全 文 ：Vol. 33 No. 4
Apr. 2013
第 33 卷 第 4期
2013年 4月
中 南 林 业 科 技 大 学 学 报
Journal of Central South University of Forestry & Technology
收稿日期：2012-09-25
基金项目：国家“十二五”科技支撑项目——阔叶红松林和云冷杉过伐林可持续经营技术与示范 (2012BAD22B2)；国家林业局 948
项目（2013-4-66）
作者简介：杜 志（1986-），男，湖南长沙人，硕士研究生，主要从事天然林结构方面的研究；E-mail：duzhi6880448@163.com
通讯作者：亢新刚（1952-），男，北京人，教授，主要从事天然林结构和生长以及经营管理的研究；E-mail：xingangk@163.com
直径分布是森林结构的重要组成部分 [1-2]，从
1898年 Liocourt De运用等比级数来构建异龄林直
径结构模型开始，许多函数模型被用来模拟森林直
径分布状况，如 Pearsonian曲线，负指数函数 [3-5]，
gamma分布，三参数对数正态分布 [6]，β分布，
Weibull 分 布 [1]，Jonson 的 SB 分 布 [7] 等， 其 中
Weibull分布运用的最为普遍 [8-13]。然而，有的林
分经历过度采伐或遭受森林火灾后，直径分布由简
单的单峰或反 J型结构转变为复杂的双峰或不规则
结构，用单一的函数并不能进行准确的模拟 [14-17]。
对此，不少学者提议运用混合分布模型来描述这些
林分直径分布 [18-19]。近来，Liu等介绍了一种限定
混合Weibull分布模型，并对比单个三参数Weibull
函数和负指数函数，来模拟不规则、多峰或具有明
显偏度的直径结构分布，发现限定混合Weibull模
型能获得更高的精度，具有更好的模拟效果 [16,20]。
对于具有不规则直径结构的异龄林，限定混合
Weibull分布模型得到了较为广泛的应用 [2,21-23]。
限定混合模型模拟不规则和多峰直径结构分布
—— 以长白山云冷杉林为例
杜 志 1，亢新刚 1，岳 刚 1，徐 光 2，赵东宁 2，杨艺军 2，高 祥 2
(1. 北京林业大学 省部共建森林培育与保护教育部重点实验室，北京 100083；2.汪清林业局，吉林 汪清 133200)
摘 要：以长白山地区 6块云冷杉林样地调查数据为基础，采用限定混合Weibull模型方法，并利用传统的负指
数模型和Weibull模型作为参照，对直径分布进行了模拟。结果表明：样地直径分布呈多峰、rotated-sigmoid等
不规则分布；数学统计表明限定混合Weibull模型的直径拟合效果最好，其次是Weibull模型，最后为负指数模型，
尤其在模拟双峰和 rotated-sigmoid分布时混合模型优势明显；残差图显示径阶大于28cm后，相对于其它两个模型，
限定混合Weibull模型的残差值更接近于 0。限定混合模型是一种较好的具有高灵活性和高精度的林分直径模拟
方法。
关键词：云冷杉林；直径分布；限定混合Weibull模型；负指数模型；Weibull模型
中图分类号：S758.5；S791.14 文献标志码：A 文章编号：1673-923X(2013)04-0043-07
Simulation of multi-peaks and irregular diameter distributions by fi nite
mixture models: a case study on spruce-fi r forests in Changbai Mountain
DU Zhi1, KANG Xin-gang1, YUE Gang1, XU Guang2, ZHAO Dong-ning2, YANG Yi-jun2, GAO Xiang2
(1.Key Laboratory for Silviculture and Conservation of Ministry of Education, Beijing Forestry University, Beijing 100083, China;
2. Wangqing Forestry Bureau, Wangqing 133200, Jilin, China)
Abstract: Based on the investigation data from six example plots in Changbai Mountain in northeastern China, the finite mixture
Weibull model was applied to simulate the tree diameter distribution with. the results of traditional methods of negative exponential
model and Weibull model as the comparisons. The results show that the tree diameter distributions of six plots were presented irregular
shapes of multi-peaks, rotated-sigmoid, etc.. The statistics show the fi tting effect of fi nite mixture Weibull model was the best, especially
in modelling bimodal and rotated-sigmoid distributions, then was the Weibull model’s, and negative exponential model’s was the last.
