全 文 ：第 ww卷 第 tu期
u s s {年 tu 月
林 业 科 学
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⁄¨ ¦qou s s {
浙江省毛竹直径与年龄的二元 • ¬¨¥∏¯¯分布模型
葛宏立t 周国模t 刘恩斌t 刘安兴u 叶耿平t
kt1 浙江林学院环境科技学院 临安 vttvss ~ u1 浙江省森林资源监测中心 杭州 vtssusl
摘 要 } 利用 ussw年复查的浙江省森林资源连续清查体系 w uxs个固定样地中的 uwx个毛竹纯林样地数据 o用具
有严格概率模型性质的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型描述浙江省毛竹直径与年龄的二维结构 o并讨论二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模
型的生成函数 o给出几个不同形式的表达式 o指出模型良好的概率模型性质 ∀一元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型的直径 !年龄
模型分别是二元模型的边际分布 o而且用边际分布求得的参数与用联合分布求得的参数也很接近 ∀本研究是省级
地域的毛竹宏观模型 o该模型也可尝试应用到林分水平 o以及其他类型森林 ∀
关键词 } 毛竹 ~直径 ~年龄 ~二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型 ~ • ¬¨¥∏¯¯ 生存函数
中图分类号 }≥zxz1un u 文献标识码 }„ 文章编号 }tsst p zw{{kuss{ltu p sstx p sy
收稿日期 }ussz p s{ p s| ∀
基金项目 }国家自然科学基金kvszztzuxl ~国家 {yv计划课题kussy„„tuts|l ∀
∆ιαµετερ2Αγε Βιϖαριατε Ωειβυλλ ∆ιστριβυτιον Μοδελφορ Μοσο Βαµ βοο Φορεστσιν Ζηεϕιανγ Προϖινχε
Š¨ ‹²±ª¯¬t «²∏Š∏²°²t ¬∏∞±¥¬±t ¬∏„±¬¬±ªu ≠¨ Š¨ ±ª³¬±ªt
kt1 Σχηοολοφ Ενϖιρονµεντ Τεχηνολογψo Ζηεϕιανγ Φορεστρψ Υνιϖερσιτψ Λιν. αν vttvss ~
u1 Μονιτορινγ Χεντερφορ Φορεστ Ρεσουρχεσιν Ζηεϕιανγ Προϖινχε Ηανγζηου vtssusl
Αβστραχτ} „ ¥¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ °²§¨¯ º¤¶ ∏¶¨§ ·² §¨¶¦µ¬¥¨ ·«¨ §¬¤°¨ ·¨µ2¤ª¨ u2§¬°¨ ±¶¬²± ¶·µ∏¦·∏µ¨ ²© ²¶² ¥¤°¥²²
kΠηψλλοσταχηψσ Πυβεσχενσl ©²µ¨¶·¶¬± «¨­¬¤±ª³µ²√¬±¦¨ q ⁄¤·¨ ©µ²° uwx ³¨µ°¤±¨ ±·²¶² …¤°¥²² ³¯²·¶²∏·²©·²·¤¯ ²©wuxs ²©
«¨­¬¤±ª≤²±·¬±∏²∏¶ƒ²µ¨¶·Œ±√¨ ±·²µ¼ ≥¼¶·¨° º¨ µ¨ ∏¶¨§¬±·«¬¶¶·∏§¼q׫¨ ¶¨ ³¯²·¶º¨ µ¨ µ¨¶∏µ√¨ ¼¨ §¬± ussw1 ≥∏µ√¬√¤¯ ©∏±¦·¬²± ²©
·«¨ ¥¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ §¬¶·µ¬¥∏·¬²± °²§¨¯ º¤¶§¬¶¦∏¶¶¨§¬± §¨·¤¬¯o¤±§¶¨√¨ µ¤¯ ¬¨³µ¨¶¶¬²±¶²©·«¨ °²§¨¯ º¨ µ¨ ³µ²³²¶¨§q…²·«·«¨
∏±¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ §¬¤°¨ ·¨µ¤±§¤ª¨ °²§¨ ¶¯º¨ µ¨ °¤µª¬±¤¯ §¬¶·µ¬¥∏·¬²±¶²©·«¨ ¥¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ °²§¨¯q°¤µ¤°¨ ·¨µ¶ ¶¨·¬°¤·¨§©µ²°
°¤µª¬±¤¯ §¬¶·µ¬¥∏·¬²±¶º¨ µ¨ √¨ µ¼ ¦¯²¶¨ ·²·«²¶¨ ©µ²°·«¨ ­²¬±·§¬¶·µ¬¥∏·¬²±q„¯·«²∏ª«·«¬¶¶·∏§¼ º¤¶²± ¥¤°¥²²©²µ¨¶·¶¤·³µ²√¬±¦¬¤¯
¯¨ √¨ ¯o·«¨ °²§¨¯¤±§·«¨ °¨ ·«²§§¨√¨ ²¯³¨ §¬±·«¬¶µ¨¶¨¤µ¦«¦²∏¯§¥¨ ∏¶¨§·²²·«¨µ©²µ¨¶··¼³¨¶¶∏¦«¤¶¤µ¥²µ©²µ¨¶·¶o¤·§¬©©¨µ¨±·
