全 文 ：林业科学研究!"#$%!"&"$#$", ,$
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!!文章编号!$##$($)*&""#$%##$(##",(#*
基于多水平非线性混合效应蒙古栎林
单木断面积模型
符利勇! 唐守正!! 张会儒! 雷相东
"中国林业科学研究院资源信息研究所!北京!$###*$#
收稿日期$ "#$)(#$("&
基金项目$ 国家自然科学基金青年科学基金项目",$,##%,)#% 中央级公益性科研院所基本科研业务费专项资金&随机效应的森林立地
指数模型和应用研究+
作者简介$ 符利勇"$*&)(#!博士!助理研究员!主要研究方向$森林生长与收获预估模型+/(0123$ >635891>+19+97
!
通讯作者$中国科学院院士!研究员!博导!主要研究方向$林业统计模型+/(0123$ KF17M891>+19+97
摘要!以吉林省汪清林业局 $&) 块样地中的 $# $$$ 株蒙古栎为例!首先选用线性函数,N29;1IEK函数,H:M2KF29函数,
指数函数等 种常用函数形式!分析 ) 个因变量"后期胸径,后期胸高断面积,直径增量和胸高断面积增量#与前期
胸径的影响!确定一个用于构建混合效应模型的基础模型) 然后确定同时考虑林场效应和林场与样地交互效应时
基础模型中最优的形式参数构造形式!利用逐步回归方法确定模型中所包含的林分变量!并分析和比较用来消除异
方差的 , 种常用残差方差函数"指数函数,幂函数和常数加幂函数#!最后检验模型预测效果) 结果表明$U54:>模
型且因变量为后期胸高断面积拟合效果较好!故作为基础模型%除前期胸高直径".#外!当考虑坡度正切"IK#!对象
木胸高直径与样地算术平均直径的比",.#!样地胸高总断面积"K-,#!样地中大于对象木直径所有树木的胸高断
面积和";I-,#!对象木胸高断面积与样地算术平均胸高断面积的比 ",-,#和对象木胸高断面积与样地胸高总断
面积的比"-,#等林分变量时能进一步提高模型预测精度%对于残差方差!指数函数,幂函数和常数加幂函数都能
消除异方差!但幂函数效果最好%当模型同时考虑林场效应和林场与样地交互效应时预测精度最高)
关键词! 蒙古栎林%混合模型%单木断面积生长模型
中图分类号! D$$ 文献标识码!.
0O/-/#P#/Q)*/-*#.10-J#8L#%%#&(K.(./+1#. 0)8#/(%)1G*8-P-8O./
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>679F2:7! 3:M2KF29>679F2:7! 679F2:7 02A<9FK0:E<3+.7E F;<7! F;<@:I0:>>:I013W1I10V2F; 9:7K2E<9FK:>>:I1I0K17E F;F;<>:I013W1I10F;<0:E<3VI>679F2:7K"679F2:7! W:V679F2:7 17E 9:7KF17FW36KW:V679F2:7# F;1F6KE1KF292F5V292<795:>0:E<3V1KF:3:VK+
林!业!科!学!研!究 第 "& 卷
J;0:E<3F;1FF;2F<><9F17E 6KF;<@1K<0:E<3+O7 1EE2F2:7 F:F;<<1I35E210K69; 1KF;K3:W<"DJ#!F;^ :>F1IMW3:F"N.^ #!F;F13@1K131I<1:>W3:FK"JL.#!F;@1K131I<1:>FI<:>@1K131I<1:>F1IMW3:F"N.L.# 17E F;@1K131I<1:>F1IMF13@1K131I<1:>W3:F"NL.#! ;1E 1@679F2:7!
