data and the fitted Weibull Distribution curve of Moso bamboo’s
diameter
根据拟合结果作模型曲线见图 3 所示 :从图 3 可
以看出毛竹胸径分布理论曲线与实测数据非常吻合。
经峰度与偏度检验 ,得峰度值为 - 11633000 ,偏度值为
01004000。
3 　毛竹胸径年龄二元分布模型
前文的一元 Weibull 只能反映毛竹株数随径阶的分
布规律 ,还不能反映毛竹株数随直径、年龄的二元分布
规律 ,因此需要对一元 Weibull 分布进行改进。
3. 1 　Weibull 分布参数预估方程的建立
关于二元 Weibull 分布概率密度函数目前在理论上
还不成熟 ,没有形成像正态分布那样具体的函数表达
式 ,但许多学者研究认为 Weibull 3 个参数与林分特征
因子存在一定的回归关系[8 ,9 ] ,有的是指数形式的 ,有的
是多元线性回归关系的。现设 Weibull 3 个参数与林分年龄 ( A)和直径 ( D)有以下回归关系 :
c = c0 + c
3
1 A + c
3
2 D
b = c3 + c
3
4 A + c
3
5 D
a = c6 + c
3
7 A + c
3
8 D
(3)
　　将上述 (3)式代入 Weibull 分布模型 ,得改进的二元分布模型为 :
f ( x , y) = c0 + c
3
1 A + c
3
2 D
c3 + c
3
4 A + c
3
5 D
D - ( c6 + c 37 A + c 38 D
c3 + c
3
4 A + c
3
5 D
c0 + c
3
1 A + c
3
2 D - 1
e
-
D - ( c6 + c
3
7 A + c
3
8 D
c3 + c
3
4 A + c
3
5 D
c0 + c
3
1 A + c
3
2 D
3. 2 　二元分布模型参数求解与检验
用阻尼最小二乘法对上述二元改进模型进行拟合得 :
c0 = - 101161000 , c 31 = - 11365000 , c 32 = 31260521 , c3 = - 751972000 , c 34 = 151700487 ,
c
3
5 = 161571509 , c6 = 961377912 , c 37 = - 171273000 , c 38 = - 171779000
　　离差平方和为 :01002200 ,决定系数 R2 = 01902000 ,能满足精度要求的。
对拟合后的模型作如下立体图 (图 4) :由图 4 可以看出 ,曲线在概率2胸径投影面上还是 Weibull 形状 ,1
度 ,2 度胸径曲线投影之所以与二维胸径2概率分布曲线 (图 3) 最类似 ,是因为全省毛竹实测资料中 1 度 ,2 度
的毛竹占了较大比重 ,这就说明了用此模型来描述毛竹胸径年龄分布规律时能充分反映调查样地的实际情
况 ,也说明了该模型对毛竹林分特征反映较二维 Weibull 分布全面 ,以及年龄对毛竹林分布规律的影响。当然
本文在这方面也只是一个初步偿试 ,有关反映胸径年龄性能更好的模型还有待进一步研究。
3. 3 　浙江省毛竹胸径年龄实测频数与理论频数对比
根据上述求得的二元分布模型 ,即可得全省毛竹林分胸径年龄的理论频数 ,与全省毛竹林的实际频数对
比 (表 4) 。
用表 4 中各径级与各龄级的概率估计值 ,乘以浙江省毛竹总株数 ,就可得浙江省毛竹株数按胸径年龄分
布的估算值。
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图 4 　浙江省毛竹林胸径年龄三维理论分布
Fig. 4 　Three2dimension of the fitted distribution on Moso bamboo ’s
Diameter and age
说明 :4 度及以上竹是按 4 度的权 0. 8 ,5 度的权 0115 ,6 度的权 0105
计算而得 ,其加权平均值是 4125. Note :Moso Bamboo for 4 du and above
contained 4 , 5 and 6 du ; here the weighted value is 4125 , which were
