全 文 ：林业科学研究摇 圆园员员袁圆源渊圆冤院员猿苑 员源猿云燥则藻泽贼 砸藻泽藻葬则糟澡
摇 摇 文章编号院员园园员鄄员源怨愿渊圆园员员冤园圆鄄园员猿苑鄄园苑
非线性模型对数回归的偏差校正及与
加权回归的对比分析鄢
曾伟生袁 唐守正鄢鄢
渊中国林业科学研究院资源信息研究所袁 北京摇 员园园园怨员冤
摘要院本文结合大样本的立木生物量实测数据袁对非线性模型对数回归的偏差校正问题进行了探讨袁并与加权回归
结果进行了对比分析遥 首先袁分析了对数回归产生偏差的内在原因袁并提出了一个新的校正因子袁同时对另外 猿 个
偏差校正因子一并进行了检验袁结果表明本文和 月葬泽噪藻则增蚤造造藻渊员怨苑圆冤提出的校正因子袁能保证与加权回归估计结果趋
于一致曰然后袁对非线性加权回归中基于普通回归残差推导的权函数与通用权函数渊宰 越 员 辕 枣渊曾冤圆 冤的拟合效果进行
了对比分析袁结果表明二者基本相当袁而通用权函数更具有广泛的适应性遥 建议对带有异方差的非线性模型袁最好
直接采用加权回归进行估计曰当按照通用权函数进行估计其总相对误差超出一定范围时袁应该根据普通回归估计的
残差推导效果最佳的权函数后再进行加权回归遥
关键词院非线性模型曰生物量模型曰对数回归曰加权回归曰偏差校正曰异方差
中图分类号院杂苑缘苑郾 圆 文献标识码院粤
收稿日期院 圆园员园鄄园源鄄圆远
基金项目院 林业数据分析技术及工具软件的完善与推广渊园缘耘云晕圆员远苑园园猿怨缘冤和国家林业局专题野基于清查资料的中国森林植被生物量
和碳储量评估冶
作者简介院 曾伟生渊员怨远远要冤袁湖南涟源人袁在读博士袁教授级高工袁主要从事森林资源监测和林业数表研制工作援
鄢致谢院贵州省林业厅资源管理站夏忠胜博士为本研究提供了该省杉木尧马尾松的立木生物量调查数据袁在此深表谢意遥
鄢鄢通讯作者院耘鄄皂葬蚤造院泽贼葬灶早岳 糟葬枣援 葬糟援 糟灶
月蚤葬泽 悦燥则则藻糟贼蚤燥灶 蚤灶 蕴燥早葬则蚤贼澡皂蚤糟 砸藻早则藻泽泽蚤燥灶 葬灶凿 悦燥皂责葬则蚤泽燥灶 憎蚤贼澡
宰藻蚤早澡贼藻凿 砸藻早则藻泽泽蚤燥灶 枣燥则 晕燥灶鄄造蚤灶藻葬则 酝燥凿藻造泽
在耘晕郧 宰藻蚤鄄泽澡藻灶早袁 栽粤晕郧 杂澡燥怎鄄扎澡藻灶早
渊砸藻泽藻葬则糟澡 陨灶泽贼蚤贼怎贼藻 燥枣 云燥则藻泽贼 砸藻泽燥怎则糟藻 陨灶枣燥则皂葬贼蚤燥灶 栽藻糟澡灶蚤择怎藻泽袁 悦澡蚤灶藻泽藻 粤糟葬凿藻皂赠 燥枣 云燥则藻泽贼则赠袁 月藻蚤躁蚤灶早摇 员园园园怨员袁 悦澡蚤灶葬冤
粤遭泽贼则葬糟贼院 晕燥灶鄄造蚤灶藻葬则 皂燥凿藻造泽 憎蚤贼澡 澡藻贼藻则燥泽糟藻凿葬泽贼蚤糟蚤贼赠 葬则藻 糟燥皂皂燥灶造赠 怎泽藻凿 蚤灶 枣燥则藻泽贼则赠 皂燥凿藻造蚤灶早袁 葬灶凿 造燥早葬则蚤贼澡皂蚤糟 则藻早则藻泽鄄
泽蚤燥灶 葬灶凿 憎藻蚤早澡贼藻凿 则藻早则藻泽泽蚤燥灶 葬则藻 怎泽怎葬造造赠 藻皂责造燥赠藻凿 贼燥 藻泽贼蚤皂葬贼藻 贼澡藻 责葬则葬皂藻贼藻则泽援 哉泽蚤灶早 贼澡藻 泽蚤灶早造藻鄄贼则藻藻 遭蚤燥皂葬泽泽 凿葬贼葬 燥枣
造葬则早藻 泽葬皂责造藻泽袁 贼澡藻 遭蚤葬泽 糟燥则则藻糟贼蚤燥灶 蚤灶 造燥早葬则蚤贼澡皂蚤糟 则藻早则藻泽泽蚤燥灶 葬灶凿 糟燥皂责葬则蚤泽燥灶 憎蚤贼澡 憎藻蚤早澡贼藻凿 则藻早则藻泽泽蚤燥灶 枣燥则 灶燥灶鄄造蚤灶藻葬则
皂燥凿藻造泽 葬则藻 泽贼怎凿蚤藻凿 蚤灶 贼澡蚤泽 责葬责藻则援 栽澡藻 蚤皂皂葬灶藻灶贼 糟葬怎泽藻 责则燥凿怎糟蚤灶早 遭蚤葬泽 蚤灶 造燥早葬则蚤贼澡皂蚤糟 则藻早则藻泽泽蚤燥灶 蚤泽 葬灶葬造赠扎藻凿袁 葬灶凿 葬
灶藻憎 糟燥则则藻糟贼蚤燥灶 枣葬糟贼燥则 蚤泽 责则藻泽藻灶贼藻凿 憎蚤贼澡 憎澡蚤糟澡 贼澡则藻藻 糟燥皂皂燥灶造赠 怎泽藻凿 遭蚤葬泽 糟燥则则藻糟贼蚤燥灶 枣葬糟贼燥则泽 葬则藻 藻曾葬皂蚤灶藻凿 贼燥早藻贼澡藻则袁
葬灶凿 贼澡藻 则藻泽怎造贼泽 泽澡燥憎 贼澡葬贼 贼澡藻 糟燥则则藻糟贼蚤燥灶 枣葬糟贼燥则泽 责则藻泽藻灶贼藻凿 澡藻则藻 葬灶凿 遭赠 月葬泽噪藻则增蚤造造藻 渊员怨苑圆冤 泽澡燥怎造凿 遭藻 则藻糟燥皂皂藻灶凿藻凿
憎澡蚤糟澡 糟燥怎造凿 蚤灶泽怎则藻 贼澡藻 糟燥则则藻糟贼藻凿 皂燥凿藻造 贼燥 遭藻 葬泽赠皂责贼燥贼蚤糟葬造造赠 糟燥灶泽蚤泽贼藻灶贼 憎蚤贼澡 贼澡葬贼 枣蚤贼贼藻凿 遭赠 憎藻蚤早澡贼藻凿 则藻早则藻泽泽蚤燥灶援 杂藻糟鄄
燥灶凿造赠袁 贼澡藻 枣蚤贼贼蚤灶早 则藻泽怎造贼泽 燥枣 憎藻蚤早澡贼藻凿 则藻早则藻泽泽蚤燥灶 枣燥则 灶燥灶鄄造蚤灶藻葬则 皂燥凿藻造泽袁 怎泽蚤灶早 贼澡藻 憎藻蚤早澡贼 枣怎灶糟贼蚤燥灶 遭葬泽藻凿 燥灶 则藻泽蚤凿怎葬造