W:V679F2:7 17E 9:7KF17FW36KW:V679F2:7 9:63E <320271F679F2:7 V1K
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6#74)18($ ?`$#)?%@"6A"12)( KF17E% 02A<9FK0:E<3% 27E2T2E613@1K131I<1279I<0<7F0:E<3
森林生长收获模型是森林经营规划的重要工
具) 对现有森林资源和实施不同经营方案所预期的
森林资源准确估计是林业上一直关心的问题) 林业
模型中!林木断面积常作为树木大小,竞争效应和立
地效应的函数*$ [-+ ) 传统回归分析法"最小二乘法#
是建立林业模型所选用的一种常用统计方法*+ ) 通
常情形下!实验数据来源于重复调查数据或多水平
数据!如在不同地域上随机布置调查样地!这种嵌套
结构使得不同地域间!以及不同地域上所设置的样
地间有较高相关性!再比如分析树木断面积或直径
生长量时对同一株树木不同时间段多次观察等!因
此数据之间可能存在明显的自相关和异相关等*-+ )
回归分析方法是假定数据间相互独立且非异质
性*& [$#+ !是反应林分总体变化情况!因此无法反映
不同水平或林分因子对树木生长的随机影响!从而
降低模型预测精度) 然而!混合效应模型方法能有
效地解决以上问题*-! $$ [$"+ ) 关于混合模型的详细
介绍!见符利勇等*$$+ !符利勇和唐守正*$"+等)
蒙古栎" ?`$#)?%@"6A"12)( ?2K9;#主要分布于东
北三省,内蒙古等地!是东北次生落叶阔叶林的主要
组成树种) 蒙古栎不仅是我国主要用材树种!同时
还具有保持水土,涵养水源等作用*$, [$)+ ) 近几年国
内关于蒙古栎的研究较多*$, ["#+ !与此同时!关于其
它树种单木断面积模型的研究也非常多!然而这些
模型大多是针对特定地域中的特定树种所提出!模
型通用性较差) 例如!前期分析中!作者选用了多种
经验和理论的断面积模型*$, ["#+对东北蒙古栎断面
积进行拟合!结果发现这些模型拟合效果都较差)
为此!为得到较为通用的断面积模型!本研究将在已
有研究基础上!详细介绍如何利用混合模型方法构
建蒙古栎单木断面积模型) 以我国吉林省汪清林业
局 $&) 块样地中的 $# $$$ 株蒙古栎为例!选用 - 种
常用函数形式!首先分析 ) 个因变量"后期胸径,后
期胸高断面积,直径增量和胸高断面积增量#与前期
胸径的影响!确定一个最佳模型作为构建混合模型
的基础模型) 然后分析和比较基础模型所衍生出的
嵌套两水平非线性混合模型确定最终的形式参数构
造形式!同时利用偏最小二乘回归确定模型中形式
参数所包含的林分变量!最后对模型进行预测和检
验) 本文还选用 , 种常见加权函数!指数函数,幂函
数和常数加幂函数消除残差异方差)
$!材料与方法
9+9:地域概况
研究区域设在吉林省延边自治州的东部!汪清
林业局境内) 所处地理坐标为 $",o%-i $,$o#)i/!
),o#%i ),o)#i]!覆盖 $$ 个林场!分别为大柞树林
场,地印沟林场,郎溪林场,六道林场,踏子沟林场,
荒沟林场,金仓林场,杜荒子林场,西南岔林场,砂金
沟林场和大荒沟林场) 其中大荒沟林场和西南岔林
场位于珲春市境内!其它林场均在汪清县境内) 属
长白山的中低丘陵区!海拔 ,-# $ ) 0!低山灰
化土灰棕壤区!温带大陆性季风气候!主要特征是东
季漫长而寒冷降水少!夏季短促温暖多雨!年平均气
温 ,+* f!无霜期 $,& 天!年平均降水量为 %) 00)
主要乔木树种有$蒙古栎" ?`$#)?%@"6A"12)( ?2K9;#,
红松 "H26?%3"#(2$6%2%D2<@+T(7#2"Z1KF+# PI12@#,樟子松"H26?%%^1_$%%H+T1I+
@"6A"12)( H2FT+#,长白落叶松"/(#2Y"1A$6%2%Q<7I5#,
椴树 "K212( (@?#$6%2%N6WI#,枫桦 "-$&?1( )"%&(&(
JI16FT#,白桦 "-$&?1( G1(&^G* 1^( D64+#,色木 ",)$#
@"6"Z1A20#,榆树 "<1@?%G?@21( H+#,水曲柳
"!#(Y26?%@(6F%)*?#2)( N6WI+#,黄菠萝"D"#&$YG*$10
1"F$6F#2P;27<7K2K#, 胡桃楸 "5?A1(6%@(6F%*?#2)(
)"
第 $ 期 符利勇等$基于多水平非线性混合效应蒙古栎林单木断面积模型
Z1A20+#,杨树"H"G?1?%?%?#2$6%2%G:0+#等) 主要
小乔木及灌木有$青楷槭 ",)$#&$A@$6&"%?@Z1A(
20+#,胡枝子" /$%G$F$C( 72)"1"#J6I9S+#,忍冬" /"620
)$#( a(G"62)( J;67@+#,刺五加",)(6&*"G(6(Y%$6&2)"0
%?%"N6WI+Z1A20+# Q1I0K#,五味子 " I)*2%(6F#(
)*26$6%2%"J6I9S+# L123+#,珍珠梅"I"#7(#2( %"#72T"12(
"H+# .+LI+#等) 主要草本植物有$大叶樟".$^0
$?Y2( 1(6A%F"#T2"H274+# G67F; #,山茄子"-#()* 0^
7"&#^%G(#2F2T"#@2%Z1A20+"G2@G26$1( 7#()* )^(#G( "G:0+# G2F1M1V1#等)
9+;:实验数据
本研究使用汪清林业局 $$ 个林场共 "# 块固
定样地 $** 年和 "## 年两次森林资源二类调查数
据!每个样地面积都为 #+#- ;0") 外业调查测定的
林分因子有$地类,立地类型,林种,权属,地理位置,
优势树种年龄,郁闭度,坡度,坡向,海拔以及下木,
地被等%样木测定因子有$树种,胸径,树高"每个样
地选取 , 株平均木测量#和样木类别等) 剔除采伐
过量,造林地,非蒙古栎纯林"样地中蒙古栎总胸高
断面积与样地总胸高断面积之比小于 &#d#,漏测
错测木较多等异常标准地!实际用于建立汪清林业
局蒙古栎单木胸高断面积生长模型的标准地共计
$&) 块"都为天然林#!其中 $") 块用于建模"共 -
-&$ 个观测株#!另外 -# 块用于模型检验"共 , ),#
个观测株#) 建模数据和检验数据的具体信息见表
$ 和表 ")
表 9:建模和检验数据概况
数据 变量 平均值 标准差 最小值 最大值
建模数据 .b90 $,+--, ) +*"$ " %+$ -
.
