全 文 ：第 6 卷 第 4 期
1 9 9 3 年 8 月
林 业 科 学 研 究
FO R E S T R E SE A R C H
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6
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4
A 让 9 . , 1 9 9 3
韦布尔分布及其参数估计 ‘
卞 旱 工乙/ J 勺 / 、
摘要 本文分别以计算机模拟数据和杉木标准地数据比较了最大似然法 、 矩法 、 百分位法和
回归法等四种韦布尔参数估计方法 。对于计算机模拟数据 , 回归法估计效果最好。 对于衫木标准地
资料 , 回归法拟合效果最差 , 其它三种佑计方法的结果比较接近 , 估计的参数值和拟合优度均无
显著差异 , 但从机时费考虑 , 百分位法最经济 , 值得推崇 。
关魂词 直径分布、 韦布尔分布 、 参数佑计 、 计算机模拟
自从 B ai le y 和 D el l(1 9 73 ) 将 其 作 为 林 木 直 径 的 分 布 函数引入林业 , 韦布尔分市
(W ei bu n di st r ib ut io n) 以其灵活性大 、 适应性强 、 积分形式简单等优点 , 在 森林生长收获
预估中得到了广泛的应用 。 三参数韦布尔分布的密度函数为 :
“D , ·
{
c
/ b〔(D 一 a ) / b〕‘一 ’· e x P { 一 [ (D 一 a )/ b〕。} 当 D 》a , a 》 o , b ) 0 , c ) o
0 否则
其中 , D 为林木的胸高直径 (D B H ); a 为位置参数 ; 杏为尺度参数 ; ‘ 为形状参数。
由某一林分测定的立木直径系列 D , , D : , ⋯ , D 。 , 来估计参数 a 、 b、 ‘ 的 过 程叫参数佑
计 , 它是应用韦布尔分布的难点 。 在林业应用中 , 位置参数 a 一般取林分的最小直径 , 该值
可以通过森林调查获得。 因此韦布尔分布参数估计就是要估计参数 b 和 “ 。 估计的常见方去
有 : 最大似然法 (M LE ) , 矩法 , 百分位法 (PCT ) , 回归法 。 这些方法都有人 用过 [ ‘, “ , 礴, “] , 但
系统地比较各方法的实际应用效果 , 则报道很少 。
本文分别以计算机模拟数据和福建杉木标准地资料 , 对韦布尔分布的几种常见参数估寸
方法进行了分析比较 。 整个计算通过 BA S IC 语言和C语言完成 , 计算程序将另行说明 。
1 韦布尔分布参数估计
1. 1 最大似然法〔“〕
首先将三参数化为两参数韦布尔分布 , 即 :
令 X ‘ = 刀‘一 a , 其中 D ; 为第 i 株林木胸径 , a 为林分最小直径 。
则最大似然方程为:
‘/ · + ‘/ ·客‘n ‘X ! , 一 [(客X ‘。·‘n X ‘)){(冬X ‘。)}二 。 (1 )
1 9 9 3一0 1一0 3收稿 。
方子兴研究实习员 (中国林业科学研究院资源信息研究所 北 京 10 0 0 9 1 ) 。
* 国家 科委 自然科学基金项 目口 我国主要人工用材林生长模 型 、 经营模型及优化控制 ”部分研究 内容。
d 4 林 业 科 学 研 究 6 卷
b = (1 /
n 习 x ‘. )’1. (2 )
根据(1) 式迭代求出
1
一
2 矩法[ 7 ]
‘一 二
‘的值 , 然后将其代入 (2) 式求出参数 b 。
对于三参数韦布尔分布 , 用林木胸径的前三阶矩 V : , V : , V 。估计 参 数 a , b , ‘的 方程
为 : V : = br : + a , V : = bZr : + Za br : + a Z , V : = bsr : + s abZ r : + 3 a , br : + a 3 。
其中 , r 为 了 函数 , r . = r (i + k/ c ) k = i , 2 , 3
当参数 a 已知时 (譬如取林分最小直径为 a 的值 ) , 韦布尔分布的矩解方程为 :
V : I’x 1 一 (V I 一 a )名r : 一 a (ZV I一 a )r 一1 = 0 (3 )
b = (V
: 一 a ) / I’: (4 )
给出参数 c 的两个初始值 , 例如〔1 . 。, 5 . 0〕, 由(3) 式采用快速弦切法迭代求出参数 ‘ ,
再由(4) 式计算出参数 b 。
百分位法 t8)
