全 文 ：林业科学研究!"#$%!"&"$#$", ,$
!"#$%&$%$(#)* !!文章编号!$##$($)*&""#$%##$(##",(#*
基于多水平非线性混合效应蒙古栎林
单木断面积模型
符利勇! 唐守正!! 张会儒! 雷相东
"中国林业科学研究院资源信息研究所!北京!$###*$#
收稿日期$"#$)(#$("& 基金项目$ 国家自然科学基金青年科学基金项目",$,##%,)#% 中央级公益性科研院所基本科研业务费专项资金&随机效应的森林立地 指数模型和应用研究+ 作者简介$ 符利勇"$*&)(#!博士!助理研究员!主要研究方向$森林生长与收获预估模型+/(0123$>635891>+19+97 ! 通讯作者$中国科学院院士!研究员!博导!主要研究方向$林业统计模型+/(0123$ KF17M891>+19+97
摘要!以吉林省汪清林业局 $&) 块样地中的$# $$$ 株蒙古栎为例!首先选用线性函数,N29;1IEK函数,H:M2KF29函数, 指数函数等 种常用函数形式!分析 ) 个因变量"后期胸径,后期胸高断面积,直径增量和胸高断面积增量#与前期 胸径的影响!确定一个用于构建混合效应模型的基础模型) 然后确定同时考虑林场效应和林场与样地交互效应时 基础模型中最优的形式参数构造形式!利用逐步回归方法确定模型中所包含的林分变量!并分析和比较用来消除异 方差的 , 种常用残差方差函数"指数函数,幂函数和常数加幂函数#!最后检验模型预测效果) 结果表明$U54:>模 型且因变量为后期胸高断面积拟合效果较好!故作为基础模型%除前期胸高直径".#外!当考虑坡度正切"IK#!对象 木胸高直径与样地算术平均直径的比",.#!样地胸高总断面积"K-,#!样地中大于对象木直径所有树木的胸高断 面积和";I-,#!对象木胸高断面积与样地算术平均胸高断面积的比 ",-,#和对象木胸高断面积与样地胸高总断 面积的比"-,#等林分变量时能进一步提高模型预测精度%对于残差方差!指数函数,幂函数和常数加幂函数都能 消除异方差!但幂函数效果最好%当模型同时考虑林场效应和林场与样地交互效应时预测精度最高) 关键词! 蒙古栎林%混合模型%单木断面积生长模型 中图分类号! D$$ 文献标识码!.
0O/-/#P#/Q)*/-*#.10-J#8L#%%#&(K.(./+1#. 0)8#/(%)1G*8-P-8O./
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!"N?:I:I01F2:7 J<9;72X6?:I+5(1.&$J1427M$# $$$ [`@"6A"12)( 27E2T2E613K:@F127I:0$&) W3:FK27 U17MX27M?:II`:T279<1KF:I` ?$#)?%@"6A"12)(
?2K9; @502A<9FK0:E<31WWI:19;+J;:6IE@I<1KF;<2M;F!F;<31FKF1M679F2:7K9:00:7356K679F2:7! N29;1IEK
>679F2:7! 3:M2KF29>679F2:7! 679F2:7 02A<9FK0:E<3+.7E F;<7! F;<@:I0:>>:I013W1I10V2F; 9:7K2E<9FK:>>:I1I0K17E F;F;<>:I013W1I10F;<0:E<3VI>679F2:7K"679F2:7! W:V679F2:7 17E 9:7KF17FW36KW:V679F2:7# F;1F6KE1KF292F5V292<795:>0:E<3V1KF:3:VK+
林!业!科!学!研!究 第 "& 卷
J;0:E<3F;1FF;2F<><9F17E 6KF;<@1K<0:E<3+O7 1EE2F2:7 F:F;<<1I35E210K69; 1KF;K3:W<"DJ#!F;^ :>F1IMW3:F"N.^ #!F;F13@1K131I<1:>W3:FK"JL.#!F;@1K131I<1:>FI<:>@1K131I<1:>F1IMW3:F"N.L.# 17E F;@1K131I<1:>F1IMF13@1K131I<1:>W3:F"NL.#! ;1E 1@679F2:7!