$
b90
$%+"& * &+",- , %+, &
-,
#
b90
"
$)-+-" )*+"& "#+), ) %,-+)-
-,b90
"
$&,+,% %,+"& ""+#- ) &+,-
Bb"株-;0["# $ "-) )) $$ , ,$
林龄b1 )- $" "% *&
9b0 $,+, ,+) %+, "$+#
I #+,# #+$) # #+#
检验数据 .b90 $,+&*, & +,)% " %+$ "
.
$
b90
$%+)*& * +#$ %+) "+$
-,
#
b90
"
$%$+-$ )"+, "#+), ) #$+%#
-,b90
"
$&&+- )-+%* ""+*# ) #&"+&"
Bb"株-;0["# $ """ %-& ",, " -,,
林龄b1 )- $" "% %
9b0 $,+# ,+# +, $*+#
I #+,% #+$ # #+#
!!注$.!9和-,
#
分别为前期胸高直径,树高和胸高断面积%.
1
和-,分别为后期胸高直径和胸高断面积%B$林分密度% I$坡度)
表 ;:观测数据分布
建模数据
林场 样地数 观测数
检验数据
林场 样地数 观测数
大柞树 & ))& 大柞树 % ""
地印沟 $) &-) 地印沟 %%"
浪溪 ,- " $&# 浪溪 $& $ #"%
六道 * ,)& 六道 , $)$
塔子沟 $# ,*" 塔子沟 - ,*%
荒沟 , $), 荒沟 $ )-
金仓 $ $ "&" 金仓 $$ -%"
杜荒子 - "#- 杜荒子 " $#-
西南岔 $# %$* 西南岔 , $))
砂金沟 ) $$% 砂金沟 $ "*
大荒沟 $&) 大荒沟 , -&
9+<:多水平非线性混合效应模型
非线性混合效应模型 "]:7327<1I02A<9FK
0:E<3! 简称 ]HZ/Z#是依据回归函数依赖于固定
效应参数和随机效应参数的非线性关系而建立
的*"$+ ) 本研究拟考虑林场间以及嵌套在林场里样
地间的随机效应对单木胸高断面的影响!因此把林
场和嵌套在林场里的样地作为随机效应因子!利用
嵌套两水平]HZ/Z构建胸高断面积模型) 嵌套两
水平]HZ/Z的表达式为*"$+ $
^
2a3
ZT"
!
2a3
!
"
2a3
# ]
#
2a3
!
2Z$![[[!B!aZ$![[[!B
2
!3Z$![[[!6
2a
!
2a3
Z,
2a3
$
]-
2!a3
?
2
]-
2a3
?
2a
!
?
2
c:"#!
%
$
#!?
2a
c:"#!
%
"
#
!!其中!B为林场个数% B
2
为第 2个林场所嵌套
的样地个数% 6
2a
为第2个林场第a个样地所观测的样
木数%^
2a3
和
"
2a3
分别为第2个林场第a个样地对应的
%"
林!业!科!学!研!究 第 "& 卷
第3株样木的因变量和自变量观测值%T是关于参数
向量
!
2a3
和
"
2a3
的非线性函数%
$
为Gd$维固定效应
参数% ?
2
为b
$
d$维的林场随机效应参数!假定服从
期望为 # 方差为
%
$
的正态分布% ?
2a
为b
"
d$维的样
地随机效应参数!假定服从期望为 # 方差为
%
"
的正
态分布%
!
2a3
为形式参数"简称形参#!它与
$
,?
2
及 ?
2a
呈线性函数关系%,
2a3
,-
2!a3
和-
2a3
分别为
$
,?
2
和 ?
2a
的
设计矩阵%
#
2a3
为随机误差项!假定服从期望为 #!方
差为的正态分布!并假定 ?
2
,?