藻则则燥则泽 燥枣 贼澡藻 皂燥凿藻造 藻泽贼蚤皂葬贼藻凿 遭赠 燥则凿蚤灶葬则赠 造藻葬泽贼 泽择怎葬则藻泽 渊韵蕴杂冤 葬灶凿 贼澡藻 早藻灶藻则葬造 憎藻蚤早澡贼 枣怎灶糟贼蚤燥灶 渊宰 越员 辕 枣渊曾冤圆冤 责则藻泽鄄
藻灶贼藻凿 遭赠 在藻灶早 渊员怨怨愿冤 则藻泽责藻糟贼蚤增藻造赠袁 葬则藻 糟燥皂责葬则藻凿 憎蚤贼澡 藻葬糟澡 燥贼澡藻则 贼澡葬贼 泽澡燥憎 贼憎燥 憎藻蚤早澡贼泽 憎燥则噪泽 憎藻造造 葬灶凿 贼澡藻 早藻灶藻则葬造
枣怎灶糟贼蚤燥灶 蚤泽 皂燥则藻 葬责责造蚤糟葬遭造藻援 陨贼 蚤泽 泽怎早早藻泽贼藻凿 贼澡葬贼 贼澡藻 遭藻泽贼 憎葬赠 贼燥 枣蚤贼 灶燥灶鄄造蚤灶藻葬则 皂燥凿藻造泽 憎蚤贼澡 澡藻贼藻则燥泽糟藻凿葬泽贼蚤糟蚤贼赠 憎燥怎造凿
遭藻 怎泽蚤灶早 憎藻蚤早澡贼藻凿 则藻早则藻泽泽蚤燥灶袁 葬灶凿 憎澡藻灶 贼澡藻 贼燥贼葬造 则藻造葬贼蚤增藻 藻则则燥则 燥枣 贼澡藻 藻泽贼蚤皂葬贼藻泽 枣则燥皂 贼澡藻 皂燥凿藻造 枣蚤贼贼藻凿 遭赠 贼澡藻 早藻灶藻则葬造
林摇 业摇 科摇 学摇 研摇 究 第 圆源 卷
憎藻蚤早澡贼 枣怎灶糟贼蚤燥灶 蚤泽 皂燥则藻 贼澡葬灶 葬 泽责藻糟蚤葬造 造蚤皂蚤贼 泽怎糟澡 葬泽 依 猿豫 袁 葬 遭藻贼贼藻则 憎藻蚤早澡贼 枣怎灶糟贼蚤燥灶 遭葬泽藻凿 燥灶 则藻泽蚤凿怎葬造 藻则则燥则泽 燥枣 贼澡藻
皂燥凿藻造 枣蚤贼贼藻凿 遭赠 韵蕴杂 泽澡燥怎造凿 遭藻 怎泽藻凿 蚤灶 憎藻蚤早澡贼藻凿 则藻早则藻泽泽蚤燥灶援
运藻赠 憎燥则凿泽院 灶燥灶鄄造蚤灶藻葬则 皂燥凿藻造曰 遭蚤燥皂葬泽泽 皂燥凿藻造曰 造燥早葬则蚤贼澡皂蚤糟 则藻早则藻泽泽蚤燥灶曰 憎藻蚤早澡贼藻凿 则藻早则藻泽泽蚤燥灶曰 遭蚤葬泽 糟燥则则藻糟贼蚤燥灶曰 澡藻贼鄄
藻则燥泽糟藻凿葬泽贼蚤糟蚤贼赠
在林业中用到的很多模型都是非线性模型袁如
材积方程和生物量方程遥 而且因为这些模型一般
普遍存在着异方差性袁因此袁求解模型参数时通常
采用对数转换或加权回归来消除异方差的
影响咱员 原 愿暂 遥
云蚤灶灶藻赠最早注意到采用对数转换产生有偏估计
的问题袁并提出了校正偏差的一个无偏估计量咱员暂 遥
月葬泽噪藻则增蚤造造藻论证了对数转换后的估计值只是中位数
无偏估计量袁并提出了基于回归方程样本方差 泽圆 的
一个均值无偏估计量咱圆暂 袁其校正因子 藻曾责渊泽圆 辕 圆冤后来
得到了广泛应用咱远袁怨 原 员圆暂 遥 月藻葬怎糟澡葬皂责 和 韵造泽燥灶 认为
月葬泽噪藻则增蚤造造藻提出的校正因子在实践中仍然是有偏的袁
因为样本方差 泽圆 只是总体方差 滓圆 的无偏估计值袁
其真值是未知的袁并提出了另外一个以 追渊 贼冤函数表
示的校正因子咱员猿暂 遥 云造藻憎藻造造蚤灶早和 孕蚤藻灶葬葬则对提出的各
类校正因子进行了综述袁认为在中到大样本前提下
渊样本单元数一般在 猿园 以上冤袁任何两个估计量之间
的最大相对差异多数情况下渊极端情况除外冤为 藻曾责
渊猿 辕 圆泽圆冤袁如果不必太在意这些偏差的话袁可以不校
正或采用 月葬泽噪藻则增蚤造造藻尧云蚤灶灶藻赠 或 月藻葬怎糟澡葬皂责 和 韵造泽燥灶
提出的校正因子进行校正曰在小样本情况下袁一般需
要采用其它一些更复杂的估计量咱猿暂 遥 杂灶燥憎凿燥灶 提出
了一个比值估计量作为校正因子袁并与应用最广的
月葬泽噪藻则增蚤造造藻 和 云蚤灶灶藻赠 提出的校正因子进行了比较袁
认为比值估计量简单实用且效果最好咱源暂 遥
除了采用对数转换以外袁为了消除异方差对参
数估计的影响袁常采用加权回归估计遥 曾伟生咱员源 原 员缘暂
等在对材积方程尧生物量方程的异方差性进行研究
的基础上袁提出了通用的权函数形式 渊宰 越 员 辕 枣
渊阅冤圆冤曰张会儒等尧胥辉尧孕葬则则藻泽燥造 等都对生物量的异
方差性进行了研究袁也提出了各种权函数形
式咱缘 原 远袁员远 原 员苑暂 遥 加权回归与对数回归之间到底有什么
差异钥 对数回归适用于什么条件钥 其偏差校正的内
在原因是什么钥 本文将结合对生物量实测数据的分
析袁对非线性模型的对数回归及其偏差校正问题再
作探讨袁并与加权回归结果进行对比分析袁从而提出
在实践中对非线性模型进行回归估计的结论和
建议遥
员摇 数据与方法
员援 员摇 数据
本文所用数据为立木地上生物量实测数据袁具
体包括 猿 个部分院第一部分数据来自 员怨怨苑 全国生物
量课题组南方片子项目袁共计 员缘圆 株样木袁采集地点
在江西省德兴市李宅林场袁包括杉木渊悦怎灶灶蚤灶早澡葬皂蚤葬
造葬灶糟藻燥造葬贼葬 渊蕴葬皂遭援 冤 匀燥燥噪援 冤尧马尾松渊孕蚤灶怎泽 皂葬泽泽燥灶蚤鄄