W:V679F2:7 17E 9:7KF17FW36KW:V679F2:7 9:63E <320271F679F2:7 V1K
F;<@<9FK0:E<3F1427M>:I1I017E W3:F<><9FK27F:199:67F;1KF;<;2M;95+
6#74)18($?`$#)?%@"6A"12)( KF17E% 02A<9FK0:E<3% 27E2T2E613@1K131I<1279I<0<7F0:E<3
森林生长收获模型是森林经营规划的重要工
具) 对现有森林资源和实施不同经营方案所预期的
森林资源准确估计是林业上一直关心的问题) 林业
模型中!林木断面积常作为树木大小,竞争效应和立
地效应的函数*$[-+ ) 传统回归分析法"最小二乘法# 是建立林业模型所选用的一种常用统计方法*+ ) 通 常情形下!实验数据来源于重复调查数据或多水平 数据!如在不同地域上随机布置调查样地!这种嵌套 结构使得不同地域间!以及不同地域上所设置的样 地间有较高相关性!再比如分析树木断面积或直径 生长量时对同一株树木不同时间段多次观察等!因 此数据之间可能存在明显的自相关和异相关等*-+ ) 回归分析方法是假定数据间相互独立且非异质 性*& [$#+ !是反应林分总体变化情况!因此无法反映
不同水平或林分因子对树木生长的随机影响!从而
降低模型预测精度) 然而!混合效应模型方法能有
效地解决以上问题*-! $$[$"+ ) 关于混合模型的详细 介绍!见符利勇等*$$ + !符利勇和唐守正*$"+等) 蒙古栎" ?`$#)?%@"6A"12)( ?2K9;#主要分布于东
北三省,内蒙古等地!是东北次生落叶阔叶林的主要
组成树种) 蒙古栎不仅是我国主要用材树种!同时
还具有保持水土,涵养水源等作用*$, [$)+ ) 近几年国
内关于蒙古栎的研究较多*$, ["#+ !与此同时!关于其 它树种单木断面积模型的研究也非常多!然而这些 模型大多是针对特定地域中的特定树种所提出!模 型通用性较差) 例如!前期分析中!作者选用了多种 经验和理论的断面积模型*$, ["#+对东北蒙古栎断面
积进行拟合!结果发现这些模型拟合效果都较差)
为此!为得到较为通用的断面积模型!本研究将在已
有研究基础上!详细介绍如何利用混合模型方法构
建蒙古栎单木断面积模型) 以我国吉林省汪清林业
局 $&) 块样地中的$# $$$ 株蒙古栎为例!选用 - 种 常用函数形式!首先分析 ) 个因变量"后期胸径,后 期胸高断面积,直径增量和胸高断面积增量#与前期 胸径的影响!确定一个最佳模型作为构建混合模型 的基础模型) 然后分析和比较基础模型所衍生出的 嵌套两水平非线性混合模型确定最终的形式参数构 造形式!同时利用偏最小二乘回归确定模型中形式 参数所包含的林分变量!最后对模型进行预测和检 验) 本文还选用 , 种常见加权函数!指数函数,幂函 数和常数加幂函数消除残差异方差) $!材料与方法 9+9:地域概况 研究区域设在吉林省延边自治州的东部!汪清 林业局境内) 所处地理坐标为 $",o%-i $,$o#)i/! ),o#%i ),o)#i]!覆盖$$ 个林场!分别为大柞树林
场,地印沟林场,郎溪林场,六道林场,踏子沟林场,
荒沟林场,金仓林场,杜荒子林场,西南岔林场,砂金
沟林场和大荒沟林场) 其中大荒沟林场和西南岔林
场位于珲春市境内!其它林场均在汪清县境内) 属
长白山的中低丘陵区!海拔 ,-# $) 0!低山灰 化土灰棕壤区!温带大陆性季风气候!主要特征是东 季漫长而寒冷降水少!夏季短促温暖多雨!年平均气 温 ,+* f!无霜期$,& 天!年平均降水量为 %) 00)
主要乔木树种有$蒙古栎" ?`$#)?%@"6A"12)( ?2K9;#,
红松 "H26?%3"#(2$6%2%D2<@+T(7#2"Z1KF+# PI12@#,樟子松"H26?%%^1_$%%H+T1I+ @"6A"12)( H2FT+#,长白落叶松"/(#2Y"1A$6%2%Q<7I5#,
椴树 "K212( (@?#$6%2%N6WI#,枫桦 "-$&?1( )"%&(&(
JI16FT#,白桦 "-$&?1( G1(&^G* 1^( D64+#,色木 ",)$#
@"6"Z1A20#,榆树 "<1@?%G?@21( H+#,水曲柳
"!#(Y26?%@(6F%)*?#2)( N6WI+#,黄菠萝"D"#&$YG*$10
1"F$6F#2P;27<7K2K#, 胡桃楸 "5?A1(6%@(6F%*?#2)( )" 第$ 期 符利勇等$基于多水平非线性混合效应蒙古栎林单木断面积模型 Z1A20+#,杨树"H"G?1?%?%?#2$6%2%G:0+#等) 主要
小乔木及灌木有$青楷槭 ",)$#&$A@$6&"%?@Z1A(