The residual fi gure displays the residual value of fi nite mixture model more close to zero than others. The fi nite mixture model was a
better alternative method, with high fl exibility and precision to model tree diameter distribution.
Key words: spruce-fi r stands; diameter distribution; fi nite mixture Weibull model; negative exponential model; Weibull model
DOI:10.14067/j.cnki.1673-923x.2013.04.021
杜 志，等：限定混合模型模拟不规则和多峰直径结构分布—— 以长白山云冷杉林为例44 第 4期
长白山云杉冷杉林 (主要是臭冷杉 Abies
nephrolepis、 鱼 鳞 云 杉 Picea jezoensis var.
microsperma和红皮云杉 Picea koraiensis形成的混
交林 )是我国重要的用材林 (尤其是红皮云杉 )和
风景林，同时发挥着涵养水源、保持水土的重要
效应 [24]。然而，从 19世纪末开始，长白山林区经
历了不同程度的采伐，火灾和拓荒等各种形式的
干扰，原来较简单的林分结构遭到破坏，取而代
之的是大量具有不规则林分结构的森林群落 [25]，
其直径分布结构复杂。研究伐后云冷杉林的林分
结构，分析其直径分布特点等，对于我们正确认
识、合理经营森林资源，促进其形成稳定健康的
森林群落具有重要意义。以往对于长白山森林的
直径结构的描述，大多采用单一的函数模型进行
分析 [9,11,26-27]。本文利用限定混合Weibull函数对 6
块云冷杉样地的直径调查数据进行研究，并采用
负指数函数、Weibull分布函数进行模拟，对比 3
者模拟结果，以期准确分析云冷杉的直径结构特
点，客观科学的评价森林资源，为森林的经营管
理发挥一定的理论指导作用。
1 研究区概况及研究方法
1.1 研究区概况
研究区位于长白山金沟岭林场 (130°10′E，
43°22′N)，海拔 300～ 1200 m，受季风影响，属
温带大陆性山地气候，土壤为针叶林灰棕壤。全
区林分中，云冷杉林是分布最广的森林类型，占
森林面积的 80%，现有的多数云冷杉林是原始林
经过 30%～ 60%的择伐后形成的 [25]。
本文选取如下群落：于 1986年设立的云冷杉
过伐林 25号、27号、28号固定样地，面积均为
0.2 hm2，样地至今遭受 2～ 3次不同强度的采伐。
样地基本保证 2年复测一次。样地 25号和 28号
选取 2008年的调查数据，27号选取 2007年数据。
近原始林 20号固定样地，1986年设立于 44林班
4小班，面积 0.2 hm2，该林分受破坏程度较低，
基本保持原始林相，已连续复测 12次，选取 2008
年调查数据。1978年设置的云冷杉针阔混交林局
级 2号和 5号样地，面积均为 0.5 hm2，已调查 17
次，至今没进行过采伐作业，选取2007年调查数据。
云杉 Picea koraiensis、冷杉 Abies nephrolepis、红
松 Pinus koraiensis为 6个样地的主要树种，其中
还有部分色木 Acer mono、紫椴 Tilia amurensis、
枫桦 Betula costata、白桦 Betula platyphylla、蒙古
栎 Quercus mongolica、榆树 Ulmus pumila等。
1.2 研究方法
每两年对 6块样地调查一次，对样地内胸径
≥5 m的乔木进行每木检尺，记录调查木的树种名，
胸径、树高、冠幅、第一枝下高和坐标位置。
本文采用负指数函数，三参数Weibull分布函
数和限定混合Weibull分布函数对 6块样地的直径
分布结构进行模拟。
负指数函数为 [3,27]：
f(x,θ)= αe-βx。 (1)
三参数Weibull分布密度函数为：










 



 
 0 ,0 , exp
1
0
),( γβαx
γ
β
αx
γ
β
αx
β
αx
θxf  。
(2)
式 (1)～ (2)中 θ=(α，β，γ)′，α，β，γ分别为位置
(直径分布最小径阶下限值 )，尺度，形状参数。