将林木由小到大排序 , D ‘表示排序后的第 诬株林木的胸径 , 则 PCT 的估计方程为 :
a =
{
(D :认 一 D : 2 )/ (D : + D一 ZD : )
D
-
当 (D : 一 D : ) < (D 。 一 D : )时
当 (D : 一 D : )> (D 。 一刀 : )
n 为样地林木株数 , D . 即为最大直径 , D : 为最小直径 , 若 a < O , 则令 a = D :
b = 一 a + D r。二 3 0 1
一 ‘n(盗普拍韶){‘n(会米器)
p 。= o
。
1 6 7 5 1
, p . 二 0 . 9 7 3 6 6 。 下标 [ 〕中为取整后的值 。
回归法 , J
3中‘1.其L
韦布尔分布的分布函数为 : P (古簇 D ) = 1 一 e x P {一 [ (D 一 a )/ b〕. } (5 )
由(5 )式容易得到 : e In (D 一 a ) 一 c In b = In { 一 In 〔P (若> D )〕} (6 )
任意给定D 的值 , 等号左边的 1n( 刀一 a) 及等号右边都可以计算出来 , 给定一序列的 D : ,
D :
, ⋯ , D 。, (6 )式变为求参数 c , c In b 的问题 。 即 :
: = 习 (x 一习 (夕‘一动 / 习 (x 一劝 :
b = e x P〔(c牙一百) / c〕
其中
数 。
x
.
= In (D ‘一 a ) , 牙= (习 x ‘)/ n , , = In { 一 In 〔P烤> D )〕} , 万= ( 习 y . )/ n , 。为 样本
2 参数估计效果的评价指标
反映参数估计效果的常用指标有 : 样本偏差(S B ) , 样本方差 (S V ) 以及均方差 (MS E ) 。
样本偏差是指估计均值与参数真值之差 , 即 :
4 期 方子兴 : 韦布尔分布及其参数估计
S B (a ) 二 ( 习 a ‘) / 。一 a
‘= 1
式中 a 为待估参数真值 , a ; 为第 i 次参数估计值(i = 1 , ⋯ , n) 。 样本偏差可以反映 估 计值
与参数真值的绝对差别 , 正偏说明估计值大于真值 , 负偏说明估计值小于真值 。
样本方差是反映估计值离散程度的指标 , 它可 以作为估计精度的指标 , 但不能反映估计
值与真值的偏差。 其计算式为 :
sv (a ) = {匀〔。‘一 (分。‘)/ : 〕, }/ (: 一 i )
‘一 1 ‘一 1
均方差既能反映估计的偏差 , 又能反映其方差 。
MSE (
a ) = 习 (a ‘一 a )2 / (n 一 1 ) =
其算式为 :
S V (a ) + 〔B (a )」:
评价韦布尔分布函数对现实林分直径分布的适应程度 , 比较各参数估计方法的优劣 , 可
以对每块标准地的林木按(5) 式计算累积概率 p ‘, , 将其与林木实 际分 布 概 率 P , 比 较 , 以
刁‘, = lp , 一 p : , !反映理论分布与实际直径分布的差异程度 (其中p ‘i 为第 泣种参数估计方法第 i
径阶的理论累积频率 , p 。为第 i径阶的实际累积频 率 , i二 1 , 一 , 4 , 笋= l , 2 , ⋯ , 的 。 对
于每一标准地可以采用 : 刁‘= su p 刁‘, 二 su p }p厂 p ‘小 即 以 刁‘, 中的最大者作为不同参数 枯
计方法拟合优劣的评价指标 。 刁‘小者 , 拟合较优。
此外 , 还可以通过各方法拟合同一标准地材料的不同卡方值 , 粗略反映估计方法的优劣 。
即 : 沐2 ‘s = 习 [ (f, 一 : p ‘s)2 / n p ‘s〕
其中, 护‘i为第 i个估计方法的卡方值 , 了, 为第 了径阶实际频数 , 即 . , 为第 i径阶 f估 计方
法的理论频数 , n 为样本数 , k为径阶数 。
计算卡方值须注意的是 , 理论频数 nP ‘, 一般不应小于 5 , 否则应对径阶拼组 。 一般卡方
值小者为优。
3 韦布尔分布模拟及实际数据拟合
3
。
1 韦布尔分布的计算机模拟
根据韦布尔分布三参数 a 、 b、 c 的不 同取值 , 可以得到韦布尔分布函数 簇 。 给 定 参数
b
、 c 的理论值 , 通过计算机模拟生成韦布尔分布的模拟数据 , 然后以前述四种方法估计参数
b
, 。 , 将其与理论值比较 , 从而判断出各方法利用模拟数据估计的优劣 。
计算机模拟数据的生成函数为[’J : x 二 a + 比 一 in (1 一 R )〕‘l.