葬灶葬 蕴葬皂遭援 冤袁以及栎类渊匝怎藻则糟怎泽 泽责责援 冤尧樟渊悦蚤灶灶葬皂燥鄄
皂怎皂 泽责责援 冤尧楠渊孕澡燥藻遭藻 泽责责援 冤等阔叶树种曰第二部分
数据来自 圆园园苑 年贵州省的生物量调查建模项目袁包
括杉木和马尾松两个树种组袁共 远怨源 株样木袁其中杉
木 猿怨怨 株袁马尾松 圆怨缘 株袁样本采集地点涉及贵州省
杉木和马尾松分布区各县袁对全省具有广泛的代表
性遥 第三部分数据来自发表的文献咱缘 原 远暂 袁涉及两个
树种院一是来自美国密西西比州的栎类鲜质量生物
量数据袁包括 猿怨 株样木曰二是来自美国路易斯安纳
州的湿地松渊孕蚤灶怎泽 藻造造蚤燥贼蚤蚤 耘灶早藻造皂援 冤鲜质量生物量数
据袁包括 源园 株样木遥 本文的研究以前两部分数据为
主渊基本情况见表 员冤袁第三部分数据仅用于辅助
分析遥
表 员摇 立木生物量数据的基本统计结果
数据源 统计量 平均值 最大值 最小值 标准差
南方片
灶 越 员缘圆
贵州杉
灶 越 猿怨怨
贵州松
灶 越 圆怨缘
胸径 辕 糟皂 员圆援 远摇 猿圆援 远摇 员援 远摇 远援 愿摇
生物量 辕 噪早 远苑援 源圆源 缘源员援 员远猿 园援 源圆怨 愿苑援 园员猿
胸径 辕 糟皂 员缘援 猿 猿远援 源 源援 员 远援 苑
生物量 辕 噪早 苑员援 远源远 缘圆怨援 怨怨圆 员援 猿圆怨 苑愿援 员员愿
胸径 辕 糟皂 员远援 园 源源援 愿 源援 园 愿援 员
生物量 辕 噪早 员员愿援 缘缘猿 愿园愿援 怨苑愿 圆援 远缘远 员源员援 远远远
摇 摇 注院南方片数据指第一部分数据袁贵州杉和贵州松指第二部分数
据的杉木和马尾松数据曰生物量指单株地上部分生物量遥
员援 圆摇 方法
对于非线性模型的拟合袁通常采用对数回归和
加权回归方法袁以消除异方差的影响遥 立木生物量
模型最简单也最常用的结构为以下幂函数形式院
酝 越 葬阅遭 垣 着 渊员冤
式中 酝为生物量袁阅 为胸径袁葬尧遭 为参数袁着 为误差遥
渊员冤式也有表示为以下形式的咱缘暂 院
酝 越 葬阅遭着 渊圆冤
愿猿员
第 圆 期 曾伟生等院非线性模型对数回归的偏差校正及与加权回归的对比分析
其中渊员冤式的误差称为加性渊 葬凿凿蚤贼蚤增藻冤误差袁一般表
示 着不随直径大小而变化袁具有等方差性质曰渊圆冤式
的误差称为乘积渊皂怎造贼蚤责造蚤糟葬贼蚤增藻冤误差袁一般表示 着随
直径大小而变化袁具有异方差性质遥 实际上渊圆冤式
的表达方式是有问题的袁因为如果 耘渊着冤 越 园袁则大约
有一半 酝 可能出现负值遥 王仲锋已经提及这个问
题咱愿暂 遥 作者认为袁不管误差项 着 的方差是否为等方
差袁一般都应该表示为渊员冤式曰如果误差项 着 的方差
为异方差袁但其相对误差 着忆为等方差袁则渊员冤式可以
表述为如下形式院
酝 越 葬阅遭渊员 垣 着忆冤 渊猿冤
式中 着忆 越 着 辕 葬阅遭遥 将 渊猿冤式转换为对数形式后袁
变成院
造灶酝 越 造灶葬 垣 遭造灶阅 垣 造灶渊员 垣 着忆冤 渊源冤
式中 造灶为自然对数遥 渊源冤式看起来袁似乎相当于以
下标准形式的线性模型院
赠 越 葬园 垣 遭园曾 垣 孜 渊缘冤
式中 赠 越 造灶酝袁曾 越 造灶阅袁葬园尧遭园 为参数袁孜 为误差遥 采用
普通最小二乘法拟合渊缘冤式后袁可按下式得到生物
量的估计值院
酝估 越 藻曾责渊葬园 垣 遭园 造灶阅冤 渊远冤
但事实上这是错误的遥 因为普通最小二乘法要求误
差 孜的数学期望为 园袁即 耘渊孜冤 越 园袁而实际上渊源冤式
中与渊缘冤式的 孜 对应的 造灶渊员 垣 着忆冤的期望值不等于
园袁即 耘咱造灶渊员 垣 着忆冤暂屹园遥 下面来做具体分析遥
由于渊源冤式中的 着忆为相对误差袁其理论分布区
间为渊 原 员袁 垣 肄 冤袁现实分布范围一般在 依 园郾 缘 之间遥
由于具有等方差性质袁从而 耘渊着忆冤 越 园遥 因为 造灶渊员 垣
着忆冤恒小于 着忆袁所以袁耘咱 造灶渊员 垣 着忆冤暂屹园袁它应该等于
某一个负数渊假设为 原 糟冤遥 而渊缘冤式的最小二乘估
计必须满足 耘渊孜冤 越 园遥 即袁渊源冤尧渊缘冤两式之间的参
数存在如下关系院
孜 越 造灶渊员 垣 着忆冤 垣 糟 渊苑冤
葬园 越 造灶葬 原 糟 渊愿冤摇 摇 也就是说袁经过对数形式转换后袁为了满足线性
最小二乘估计的条件 耘渊孜冤 越 园袁从参数 葬园 中分离出
了一部分常数 糟 到误差项 孜袁从而使参数 葬园 系统偏
小袁这就是对数回归结果需要校正的内在原因遥 下
面再来分析影响偏差大小的 糟值遥
根据渊苑冤式得到院