假定一个混合分布模型由 k个组分组成，其
中第 i个组分为特定的概率密度函数，fi(x)为一般
概率密度函数表现形式，则混合分布模型可表示
为：
f(x)=


k
i
iρ
1
fi(x)=ρ1 f1(x)+⋯+ρk fk(x)。
式中 ρ1为第 i个组分占总分布的比例，满足：
0≤ ρ1≤ 1，且


k
i
iρ
1
=1。
本文视 f1(x)，⋯⋯，fk(x)为概率密度函数，
不同组分有不同的变量，平均值，标准差，并限
定 fk(x)为三参数 Weibull函数 (X~Weibull(α，β，
γ))。同时只考虑2个组分，即 k=2。限定混合模型为：
f(x,Ψ)=ρf1(x;θ1)+(1-ρ)f2(x;θ2)。 (3)
式 (3)中：ψ=(ρ，θ1，θ2)，θ1=(αi，βi，γi)′，i=1或 2；
0≤ ρ≤ 1；方程共有 7个参数，即两个组分的位置，
形状，尺度参数 (α1，β1，γ1，α2，β2，γ2)和比例参
数 ρ。
公式 (1)和 (3)为概率密度函数，株数估计值
Ni=N[F(Xi+ω)-F(Xi-ω)]，其中 N为总株数，F(x)为
概率累计函数，Xi为第 i径阶中值，ω为组距除以 2。
方程 (2)为计算第 i径阶的树木株数，α、β为直径
分布特征的参数。
估算三参数Weibull函数参数的方法有：最大似
然估计法 [9]、最小二乘法 [8]、百分位数法、线性求解
法 [28]和近似估计法、改进单纯形法等，其中以最大
似然估计法最为精确，从而得到广泛应用 [1,9,16,29]。
＜
＞ ＞≥
45第 33卷 中 南 林 业 科 技 大 学 学 报
根据统计软件 SPSS 18.0和 ForStat 2.0来估算方程 1
和 2的参数，运用 R软件（2.15.1版）中mixdist软
件包，根据最大似然估计法并结合 Newton-type算
法和 EM算法求出限定混合模型的参数 [2,16, 20-21]。
统计量均方根误差 (RMSE)、平均误差 (Bias)
作为不同模型的比较标准，似然比 χ2检验来检验
模型的适合度 [2,20,22]。定义 jjj NNR ˆ- ，其中 Nj
为第 j个径阶实测的株数， jNˆ 为估计的株数，Rj
为实测值与模型模拟的估计值之间的残差。

m
NN
R
m
j
jj
 1Bias
)ˆ-( ；

m
NN
R
m
j
jj
 1
2
MSE
)ˆ-( ；

 





m
j j
j
j N
N
N
1
2
ˆ
lg-2 。
式中，m为径阶数，χ2的自由度为 (m-k-1)，k为参
数个数。
2 结果与分析
2.1 林分直径结构特征
云冷杉林的基本统计量表明 (表 1)，28号样
地的株数密度最大，为 1 020为株·hm-2。6块样地
中最大胸径、平均胸径和每公顷胸高断面积的最
大值都出现在近原始林 20号样地，其直径标准差
也表现最大，为 14.52。而近年经历过采伐的 25号、
27号和 28号样地的平均胸径、直径偏度和峰度都
相对偏小。所有样地的偏度值都大于 0，为右偏态，
表 1 云冷杉样地的基本概况
Table 1 Basic characteristics of spruce-fir forest plots
样地 株数 /株 密度 /(株·hm-2) 最大胸径 /cm 平均胸径 /cm 每公顷胸高断面积 /(m2·hm-2) 直径标准差 偏度 峰度
25号 110 550 41.8 24.1 25.0 10.05 0.15 - 1.40
27号 149 745 41.8 21.8 27.9 9.37 0.45 -0.84
28号 204 1020 47.0 23.6 44.7 9.33 0.33 -0.58
20号 151 755 64.0 28.2 47.1 14.52 0.70 -0.29
2号 345 690 62.4 25.5 35.2 13.27 0.94 -0.04
5号 261 522 58.4 24.9 25.4 11.70 0.71 -0.47
反映样地小于平均胸径的株数较多，而所有峰度
值小于 0，说明直径分布形态较正态分布平坦。
2.2 直径分布拟合与检验
表 2显示了 3种模型对 6块样地直径结构的
模拟参数值，以 5 cm为起测胸径，体现在模型上
则两种Weibull分布的位置参数为 5，以 2 cm为径
阶划分的组距。限定混合Weibull分布中的 ρ值与
图 1中直径分布划分两个部分后各自所占比例相
一致。两种Weibull分布中的形状参数值 (即 γ、γ1