¶¦¤¯ ¶¨q
Κεψ ωορδσ} ²¶²¥¤°¥²²k Πηψλλοσταχηψσ πυβεσχενσl ~§¬¤°¨ ·¨µ~¤ª¨ ~¥¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ °²§¨¯~ • ¬¨¥∏¯¯ ¶∏µ√¬√¤¯ ©∏±¦·¬²±
中国的毛竹林面积约 wss万 «°u o竹产量占到世界的 tΠu以上 ∀毛竹k Πηψλλοσταχηψσ εδυλισl是重要的森林
碳库 o固碳能力相当强大 o对气候变化具有不可低估的影响k周国模等 ousswl o并且还是山区农民经济收入的
重要来源 ∀目前有关毛竹林的研究主要有栽培管理k吴家森等 oussx ~舒常庆等 ot||| ~洪伟等 ot||{¥l !生物
量及碳k洪伟等 ot||{¤~陈辉等 ot||{ ~何东进等 oussv ~周国模等 ousswl和林分结构k郑郁善等 ot||{ ~张贵
等 oussu ~尤添革等 oussw ~周国模等 oussyl o有关毛竹林胸径和年龄结构的研究相对较少k戚连忠等 ousss ~
罗明灿等 ousst ~张贵等 oussul ∀
研究毛竹林分尺度上的胸径 !年龄结构有助于科学 !合理地经营以及进行林分尺度的生态状况研究 ∀研
究宏观尺度上的直径 !年龄结构 o有助于从宏观上了解毛竹资源的现状及消长情况 o为宏观决策提供依据 ∀
研究这些结构特征通常需要应用概率分布模型 o林业上常用的有 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型等 ∀ • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型一
般分为一元和二元 u类 ∀一元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型在林业上的应用已有一定历史k…¤¬¯¨ ¼ ετ αλqot|zv ~寇文正 o
t|{u ~孟宪宇 ot|{x ~≥«¬√¨ µot|{{ ~ Ž¬¯®®¬ ετ αλqot|{| ~ Ž«¤·²∏µ¬ ετ αλqot||s ~周国模 ot||u ~ ⁄¨ Šµ²²·ετ αλqo
t||w ~¤¯·¤°²ot||x ot||z ~ …²±§¤µ¨√ ot||y ~ …¤¯§º¬± ετ αλqot||z ~刘君然等 ot||z ~吴承祯等 ot||{ ~ ‘¤±²¶ ετ
αλqousss ~׬¯¯ ετ αλqoussv ~亢新刚等 oussv ~杨锦昌等 oussv ~王韩民等 oussx ~«¤±ª ετ αλqoussy ~王顺忠等 o
ussy ~董文宇等 oussyl ∀这些研究用直径 !年龄 !树叶重量 !松脂产量和松球果生存等单个因子描述林分某个
方面的结构 ∀一元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型只能描述一维结构 o而一个林分中的结构有时候需要从二维方面来描
述 o如直径与树高 o直径与年龄等 ∀林业上对二元分布模型的研究和应用相对较少 o但还是有一些 o如 }用二
维分布模型 ≥……来描述林分直径与树高二维结构 o≥……的两个边际分布是 ≥…分布k≥¦«µ¨∏§¨µετ αλqot|zzl ~用二
元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布函数描述天然更新幼树数量与林分平均直径和树高的二维关系k≥¦«º¨ ¬ª¨µετ αλqot||zl ~用二
元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布函数和二元 …¨ ·¤分布函数来描述树冠内细枝叶面积分布的二维结构k× °¨¨ ¶ª¨ ± ετ αλqoussvl ∀
竹子是典型的异龄林结构 o同时描述直径与年龄能更完整地反映竹林资源的结构特征 ∀笔者仅见过 t
例用二元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型描述直径与年龄二维结构的研究 }描述毛竹株数随直径 !年龄的分布结构k周国模等 o
ussyl o但该研究中的模型是否满足一般概率模型的要求值得商榷 o如不能证明概率密度非负 o不能证明其边
际分布就是一元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布等 ∀笔者认为 ¤µµ¼ ¨¨等人介绍的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型是满足二元概率分布
模型要求的k¤µ¶«¤¯¯ ετ αλqt|yz ~¤µµ¼ ¨¨ot|z| ~∏ ετ αλqt||s ~姜美辰等 oussx ~史道济等 oussvl ∀本研究