员 垣 着忆 越 藻曾责渊孜 原 糟冤 越 藻曾责渊 原 糟冤藻曾责渊孜冤 渊怨冤
再两边取数学期望袁因为 耘渊着忆冤 越 园袁从而 藻曾责渊 原 糟冤
越 员 辕 耘咱藻曾责渊孜冤暂袁即院
藻曾责渊糟冤 越 耘咱藻曾责渊孜冤暂
越 乙移肄噪 越 园 员噪浴 曾噪 枣孜渊 贼冤凿贼
抑 乙 渊员 垣 贼 垣 园援 缘贼圆冤 枣孜渊 贼冤凿贼
越 员 垣 园援 缘滓圆
也就是说袁参数 糟 的估计值近似等于 造灶渊员 垣 泽圆 辕
圆冤袁泽为用普通最小二乘法拟合渊缘冤式所得到的标准
差估计值遥 从渊愿冤式知 造灶葬 的无偏估计值应该为 葬园垣 糟袁从而校正后的渊远冤式应为院
酝估 越 藻曾责渊葬园 垣 糟 垣 遭园 造灶阅冤
越 渊员 垣 泽圆 辕 圆冤藻曾责渊葬园 垣 遭园 造灶阅冤 渊员园冤
相当于其校正因子为 员 垣 泽圆 辕 圆遥 在这里袁把它作
为第一个校正因子院
悦云员 越 员 垣 泽圆 辕 圆 渊员员冤摇 摇 作为对比袁同时还考虑以下 猿 个校正因子院
悦云圆 越 藻曾责渊 泽圆 辕 圆冤 渊员圆冤
悦云猿 越 藻曾责喳 泽圆 辕 圆咱员 原 泽圆渊 泽圆 垣 圆冤 辕 源灶 垣 摇
摇 泽源渊猿泽源 垣 源源泽圆 垣 愿源冤 辕 怨远灶圆暂札 渊员猿冤
悦云源 越 移酝 辕移酝估 渊员源冤
摇 摇 其中 悦云圆 是应用最多的一个校正因子袁由 月葬泽噪鄄
藻则增蚤造造藻提出咱圆暂 曰悦云猿 是 云蚤灶灶藻赠提出的校正因子 早渊 泽圆 辕
圆冤的近似表达式咱员暂 曰悦云源 是 杂灶燥憎凿燥灶 提出的比值校
正因子咱源暂 遥
除了以上对数回归方法以外袁可以对渊员冤或渊猿冤
式直接采用非线性回归进行估计遥 也考虑 猿 种情
况院一是普通最小二乘回归袁相当于权函数为 员曰二
是按通用权函数渊宰 越员 辕 枣渊阅冤圆冤进行加权回归袁它是
相对误差为等方差时的最优权函数袁能得到参数的
无偏估计值咱员源 原 员缘暂 曰三是根据普通最小二乘回归结果
的残差平方渊 藻圆 冤拟合与 阅 的回归关系渊 藻圆 越 糟园阅糟员袁
糟园尧糟员 为参数冤袁再用 宰 越 员 辕 阅糟员作为权函数进行加权
回归遥
根据前述分析袁在生物量数据的误差为异方差
而相对误差为等方差的前提下袁经过校正后的对数
回归估计结果袁应该与加权回归结果一样是无偏的遥
但是袁由于上述校正因子本身只是一个近似值袁且非
线性模型的加权回归估计也是通过迭代算法得到的
渐近估计值袁故二者的估计结果实际上不可能完全
相等遥
为了比较分析对数回归和加权回归结果袁本文
采用以下 缘 个评价指标院平均误差尧平均绝对误差尧
总相对误差尧平均系统误差和平均百分标准误差遥
怨猿员
林摇 业摇 科摇 学摇 研摇 究 第 圆源 卷
其计算公式如下咱缘 原 远袁员缘袁员愿暂 院
酝耘 越 员灶移灶蚤 越 员 渊赠蚤 原 赞赠蚤冤 渊员缘冤
酝粤耘 越 员灶移灶蚤 越 员 赠蚤 原 赞赠蚤 渊员远冤
栽砸耘 越 移灶蚤 越 员 渊赠蚤 原 赞赠蚤冤 辕移
灶
蚤 越 员
赞赠蚤 伊 员园园 渊员苑冤
酝杂耘 越 员灶移灶蚤 越 员 渊赠蚤 原 赞赠蚤冤 辕 赞赠蚤 伊 员园园 渊员愿冤
酝孕杂耘 越 员灶移灶蚤 越 员 赠蚤 原 赞赠蚤 辕 赞赠蚤 伊 员园园 渊员怨冤
式中袁灶为样本单元数袁赠蚤 为生物量实测值渊即 酝冤袁赞赠蚤 为生物量预估值渊即 酝估冤遥 上述评价指标越小袁
表示模型预估的效果越好遥
圆摇 结果与分析
圆援 员摇 对数回归
利用第一尧二部分立木生物量数据渊以下简称南
方片和贵州松尧贵州杉数据冤袁将直径 阅 和生物量 酝
进行对数转换后袁通过 耘曾糟藻造的回归分析程序袁采用普
通最小二乘法拟合渊缘冤式袁然后根据拟合结果按照
渊员员冤 渊员源冤式分别计算 源个校正因子袁其结果见表 圆遥
再根据渊员缘冤 渊员怨冤式计算对数回归模型渊缘冤及
其按 源个校正因子校正后的模型的各种评价指标袁结
果见表 猿遥
表 圆摇 立木地上生物量数据按对数回归的拟合结果
数据 样本量 参数估计值葬园 藻曾责渊葬园 冤 遭园
统计指标
砸圆 泽圆
校正因子
悦云员 悦云圆 悦云猿 悦云源
南方片 员缘圆 原 圆援 员怨怨 园远 园援 员员园 怨园苑 圆援 猿源猿 圆猿 园援 怨源猿 远源 园援 员猿园 远苑 员援 园远缘 猿源 员援 园远苑 缘圆 员援 园远苑 源怨 员援 园怨园 园圆
贵州松 圆怨缘 原 圆援 源园缘 怨源 园援 园怨园 员愿员 圆援 源猿愿 员愿 园援 怨猿怨 愿源 园援 员员员 源远 员援 园缘缘 苑猿 员援 园缘苑 猿员 员援 园缘苑 圆怨 员援 园猿苑 苑缘