和 γ2)基本在 1～ 3.6范围内，说明了其拟合曲线
为正偏的山状曲线。
表 2 各样地的模型参数值
Table 2 Model parameter values of three models for each plot
样地
负指数分布 Weibu ll分布 限定混合Weibull分布
α β α β γ ρ α1 β1 γ1 α2 β2 γ2
25号 14.869 0.058 5 19.991 1.434 0.50 5 7.917 1.804 5 26.918 5 .575
27号 19.149 0.046 5 17.621 1.429 0.59 5 8.514 1.632 5 25.239 3.919
28号 43.494 0.076 5 19.981 1.731 0.43 5 9.552 1.678 5 23.779 2.856
20号 18.783 0.051 5 19.991 1.133 0.16 5 2.856 2.985 5 23.371 1.550
2号 47.568 0.054 5 16.961 1.282 0.38 5 5.502 1.961 5 25.542 1.850
5号 58.324 0.081 5 18.431 1.378 0.46 5 7.412 1.980 5 27.257 2.600
图 1为 6块样地的直径分布直方图和 3种分
布函数的模拟曲线，表 3显示了对不同分布函数
的适用性检验结果。25号样地的直径分布为明显
的双峰分布，峰值分别在 12 cm和 32 cm处，直
观显示限定混合Weibull分布能对其较好的模拟，
而负指数分布曲线则忽略了分布情况。表 3中
杜 志，等：限定混合模型模拟不规则和多峰直径结构分布—— 以长白山云冷杉林为例46 第 4期
Bias、RMSE和 χ2值，限定混合Weibull分布的值
都最小，而负指数分布最大，Weibull分布居中；
其中负指数的检验 p值小于 0.000 1，限定混合
Weibull分布为 0.834 0，说明后者的拟合度最优，
得到了与图形直观描述一致的结果。27号样地的
直径分布极不规则，在 8 cm、16 cm和 30 cm径
阶处的株数较多，Bias、χ2检验与 RMSE得到了
不同的结果，Bias、χ2检验都显示 3种分布中限定
混合Weibull分布的检验值最小，而 RMSE值显示
Weibull分布的最小。
样地 28号的株数在 16～ 20 cm径阶处分布
集中，整体呈右偏态，胸径小于平均胸径 (23.6
cm)较多，图 1显示两种Weibull函数都能较好拟
合直径分布，限定混合Weibull分布的检验 p值达
到 0.934 1。近原始林 20号和局级样地 2号、5号
的株数峰值出现在 8～ 10 cm处，然后株数随径阶
短虚线、长虚线和实线分别表示负指数函数、Weibull函数和限定混合Weibull函数的估测
图 1 各样地的直径分布观测值和不同模型的估计值
Fig.1 Observed and predicted diameter distributions of different models for each plot
表 3 各样地直径分布函数模型的拟合结果检验
Table 3 Fitting statistics of diameter distribution models for each plot
样地
负指数分布 Weibull分布 限定混合Weibull分布
Bias RMSE χ2 p Bias RMSE χ2 p Bias RMSE χ2 p
25号 1.30 3.97 49.43 <0.000 1 0.45 3.10 23.39 0.076 2 -0.02 2.12 7.35 0.834 0
27号 0.66 3.87 25.19 0.066 6 0.36 2.93 14.66 0.476 6 -0.02 3.09 8.54 0.741 8
28号 0.70 7.56 59.70 <0.000 1 0.17 2.60 11.07 0.891 3 -0.01 2.96 7.73 0.934 1
20号 0.50 2.77 30.07 0.311 0 0.18 2.65 19.75 0.803 3 0.05 2.36 14.31 0.917 8
2号 0.81 6.97 51.85 0.001 9 0.04 5.87 30.23 0.215 8 0.0 2 4.28 16.48 0.791 5