R 为〔。, 1〕之间的随机数 , 表示 x : , x Z , ⋯ , x . 的累分布概率( 。 为样本量 )。 根据样本 量的
不同 , R 有不同的取值 。 对应 x : , 朴 , ⋯ , 气 , R 分别取l /n , 2 /n , ⋯ , 1 。
与 Z a r n oc h 和 D el l的结论相同 , 参数 a 的不同取值不影响参数 b , c 的估计误差 , 因
此 , 四种方法估计 b 、 c 时 , 参数 a 均取其理论值 , 即化韦布尔三参数为两参数 。
四种方法的估计结果除了表现出参数 a 不影响参数 b 、 “的估计精度外 , 还表现出参数
的估计误差随样本量的增大而减小 。 对于最大似然法、 矩法和百分位法 , 随着参数 c 的增大 ,
参数 吞的估计误差和均方差减小, 参数 ‘的估计误差和均方差增大 (见表 l ); 随着参数 b 的
林 业 科 学 研 究
衰 1 各方法的估计误差随参数 C 的变化(样本t = 1 0 )
6 卷
最 大 似 然 法 矩 法 百 分 位 法
c值 c 的 误 差 b 的 误 差 c 的 误 差 b 的 误 差 c 的 误 差 b 的 误 差
偏 差 均方 差 偏 差 均方差 偏 差 均方差 伯 差 均方差 伯 差 均方 差 伯 差 均 方 差
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.
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.
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注 : b从4 . 0循环到 1 8 . 0 , 步长为 0 . 5 。 表中的误差 是指 2 9次重复的误差均值 。
增大 , 参数 c 的估计误差和均方差减小 , 参数 b 的估计误差和均方差增大(见表 2 ) ; 对最大
似然法和矩法 , ‘ 的估计为正偏 , b 的估计为负偏 , 而百分位法正好相反 , c 值出现负偏 ,
b 为正偏 。 百分位法参数 c 的估计误差不随参数 b 的变化而改变 。 回归法的估计误差几乎为
。 , 参数 b 和 “ 的估计误差都在 。值附近震荡。 估计误差的优劣顺序为 : 回归法 , 百分位法 ,
最大似然法 , 矩法 。 但对于参数 b , 矩法的估计均方差小于最大似然法 。
3
.
2 标准地资料拟合
数据资料取自福建林学院西芹教学林场 12 块杉木标准地 , 标准地大小为。。 osh m Z , 1 9 8 8 、
1 9 9 2年各测量一次。
实际标准地数据拟合与计算机模拟数据拟合的结果差别很大 (见表 3 , 表 4 )。 杉木标准
地的韦布尔拟合的结果表明 , 回归法最差 , 其它几种方法比较接近 。 但矩法略优于最大似然
法和百分位法 , 从卡方值看最大似然法略优于百分位法 , 从沙值看百分位法略优于最大似 然
法。 各方法间的 t 检验表明 , 四种方法对参数 b 的估计值 , 最大似然法 、 矩法 、 百分位法对
参数 ‘ 的估计值以及三种方法的拟合优度均无显著差异 (显著水平 a = 。. 10 ) , 回归法对参数
c 的估计值及其韦布尔分布拟合优度均在不同的显著水平上与其它三种估计方法存在显著差
别 (见表 5 ) 。
4 分析和结论
(l) 由于回归法估计参数 的计算式与计算机模拟数据生成函数都源于同一函数式 , 即韦
布尔分布函数 , 所以 , 利用计算机模拟数据估计韦布尔分布参数 , 回归法最优。 但对福建杉
木标准地数据验证表明 , 回归法误差较大 , 拟合优度远远不如其它三种方法。
(2) 最大似然法 、 矩法和百分位法的拟合效果非常接近 。 但从机时费考虑 , 百分位法最
优 , 因为最大似然法和矩法 都 须 进 行迭代运算 , 耗机时较多。 三种方法计算速度快慢顺序
是 : 百分位法 , 矩法 , 最大似然法 。 最大似然法和矩法在迭代计算时还存在选择参数初值的
问题。 初值选择不当 , 最大似然法迭代可能发散 , 矩法也可能 出现无效迭代 , 使参数估计归
于失败。 所以 , 综合考虑 , 百分位法值得推崇 。
4 期 方子兴 : 韦布尔分布及其参数估计 4 2 7
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4 2 8 林 业 科 学 研 究 6 卷
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.⋯今‘,,曰”勺,‘6食U翻0911八甘2.U,二,舀口吸nU的月‘01l月f..⋯‘二,几‘1.‘0,二吕,占二,,三1 一 1 一 1 0
1
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1
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0 6 5
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0 3 6
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2 9 1
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3
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.