2a
和误差项
#
2a3
之间
相互独立)
构建两水平非线性混合效应胸高断面积模型时
需考虑以下几个问题*""+ $
"1#基础模型的选定%
"@#确定基础模型中形式参数的构造) 通常形
式参数有 , 种构造类型!分别为$混合形式参数!即
由固定效应部分"对所有建模数据恒取一个值#和
随机效应部分"与样地或林场有关#组成,只含固定
效应的形式参数和只含随机效应的形式参数)
"9#误差项方差协方差 "又称样地内方差协
方差!用来解释同一样地中树木之间的差异程度#结
构的确定)
"E#随机效应参数方差
%
$
和
%
"
结构的确定)
"<#除胸高直径外!模型中其它自变量!如林分
变量的选定)
其中!"1#!"@#,"9#和"E#是用来定义两水平
非线性混合效应模型!"<#用来减少样地或林场间
差异程度以及提高模型预测精度)
$+,+$!基础模型选择!本研究选用线性函数"模型
"
+$#,N29;1IE 函数*模型
"
+"+,H:M2KF29函数*模型
"
+,!模型
"
+)+,指数函数*模型
"
+%+ ,U<2@63函
数*模型
"
+-+和 U54:>*,+提出的模型
"
+ 等 种
常用模型"表 ,#对蒙古栎胸高断面积生长进行分
析) 由于单木断面积和直径之间可以相互转化!因
此本研究假定模型中因变量 >有 ) 种取值情况!分
别为胸高断面积增量 "-,4#,第二期胸高断面积
"-,#,直径增长量".4#以及第二期胸高直径".
1
#!
自变量都为前期胸高直径".#) 计算时!首先根据
建模数据求出各模型参数估计值!然后利用模型
"
+
$ u模型
"
+ 对建模数据和检验数据进行分析!计
算平均残差" #$#,残差方差"
&
"
#,均方误差"

#及
相对平均残差" #$d#等 ) 种评价指标*",+ ) 对 种
候选模型进行比较选出一个最优基础模型!) 种评
价指标的计算见公式"$# u公式")#)
表 <:候选基础模型
函数 函数表达式 函数形式或来源
"
+$
>Z
!
$
]
!
"
. 线性
"
+"
>Z
!
$
*$ \"
.#+
!
,
N29;1IEK
"
+,
>Z
!
$
X*$ ]
!
"
,
.#+
H:M2KF29
"
+)
>Z
!
$
X*$ ]!
"
]
!
,
37".]$##+
H:M2KF29
"
+%
>Z
!
$
.
!
" 指数/AW:7<7F213
"
+-
>Z
!
$
*$ \"
.
!
,
#+
U<2@63
"
+
>Z
!
$
.
!
"
,
.
"
X$###
U54:>!$**#
!!注$.为前期胸高直径%
!
$
!
!
"
和
!
,
分别为形式参数)
#
$Z
$
B
2Z$
$
B
2
aZ$
$
6
2a
3Z$
$
2a3
X:Z
$
B
2Z$
$
B
2
aZ$
$
6
2a
3Z$
"^
2a3
e
^
2a3
#X:
"$#
&
"
Z
$
B
2Z$
$
B
2
aZ$
$
6
2a
3Z$
"$
2
#
$#
"
X":\$# ""#

Z
#
$
"
]
&槡 " ",#
#
$f Z$## d
#
$X
#
^ ")#
!!其中!^
2a3
!
e
^
2a3
和#分^别为因变量的观测值,预测
值和观测值的平均值)
$+,+"!形式参数构造!形式参数如何构造争议较
大*+ !目前还没有一个统一的标准) 本文总结几种
常见方法如下$
"$#在保证计算收敛的前提下!首先考虑模型
中所有形式参数都为混合参数!即所有形式参数都
含有固定效应和随机效应部分*")+ %
""#当所有形式参数都为混合参数!模型计算
不收敛时!则利用每个林场或样地对应的数据分别
估计出模型中形式参数的值!如果形式参数的估计
值在不同林场或样地数据中差异较大!或者形式参
数估计值的置信区间在不同林场或样地数据中重叠
较小!则认为该形式参数需考虑林场或样地随机
效应*)! ""+ %
",#利用评价指标 ,4D和 -4D*")+对所有形式参
数组合类型进行比较"一般,4D和-4D越小越好#选
出一种最优构造类型*$$+ )
以上方法中!方法"$#最简单!但当模型中形式
参数较多时!特别是两水平非线性混合效应模型!经
常计算不收敛*"%+ !因此只能利用后两种方法!本研
究选用方法",#)
$+,+,!误差项方差协方差结构!由于实验数据是
重复观测数据!对象"样地#内异方差和自相关可能
存在于误差项方差协方差中!为解决该问题! 1^T2E2(
17 17E B23F2717
*"-+
!Z<7M17E Q617M
*"+采用形式

2a
Z
&
"
;
#[%
2a
(
2a
;
#[%
2a
"%#
-"
第 $ 期 符利勇等$基于多水平非线性混合效应蒙古栎林单木断面积模型
!!其中!