20+#,胡枝子" /$%G$F$C( 72)"1"#J6I9S+#,忍冬" /"620 )$#( a(G"62)( J;67@+#,刺五加",)(6&*"G(6(Y%$6&2)"0 %?%"N6WI+Z1A20+# Q1I0K#,五味子 " I)*2%(6F#( )*26$6%2%"J6I9S+# L123+#,珍珠梅"I"#7(#2( %"#72T"12(
"H+# .+LI+#等) 主要草本植物有$大叶樟".$^0
$?Y2( 1(6A%F"#T2"H274+# G67F; #,山茄子"-#()* 0^
7"&#^%G(#2F2T"#@2%Z1A20+"G2@G26$1( 7#()* )^(#G( "G:0+# G2F1M1V1#等) 9+;:实验数据 本研究使用汪清林业局$$个林场共 "# 块固 定样地$** 年和 "## 年两次森林资源二类调查数
据!每个样地面积都为 #+#- ;0") 外业调查测定的
林分因子有$地类,立地类型,林种,权属,地理位置, 优势树种年龄,郁闭度,坡度,坡向,海拔以及下木, 地被等%样木测定因子有$树种,胸径,树高"每个样
地选取 , 株平均木测量#和样木类别等) 剔除采伐
过量,造林地,非蒙古栎纯林"样地中蒙古栎总胸高
断面积与样地总胸高断面积之比小于 &#d#,漏测
错测木较多等异常标准地!实际用于建立汪清林业
局蒙古栎单木胸高断面积生长模型的标准地共计
$&) 块"都为天然林#!其中$") 块用于建模"共 -
-&$个观测株#!另外 -# 块用于模型检验"共 , ),# 个观测株#) 建模数据和检验数据的具体信息见表$ 和表 ")
表 9:建模和检验数据概况
数据 变量 平均值 标准差 最小值 最大值
建模数据 .b90 $,+--, ) +*"$ " %+$- .$
b90
$%+"& * &+",- , %+, & -, # b90 "$)-+-" )*+"& "#+), ) %,-+)-
-,b90
"
$&,+,% %,+"& ""+#- ) &+,- Bb"株-;0["#$ "-) )) $$, ,$ 林龄b1 )- $" "% *& 9b0 $,+, ,+) %+, "$+# I #+,# #+$) # #+# 检验数据 .b90 $,+&*, & +,)% " %+$ " . $ b90 $%+)*& * +#$ %+) "+$ -, # b90 " $%$+-$ )"+, "#+), ) #$+%# -,b90 " $&&+- )-+%* ""+*# ) #&"+&" Bb"株-;0["# $ """ %-& ",, " -,, 林龄b1 )- $" "% % 9b0 $,+# ,+# +, $*+# I #+,% #+$ # #+# !!注$.!9和-, # 分别为前期胸高直径,树高和胸高断面积%. 1 和-,分别为后期胸高直径和胸高断面积%B$林分密度% I$坡度) 表 ;:观测数据分布 建模数据 林场 样地数 观测数 检验数据 林场 样地数 观测数 大柞树 & ))& 大柞树 % "" 地印沟 $) &-) 地印沟 %%" 浪溪 ,- " $&# 浪溪 $& $ #"% 六道 * ,)& 六道 , $)$ 塔子沟 $# ,*" 塔子沟 - ,*% 荒沟 , $), 荒沟 $ )- 金仓 $ $ "&" 金仓$$ -%"
杜荒子 - "#- 杜荒子 " $#- 西南岔$# %$* 西南岔 ,$))
砂金沟 ) $$% 砂金沟 $ "*
大荒沟 $&) 大荒沟 , -&
9+<:多水平非线性混合效应模型
非线性混合效应模型 "]:7327<1I02A<9FK
0:E<3! 简称 ]HZ/Z#是依据回归函数依赖于固定
效应参数和随机效应参数的非线性关系而建立
的*"$+ ) 本研究拟考虑林场间以及嵌套在林场里样 地间的随机效应对单木胸高断面的影响!因此把林 场和嵌套在林场里的样地作为随机效应因子!利用 嵌套两水平]HZ/Z构建胸高断面积模型) 嵌套两 水平]HZ/Z的表达式为*"$+ $^ 2a3 ZT" ! 2a3 ! " 2a3 # ] # 2a3 ! 2Z$![[[!B!aZ$![[[!B 2 !3Z$![[[!6
2a
!
2a3
Z,
2a3
$]- 2!a3 ? 2 ]- 2a3 ? 2a ! ? 2 c:"#! %$
#!?
2a
c:"#!
%
"
#
!!其中!B为林场个数% B
2
为第 2个林场所嵌套
的样地个数% 6
2a
为第2个林场第a个样地所观测的样
木数%^
2a3
和
"
2a3
分别为第2个林场第a个样地对应的
%"
林!业!科!学!研!究 第 "& 卷
第3株样木的因变量和自变量观测值%T是关于参数
向量
!
2a3
和
"
2a3
的非线性函数%
$为Gd$维固定效应
参数% ?
2
为b
$d$维的林场随机效应参数!假定服从
期望为 # 方差为
%
$的正态分布% ? 2a 为b " d$维的样
地随机效应参数!假定服从期望为 # 方差为
%
"
的正
态分布%
!