贵州杉 猿怨怨 原 圆援 缘缘源 源远 园援 园苑苑 苑猿缘 圆援 猿愿圆 源圆 园援 怨猿苑 苑猿 园援 园愿愿 远远 员援 园源源 猿猿 员援 园源缘 猿猿 员援 园源缘 猿圆 员援 园源远 猿缘
表 猿摇 立木地上生物量数据对数回归模型的评价指标
数据 悦云 酝耘 酝粤耘 栽砸耘 辕 豫 酝杂耘 辕 豫 酝孕杂耘 辕 豫
南方片
悦云园 缘援 缘苑 员苑援 源猿 怨援 园园 远援 苑圆 猿员援 源猿
悦云员 员援 缘猿 员苑援 远源 圆援 猿圆 园援 员愿 猿园援 猿源
悦云圆 员援 猿怨 员苑援 远缘 圆援 员员 原 园援 园猿 猿园援 猿员
悦云猿 员援 猿怨 员苑援 远缘 圆援 员员 原 园援 园猿 猿园援 猿员
悦云源 园援 园园 员苑援 苑怨 园援 园园 原 圆援 园怨 猿园援 园怨
贵州松
悦云园 源援 猿员 圆源援 愿缘 猿援 苑愿 缘援 远怨 圆远援 猿圆
悦云员 原 圆援 园缘 圆缘援 猿员 原 员援 苑园 园援 员员 圆缘援 员园
悦云圆 原 圆援 圆猿 圆缘援 猿猿 原 员援 愿缘 原 园援 园源 圆缘援 园苑
悦云猿 原 圆援 圆猿 圆缘援 猿猿 原 员援 愿缘 原 园援 园源 圆缘援 园苑
悦云源 园援 园园 圆缘援 园愿 园援 园园 员援 愿源 圆缘援 源园
贵州杉
悦云园 猿援 员苑 员源援 员员 源援 远猿 源援 园远 圆员援 猿猿
悦云员 园援 员源 员猿援 苑园 园援 员怨 原 园援 猿缘 圆园援 猿源
悦云圆 园援 园苑 员猿援 苑园 园援 员园 原 园援 源缘 圆园援 猿猿
悦云猿 园援 园苑 员猿援 苑园 园援 员园 原 园援 源缘 圆园援 猿猿
悦云源 园援 园园 员猿援 苑园 园援 园园 原 园援 缘缘 圆园援 猿员
摇 摇 注院校正因子 悦云园 越 员 指未校正的回归模型遥
从表 猿 可以看出袁未校正的对数回归模型确实
存在不可忽略的偏差袁其中用南方片数据拟合的模
型袁其总相对误差 栽砸耘 达到 怨郾 园园豫 袁平均系统误差
酝杂耘达到 远郾 苑圆豫 曰用贵州杉木和马尾松数据拟合的
模型袁其总相对误差也分别达到 源郾 远猿豫和 猿郾 苑愿豫 袁
平均系统误差分别达到 源郾 园远豫和 缘郾 远怨豫 遥 校正因
子 悦云圆 和 悦云猿 近似相等袁且与 悦云员 差异也不大袁因
此用其校正后的模型袁各项评价指标几乎没有差异袁
其中平均系统误差 酝杂耘 均接近于 园渊对于相对误差
为等方差的模型袁该指标理论上应该等于 园冤袁总相
对误差 栽砸耘 在 依 圆豫左右袁其中样本量最大的贵州
杉木生物量模型袁栽砸耘 仅为 园郾 员园豫 遥 而用 悦云源 校正
的模型袁其出发点是保证平均误差 酝耘 和总相对误
差 栽砸耘为 园袁但平均系统误差 酝杂耘 却达到 依 圆豫左
右袁其它 圆 项指标则差异不大遥
园源员
第 圆 期 曾伟生等院非线性模型对数回归的偏差校正及与加权回归的对比分析
圆援 圆摇 加权回归
对模型渊员冤式直接按非线性回归进行估计袁采
用 酝葬则择怎葬则凿贼迭代算法遥 为了对比袁首先按普通最小
二乘法进行拟合袁然后按前述 圆 种权函数用加权最
小二乘法进行拟合袁结果见表 源遥
表 源摇 立木地上生物量数据按加权回归的拟合结果
数据 样本量 权函数宰
参数估计值
葬 遭
统计指标
砸圆 泽圆
南方片
员 园援 园远缘 园圆源 圆援 缘源苑 远猿 园援 愿愿圆 远园 摇 愿愿愿援 愿远
员 员缘圆 员 辕 枣渊阅冤圆 园援 员圆员 愿源愿 圆援 猿猿园 怨缘 园援 愿苑猿 怨愿 摇 怨缘源援 员苑
员 辕 阅源援 缘苑 园援 员员怨 苑怨源 圆援 猿猿愿 园苑 园援 愿苑缘 园缘 摇 怨源远援 园源
贵州松
员 园援 圆员园 园源圆 圆援 员愿愿 圆缘 园援 怨园缘 猿缘 员 怨园远援 员圆
摇 圆怨缘 员 辕 枣渊阅冤圆 园援 员园圆 愿园苑 圆援 源园怨 源园 园援 愿怨远 缘源 圆 园愿猿援 缘远
员 辕 阅猿援 圆源 园援 员园远 远源猿 圆援 猿怨苑 苑苑 园援 愿怨苑 缘苑 圆 园远圆援 苑猿
贵州杉
员 园援 园缘园 缘猿源 圆援 缘猿缘 苑苑 园援 怨员愿 圆园 摇 缘园园援 源缘
摇 猿怨怨 员 辕 枣渊阅冤圆 园援 园愿员 园愿缘 圆援 猿愿员 缘圆 园援 怨员源 圆怨 摇 缘圆源援 猿远
员 辕 阅源援 远员 园援 园愿员 员圆缘 圆援 猿愿员 猿猿 园援 怨员源 圆苑 摇 缘圆源援 源苑
摇 摇 注院权函数 宰 越 员 指普通最小二乘回归估计袁表 缘 亦同遥
再根据渊员缘冤 渊员怨冤式计算非线性回归模型渊员冤 式及其加权回归模型的各种评价指标袁结果见表 缘遥
表 缘摇 立木地上生物量数据加权回归模型的评价指标