&
" 为误差扩散的比例因子*+ !由模型中
残差方差值所给定%;
2a
是用来描述对象内方差异质
性的 6
2a
d6
2a
维对角矩阵%
(
2a
是用来描述对象内误
差自相关性的 6
2a
d6
2a
维矩阵) 本实例中由于各样
地内观测数据之间没有明显的相关性!故
(
2a
为单位
矩阵)
在通常的胸高断面积生长模型研究中!误差方
差随着因变量的增大而增大!即呈现明显的异方
差*-! "&+ ) 为解释异方差性!许多学者选用非线性增
量模型的对数转化来拟合直径或胸高断面积增
量*,! %! "*+ !但这种转化效果不明显*%! "&+ ) 本研究是
通过增加权重的残差方差模型来处理异方差问题)
从指数函数,幂函数和常数加幂函数 , 个候选模
型*"$+中通过,4D,-4D以及似然比检验确定一个最
适当的残差方差模型)
类型 $$指数函数
T1I"
#
2a3
# Z
&
"
)
.
2a3
# "-#
!!类型 "$幂函数
T1I"
#
2a3
# Z
&
"
.
2a3
"
)
"#
!!类型 ,$常数加幂函数
T1I"
#
2a3
# Z
&
"
"
)
$
].
)
"
2a3
#
"
"&#
!!式中!.
2a3
为第2个林场嵌套的第 a个样地中第
3株蒙古栎的胸高直径观测值!
)
,
)
$
和
)
"
为待估参
数) 选择时!,4D和 -4D满足越小越好原则!似然比
检验的统计量"/K#由下式给出*""+
/KZ"3:M"/
$
X/
"
# Z"*3:M"/
$
# \3:M"/
"
#+
"*#
!!其中 /
$
和 /
"
分别为模型 $ 和模型 " 的似然函
数值! /K服从自由度为3
$
\3
"
的
*
分布) 给定可
靠性
+
Z#[#% !当 /K
%*
+
"3
$
\3
"
# 拒绝原假设!
说明这两个模型差异显著)
$+,+)!随机效应参数方差!
%
$
和
%
"
"结构!本研
究假定
%
$
和
%
"
为无结构类型)
$+,+%!林分变量!胸高断面积"直径#增长量除与
期初树木胸高直径相关外!还受其它林分变量的影
响!例如单木或林分大小变量,立地条件变量以及林
分竞争变量等*%! ,#+ ) 本研究将考虑这些变量对胸高
断面积"直径#增长量的影响!对应的林分因子分
别为$
"1#单木或林分大小变量$对象木的期初胸高
断面积"-,
#
#!林分年龄",;E#!林分密度"B#%
"@#立地条件变量$地位级指数"I4#!坡度正切
"IK#!海拔高度",#%
"9#林分竞争变量$样地算术平均胸径",.#,对
象木胸高直径与样地算术平均直径的比",.#,样
地算术平均胸高断面积",-,#,对象木胸高断面积
与样地算术平均胸高断面积的比",-,#,样地平方
平均直径"I.#,样地平方平均胸高断面积"I-,#,
对象木胸高直径与样地平方平均直径的比"I.#,
对象木胸高断面积与样地平方平均胸高断面积的比
"I-,#,样地胸高总断面积"K-,#,对象木胸高断
面积与样地胸高总断面积的比"-,#,样地中大于
对象木直径树木的总株数";:#,样地中大于对象木
直径所有树木的胸高直径和";I.#以及样地中大于
对象木直径所有树木的胸高断面积和";I-,#)
以上林分变量可以按照不同组合形式作用在形
式参数
!
$
!
!
"
和
!
,
上!为避免模型过多参数及模型
中变量间共线性!利用传统的逐步回归方法*,$+确定
林分变量)
9+=:模型参数估计
本研究混合效应模型计算是在 D(`36K软件 730<
函数上实现!该函数为HL算法*,$+ !主要包含两个步
骤$罚最小二乘步 " ]`HD # 和线性混合效应步
"HZ/#!模型中所有待估参数是通过这两个步骤相
互交替运算得到*,"+ !详细计算见符利勇和唐守
正*$"+ ) 选用限制极大似然参数估计方法"I01A2060324<32;::E! N/ZH#
*",+
)
9+?:模型预测和评价
$+%+$!模型预测!利用总体平均模型" .`模型#,
考虑林场水平的]HZ/Z!同时考虑林场以及嵌套在
林场中的样地水平的 ]HZ/Z对蒙古栎胸高断面积
进行预测!方法的详细介绍见符利勇和孙华*,,+ )
$+%+"!模型评价!利用评价指标 #$!
&
"
!

和 #$d以
及似然比检验对 .`模型,考虑林场效应的胸高断
面积混合模型和同时考虑林场和林场与样地交互效
应的胸高断面积混合模型进行比较)
"!结果
;+9:基础模型
表 ) 为模型
"
+$ u模型
"
+ 且因变量分别为
-,4,.