weighted to 018 ,0115 and 0105 for 4 du ,5 du and 6 du respectively4 　结论与讨论本文利用浙江省森林资源连续清查样地资料 ,首次用 Weibull 分布函数来研究全省尺度的毛竹林分的胸径年龄结构规律。基于非线性模型迭代参数值选取的适当与否较难判断 ,且直接影响到模型估算结果对实际情况的反映 ,影响到迭代过程的稳定性 ;同时人们长期只关心用阻尼最小二乘算法得出结果的精度高低 ,不太关注其结果能否可用这一核心问题 ,为此对非线性模型的参数求解和评价方法也做了深入探讨 ,得到了以下结论 :(1)利用非线性回归原理对参数值选取及阻尼最小二乘法得出结果能否可用进行了探讨。提出了 2 个评价指标 ,即 :βT < 1 ,βN < 1 ,这样就能保证拟合参数结果较好而且可用 ,并在一元 Weibull 分布模型参数辨识中做了应用与检验。(2)用 Weibull 分布函数能很好地拟合浙江省毛竹
林分的胸径结构 ,拟合模型的精度很高 ,据此可得到全
省毛竹林株数按胸径分布的估算值。进一步表明了 Weibull 分布函数在描述林分直径分布方面具有的广泛适
应性。
表 4 　浙江省毛竹林胸径年龄实测频数与理论频数表
Table 4 　Observed and fitted probability values of Moso bamboo’s diameter and age
直径 (cm)
Diameter
龄阶 Age class
1 2 3 4 以上 above
实测值
Observed value
理论值
Fitted value
实测值
Observed value
理论值
Fitted value
实测值
Observed value
理论值
Fitted value
实测值
Observed value
理论值
Fitted value
5 0. 039187 0. 037433 0. 033610 0. 033649 0. 010293 0. 015017 0. 004679 0. 001763
6 0. 046336 0. 051950 0. 048095 0. 043271 0. 015944 0. 028194 0. 007149 0. 014763
7 0. 065387 0. 064981 0. 066734 0. 050938 0. 023355 0. 036262 0. 011940 0. 023120
8 0. 068007 0. 073341 0. 074332 0. 054806 0. 030466 0. 040093 0. 015795 0. 027656
9 0. 063553 0. 071277 0. 069055 0. 051401 0. 025938 0. 038059 0. 017292 0. 027542
10 0. 048357 0. 055318 0. 051875 0. 039093 0. 022083 0. 029401 0. 014747 0. 022303
11 0. 023842 0. 030574 0. 028745 0. 021675 0. 012052 0. 016857 0. 009956 0. 013665
12 0. 011041 0. 010123 0. 014372 0. 007483 0. 006325 0. 006233 0. 005427 0. 005625
13 0. 003219 0. 001547 0. 004080 0. 001272 0. 001834 0. 001206 0. 001497 0. 001300
14 0. 000861 0. 000074 0. 001160 0. 000075 0. 000262 0. 000089 0. 000374 0. 000129
15 0. 000112 0. 000001 0. 000412 0. 000001 0. 000075 0. 000002 0. 000150 0. 000004
　　(3)首次用改进 Weibull 分布函数得到了一个二元分布模型 ,并用该二元分布模型研究了浙江省毛竹林的