2a3
为形式参数"简称形参#!它与
$,? 2 及 ? 2a 呈线性函数关系%, 2a3 ,- 2!a3 和- 2a3 分别为$
,?
2
和 ?
2a
的
设计矩阵%
#
2a3
为随机误差项!假定服从期望为 #!方
差为的正态分布!并假定 ?
2
,?
2a
和误差项
#
2a3
之间
相互独立)
构建两水平非线性混合效应胸高断面积模型时
需考虑以下几个问题*""+ $"1#基础模型的选定% "@#确定基础模型中形式参数的构造) 通常形 式参数有 , 种构造类型!分别为$混合形式参数!即
由固定效应部分"对所有建模数据恒取一个值#和
随机效应部分"与样地或林场有关#组成,只含固定
效应的形式参数和只含随机效应的形式参数)
"9#误差项方差协方差 "又称样地内方差协
方差!用来解释同一样地中树木之间的差异程度#结
构的确定)
"E#随机效应参数方差
%
$和 % " 结构的确定) "<#除胸高直径外!模型中其它自变量!如林分 变量的选定) 其中!"1#!"@#,"9#和"E#是用来定义两水平 非线性混合效应模型!"<#用来减少样地或林场间 差异程度以及提高模型预测精度)$+,+$!基础模型选择!本研究选用线性函数"模型 " +$#,N29;1IE 函数*模型
"
+"+,H:M2KF29函数*模型
"
+,!模型
"
+)+,指数函数*模型
"
+%+ ,U<2@63函
数*模型
"
+-+和 U54:>*,+提出的模型
"
+ 等 种
常用模型"表 ,#对蒙古栎胸高断面积生长进行分
析) 由于单木断面积和直径之间可以相互转化!因
此本研究假定模型中因变量 >有 ) 种取值情况!分
别为胸高断面积增量 "-,4#,第二期胸高断面积
"-,#,直径增长量".4#以及第二期胸高直径".
1
#!
自变量都为前期胸高直径".#) 计算时!首先根据
建模数据求出各模型参数估计值!然后利用模型
"
+
$u模型 " + 对建模数据和检验数据进行分析!计 算平均残差" #$#,残差方差"
&
"
#,均方误差"

#及
相对平均残差" #$d#等 ) 种评价指标*",+ ) 对 种 候选模型进行比较选出一个最优基础模型!) 种评 价指标的计算见公式"$# u公式")#)
表 <:候选基础模型
函数 函数表达式 函数形式或来源
"
+$>Z !$
]
!
"
. 线性
"
+"
>Z
!
$*$ \"
.#+
!
,
N29;1IEK
"
+,
>Z
!
$X*$ ]
!
"
,
.#+
H:M2KF29
"
+)
>Z
!
$X*$ ]!
"
]
!
,
37".]$##+ H:M2KF29 " +% >Z !$
.
!
" 指数/AW:7<7F213
"
+-
>Z
!
$*$ \"
.
!
,
#+
U<2@63
"
+
>Z
!
$
.
!
"
,
.
"
X$### U54:>!$**#
!!注$.为前期胸高直径% !$
!
!
"
和
!
,
分别为形式参数)
#
$Z$
B
2Z
B
2
aZ
6
2a
3Z
2a3
X:Z
$B 2Z$
$B 2 aZ$
$6 2a 3Z$
"^
2a3
e
^
2a3
#X:
"$# & " Z$
B
2Z
B
2
aZ
6
2a
3Z$"$
2
#
$# " X":\$# ""# Z #$
"
]
&槡 " ",#
#
$f Z$## d
#
$X # ^ ")# !!其中!^ 2a3 ! e ^ 2a3 和#分^别为因变量的观测值,预测 值和观测值的平均值)$+,+"!形式参数构造!形式参数如何构造争议较
大*+ !目前还没有一个统一的标准) 本文总结几种
常见方法如下$"$#在保证计算收敛的前提下!首先考虑模型
中所有形式参数都为混合参数!即所有形式参数都
含有固定效应和随机效应部分*")+ %
""#当所有形式参数都为混合参数!模型计算
不收敛时!则利用每个林场或样地对应的数据分别
估计出模型中形式参数的值!如果形式参数的估计
值在不同林场或样地数据中差异较大!或者形式参
数估计值的置信区间在不同林场或样地数据中重叠
较小!则认为该形式参数需考虑林场或样地随机
效应*)! ""+ %
",#利用评价指标 ,4D和 -4D*")+对所有形式参
数组合类型进行比较"一般,4D和-4D越小越好#选
出一种最优构造类型* $$+ ) 以上方法中!方法"$#最简单!但当模型中形式 参数较多时!特别是两水平非线性混合效应模型!经 常计算不收敛*"%+ !因此只能利用后两种方法!本研 究选用方法",#) $+,+,!误差项方差协方差结构!由于实验数据是 重复观测数据!对象"样地#内异方差和自相关可能 存在于误差项方差协方差中!为解决该问题! 1^T2E2( 17 17E B23F2717 *"-+ !Z<7M17E Q617M *"+采用形式 2a Z & " ; #[% 2a ( 2a ; #[% 2a "%# -" 第 $ 期 符利勇等$基于多水平非线性混合效应蒙古栎林单木断面积模型 !!其中! & " 为误差扩散的比例因子*+ !由模型中 残差方差值所给定%; 2a 是用来描述对象内方差异质 性的 6 2a d6 2a 维对角矩阵% ( 2a 是用来描述对象内误 差自相关性的 6 2a d6 2a 维矩阵) 本实例中由于各样 地内观测数据之间没有明显的相关性!故 ( 2a 为单位 矩阵) 在通常的胸高断面积生长模型研究中!误差方 差随着因变量的增大而增大!即呈现明显的异方 差*-! "&+ ) 为解释异方差性!许多学者选用非线性增 量模型的对数转化来拟合直径或胸高断面积增 量*,! %! "*+ !但这种转化效果不明显*%! "&+ ) 本研究是 通过增加权重的残差方差模型来处理异方差问题) 从指数函数,幂函数和常数加幂函数 , 个候选模 型*"$+中通过,4D,-4D以及似然比检验确定一个最 适当的残差方差模型) 类型$$ 指数函数
T1I"
#
2a3
# Z
&
"
)
.