5号 0.90 8.69 86.46 <0.000 1 0.08 5.39 30.23 0.142 8 -0.01 4.11 17.21 0.639 3
47第 33卷 中 南 林 业 科 技 大 学 学 报
增大呈减少趋势，但在中等径阶处基本相等，从图
中直观表现出限定混合Weibull分布能够很好的拟
合这分布情况，而Weibull分布忽略了中等径阶处
株数变化平缓的部分。χ2检验的 p值显示限定混合
Weibull分布最高，且明显高于Weibull分布和负指
数分布。
从六块样地总体而言，各样地在 6 cm径阶处
的株数分布都较少，近期遭受过 2～ 3次采伐的 3
块样地的直径分布情况表现为不规则，图中曲线显
示负指数分布难以拟合其分布情况。而近原始样地
和局级样地的直径分布曲线在中等径阶处平坦，
随后才呈现下降趋势。表 3的模型适合度检验表
明，6块样地 3种模型中限定混合Weibull分布的
Bias值和 χ2值均为最小，其中 Bias的绝对值均小
于 0.05，而负指数分布的值最大，Bias绝对值均大
于 0.5。除 27号、28号样地中 3种模型 RMSE值，
Weibull分布表现最小外，其它样地中的模型拟合
RMSE值大小规律与 Bias值、χ2值的一致。
短虚线、长虚线和实线分别表示负指数函数、Weibull函数和限定混合Weibull函数的估测
图 2 各样地的观测株数与不同模型估计株数的残差
Fig.2 Residuals of observed and predicted diameter distributions of different models for each plot
图 2的残差图反映了各模型的模拟结果：25
号样地中混合限定Weibull分布除 8 cm、26 cm径
阶处，株数残差值基本在 -2到 2之间波动，残差
相对较小；27号在 10 cm处，混合限定Weibull分
布高估了其株数，而另两种模型低估了株数；28
号样地两种Weibull分布，20号的负指数分布和
Weibull分布的残差值在大多径阶范围内表现极为
接近；Weibull分布在 2号样地的 18 cm径阶处，
以及 5号样地的 22 cm处，都过于高估了株数。
所有样地中，负指数分布在 6 cm径阶处的残差值
都相当大；在超过一定径阶 (＞ 28 cm)后，相对
于其它两种模型，混合限定Weibull分布的残差值
都更接近于 0，偏离较少。
3 结论与讨论
(1)云冷杉林是长白山地区地带性植被，对于
杜 志，等：限定混合模型模拟不规则和多峰直径结构分布—— 以长白山云冷杉林为例48 第 4期
该森林群落过去执行采育择伐的营林方式，但存
在择伐过大的情况 [25]。本文从 6块样地的基本统
计量分析，各样地的乔木密度和每公顷的胸高断
面积差异都较大，直径分布直方图表现极不规则，
尤其是 25号、27号和 28号样地，证实了当地森
林经历过采伐的经营历史。而近原始林 20号样地
和局级 2号和 5号样地的直径分布在中等径阶范
围内曲线表现平坦，并不是传统的反“J”形，而
呈现 Goff和 West定义的“rotated-sigmoid”[19]，
由于中度或强度的人为干扰造成许多大小不等的
林隙，林内几乎同时再生出一批树木，当它们达
到近熟进入林冠层，生命力强，一段时间内，它
们拥有相对高的生长率和低死亡率，此阶段过后
成为成熟木，生长减缓，抗干扰能力减弱，死亡
率增加，则形成了这种不规则分布 [2,19-20]。各样
地在 6 cm径阶处的株数明显偏少，这种现象的
产生可能是因立地遭到人为破坏，导致森林退化；
也可能由于外业数据收集过程中人为主观的忽视
了起测径阶 5 cm左右树木的测量。若为后者，
对于各个模型的模拟和评价显然有影响，对此，
不少学者采用 8 cm或更大径阶作为直径模拟对
象 [2,20,23,27]。但在分析 6块样地历次的测量数据，
确认小径阶的株数较少后，本文以 6 cm为直径模
拟起点，以期客观反映森林生长状况。
(2)采用限定混合模型，并用Weibull函数和
负指数函数进行模拟比较。拟合结果图反映出限
定混合Weibull函数具有更好的拟合效果，对于直
径双峰分布的 25号和不规则分布的局 2号样地，
限定混合模型拟合效果尤为明显。Bias、RMSE和
χ2检验从数学统计角度对 3种模型进行得出近乎
一致的结论，限定混合模型的拟合效果最优，其
次是Weibull分布模型，最后是负指数分布模型，
此结论与 Zhang[20]和 Liu[16]研究结果一致。同时，
各模型模拟结果的残差图也直观反映了在一定范