1
,-,和.4分析建模数据和检验数据时的评
价指标"其中建模数据用来拟合!检验数据用来验
证#) 当因变量为胸高断面积增长量"-,4#,第二期
胸高直径".
1
#,第二期胸高断面积"-,#和直径增长
量".4#时!对应的模型
"
+",模型
"
+),模型
"
+ 和
模型
"
+, 拟合效果较好) 其中!模型
"
+ 且因变量
"
林!业!科!学!研!究 第 "& 卷
为-,拟合效果最好!因此把该模型作为构建胸高断
面积生长量混合模型的基础模型)
-,
2a3
Z
!
$2a
.
!
"2a
2a3
,2a
.
"
2a3
X$### ]
#
2a3
"$##
!!其中!-,
2a3
和.
2a3
分别为第2"2Z$![[[!B#个林
场第a"aZ$![[[!B
2
#个样地中第3"3Z$![[[!6
2a
#
株蒙古栎第二期胸高断面积"90"#和前期胸高直径
"90#%
!
$2a
,
!
"2a
和
!
,2a
为形式参数%
#
2a3
为误差项)
表 =:模型评价指标
模型
建模数据
#
$
#
$f
&
"

检验数据
#
$
#
$f
&
"

>Z-,4
"
+$ #+## #+## ,"+,$ ,"+,$ [#+"% [#+-$ ,+&& ,+&&
"
+" #+# #+$ ,"+$ ,"+$ [#+,% [#+&) ,+&# ,+&#
"
+, [#+"& [#+-& ,"+,, ,"+,, [#+,) [#+&, ,+*& ,+*&
"
+) [#+#$ [#+#) ,"+$ ,"+$ [#+)$ [#+*& ,+&$ ,+&$
"
+% [#+# [$+, ,"+)$ ,"+)$ [#+&, ["+#" ,+** ,&+##
"
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"
+ [#+") [#+%& ,"+") ,"+") [#+%, [$+"& ,+&" ,+&"
>c.
1
"
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"
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"
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"
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"
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"
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"
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"
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"
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"
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"
+- #+*$ "+") ,"+,$ ,"+," #+-% $+%* ,+&$ ,+&"
"
+ $+#* "+-& ,"+,$ ,"+,, #+) $+& ,+&) ,+&)
;+;:形式参数构造
基础模型"$##能衍生出 种不同随机效应参数
组合的两水平]HZ/Z!各模型相应的参数构造形式
以及统计量,4D和-4D见表 %) 从表 % 中可知!模型
"
+$$ 和模型
"
+$) 计算不收敛) 在所有计算收敛
的模型中!模型
"
+$" 的 ,4D和 -4D最小!故当林场
效应和林场与样地间的嵌套效应同时作用在形式参
数
!
$
和
!
,
上时拟合效果较好) 相应的模型表达
式为$
-,
2a3
Z"
$
$
]?
$2
]?
$2a
#.
$
"
2a3
*\"
$
,
]?
,2
]?
,2a
#.
"
2a3
X$##+ ]
#
2a3
"$$#
!!其中!
$
$
,
$
"
和
$
,
为固定效应参数! ?
$2
和 ?
,2
是
由林场产生的随机效应参数! ?
$2a
和 ?
,2a
是由林场和
样地的交互效应产生的随机效应参数)
;+<:误差项方差协方差" #结构
表 - 为 , 种残差方差模型的评价指标) 从表中
得知!残差方差模型为幂函数时对应的 ,4D和 -4D
值最小!似然函数值最大!与独立等方差类型差异显
著"Gm#[### $#!但与指数函数和常数加幂函数差
异不显著) 从而说明!指数函数,幂函数和常数加幂
函数都能消除残差异方差!其中幂函数效果最好!参
数
)
的估计值为 #+*$ ,)
&"
第 $ 期 符利勇等$基于多水平非线性混合效应蒙古栎林单木断面积模型
表 ?:混合模型参数构造及评价指标
模型 !
$
!
"
!
,
,4D -4D
"
+&
$
$
]-]-
!
H
$
"
$
,
-) #"- -) #-
"
+*
$
$
$
"
]-]-
!
H
$
,
-) $"% -) $--
"
+$#
$
$
$
"
$
,
]-]-
!
H
-) %- -) -#&
"
+$$
$
$
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!
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$
"
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!
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$
,
] ]
"
+$"
$
$
]-]-
!
H
$
"
$
,
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!
H
-, ,& -, )%%
"
+$,
$
$
$
"
]-]-
!
H
$
,
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!
H
-, )"& -, )*-
"
+$)
$
$
]-]-
!
H
$
$
]-]-
!
H
$
$
]-]-
!