8 2 3
1 9 0 8
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.
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.
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.
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2
.
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.
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.
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1 7 8 3
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.
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8 0 0
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.
0 5 7
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9 5 3
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0 7 3
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.
7 5 8
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0 67
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.
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0
.
9 7 3
0
.
0 71
0
.
07 3
0
.
0 7 6
0
.
9 8 1
4 期 方子兴 : 韦布尔分布及其参数估计 4 2 9
续表
1 9 8 8年 1 99 2 年样 地号 方 法 一- 一- -一一- 一一一N a ‘石 。 飞 , , N a b e 人, 才0 . 0 3 9
0
。
0 4 6
0
。
0 5 5
0
。
9 8 6
内JOU户舀9OQ甘介卜”口.⋯J性,口J组O粉2 . 0 022 . 0 321 . 9 1 4
1
.
6 2 1
n臼几山O曰.且1.591
.⋯8‹吕1 一1 一1 2 M LM EPCT
R E
1 7 0 4
.
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.
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.
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.
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.
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.
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.
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.
9 6 3
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.
2
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.
2
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.
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8593203
月性2勺山131
.
9 4 0
2
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0 4 1
2
.
03 8
1
.
3 3 9
注。 方法 M L , M E , P CT , R E 分 别指最大似然法 , 矩法 , 百分位法和回归法 , N 为样本数 , 。 , b , c 为韦布尔三
参 数, 护 为卡方值 , 刁 即为前述柯尔莫哥洛夫统计 量 .
表 4 各方法估计参橄的平均结果
方
参 数 b
法— 参 数 c 卡 方 值 刁 值均 值 标 准 差 均 值 标 准 差 均 值 标 准 差 均 值 标 准 差 接 收 率( % )51匕一bs.⋯门了月即了,妇861占.46Ž七月了才.4On甘臼UO.⋯0on”曲0.勺ŽJ,丹J240甘.⋯83,上J恤00甘2.匀口几七月倪,.自才比b7.⋯.卫,人目1.几0,1舀一了J,sp口”勺.⋯拓UnlŽ1古,‘几.止.卫上M LM EPCTR E 2 . 3 912 . 4 212 . 4 1 92 . 1 26 0 。 5 1 5 80 . 5 34 40 . 5 3 7 20 . 5 9 8 4 4 . 3 7 94 . 88 03 . 吕8 49 . 6 3 2 0 . 0 51 50 . 0 17 20 . 0 16 80 . 2 30 7
注 : 表 中的接收率 为韦布尔分布卡方检验的接收率 , 祥本量均为 2 40
表 5 各方法估什结果之间的显著性检验( t检验亡2 丁)
方 法 参 数 b 参 数 c 卡 方 值 刁 值
M L与M E
M L与PCT
M l
一与 R E
M E与P CT
M E与R E
PCT 与R E
0
.
0 4 1 0
0
.
1 2 2 5
0
.
1 7 8 4
0
.
0 3 9 8
0
.
1 3 7 5
0
.
0 5 9 9
0
。
1 9 5 5
0
。
1 8 0 5
1
。
6 4 7 4
.
0
.
1 4 2
1
.
8 0 3 2
.
1
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78 5 6
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0
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0 8 3 8
0
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1 5 4 5
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0
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2 3 3 3
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0
.
5 6 4 8
1 6
.
4 1 8
* 二
1 6
。
3 6 2⋯
注 : 上标 * , * * , * * * 分别表示当显 著性水平 a = 0 . 10 , 0 . 05 , 0 . 01 时表现 出差异显著 , 样本量 = 2 4 。
参 考 文 献
李荣伟 . 韦布尔函数模拟 同龄林分直径 分布的研究 . 四川林业科技 , 1 9 8 6 , 7( 4 ) : 1 ~ 10 .