围内限定混合模型的拟合优势。
(3)本文采用两组分限定混合模型在模拟不规
则和多峰直径分布中显示出较好的灵活性和精度，
一些学者运用多种统计方法来对比检验多组分的
模拟效果 [23,30]，发现三组分的Weibull分布拟合效
果相对于两组分的并没有显著改善，模型过多组
分易造成拟合过程中的收敛效果降低，参数的增
加也会使评价标准的卡方降低 [2]，认为混合模型
组分数不应太多。另外，由于天然异龄林的直径
结构复杂，模型各组分拟合部分常出现过度重叠
现象，给组分比例的预估带来干扰 [21]，因此需要
多次代入不同的组分比例值，通过比较最大似然
法求得的卡方值，确定最终的组分参数值 [20]。
(4)高精度和高灵活性的直径分布拟合模型对
于森林经营有重要作用，应逐步探讨不同模型的
混合，以及非参数方法的运用。直径分布在森林
生长和生产量计算方面有不可或缺的作用，而异
龄混交林在整个演替阶段总处于错综复杂的动态
过程中，对某一时刻样地的静态描述显然不能满
足对于森林的经营规划要求。结合二十几年连续
复测打下的良好基础，将来应延续固定样地的复
测，构建直径结构动态变化数据，客观全面的分
析森林生长规律。
参考文献：
[1] Bailey R L, Dell T R. Quantifying diameter distributions with the
Weibull function[J]. Forest Science, 1973, 19(2): 97-104.
[2] Jaworski A, Podlaski R. Modelling irregular and multimodal tree
diameter distributions by fi nite mixture models: an approach to
stand structure characterisation[J]. Journal of Forest Research,
2012, 17(1): 79-88.
[3] Meyer H A. Structure, growth, and drain in balanced uneven-
aged forests[J]. Journal of Forestry, 1952, 67: 85-92.
[4] Murphy P A, Farrar R M. A test of the exponential distribution
for stand structure definition in uneven-aged loblolly-shortleaf
pine stands[M]. USDA Forest Service Research Paper SO-164,
1981.
[5] Leak W B. The J-shaped probability distribution[J]. Forest
Science, 1965, 11(4): 405-409.
[6] Bliss C I, Reinker K A. A lognormal approach to diameter
distributions in even-aged stands[J]. Forest Science, 1964, 10(3):
350-360.
[7] Hafley W L, Schreuder H T. Statistical distributions for fitting
diameter and height data in even-aged stands[J]. Canadian
Journal of Forest Research, 1977, 7(3): 481-487.
[8] 方精云 , 菅 诚 . 利用Weibull分布函数预测林木的直径分布
[J]. 北京林业大学学报 , 1987(3): 261-269.
[9] 孟宪宇 . 使用Weibull函数对树高分布和直径分布的研究 [J].
北京林业大学学报 , 1988(1): 40-48.
[10] Podlaski R. Diversity of patch structure in Central European
forests: are tree diameter distributions in near-natural
multilayered Abies-Fagus stands heterogeneous?[J]. Ecological
Research, 2010, 25(3): 599-608.