胸径年龄分布规律。拟合的二元分布模型能适应于毛竹林具有不同偏度和峭度变化的情况 ,并得到了浙江省
毛竹株数随胸径年龄分布的理论频数。
(4)本文采用浙江省 230 个毛竹林样地资料中所有相同胸径或年龄的总株数来研究毛竹林分结构 ,故其
结果只反映了省域尺度的毛竹林胸径年龄分布规律 ,并不能用来测度具体某个毛竹林林分的胸径年龄分布
结构。
(5)用 Weibull 分布来研究某一树种的林分测度时 ,最多的是研究胸径这样的一元测度 ,用 Weibull 分布来
研究二元测度文献很少 ,至今其二元分布函数型式尚属空白。在目前还未有二元 Weibull 分布函数表达式的
情况下 ,本文对 Weibull 分布函数做了改进 ,拟合结果虽然能反映实际情况 ,但由于这方面研究成果很少 ,还有
32929 期 周国模 　等 :Weibull 分布参数辨识改进及对浙江毛竹林胸径年龄分布的测度 　
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待于从数学理论上做进一步研究。
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4292　 生 　态 　学 　报 26 卷
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附录
设非线性模型为 :
Y = f ( X ,θ) +ε (1)
式中 : Y 为 n ×1 的观测向量 , f ( X ,θ) = ( f 1 ( X ,θ) , f 2 ( X ,θ) , ⋯, f n ( X ,θ) )′是由 n 个θ的非线性函数组成的向量 ,ε为 n ×1 的随
机误差向量 , X 为相应指标向量 ,θ为 t ×1 的参数向量 ( t < n) ; f i ( X ,θ) 为θ的非线性函数 ,假设模型 (1) 关于θ存在二阶以上
连续导数 , 则模型 (1)线性化后的误差方程为 : V = Bdθ+ f ( X ,θ) - Y ,式中 ,
B =
9 f 1 ( X ,θ^)9θ1 9f 1 ( X ,θ^)9θ2 ⋯ 9f 1 ( X ,θ^)9θt9 f 2 ( X ,θ^)9θ1 9f 2 ( X ,θ^)9θ2 ⋯ 9f 2 ( X ,θ^)9θt
… … …9 f n ( X ,θ^)9θ1 9f n ( X ,θ^)9θ2 ⋯ 9f n ( X ,θ^)9θt
dθ = ( dθ1 , dθ2 , ⋯, dθt )′
f ( X ,θ)在θ0 处泰勒展开为 :
f ( X ,θ) = f ( X ,θ0 ) + Bdθ+ 12 dθ′Cdθ+ε (2)
式中 :ε为略去三次及三次以上各项所产生的误差向量 , C = ( Ckij ) ,
Ck =
9f k ( X ,θ^)9θ21 9 f k ( X ,θ^)9θ1 9θ2 ⋯ 9 f k ( X ,θ^)9θ1 9θt9f k ( X ,θ^)9θ2 9θ1 9 f k ( X ,θ^)9θ22 ⋯ 9 f k ( X ,θ^)9θ2 9θt
… … …9f k ( X ,θ^9θt 9θ1 9 f k ( X ,θ^9θt 9θ2 ⋯ 9f k ( X ,θ^9θ2t
是 C 的第 k 层矩阵 (关于三维数组的详细内容见参考文献 [16 ] ) 。
而三维数组的运算比较复杂容易出错 ,因此在实际计算时有必要进行简化 ,设法避免三维数组的运算 ,为此将 f ( X ,θ) 对θ
的二阶偏导数重新排列 ,而得一个 n ×a 的矩阵 W ,α= 12 t ( t + 1)与一个α的向量 dβ
dβ = dθ2 = ( dθ21 , dθ22 , ⋯, dθ2t , dθ1 dθ2 , ⋯, dθ1 dθt , dθ2 dθ3 , ⋯, dθt - 1 dθt )′
W =