2a3
# "-#
!!类型 "$幂函数 T1I" # 2a3 # Z & " . 2a3 " ) "# !!类型 ,$常数加幂函数
T1I"
#
2a3
# Z
&
"
"
)
$]. ) " 2a3 # " "&# !!式中!. 2a3 为第2个林场嵌套的第 a个样地中第 3株蒙古栎的胸高直径观测值! ) , )$
和
)
"
为待估参
数) 选择时!,4D和 -4D满足越小越好原则!似然比
检验的统计量"/K#由下式给出*""+
/KZ"3:M"/
$X/ " # Z"*3:M"/$
# \3:M"/
"
#+
"*#
!!其中 /
$和 / " 分别为模型$ 和模型 " 的似然函
数值! /K服从自由度为3
$\3 " 的 * 分布) 给定可 靠性 + Z#[#% !当 /K %* + "3$
\3
"
# 拒绝原假设!
说明这两个模型差异显著)
$+,+)!随机效应参数方差! %$
和
%
"
"结构!本研
究假定
%
$和 % " 为无结构类型)$+,+%!林分变量!胸高断面积"直径#增长量除与
期初树木胸高直径相关外!还受其它林分变量的影
响!例如单木或林分大小变量,立地条件变量以及林
分竞争变量等*%! ,#+ ) 本研究将考虑这些变量对胸高
断面积"直径#增长量的影响!对应的林分因子分
别为$"1#单木或林分大小变量$对象木的期初胸高
断面积"-,
#
#!林分年龄",;E#!林分密度"B#%
"@#立地条件变量$地位级指数"I4#!坡度正切 "IK#!海拔高度",#% "9#林分竞争变量$样地算术平均胸径",.#,对
象木胸高直径与样地算术平均直径的比",.#,样
地算术平均胸高断面积",-,#,对象木胸高断面积
与样地算术平均胸高断面积的比",-,#,样地平方
平均直径"I.#,样地平方平均胸高断面积"I-,#,
对象木胸高直径与样地平方平均直径的比"I.#,
对象木胸高断面积与样地平方平均胸高断面积的比
"I-,#,样地胸高总断面积"K-,#,对象木胸高断
面积与样地胸高总断面积的比"-,#,样地中大于
对象木直径树木的总株数";:#,样地中大于对象木
直径所有树木的胸高直径和";I.#以及样地中大于
对象木直径所有树木的胸高断面积和";I-,#)
以上林分变量可以按照不同组合形式作用在形
式参数
!
$! ! " 和 ! , 上!为避免模型过多参数及模型 中变量间共线性!利用传统的逐步回归方法*,$+确定
林分变量)
9+=:模型参数估计
本研究混合效应模型计算是在 D(`36K软件 730<
函数上实现!该函数为HL算法*,$+ !主要包含两个步 骤$罚最小二乘步 " ]`HD # 和线性混合效应步
"HZ/#!模型中所有待估参数是通过这两个步骤相
互交替运算得到*,"+ !详细计算见符利勇和唐守
正*$"+ ) 选用限制极大似然参数估计方法"I01A2060324<32;::E! N/ZH#
*",+
)
9+?:模型预测和评价
$+%+$!模型预测!利用总体平均模型" .`模型#,
考虑林场水平的]HZ/Z!同时考虑林场以及嵌套在
林场中的样地水平的 ]HZ/Z对蒙古栎胸高断面积
进行预测!方法的详细介绍见符利勇和孙华*,,+ )
$+%+"!模型评价!利用评价指标 #$!
&
"
!