符伍儒 . 数理 统计 . 北京 : 中国林业 出版社 , 1 9 79 .
Z a n a k is 5 H
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A s i m u la t io n st u d y o f s o m e s im P le e s t i m a t o r s fo r th e t hr e e
一
P a r a m e t e r W
e i b u ll
d i str i bu t i o n
.
J S t a t C o m P u t S im u la t i o n
,
10 75
,
9
:
1 0 1一 1 16 .
Z a r n o e h S J
, D e ll T R
.
A n e v a lu a t i o n o f Pe r e e n t i le a n d m a x i m u m li k e li ho o d e s t im a t o r s o f
W
e i b u ll d i s t r i b u t i o n P a r a m e t e r s
.
Fo r
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S e i
. ,
19 8 5
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3 1 ( 1 )
: 2 6 0一2 6 5 .
B a r y D 5
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Sa m P I e
‘ 5 1名 e s a n d e s t im a ti o n m e t ho d s f o r th e W
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5 I a , h p i n e p ! a n t a t io n d ia m e t o r d i st r fb u t i o n
.
Fo r
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S e i
. , 1 9 5 5
, 3 4 (s )
: 吕。,一 5 14 .
C o h e n A C , M
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Li k e li ho o d e st im a t io n i n t he W
e i b u ll d i st r ib u t i o n b a s e d o n e o m p le t e
a n d c e n s o r e d sa m P le s
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T e e h n o m e tr i o s
,
1 96 5
,
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57 9 ~ 5 8 8
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B u r k e T E
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N e w b e r r y J D
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b u t i o n P a r a m e t e rs
.
Fo r
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S e l
. ,
1 98 4
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3 0 (2 ) : 3 2 9 ~ 3 3 2
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W h i t e J 5
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T h o m o m e n t s o f 10 9
一w e ib u ll o 犷d e r s ta t】st ie s . T e e h n o m e t r i e s , 2 9 6 9 , 21 : 3 73一 3 8 6 .
43 0 林 业 科 学 研 究 6 卷
砰e ib o ll D is tr fbu tio n a n d the M e tho d s o f Its
尸a r a 阴 e te r E s tim a tio n
F a n g Z ix in g
A b s tra et F o u r m e th o d s o f e st im a t in g th e th r e e
一
Pa r a m e t e r W e ibu ll d is
-
tr ib u t io n w e r e e v a lua te d b y e o m Pu te r s im u la t io n a n d fie ld da ta c o m Pa r iso n
。
T h r oUg h
e o m Pu te r s im u la t io n
, r e g r e s s io n E st im a to r 15 th e b e st m e th o d
。
H o w e v e r
,
T he s im u la tio n r e su lt o f Cli in e se fir Plo t d a ta 15 n o t 5 0 g o o d
.
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th r e e m e th o d s
,
m a x im u m lik e lih o o d e st im a to r
,
m o m e n ts e s tim a to r a n d
Pe r e e n tile e s t im a to r a lm o s t g iv e th e s a m e r e su lts a s e s tim a te Pa r a m e te r b
a n d e o f W e ibu ll d istr ibu t io n by th e fie ld d a ta
.
Co n s id e r in g th a t e o m Pu te r
e a le u la t io n w ill t a k e a lo t o f tim e
, th e P e r e e n tile e st im a to r 15 the b e s t o n e
。
K e y w o r d s d ia m e te r d is tr ibu t io n
,
w e ib u ll d is tr ib u t io n
,
Pa r a m e t e r e s ti
-
m a t io n
, e o m P吐e r s im u la tio n
Fa n g Z ix in g
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T e e h n iq u e
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B e ijin g 20 0。, 1 )
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《新疆林业》杂志 1 9 9 4年征订启事
《新 . 林业》是新疆林业厅主办的省级林业综合性科技期刊 , 立足新疆 , 面向全国 , 面向基层 , 面 向生
产 , 宣传林业政策 , 报道林业新成就 、 新成果 、 新产品 , 传播最新技术信息和致富门路 , 普及林业科技 知
识 , 开展精神文明建设教育 。 它集政策性 、 知识性 、 资料性 、 趣味性为一体 , 内容丰富 , 理论联系 实际 ,
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