全 文 ：第 26卷第 1期
2006年 1月
生 态 学 报
ACTA ECOLOGICA SINICA
Vo1．26．No．1
Jan．，2006
HIV传播的人群生态动力学模型
莫嘉琪
(安徽师范大学，芜湖 241000i上海高校计算科学 E．研究院，SJTU研究所，上海 200240)
摘要：研究了HIV传播的动力学模型，描述了流行性传染病区域的人群传播规律，特别是利用摄动理论对艾滋病的传播动力学
非线性方程作了定量、定性的讨论。
关键词：HIV传播；艾滋病；非线性；摄动
文章编号：1000．0933(2006)01，0104．04 中图分类号：QI41 文献标识码：A
Bionomics dynamic model of human groups for HⅣ transmission
M0 Jia-Qi (Anhui Normal University，Wuhu 24100，China；Division Computational Science，E-l~titues D，Shanghai Universities m SJTU，Shanghai
200240，China )．ActaEeologica Sinica，2006，26(1)：104—107．
Abstract：The studies on the epidemic contagion transmission are of high value and have received an adequate attention at a1l
times．Especially，the transmission of HIV virus has attached more importance to scientists．There is gneVous calamity to human．
It brings severe menace．On the study of the transmission for HIV virus，an original research adopts only some simple observational
and statistical data to obtain the conclusion．But it can not validly reflect its essence of the transmission．Recendy，the research
method of dynamics is produced for the study of HIV’s transmission in international academic circles．i．e．the people first reduce
it to the diferential equation of model，which reflect its essential phenomenon and then solve the solution of the corresponding
equation with the mathematic methods；finally，study its dyrnamic rules upon the theory of biology，medicine and mathematics．
This paper deals with the study of the HIV’s transmission for a corresponding nonlinear dynamic model by using the modem
ma thematic perturbation theory．1ately，the nonlinear perturbed problem has been widely investigated in the international academic
circles．Many scholars have considered the approximate theory．Approximate methods have been developed and refined，including
the average method，boundary layer method，matched asymptotic expansion method and multiple scales method．In this paper，a
perturbed method，being simple and valid，is applied to study the epidemic contagion transmission．Th e author first establishes a
model of the epidemic contagion transmission，which is a system of diferential equation，and has developed the undetermined
functions in power series as small positive parameter．Then the equations of the coefficients for power series are obtained．Th eir
solutions are solved．Thus，the conclusion is that a good approxima te for the original model comes to a solution，which is an
analytic expression，and can keep on analytic operation．
Key words：HIV transmission；AIDS；nonlinear；perturbation
流行性传染病的传播 ，一直是医学界、生态环境学界十分关注的对象。特别是艾滋病这类人体免疫缺损
病毒(HIV)的传播，更值得人们重视。它对人类健康带来严重的威胁。对于 HIV传播的研究，最初只是局限
基金项目：国家自然科学基金资助项目(90111011。10471039)；国家重点基础研究发展计划资助项目(2003CB415101．03；2004CB418304)；中国科学院
创新方向性资助项目(KZCX3．SW一221)；上海市教育委员会 E．研究院建设计划资助项目(N．E03004)
收稿日期：2005．06．28：修订日期：2005．11．15
作者简介：莫嘉琪(1937～)，男，浙江德清县人 ，教授，主要从事应用数学研究．E．mai d：mojiaqi@mail．ahnu．edu．cn
Foundationitem：the National Natural Science Foundation of China(No，90111O11 and 10471039)，the National Key Project for Basics Research(No．