数据 宰 酝耘 酝粤耘 栽砸耘 辕 豫 酝杂耘 辕 豫 酝孕杂耘 辕 豫
南方片
员 员援 员苑 员苑援 圆园 员援 苑苑 员猿援 猿苑 猿源援 远圆
员 辕 枣渊阅冤圆 员援 愿苑 员苑援 远源 圆援 愿缘 园援 园园 猿园援 圆怨
员 辕 阅源援 缘苑 员援 远圆 员苑援 远缘 圆援 源缘 园援 园圆 猿园援 猿员
贵州松
员 原 圆援 苑员 圆缘援 愿猿 原 圆援 圆猿 原 员员援 远怨 圆苑援 园源
员 辕 枣渊阅冤圆 原 园援 猿远 圆缘援 园员 原 园援 猿园 园援 园园 圆缘援 园圆
员 辕 阅猿援 圆源 原 园援 猿源 圆源援 怨愿 原 园援 圆怨 原 园援 缘怨 圆源援 怨缘
贵州杉
员 园援 苑怨 员猿援 缘远 员援 员圆 苑援 猿愿 圆圆援 苑圆
员 辕 枣渊阅冤圆 园援 源圆 员猿援 苑圆 园援 缘愿 园援 园园 圆园援 源园
员 辕 阅源援 远员 园援 源猿 员猿援 苑圆 园援 远园 园援 园员 圆园援 源园
从表 缘 可以看出袁由于非线性回归估计是用泰
勒级数的线性展开式近似表示非线性模型来求解参
数袁因此其拟合结果并不像线性模型一样袁能保证平
均误差 酝耘和总相对误差 栽砸耘 为 园遥 由于普通回归
估计没有消除异方差的影响袁从而存在明显的系统
误差袁其中南方片数据拟合的普通回归模型袁其平均
系统误差 酝杂耘 达到 员猿郾 猿苑豫 袁最小的贵州杉木模型
也达到 苑郾 猿愿豫 遥 而按通用权函数与根据普通回归
结果的方差拟合的权函数进行回归估计袁其结果都
相差不大袁其中平均系统误差 酝杂耘 都等于 园 或接近
于 园袁总相对误差 栽砸耘 贵州杉木和马尾松模型也都
在 依 员豫以内袁仅南方片的模型有点偏大袁达到近
猿豫 袁原因可能是涉及的树种多而对建模结果造成影
响遥 另外袁根据与表 猿 的对比不难看出袁按通用权函
数的加权回归估计与按渊员员冤 渊员猿冤式校正后的对
数回归估计结果非常接近袁与预期的效果完全一致遥
猿摇 讨论
非线性模型按对数转换为线性形式后袁采用普
通最小二乘法进行估计袁其结果会存在偏差袁这一点
已经达成广泛共识遥 对偏差的校正问题袁有很多学
者做过研究袁并提出过不少校正因子袁其中 月葬泽噪藻则鄄
增蚤造造藻提出的校正因子 藻曾责渊 泽圆 辕 圆冤至今仍得到应用咱圆暂 遥
杂灶燥憎凿燥灶对该校正因子的实用性曾提出质疑袁并建
议用一个简便实用的比值估计量作为校正因子咱源暂 遥
本研究结合 猿 个大样本的立木生物量数据袁对常用
的校正因子进行了对比分析袁结果表明按 渊员圆冤尧
渊员猿冤式及本文提出的渊员员冤式进行校正后的模型与
加权回归的结果非常接近曰杂灶燥憎凿燥灶 提出的比值校
正因子也是可行的袁但他完全是从另一角度提出的遥
对于对数回归的偏差校正袁建议采用基于对数转换
特点提出的校正因子袁从而保持与加权回归估计之
员源员
林摇 业摇 科摇 学摇 研摇 究 第 圆源 卷
间的一致性遥
关于加权回归估计袁根据 孕葬则则藻泽燥造 的综述文
章咱缘暂 袁国外一般都是按照普通最小二乘估计的残差
来推导权函数遥 从表 源 和表 缘 的结果看袁由残差推
导的权函数和通用权函数的加权回归估计结果没有
显著差异遥 笔者还利用 孕葬则则藻泽燥造 发表的栎类和湿地
松鲜质量数据咱缘 原 远暂 袁对两种权函数的拟合结果也进
行了对比分析袁结果见表 远遥
表 远摇 通用权函数与残差推导权函数的拟合结果对比
数据 模型 按 孕葬则则藻泽燥造推导的权函数拟合遭园 遭员 遭圆 砸圆 杂耘耘
按通用权函数拟合
遭园 遭员 遭圆 砸圆 杂耘耘
栎类
灶 越 猿怨
湿地松
灶 越 源园
干材 圆缘援 苑源怨 源愿 园援 园圆苑 猿员 园援 怨愿 员愿圆援 猿圆 圆远援 圆源源 园援 园圆苑 猿园苑 园援 怨愿 员愿圆援 猿员
干皮 原 园援 缘员缘 猿圆 园援 员园圆 缘猿 园援 怨源 源员援 园员 原 园援 猿缘远 远员 园援 员园圆 源员 园援 怨源 源员援 园员
树冠 员员苑援 员怨缘 园援 园缘苑 缘园圆 原 源援 远员远 愿苑 园援 愿员 圆员援 员缘 员园源援 远愿 园援 园缘远 远源源 原 源援 园愿员 远 园援 愿园 圆员援 圆苑
总量 源远援 猿愿员 园援 园猿员 缘缘愿 园援 怨愿 圆员苑援 猿苑 缘圆援 远缘猿 园援 园猿员 猿愿园 园援 怨愿 圆员源援 远愿
干材 园援 园员远 猿远猿 员援 园缘愿 缘 园援 怨愿 圆苑援 源源 园援 园员远 猿远远 员援 园缘愿 缘 园援 怨愿 圆苑援 源源
干皮 园援 园源远 圆苑苑 圆援 圆园怨 猿 园援 怨远 缘援 员员 园援 园源源 圆怨愿 圆援 圆圆源 远 园援 怨远 缘援 员远