H
] ]
!!注$L, 和`]分别表示林场,样地和模型计算不收敛)
表 @:异方差函数评价指标
残差方差模型 自由度 ,4D -4D /"A123
独立等方差 $# -, ,& -, )%% [,$ -&,
指数函数 $$ -$ --) -$ ,* [,# &"$
幂函数 $$ -$ %,, -$ -#& [,# %%
常数加幂函数 $" -$ %,% -$ -$ [,# %%
;+=:林分变量
通过对单木或林分大小变量,立地条件变量以及
林分竞争变量等 $*个林分变量综合分析与比较!得到
模型"$##中形式参数
!
$
,
!
"
和
!
,
的最终表达式为$
!
$2a3
Z
$
$
]
$
)
IK
2a
]
$
%
,.
2a3
]
$
-
3:M"K-,
2a
# ]?
$2
]?
$2a
!
"2a3
Z
$
"
]
$
*
X,-,
2a3
]
$
$#
3:M";I-,
2a3
]$#
!
,2a3
Z
$
,
]
$

XK-,
2a
]
$
&
-,
"
2a3
]?
,2
]?
,2a
!!其中! IK
2a
和K-,
2a
分别为第2个林场第a个样地
的地位级指数和胸高总断面积% ,.
2a3
,,-,
2a3
和
-,
2a3
分别为第2个林场第a个样地中第3株样木对
应的胸高直径与相应样地算术平均直径比,胸高断
面积与相应样地算术平均胸高断面积比以及胸高断
面积与相应样地胸高总断面积比% ;I-,
2a3
为第 2个
林场第a个样地中大于第 3株样木直径所有树木的
胸高断面积之和) 胸高断面积混合模型为$
-,
2a3
Z"
$
$
]
$
)
IK
2a
]
$
%
,.
2a3
]
$
-
3:M"K-,
2a
# ]
?
$2
]?
$2a
#.
*
$
"
]
$
*
X,-,
2a3
]
$
$#
3:M";I-,
2a3
]$#+
2a3
d
$
,
]
$

XK-,
2a
]
$
&
-,
"
2a3
]?
,2
]?
,2a
#
.
"
2a3
X$##+ ]
#
2a3
"$"#
!!当模型"$"#只考虑林场效应!表达式为$
-,
2a3
Z"
$
$
]
$
)
IK
2a
]
$
%
,.
2a3
]
$
-
3:M"K-,
2a
# ]
?
$2
#.
*
$
"
]
$
*
X,-,
2a3
]
$
$#
3:M";I-,
2a3
]$#+
2a3
d
$
,
]
$

XK-,
2a
]
$
&
-,
"
2a3
]?
,2
#
.
"
2a3
X$##+ ]
#
2a3
"$,#
;+?:模型参数估计
假定模型"$## 模型"$,#中残差方差模型为幂
函数!各自的固定效应参数和方差协方差参数估计值
及评价指标见表 ) 表 中!模型"$##对应的评价指
表 A:各模型参数估计量及评价指标
参数 模型"$## 模型"$$# 模型"$"# 模型"$,#
固定效应参数 $
$
$+%" $+"& )+-# )+,,
$
"
$+&) $+*" $+*- $+&%
$
,
[#+##$ #+##- - [#+#$) [#+##&
$
)
( ( [#+#$& & [#+$"- #
$
%
( ( [#+#-# " [#+#)# &
$
-
( ( [#+,-) & [#+"& #
$

( ( $*%+,$* # %+**% $
$
&
( ( [#+#$ , [#+#$ #
$
*
( ( [#+##) # [#+#$, $
$
$#
( ( #+##$ $ #+### ,
方差参数!! &"
"$#$
( #+#"& # #+#"" * #+#)& *
&
"
"$#,
( #+### " #+### #+##$ %
,
"$#$,
( #+*** $ #+&& #
&
"
""#$
( #+$*- #+$$" (
&
"
""#,
( #+#$, $ #+## " (
,
""#$,
( #+*)* #+*,) (
&
"
,+**# * ,+",# " ,+" , ,+%$" ,
)
#+" * #+*$ , #+&) , #+*" &
评价指标!! ,4D -, #*, -$ %,, -$ ,,* -" $#"
-4D -, $-& -$ -#& -$ )-" -" "#)
/"A/23 [,$ %,% [,# %% [,# -%$ [,$ #,-
!!注$
$
$
$
$#
为固定效应参数%
&
"
"$#$
!
&
"
"$#,
和
,
"$#$,
为 ?
2
Z"?
$2
!?
,2
#
K的方差协方差参数%
&
"
""#$
!
&
"
""#,
和
,
""#$,
为 ?
2a
Z"?
$2a
!?