2003CB415101-03 and 2004CB418304)，the Key Project of Chinese Academy of Sciences(No．KZCX3一SW 221)and in part by E—Insitutes of Shar【ghai Munieipal
Education Commision(N．E03004)
Received da te：2005-06-28；Ac~pted date：2005-11-15
BiograpbY：MO Jia-Qi，Podesor，mainly engaged in applied mathematics．E-mail：mojiaqi@mal1．ahnu．edu．co
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1期 莫嘉琪：HIV传播的人群生态动力学模型 1O5
于采用一些简单的观察数据和简单的统计数据来作出分析和推断。这不能有效的反映其传播的本质。目前
关于艾滋病的传播研究，在国际学术界已经将它归纳为动力学的研究方法n 。即将它归化为一个反映其基
本现象的微分方程模型。然后利用数学的解析方法求出对应方程的解。最后将求得的结果作为依据，从生
物、医学、数学交叉学科理论，来研究其动态规律。本文就是以相应的一个非线性动力学模型为基础，利用现
代数学中的摄动理论工具，从人群生态学的观点来研究 HIV的传播。
非线性问题在国际学术界是一个十分关注的对象。近来，许多学者做了大量的工作 l。莫嘉琪等也研
究了非线性奇摄动问题 。本文是利用一个简单而有效的摄动方法来研究 HIV传染人群中的一类非线性
模型。
1 HⅣ 人群传播动力学模型
今考虑如下一个 HIV传播人群的生态动力学微分系统的模型 ’ ：
J 一
= 一 (1)A —t axy L
：一 一7xaxy Y+溉 +C (2‘) = o L
式中， (t)表示在 HIV传播区域内的感染者人数，Y(t)为易感者人数，t为时间，c≥0为易感者的出生
率，a， ，y， 为常数。在系统(1)，(2)式中，axy项表示感染者与易感者因“交感”而造成的患者的增加速度，
一 项表示由于患者死亡而引起的患者的减少速度，一axy项表示感染者与易感者“交感”易感者变为患者后
使得易感者减少的速度，一?Ix Y项表示采取防疫措施后使得易感者减少的速度，溉 项表示患者增多时易感
者的增加率。系统(1)，(2)是一个典型的在患区人群的HIV传播的生态动力学模型。将构造模型(1)，(2)解
的渐近表达式，并从而可以将所得的表示式来研究 HIV的传播性态和规律。在本文中，鉴于突出本文的主要
研究重点，仅考虑当参数为正的相对小量的情形。这将使研究的“传播区域”的范围更为广泛。
2 摄动解
系统(1)，(2)式的未知函数 ，Y实际上是参数a的“函数”。所以不妨分别以 ％(t)，Y (t)记之，并且将
它们分别写为关于 a的幂级数：
‰(￡)=∑ (f)口 ，Y ( )=∑Yi(f)口 (3)
i=0 ‘=0
将(3)式代入(1)，(2)式，按 a展开非线性项，合并 a的同次幂项，并分别令各次幂的系数为零。于是，由
a的零次幂的系数可得：
dxo
d)，0
由 ， =1，2，⋯，的系数为零，可得：
誓+鼽= j-t
一 =
j-I
由(4)，(5)式，不难得到
+ 0=0 (4)
+ 7x Y0= 溉 0+ C
钆)， 一
)， 一
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
，
钆
∑
，
∑
y
一
Q
+
2
一
p
X 一堆丝
p p 既 既
C D
= =
y
中
其
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生 态 学 报 26卷
exp(等xp( exp( ]exp(_ exp(_2 (10)
而 C。和 D。为任意常数，它们可由系统的初始状态来决定。
在(6)，(7)式中取 _『：1的情形，并考虑到(8)，(9)式，有：
鲁+触。：Co Doexp(一 +喾exp(_2 )+c uQI(f)exp(_ ) ⋯)
鲁+rCo~[exp(一2 )]y ：一c。D。exp(一 + 手exp(一2／~t)+c。Q。( )exp(一 )一
2exp(_2pt)+2 C0(exp(一 [D0exp( exp(一2fit)+Q1(f)]+舭。 (12)
由(11)式，可以求得：
I(z)：C exp(一 )+J Q2(z )exp( I)dtI (13)
J 0
其中：
￡)：c0D0ex 一 +等exp(一2fit)+c 0Ql(f)exp(一 ) (14)
再将(13)式代入(12)式：
鲁+rCo~[exp(_2fit)]y =Q3㈩ (15)
其中：
)：一c0D0ex 一 +等exp(一2fit)+c 0Q】㈩exp(～ )一
y[czexp(_2pt)+2(cflexp(一 [D0exp(等exp(一2fit)+Q】(f)】+ 。 )
式中的 。由(13)式表示。
由线性方程(15)可以得到解：
f)_Dlexp[簪xp(一2 )]⋯ exp(_2p,)]flo 1)exp[一2c~ exp(_2 )
其中(13)式和(17)式中的 C。和 D。为任意常数，它们也可由系统的初始状态来决定。
由所得的结果(8)，(9)，(13)，(17)式，便得到模型系统(1)，(2)式解的一次近似的渐近展开式
(￡)=Coexp(一 )+I C exp(一 )+I Q (￡。)exp)( 。)dt。l口+D(口 ) ‘ J0
0 < 口 《 1
f)_D0ex exp(一2p )+ f)+[Dlex exp(_2 )]+
exp[努exp(_2 ) 1)exp[一磊exp(_2 n+O(a 2)
0 < 口《 1
式中 Q ，i：1，2，3分别由(10)，(14)，(16)式表示。
利用类似的方法，由系统(6)，(7)式，能得到系统(1)，(2)式的更高次的渐近解。
3 结语
(1)由问题(1)式，(2)式的结构，能够证明由上述方法得到上述解的渐近展开式是关于 n为一致有效
的。
(2)HIV传播 从牛态学的观 点来说 ．是一个相 当复杂 的现象 把官归化 为数学 卜的动力学 问题 ．然后用
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1期 莫嘉琪 ：HIV传播的人群生态动力学模型 1O7
数学非线性模型处理方法去得到足够精度的近似解。这是研究 HIV人群的传播问题的一个有效的途径。本
文中采用的摄动理论就是一个简单而有效的方法。
(3)从数学理论观点来看，摄动方法是一个解析的方法。它不同于一般的数值求解方法，更不是简单的
模拟方法。本方法得到的解的表示式，还能继续进行解析运算。事实上，可以由得到的渐近展开式进一步进
行定性和定量的研究。例如，进一步用微分的方法算出感染者和易感染者数量的变化速度、画出上述两者在
不同时间的数量变化曲线，从而发现其规律，并预报感染者和易感染者在一定时期内的数量、发展趋向的规律
等等。然而，利用数值解法或单纯地模拟就难以更深入、更精确的讨论。
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