树冠 园援 园圆苑 猿苑愿 猿援 远愿园 源 原 员援 圆远圆 源 园援 愿怨 员源援 圆圆 园援 园猿猿 愿员远 猿援 远缘猿 远 原 员援 猿员猿 怨 园援 愿怨 员源援 源圆
摇 摇 注院杂耘耘指估计值的标准误袁即表 圆 和表 源 中的 泽曰模型表达式见 孕葬则则藻泽燥造的文章咱缘 原 远暂 曰按 孕葬则则藻泽燥造 推导的权函数拟合结果袁除湿地松的 砸圆 尧
杂耘耘数据是根据模型参数推算的以外袁其它数据均直接引自 孕葬则则藻泽燥造的文章咱缘 原 远暂 遥
从表 远 的结果不难看出袁按 孕葬则则藻泽燥造推导权函数
的拟合结果咱缘 原 远暂与按通用权函数的拟合结果差异很
小遥 众所周知袁根据普通最小二乘估计的残差推导
效果最佳的权函数不是一件容易的事袁而且随着变
量的增加和模型复杂化程度的提高袁构建残差与自
变量之间回归关系的难度也将增大遥 如 孕葬则则藻泽燥造 推
导的栎类树冠模型的权函数就非常复杂袁其表达
式为咱缘暂 院
宰 越 渊阅圆匀鄢蕴悦蕴 辕 员 园园园冤员援 远源远鄢藻曾责渊 原 园援 园园源 园远匀圆冤
式中 蕴悦蕴为活树冠长度遥 根据模型自身构建的通用
权函数渊宰 越员 辕 枣渊曾冤圆冤简单实用袁当相对误差为等方
差时在理论上也是最优的袁应该成为各类加权回归
估计推荐使用的权函数遥
从求解模型参数的准则分析袁普通回归估计会
保证模型的总相对误差及平均误差为 园渊非线性回
归因为是通过迭代算法近似求解袁所以不完全为 园曰
线性模型则等于 园冤袁而加权回归估计渊在采用通用
权函数的情况下冤会保证模型的平均系统误差为 园袁
这一点可以参见表 缘 的结果遥 对于理想的建模样本
或异方差不明显的建模样本袁总相对误差和平均系
统误差都应该趋向于 园袁即普通回归和加权回归的
结果趋于一致咱员缘暂 遥 如利用 孕葬则则藻泽燥造发表的栎类鲜质
量数据咱缘暂 袁其普通回归和加权回归模型的总相对误
差及平均系统误差都在 依 园郾 缘豫以内袁平均百分标准
误差都在 员园豫以内遥 由于建模样本通常难以达到
理想状态袁普通回归和加权回归的结果一般存在较
大差异遥 如果按通用权函数进行加权回归得到的总
相对误差比较大渊如超过 依 猿豫 冤袁则应该根据普通
最小二乘估计的残差推导效果最佳的权函数后再进
行加权回归遥
需要补充指出的一点是袁作为生物量方程或材
积方程等通用性模型袁对模型的评价指标一般不能
仅针对整体而言袁还要考虑模型在整个自变量范围
内的预估效果袁因此袁通常还需要分径阶进行检验和
评价袁在此不详述遥
源摇 结论
本文结合大样本的立木生物量实测数据袁对非
线性模型的对数回归及其偏差校正问题进行了探
讨袁揭示了存在偏差的内在原因袁并与加权回归结果
进行了比较分析遥 可以得到以下结论院
渊员冤对于存在异方差的非线性模型袁可以按对
数转换为线性形式后袁采用普通线性回归进行估计袁
但必需对模型存在的偏差进行校正曰建议采用本文
或 月葬泽噪藻则增蚤造造藻 提出的校正因子袁因为它是基于对数
转换的特点而提出的袁校正后的模型与加权回归估
计结果是趋于一致的遥
渊圆冤在加权回归估计中袁权函数的确定是非常
重要的环节遥 通过对国内外常用的由残差推导的权
函数与曾伟生提出的通用权函数所做的对比分析袁
表明通用权函数具有广泛的适应性袁而且对于相对
误差为等方差的模型袁通用权函数在理论上也是最
优的曰尤其对于模型形式复杂的情况袁通用权函数会
更加显现出其优越性遥
渊猿冤对数回归和加权回归都能有效消除异方差
的影响袁在对数回归模型得到有效校正后袁二者的预
圆源员
第 圆 期 曾伟生等院非线性模型对数回归的偏差校正及与加权回归的对比分析
估效果几乎等同遥 因此袁对于能通过对数转换进行
线性化的非线性模型袁既可采用对数回归方法袁也可
直接采用加权回归方法遥 由于非线性回归方法已经
得到普遍应用袁对于存在异方差的非线性模型袁建议
直接采用加权回归估计遥 如果按通用权函数进行加
权回归估计袁其总相对误差超出了一定范围渊如 依
猿豫 冤袁则应该根据普通回归估计的残差推导效果最
佳的权函数后袁再进行加权回归遥
参考文献院
咱员暂 云蚤灶灶藻赠 阅 允援 韵灶 贼澡藻 凿蚤泽贼则蚤遭怎贼蚤燥灶 燥枣 葬 增葬则蚤葬贼藻 憎澡燥泽藻 造燥早葬则蚤贼澡皂 蚤泽 灶燥则鄄
皂葬造造赠 凿蚤泽贼则蚤遭怎贼藻凿 咱允暂 援 允 砸 杂贼葬贼蚤泽贼 杂燥糟袁 杂怎责责造援 员怨源员袁苑院员缘缘 原 员远员
咱圆暂 月葬泽噪藻则增蚤造造藻 郧 蕴援 哉泽藻 燥枣 造燥早葬则蚤贼澡皂蚤糟 则藻早则藻泽泽蚤燥灶 蚤灶 贼澡藻 藻泽贼蚤皂葬贼蚤燥灶 燥枣