,2a
#
K的方
差协方差参数)
*"
林!业!科!学!研!究 第 "& 卷
标,4D和-4D最大而似然函数值最小!由似然比检
验得知与其它 ) 个混合模型差异显著" Gg#[##$#)
模型"$"#对应的评价指标,4D和-4D最小而似然函
数值最大!与模型"$$#和模型"$,#差异显著 "Gg
#e##$# !故选用模型"$"#预估柞树胸高断面积)
;+@:模型预测和评价
利用模型"$## 模型"$,#对检验数据进行预
测从而进一步对模型进行评价!评价指标见表 &)
从表 & 中得知模型"$##除 #$外!其它 , 个评价指标
都最大!说明考虑林场和样地所产生的随机效应能
提高模型预测精度) 在 , 个混合模型中!模型"$"#
的评价指标最小说明当同时考虑林场和样地对胸高
断面积生长的影响以及林分变量 IK!,.!K-,!;I0
-,!,-,时预测效果最好) 除此之外还可得知模
型"$,#的评价指标明显大于模型"$"#说明样地对
胸高断面积的影响较大)
表 R:各模型预测检验数据时的评价指标
模型 #$ #$f
&
"

模型"$## [#+,& ["+)" ,+&, ,+&,
模型"$$# #+$& [#+* ,"+$% ,"+$%
模型"$"# #+$# #+#- $*+"" $*+""
模型"$,# #+)# #+-# "+-- "+--
,!讨论
本研究主要目的是构建单木蒙古栎胸高断面积
模型!选用 - 种常见函数形式和一个常用胸高断面
积模型*,! "&+ ) 以往胸高断面积生长量模型分析中!
常把胸高断面积生长量或直径生长量作为因变
量*-! "&+ !本研究为寻找最佳基础模型!除把前面两个
变量作为因变量外!同时还考虑了后期胸高断面积
和后期直径) 通过分析建模数据和检验数据得知!
因变量为后期胸高断面积"L.#!即模型"$##预测
效果最好)
构建混合效应模型时!最关键步骤是对基础模
型中形式参数构造*)! ""+的确定) 本文通过计算所有
可能的随机效应参数组合并对它们进行比较!最后
得到最佳的随机效应组合!这种方法对模型计算是
否收敛性依赖较大) 如果收敛满足! 2`7;<2I:17E
L1F*")+
!P1310117E Z:7F*)+等建议随机效应同
时作用在每个形式参数上时模型拟合效果最好!但
通常由于基础模型中形式参数个数较多或同时考虑
多个水平逐级嵌套随机效应使得模型计算收敛
困难)
林分变量 IK!,.!K-,!;I-,和 ,-,被作为
模型协变量预测蒙古栎胸高断面积) 对于立地变
量!IK对胸高断面积有显著的影响!但 I4对胸高断
面积生长无显著的影响!与U54:>*,+和CS:; 17E Y3(
2T*-+得出的结论不一致!这可能是由于模型中增加
样地效应而消除 I4对胸高断面积生长的影响) 对
于竞争变量!除包含a17M-,外!本研究还发现 ,.!,-,和 -,对胸高断
面积有显著的影响) 关于林分密度!与其它林分变
量相比!它对胸高断面积生长的影响非常小!这与
CS:; 17E Y32T*-+得出的结论相一致) 胸高断面积
生长除受林场和样地随机影响外!还受其它变量的
影响!如气候和遗传因子等*"&+ !但这些因子在实际
应用时很难调查测到!这需进一步研究)
)!结论
通过对 种常见函数形式和 ) 个因变量进行比
较!确定模型"$##作为构建胸高断面积混合模型的
基础模型) 基础模型的最佳随机效应组合方式是林
场效应和样地随机效应同时作用在形式参数
!
$
和
!
,
上!即模型"$$#%利用指数函数,幂函数和常数加
幂函数 , 个候选模型对模型"$$#的残差方差进行分
析和比较得知幂函数能明显消除异方差%当模型
"$$#考虑 IK!,.!K-,!;I-,!,-,和-,等林分
变量时能进一步提高模型预测精度!即模型"$"#%
通过对不考虑随机效应模型" .`模型#,不考虑林
分变量模型"模型 $$#,考虑林场效应模型"模型
$,#,以及同时考虑林场和样地模型"模型 $"#比较
得知同时考虑林场和样地效应能明显提高模型预测
精度) 因此建议在分析胸高断面积或其它的林分因
子生长量时!如果数据满足嵌套结构或多水平结构!
例如在不同林场中设置不同的样地!或者不同样地
中对不同树木进行重复观测等!都可使用逐级嵌套
多水平非线性混合效应模型来提高模型预测精度)
参考文献!
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I<9<7F1WWI:19;IZ1F; DF1F`K59;:3! $***! %"$ -, [&+
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水平#对杉木林胸径生长量的分析*k++林业科学! "#$"! )&
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究*k++中国林副特产! "##%"%#$$" [$)+
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有机碳研究*k++西北林学院学报!"#$$!"-" "#$% [-"+
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F29K! "##*! $#"$#$ $"$ [$,%+
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$,