[11] 龚直文 , 亢新刚 , 杨 华 , 等 . 长白山杨桦次生林直径结构研
究 [J]. 西北林学院学报 , 2009(3): 1-6.
[12] 李 俊 , 佘济云 , 胡焕香 , 等 . 昌化江流域天然林直径结构研
究 [J]. 中南林业科技大学学报 , 2012, 32(3): 37-43.
[13] 曾思齐 , 李 俊 , 李东丽 , 等 . 南方集体林区南酸枣次生林林
49第 33卷 中 南 林 业 科 技 大 学 学 报
分结构研究 [J]. 中南林业科技大学学报 , 2012, 32(4): 1-6.
[14] Tham S. Structure of mixed Picea abies (L) Karst, and Betula
pendula Roth and Betula pubescens Ehrh. stands in South and
middle Sweden[J]. Scandinavian Journal of Forest Research ,
1988, 3:355-370.
[15] Maltamoa M, Kangasb A, Uutterac J, et al. Comparison of
percentile based prediction methods and the Weib ull distribution
in describing the diameter distribution of heterogeneous Scots
pine stands[J]. Forest Ecology and Management, 2000, 133(3):
263-274.
[16] Liu C, Zhang L, Davis C J, et al. A finite mixture model for
c haracterizing the diameter distributions of mixed species forest
stands[J]. Forest Science, 2002, 48(4): 653-661.
[17] Podlaski R, Zasada M. Comparison of selected statistical
distributions for modelling the diameter distributions in near-
natural Abies–Fagus forests in the witokrzyski National Park
(Poland)[J ]. European Journal of Forest Research, 2008, 127(6):
455-463.
[18] Falls L W. Estimation of p arameters in compound Weibull
distribution[J]. Technometrics, 1970, 12(2): 399-407.
[19] Goff F G, Weas D. Canopy–understory interaction eff ects on
forest population structure[J]. Forest Science, 1975, 21(2): 98-
108.
[20] Zhang L, Gove J H, Liu C, et al. A fi nite mixture of two Weibull
distributions for modeling th e diameter distributions of rotated-
sigmoid，uneven-aged stands[J]. Canadian Journal of Forest
Re search, 2001, 31(9): 1654-1659.
[21] Zasada M, Cieszewski C J. A fi nite mixture distribution approach
for characterizing tree diameter distributions by natural social
class in pure even-aged Scots pine stands in Poland[J]. Forest
Ecology and Management, 2004, 204(2-3): 145-158.
[22] Zhang L, Liu C. Fitting ir regular diameter distributions of forest
stands by Weibull, modified Weibull, and mixture Weibull
models[J]. Journal of Forest Research, 2006, 11(5): 369.
[23] 王顺忠 , 王 飞 , 张恒明 , 等 . 长白山阔叶红松林径级模拟研
究——林分模拟 [J]. 北京林业大学学报 , 2006(5): 22-27.
[24] 《中国森林》编辑委员会 . 中国森林 (第 2卷 ):针叶林 [M].
北京 : 中国林业出版社 , 1999.
[25] 李冬兰 , 于政中 , 亢新刚 . 检查法第一经理期研究 [J] . 林业科
学 , 1996(1): 24-34.
[26] 吕康梅 . 长白山过伐林区云冷杉针阔混交林最优林分结构和
最优生长动态的研究 [D]. 北京林业大学 , 2006.
[27] 张 青 , 赵俊卉 , 亢新刚，等 . 基于长期历史数据的直径结构
预测模型 [J]. 林业科学 , 2010(9): 182-185.
[28] 亢新刚 , 胡文力 , 董景林 , 等 . 过伐林区检查法经营针阔混交
林林分结构动态 [J]. 北京林 业大学学报 , 2003, 25(6): 1-5.
[29] Cohen A C. Maximum likelihood estimation in the Weibull
distribution based on complete and on censored samples[J].
Technometrics, 1965, 7(4): 579-588.
[30] Wolfe J H. Comparative cluster analysis of patterns of vocational
interes t[J]. Multivariate Behavioral Research, 1978, 13(1): 33-44.
[本文编校：吴 彬 ]