责造葬灶贼 遭蚤燥皂葬泽泽 咱允暂 援 悦葬灶 允 云燥则 砸藻泽袁 员怨苑圆袁圆院源怨 原 缘猿
咱猿暂 云造藻憎藻造造蚤灶早 允 宰袁 孕蚤藻灶葬葬则 蕴 灾援 酝怎造贼蚤责造蚤糟葬贼蚤增藻 则藻早则藻泽泽蚤燥灶 憎蚤贼澡 造燥早灶燥则鄄
皂葬造 藻则则燥则泽 咱允暂 援 云燥则 杂糟蚤袁 员怨愿员袁 圆苑渊圆冤院圆愿员 原 圆愿怨
咱源暂 杂灶燥憎凿燥灶 孕援 粤 则葬贼蚤燥 藻泽贼蚤皂葬贼燥则 枣燥则 遭蚤葬泽 糟燥则则藻糟贼蚤燥灶 蚤灶 造燥早葬则蚤贼澡皂蚤糟 则藻鄄
早则藻泽泽蚤燥灶泽 咱允暂 援 悦葬灶 允 云燥则 砸藻泽袁 员怨怨员袁 圆员渊缘冤院 苑圆园 原 苑圆源
咱缘暂 孕葬则则藻泽燥造 月 砸援 粤泽泽藻泽泽蚤灶早 贼则藻藻 葬灶凿 泽贼葬灶凿 遭蚤燥皂葬泽泽院 葬 则藻增蚤藻憎 憎蚤贼澡 藻曾葬皂鄄
责造藻泽 葬灶凿袁 糟则蚤贼蚤糟葬造 糟燥皂责葬则蚤泽燥灶泽 咱 允暂 援 云燥则 杂糟蚤袁 员怨怨怨袁源缘 渊源 冤院 缘苑猿
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咱远暂 孕葬则则藻泽燥造 月 砸援 粤凿凿蚤贼蚤增蚤贼赠 燥枣 灶燥灶造蚤灶藻葬则 遭蚤燥皂葬泽泽 藻择怎葬贼蚤燥灶泽 咱允暂 援 悦葬灶 允
云燥则 砸藻泽袁 圆园园员袁猿员院 愿远缘 原 愿苑愿
咱苑暂 曾伟生袁骆期邦援论林业数表模型的研建方法咱允暂 援中南林业调查
规划袁 圆园园员袁圆园渊圆冤院员 原 源
咱愿暂 王仲锋援森林生物量建模与精度分析咱阅暂援北京院 北京林业大学袁
圆园园远
咱怨暂 宰蚤葬灶贼 允则 匀 灾袁 匀葬则灶藻则 耘 允援 孕藻则糟藻灶贼 遭蚤葬泽 葬灶凿 泽贼葬灶凿葬则凿 藻则则燥则 蚤灶 造燥早葬鄄
则蚤贼澡皂蚤糟 则藻早则藻泽泽蚤燥灶 咱允暂 援 云燥则 杂糟蚤袁 员怨苑怨袁圆缘渊员冤院员远苑 原 员远愿
咱员园暂 杂责则怎早藻造 阅 郧援 悦燥则则藻糟贼蚤灶早 枣燥则 遭蚤葬泽 蚤灶 造燥早 原 贼则葬灶泽枣燥则皂藻凿 葬造造燥皂藻贼则蚤糟 藻鄄
择怎葬贼蚤燥灶泽 咱允暂 援 耘糟燥造燥早赠袁 员怨愿猿袁远源渊员冤院圆园怨 原 圆员园
咱员员暂 蕴藻澡贼燥灶藻灶 粤袁 酝覿噪蚤责覿覿 砸袁 匀藻蚤噪噪蚤灶藻灶 允袁 藻贼 葬造援 月蚤燥皂葬泽泽 藻曾责葬灶泽蚤燥灶
枣葬糟贼燥则泽 渊月耘云泽冤 枣燥则 杂糟燥贼泽 责蚤灶藻袁 晕燥则憎葬赠 泽责则怎糟藻 葬灶凿 遭蚤则糟澡 葬糟糟燥则凿蚤灶早
贼燥 泽贼葬灶凿 葬早藻 枣燥则 遭燥则藻葬造 枣燥则藻泽贼泽 咱 允暂 援 云燥则藻泽贼 耘糟燥造燥早赠 葬灶凿 酝葬灶葬早藻鄄
皂藻灶贼袁 圆园园源袁员愿愿院圆员员 原 圆圆源
咱员圆暂 云葬贼藻皂蚤 云 砸援 粤遭燥增藻早则燥怎灶凿 遭蚤燥皂葬泽泽 葬灶凿 灶怎贼则蚤藻灶贼泽 蚤灶 凿藻增藻造燥责蚤灶早
灶燥则贼澡藻则灶 澡葬则凿憎燥燥凿 泽贼葬灶凿泽 蚤灶 晕藻憎 匀葬皂责泽澡蚤则藻袁 哉杂粤 咱阅暂援 哉杂粤院
悦燥造造藻早藻 燥枣 耘灶增蚤则燥灶皂藻灶贼葬造 杂糟蚤藻灶糟藻 葬灶凿 云燥则藻泽贼则赠袁 杂贼葬贼藻 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠 燥枣
晕藻憎 再燥则噪袁 圆园园苑
咱员猿暂 月藻葬怎糟澡葬皂责 允 允袁韵造泽燥灶 允 杂援 悦燥则则藻糟贼蚤燥灶泽 枣燥则 遭蚤葬泽 蚤灶 则藻早则藻泽泽蚤燥灶 藻泽贼蚤鄄
皂葬贼藻泽 葬枣贼藻则 造燥早葬则蚤贼澡皂蚤糟 贼则葬灶泽枣燥则皂葬贼蚤燥灶 咱允暂 援 耘糟燥造燥早赠袁 员怨苑猿袁缘源渊远冤院
员源园猿 原 员源园苑
咱员源暂 曾伟生援再论加权最小二乘法中权函数的选择咱允暂 援中南林业调
查规划袁 员怨怨愿袁员苑渊猿冤院怨 原 员员
咱员缘暂 曾伟生袁骆期邦袁贺东北援 论加权回归与建模咱 允暂 援 林业科学袁
员怨怨怨袁猿缘渊缘冤院缘 原 员员
咱员远暂 张会儒袁唐守正袁胥摇 辉援关于生物量模型中的异方差问题咱 允暂 援
林业资源管理袁 员怨怨怨渊员冤院源远 原 源怨
咱员苑暂 胥摇 辉援 生物量模型方差非齐性研究咱 允暂 援 西北林学院学报袁
员怨怨怨袁员怨渊圆冤院苑猿 原 苑苑
咱员愿暂 在葬遭藻噪 蕴 酝袁 孕则藻泽糟燥贼贼 悦 耘援 月蚤燥皂葬泽泽 藻择怎葬贼蚤燥灶泽 葬灶凿 糟葬则遭燥灶 糟燥灶贼藻灶贼 燥枣
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造怎皂遭蚤葬 咱 允暂 援 云燥则藻泽贼 耘糟燥造燥早赠 葬灶凿 酝葬灶葬早藻皂藻灶贼袁 圆园园远袁 圆圆猿院 圆怨员
原 猿园圆
猿源员