92 f 1 ( X ,θ)9θ21 ⋯92 f 1 ( X ,θ)9θ2t 2 92 f 1 ( X ,θ)9θ1 9θ2 ⋯2 92 f 1 ( X ,θ)9θ1 9θt 2 92 f 1 ( X ,θ)9θ2 9θ3 ⋯2 92 f 1 ( X ,θ)9θt - 1 9θt92 f 2 ( X ,θ)9θ21 ⋯92 f 2 ( X ,θ)9θ2t 2 92 f 2 ( X ,θ)9θ1 9θ2 ⋯2 92 f 2 ( X ,θ)9θ1 9θt 2 92 f 2 ( X ,θ)9θ2 9θ3 ⋯2 92 f 2 ( X ,θ)9θt - 1 9θt
…　　　… …　　　… …　　　…92 f n ( X ,θ)9θ21 ⋯92 f n ( X ,θ)9θ2t 2 92 f n ( X ,θ)9θ1 9θ2 ⋯2 92 f n ( X ,θ)9θ1 9θt 2 92 f n ( X ,θ)9θ2 9θ3 ⋯2 92 f n ( X ,θ)9θt - 1 9θt ,
于是下列等式成立
dθ′Cdθ = Wdβ (3)
证明 :设μ= dθ′Cdθ,ν= Wdβ
则有 　 μ = 6t
i = 1
6tj = 1 C1 ijθiθj 　6ti = 1 6tj = 1 C2 ijθiθj ⋯6ti = 1 6tj = 1 Cnijθiθj ′,
则 μk = 6t
i = 1
6tj = 1 Ckijθiθj
再由三维数组 C 的定义得
μk =
92 f k ( X ,θ)9θ21 θ21 + 92 f k ( X ,θ)9θ1 9θ2 θ1θ2 + ⋯+ 92 f k ( X ,θ)9θ1 9θt θ1θt + 92 f k ( X ,θ)9θ2 9θ1 θ2θ1 + 92 f k ( X ,θ)9θ22 θ22 + ⋯
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92 f k ( X ,θ)9θ2 9θt θ2θt + ⋯+ 92 f k ( X ,θ)9θt 9θ1 θtθ1 + 92 f k ( X ,θ)9θt 9θ2 θtθ2 + ⋯+ 92 f k ( X ,θ)9θ2t θ2t
因为92 f k ( X ,θ)9θi 9θj θiθj = 92 f k ( X ,θ)9θj 9θi θjθi ,所以
μk = 6t
i = 1
92 f k ( X ,θ)9θ2i θ2i + 2 6t - 1i = 1 6tj = i +1 92 f k ( X ,θ)9θi 9θj θiθj
再根据矩阵 dβ和 W 有νk = 6t
i = 1
92 f k ( X ,θ)9θ2i θ2i + 2 6t - 1i = 1 6tj = i+1 92 f k ( X ,θ)9θi 9θj θiθj = μk
所以 (3)式成立。将 (3)式代入 (2)式得
f ( X ,θ) = f ( X ,θ0 ) + B dθ+ 12 Wdβ+ε (4)
　　当 f ( X ,θ)为线性模型时 ,则有 : Wdβ=ε=Θ , Θ这里是 n ×1 的各元素为 0 的矩阵。
对于非线性模型有 :
‖f ( X ,θ) - f ( X ,θ0 ) - B dθ‖22 ≥ ‖Wdβ‖22 > 0 (5)
显然 ‖Wdβ‖22 越大 ,模型的非线性强度越强 , ‖Wdβ‖22 越小 ,模型的非线性强度越弱 ,故可用 ‖Wdβ‖22 来判断模型的非线性
强度。
根据 (5)式有 ‖- V ‖22 ≥‖Wdβ‖22 ,即 V′V ≥‖Wdβ‖2 (6)
将矩阵 Wdβ投影到解迹线在θ=θ0 处的切空间和法空间 ,则有
Wdβ = WN dβ+ WT dβ (7)
式中 , WN = SN W , WT = S TW , S T 为 B 生成的投影矩阵 : S T = B ( B′B) - 1 B′, SN = I - S T ,下面对 (7)式进行证明。
证明 : WN dβ+ WT dβ= ( WN + WT) dβ= ( SN + S T) Wdβ= Wdβ,故 (7)式成立。
由于 ‖Wdβ‖2 ≥‖WN dβ‖2 , ‖Wdβ‖2 ≥‖WT dβ‖2 ,将它代入 (6)式得 :
βN = ‖W
N dβ‖22
‖V ‖22
< 1 ,βT = ‖W
T dβ‖22
‖V ‖22
< 1 (8)
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