和 #$d以 及似然比检验对 .`模型,考虑林场效应的胸高断 面积混合模型和同时考虑林场和林场与样地交互效 应的胸高断面积混合模型进行比较) "!结果 ;+9:基础模型 表 ) 为模型 " +$ u模型
"
+ 且因变量分别为
-,4,.
1
,-,和.4分析建模数据和检验数据时的评
价指标"其中建模数据用来拟合!检验数据用来验
证#) 当因变量为胸高断面积增长量"-,4#,第二期
胸高直径".
1
#,第二期胸高断面积"-,#和直径增长
量".4#时!对应的模型
"
+",模型
"
+),模型
"
+ 和
模型
"
+, 拟合效果较好) 其中!模型
"
+ 且因变量
"
林!业!科!学!研!究 第 "& 卷
为-,拟合效果最好!因此把该模型作为构建胸高断
面积生长量混合模型的基础模型)
-,
2a3
Z
!
$2a
.
!
"2a
2a3
,2a
.
"
2a3
X$### ] # 2a3 "$##
!!其中!-,
2a3
和.
2a3
分别为第2"2Z$![[[!B#个林 场第a"aZ$![[[!B
2
#个样地中第3"3Z$![[[!6 2a # 株蒙古栎第二期胸高断面积"90"#和前期胸高直径 "90#% !$2a
,
!
"2a
和
!
,2a
为形式参数%
#
2a3
为误差项)
表 =:模型评价指标
模型
建模数据
#
$#$f
&
"

检验数据
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;+;:形式参数构造
基础模型"$##能衍生出 种不同随机效应参数 组合的两水平]HZ/Z!各模型相应的参数构造形式 以及统计量,4D和-4D见表 %) 从表 % 中可知!模型 " +$$和模型 " +$) 计算不收敛) 在所有计算收敛
的模型中!模型
"
+$" 的 ,4D和 -4D最小!故当林场 效应和林场与样地间的嵌套效应同时作用在形式参 数 !$
和
!
,
上时拟合效果较好) 相应的模型表达
式为$-, 2a3 Z"$
$]?$2
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$2a #.$
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2a3
*\"
$, ]? ,2 ]? ,2a #. " 2a3 X$##+ ]
#
2a3
" $$# !!其中! $ $ , $ " 和 $ , 为固定效应参数! ? $2 和 ? ,2 是 由林场产生的随机效应参数! ? $2a 和 ? ,2a 是由林场和 样地的交互效应产生的随机效应参数) ;+<:误差项方差协方差" #结构 表 - 为 , 种残差方差模型的评价指标) 从表中 得知!残差方差模型为幂函数时对应的 ,4D和 -4D 值最小!似然函数值最大!与独立等方差类型差异显 著"Gm#[### $#!但与指数函数和常数加幂函数差 异不显著) 从而说明!指数函数,幂函数和常数加幂 函数都能消除残差异方差!其中幂函数效果最好!参 数 ) 的估计值为 #+*$ ,) &" 第 $ 期 符利勇等$基于多水平非线性混合效应蒙古栎林单木断面积模型 表 ?:混合模型参数构造及评价指标 模型 ! $ ! " ! , ,4D -4D " +& $ $ ]-]- ! H $ " $ , -) #"- -) #- " +* $ $ $ " ]-]- ! H $ , -) $"% -) $-- " +$# $ $ $ " $ , ]-]- ! H -) %- -) -#& " +$$

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$]-]- ! H$
$]-]- ! H ] ] !!注$L, 和`]分别表示林场,样地和模型计算不收敛)
表 @:异方差函数评价指标
残差方差模型 自由度 ,4D -4D /"A123
独立等方差 $# -, ,& -, )%% [,$ -&,
指数函数 $$-$ --) -$ ,* [,# &"$ 幂函数$$ -$%,, -$ -#& [,# %%
常数加幂函数 $" -$ %,% -$-$ [,# %%
;+=:林分变量
通过对单木或林分大小变量,立地条件变量以及
林分竞争变量等 $*个林分变量综合分析与比较!得到 模型"$##中形式参数
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$, ! " 和 ! , 的最终表达式为$
!
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!!其中! IK
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2a
分别为第2个林场第a个样地
的地位级指数和胸高总断面积% ,.
2a3
,,-,
2a3
和
-,
2a3
分别为第2个林场第a个样地中第3株样木对
应的胸高直径与相应样地算术平均直径比,胸高断
面积与相应样地算术平均胸高断面积比以及胸高断
面积与相应样地胸高总断面积比% ;I-,
2a3
为第 2个
林场第a个样地中大于第 3株样木直径所有树木的
胸高断面积之和) 胸高断面积混合模型为$-, 2a3 Z"$
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"$"# !!当模型"$"#只考虑林场效应!表达式为$-, 2a3 Z"$
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#
2a3
"$,# ;+?:模型参数估计 假定模型"$## 模型"$,#中残差方差模型为幂 函数!各自的固定效应参数和方差协方差参数估计值 及评价指标见表 ) 表 中!模型"$##对应的评价指
表 A:各模型参数估计量及评价指标
参数 模型"$## 模型"$$# 模型"$"# 模型"$,# 固定效应参数$
+%" $+"& )+-# )+,,$
"
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为固定效应参数%
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"$#, 和 , "$#$, 为 ? 2 Z"?$2
!?