探讨用满足概率模型基本特征的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型描述毛竹林的直径与年龄二维结构 ∀
t 研究区概况
浙江省位于我国东南沿海 o是我国毛竹分布最丰富的省份之一 o有/世界毛竹看中国 o中国毛竹看浙江0
之说 ∀据 ussw年调查数据 o全省有森林面积 x{w万 «°u o其中毛竹林 yx万 «°u ∀浙江省地处中亚热带 o全省
年平均气温 tx ∗ t{ ε o年平均降水量 t sss ∗ u sss °° ot oz月分别为全年气温最低和最高的月份 ox oy月为
集中降雨期 ∀毛竹林立竹密度 u xss ∗ w xss株#«°pu o生物量干质量 {s ∗ tss·#«°pu ∀
u 数据来源
浙江省于 t|z|年建立了作为国家森林资源连续清查体系组成部分的省级森林资源清查体系 o共设置固
定样地 w uxs个 o以 x年为 t个复查周期 o到 ussw年已经调查了 y次k分别为 t|z| ot|{y ot|{| ot||w ot|||与
ussw年l ∀抽样方式为系统抽样 o样点格网为 w ®° ≅ y ®° o样地形状为正方形 o边长 u{1u{ ° o面积 {ss °u ∀
表 1 按径阶和龄阶统计的 245 个毛竹样地的毛竹株数数据
Ταβ .1 Νυµ βερσ οφινδιϖιδυαλσ οφ 245 πλοτσ βψ διαµετερ χλασσ ανδ αγε χλασσ
直径
⁄¬¤°¨ ·¨µΠ
¦°
龄阶k度l„ª¨ ¦¯¤¶¶k⁄¨ ªµ¨ l¨
t u v ∴w
密度值
⁄¨ ±¶¬·¼
√¤¯∏¨
分布值
≤∏°∏¯¤·¨§
√¤¯∏¨
密度值
⁄¨ ±¶¬·¼
√¤¯∏¨
分布值
≤∏°∏¯¤·¨§
√¤¯∏¨
密度值
⁄¨ ±¶¬·¼
√¤¯∏¨
分布值
≤∏°∏¯¤·¨§
√¤¯∏¨
密度值
⁄¨ ±¶¬·¼
√¤¯∏¨
分布值
≤∏°∏¯¤·¨§
√¤¯∏¨
x t uxx t uxx t s|v u vw{ v{z u zvx tu{ u {yv
y t w|z u zxu t vxz x usu xsx y s|w tzs y v|u
z u s|y w {w{ t {ww | twu zv{ ts zzu vsy tt vzy
{ u ty| z stz u sw{ tv vx| {{u tx {zt wsu ty {zz
| u t{{ | tvx t {yz tz vww zzx us yvt wyu uu s||
ts t w|z ts yvu t v|y us uvz x|{ uw tuu v|{ ux |{{
tt zyu tt v|w zyx ut zyw vvt ux |{s uy{ u{ ttw
tu vww tt zv{ v|w uu xsu tx| uy {zz tw{ u| tx|
tv |z tt {vx tvt uu zvs zx uz t{s yx u| xuz
tw tut tt |xy tu| uu |{s xu uz w{u vu u| {yt
tx v tt |x| tt uu ||w u uz w|{ w u| {{t
本研究利用到目前为
止最新的浙江省森林资源
连续清查数据即 ussw 年
的调查数据 o选择 w uxs
个固定样地中的毛竹纯林
样地共 uwx个 ∀样地内 x
¦°以上的竹子均调查记
载直径k胸径l和龄阶 o其
中直径以 t ¦°为径阶记
载 o龄阶以/度0记载 ot年
生竹记为 t度竹 ou ∗ v年
生竹记为 u度竹 ow ∗ x年
生竹记为 v 度竹 ow 度为
y ∗ z年生竹 o依此类推 ∀
将 uwx个样地的数据合并
统计到表 tk该表中的数
据与周国模等kussyl的数据略有差异 o原因是本文增加了几个样地l o本文以后出现的株数单位均是 uwx个
样地面积上的株数 ∀每个样地毛竹株数为 t{ ∗ wyt株 o平均 tuu株 o总共 u| {{t株 ∀表中密度值为某个径
阶 !龄阶的毛竹株数 o分布值为从起始径阶 !起始龄阶到某个径阶 !龄阶的毛竹株数的累积值 ∀
v 二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布基础模型
t|z|年 o¤µµ¼ ¨¨提出了一类二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布 o其生存函数为k¤µµ¼ot|z| ~史道济等 oussv ~姜美辰等 o
ussxl
hΦk ξt oξul € Πk Ξt  ξt oΞu  ξul € ¬¨³ p ¾≈kξt p αtlΠβt ΧtΠρ n ≈k ξu p αulΠβu ΧuΠρÀρ o ktl
yt 林 业 科 学 ww卷
式中 }Ξt 与 Ξu 表示 u个随机变量 oξt 与 ξu 分别为它们的取值 ~αt oαu 为位置参数 ~ βt oβu 为尺度参数 ~ χt o