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K的方差协方差参数%
&
"
""#$! & " ""#, 和 , ""#$,
为 ?
2a
Z"?
$2a !? ,2a # K的方 差协方差参数) *" 林!业!科!学!研!究 第 "& 卷 标,4D和-4D最大而似然函数值最小!由似然比检 验得知与其它 ) 个混合模型差异显著" Gg#[##$#)
模型"$"#对应的评价指标,4D和-4D最小而似然函 数值最大!与模型"$$#和模型"$,#差异显著 "Gg
#e##$# !故选用模型"$"#预估柞树胸高断面积)
;+@:模型预测和评价
利用模型"$## 模型"$,#对检验数据进行预
测从而进一步对模型进行评价!评价指标见表 &)
从表 & 中得知模型"$##除 #$外!其它 , 个评价指标
都最大!说明考虑林场和样地所产生的随机效应能
提高模型预测精度) 在 , 个混合模型中!模型"$"# 的评价指标最小说明当同时考虑林场和样地对胸高 断面积生长的影响以及林分变量 IK!,.!K-,!;I0 -,!,-,时预测效果最好) 除此之外还可得知模 型"$,#的评价指标明显大于模型"$"#说明样地对 胸高断面积的影响较大) 表 R:各模型预测检验数据时的评价指标 模型 #$ #$f & " 模型"$## [#+,& ["+)" ,+&, ,+&,
模型"$$# #+$& [#+* ,"+$% ,"+$%
模型"$"# #+$# #+#- $*+"" $*+""
模型"$,# #+)# #+-# "+-- "+--
,!讨论
本研究主要目的是构建单木蒙古栎胸高断面积
模型!选用 - 种常见函数形式和一个常用胸高断面
积模型*,! "&+ ) 以往胸高断面积生长量模型分析中!
常把胸高断面积生长量或直径生长量作为因变
量*-! "&+ !本研究为寻找最佳基础模型!除把前面两个
变量作为因变量外!同时还考虑了后期胸高断面积
和后期直径) 通过分析建模数据和检验数据得知!
因变量为后期胸高断面积"L.#!即模型"$##预测
效果最好)
构建混合效应模型时!最关键步骤是对基础模
型中形式参数构造*)! ""+的确定) 本文通过计算所有
可能的随机效应参数组合并对它们进行比较!最后
得到最佳的随机效应组合!这种方法对模型计算是
否收敛性依赖较大) 如果收敛满足! 2`7;<2I:17E
L1F*")+
!P1310117E Z:7F*)+等建议随机效应同
时作用在每个形式参数上时模型拟合效果最好!但
通常由于基础模型中形式参数个数较多或同时考虑
多个水平逐级嵌套随机效应使得模型计算收敛
困难)
林分变量 IK!,.!K-,!;I-,和 ,-,被作为
模型协变量预测蒙古栎胸高断面积) 对于立地变
量!IK对胸高断面积有显著的影响!但 I4对胸高断
面积生长无显著的影响!与U54:>*,+和CS:; 17E Y3(
2T*-+得出的结论不一致!这可能是由于模型中增加
样地效应而消除 I4对胸高断面积生长的影响) 对
于竞争变量!除包含a17M-,外!本研究还发现 ,.!,-,和 -,对胸高断
面积有显著的影响) 关于林分密度!与其它林分变
量相比!它对胸高断面积生长的影响非常小!这与
CS:; 17E Y32T*-+得出的结论相一致) 胸高断面积
生长除受林场和样地随机影响外!还受其它变量的
影响!如气候和遗传因子等*"&+ !但这些因子在实际
应用时很难调查测到!这需进一步研究)
)!结论
通过对 种常见函数形式和 ) 个因变量进行比
较!确定模型"$##作为构建胸高断面积混合模型的 基础模型) 基础模型的最佳随机效应组合方式是林 场效应和样地随机效应同时作用在形式参数 !$
和
!
,
上!即模型" $$#%利用指数函数,幂函数和常数加 幂函数 , 个候选模型对模型"$$ #的残差方差进行分
析和比较得知幂函数能明显消除异方差%当模型
" $$#考虑 IK!,.!K-,!;I-,!,-,和-,等林分 变量时能进一步提高模型预测精度!即模型"$"#% 通过对不考虑随机效应模型" .`模型#,不考虑林 分变量模型"模型$$ #,考虑林场效应模型"模型
$,#,以及同时考虑林场和样地模型"模型$"#比较
得知同时考虑林场和样地效应能明显提高模型预测
精度) 因此建议在分析胸高断面积或其它的林分因
子生长量时!如果数据满足嵌套结构或多水平结构!
例如在不同林场中设置不同的样地!或者不同样地
中对不同树木进行重复观测等!都可使用逐级嵌套
多水平非线性混合效应模型来提高模型预测精度)
参考文献!
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*)+ P13101N!Z:7FV2F; I17E:09:<>292<7FK>:IKF:7#,
第 $期 符利勇等$基于多水平非线性混合效应蒙古栎林单木断面积模型
"##)! ,)%# [$-,+
*%+ P13101N! Z:7F:IFI<F*k++D32T1?<77291! "##%! ,*"$#$ , [%)+
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?:I/9:3Z171M*+ BI2I(
II:0W0<1K6I<0<7FK*k++P171E217 k:6I713:>?:I$, [$%-+
*&+ L2M27MBD+O0WI:TK2F<27EW1I10**+ G
I<9<7F1WWI:19;IZ1F; DF1F`K59;:3! $***! %"$ -, [&+
*$#+ B1I*Z++U23<5(O7F]* $$+ 符利勇!李永慈!李春明!等+利用 " 种非线性混合效应模型"" 水平#对杉木林胸径生长量的分析*k++林业科学! "#$"! )& "%#$,- [),+ *$"+ 符利勇!唐守正+基于非线性混合模型的杉木优势木平均高 *k++林业科学!"#$"! )& "#$-- [$+ *$,+ 陈新美!张会儒!武纪成!等+柞树林直径分布模拟研究*k++林 业资源管理!"##&"$#$,* [),+ *$)+ 洪玲霞!雷相东!李永慈+蒙古栎林全林整体生长模型及其应用 *k++林业科学研究!"#$"! "%" "#$ "#$ ["#-+ *$%+ 杜纪山!唐守正!王洪良+天然林区小班森林资源数据的更新模 型*k++林业科学!"###! ,-" "#$"- [,"+ *$-+ 亢新刚!崔相慧!王!虹+冀北次生林 , 个树种林分生长过程表 的编制*k++北京林业大学学报!"##$!"," ,#$,* [)"+ *$+ 王春霞!刘万成!刘瑰琦!等+大兴安岭林区蒙古栎生长过程研 究*k++中国林副特产! "##%"%#$$ " [$)+ *$&+ 于!洋!王海燕!雷相东!等+东北过伐林区蒙古栎天然林土壤
有机碳研究*k++西北林学院学报!"# $$!"-" "#$% [-"+ *$*+ 程徐冰!韩士杰!张忠辉!等+蒙古栎不同冠层部位叶片养分动 态* k++应用生态学报!"#$$ !""" *# $""" [""&+ *"#+ 沈琛琛!雷相东!王福有!等+金苍林场蒙古栎天然中龄林竞争 关系研究*k++林业科学研究!"#$"!"%" ,#$,,* [,)%+ *"$+ 2`7;<9FKZ:E<3K27 D 17E D(`HCD
*Z++DWI27M(\*""+ ?17Mj! L123<5NH+]:7327<1I02A<9FK0:E<327M>:IK31K;
W27:3:V27M27F<7K2T0<7FK*k++?:I*",+ a17Ma! Q617MD+P:0W1I2K:7 :>E2>:I>2F27M7:7(
327<1I02A:I:I01427MWI17 k:6I713:>?:I*")+ 2`7;<2I:kP!L1F679(
F2:7 27 F;<7:7327<1I02A<9FK0:E<3*k++k:6I713:>P:0W6F1(
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327<1I02AI17E:0<><9FK*k++L2:KF1F2K(
F29K! "##*! $#"$#"$[$,%+
*"-+ 1^T2E217 Z! B23F2717 ^Z+]:7327<1IZ:E<3K>:IN6I<0<7F^ 1F1*Z++P;1W017RQ13! ]*"+ Z<7MD _! Q617MD+O0WI:T7:7327<1I02A<><9FK0:E<3KE<0:7KFI1F679F2:7*k++?:ID92<79*"&+ a17Ma! Q617MD! Z<7MD _! $&(1+.063F23@1K131I<1279I<0<7F0:E<3>:I1KW<7 27 @:I<1302A*k++P17 k?:IN*"*+ D9;IvE1I<1279I<0<7F0:E<3>:I01I2F20*k++?:I/9:3Z171M*,#+ Z:7K:I27E2(
T2E613FI<:IFI21*k++?:I/9:3Z171M*,$+ 唐守正!郎奎建!李海奎+统计和生物数学模型计算* Z ++北 京$科学出版社!"##&+
*,"+ H27EKFI:0Zk!L1F<9FKZ:E<3K>:IN<(
W<1F*,,+ 符利勇!孙!华+基于混合效应模型的杉木单木冠幅预测模型
*k++林业科学!"#$,! )*"&#$-% [)+
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