χu 为形状参数 o ξt  αt oξu  αu ∀在区域 ξt [ αt oξu [ αu 内 o概率密度定义为 s ∀ βt oβu  s oχt oχu  s ot ∴
ρ s ~ ‹²∏ª¤¤µ§kt|{yl指出 o生存函数ktl是一个很有价值的模型 ∀实际上它描述了一种成对相关寿命时间
的模型 ∀当 ρ趋向于 t时表示 Ξt oΞu 之间相互独立 ~当 ρ趋向 s时表示 Ξt oΞu 之间存在某种确定性关系 ∀
将直径和年龄看成连续变量 o则直径要达到一定大小时才会有毛竹出现 o所以直径的位置参数应大于 s o而
年龄只要大于 s o就会有毛竹出现 o所以毛竹的位置参数可看成是 s o本研究的实际计算也证实了这一点 ∀用
∆和 Τ分别表示随机变量直径和龄阶 o用 δ和 τ分别表示它们的取值 o则生存函数ktl可改写为
hΦk δ oτl € Πk ∆  δ oΤ  τl € ¬¨³ p ¾≈k δ p αtlΠβt ΧtΠρ n kτΠβulΧuΠρÀρ o kul
式中 }Πk ∆  δ oԁ τl表示直径  δ !年龄k度l  τ时生存毛竹的概率 ∀ αt oβt oβu oχt oχu oρ为模型的 y个参
数 ∀若假设二元 • ¬¨¥∏¯¯ 函数的概率密度函数为 φk ∆ oΤl o则
hΦk δ oτl € Πk ∆  δ oΤ  τl €Θ]δΘ]τ φk ∆ oΤl§∆§Τo kvl
即图 t中 φk ∆ oΤl在阴影区域上的积分 ∀假设 Σk ∆  δ oԁ τl表示 ∆  δ oԁ τ时生存毛竹的株数 o则 }
Σk ∆  δ oΤ  τl € ντοταλΠk ∆  δ oΤ  τl € ντοταλ ¬¨³ p ¾≈k δ p αtlΠβt ΧtΠρ n kτΠβulΧuΠρÀρ o kwl
式中 }ντοταλ为总的毛竹株数 o这里也作为参数估计 ∀将生存函数kul写成分布函数形式 }
Φk δ oτl € Πk ∆ [ δ oΤ [ τl € t p ¬¨³ p ¾≈k δ p αtlΠβt ΧtΠρÀρ p ¬¨³¾p ≈kτΠβulΧuΠρ ρÀ n
¬¨³ p ¾≈k δ p αtlΠβu ΧtΠρ n kτΠβulΧuΠρÀρ € t p ¬¨³¾p ≈k δ p αtlΠβt Χt À
p ¬¨³≈p kτΠβulΧu   n ¬¨³ p ¾≈k δ p αtlΠβt ΧtΠρ n kτΠβulΧuΠρÀρ o kxl
图 t 二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布生存函数
ƒ¬ªqt …¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ §¬¶·µ¬¥∏·¬²± ¶∏µ√¬√¤¯ ©∏±¦·¬²±
图 u 二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布函数
ƒ¬ªqu …¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ §¬¶·µ¬¥∏·¬²±©∏±¦·¬²±
它是图 u中 φk ∆ oΤl在阴影区域上的积分 ∀很显然 o在kxl中令 τψ ] o就得到
Φk δl € Πk ∆ [ δl € t p ¬¨³¾p ≈k δ p αtlΠβt Χt À ~ kyl
若令 δ ψ ] o就得到
Φkτl € Πk Τ [ τl € t p ¬¨³≈p kτΠβtlΧu   ∀ kzl
可见 o毛竹的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型的边际分布分别是直径和年龄的一元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布 ∀另外 o分析生存函数
kul可知 o二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布的生存函数是一个严格的降函数 o因此对于分布函数kxl有 }Φk δ oτl非减 ~Φk n
] on ] l € t ∀所以本文介绍的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型具有严格的概率模型性质 ∀
记 Σk ∆ [ δ oΤ [ τl为 ∆ [ δ oΤ [ τ时毛竹的株数 o则
Σk ∆ [ δ oΤ [ τl € νΤοταλ¾t p ¬¨³¾p ≈k δ p αtlΠβt Χt À p ¬¨³≈p kτΠβulΧu  
n ¬¨³ p ¾≈k δ p αtlΠβt ΧtΠρ n kτΠβulΧuΠρÀρ ∀ k{l
w 毛竹二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型参数估计
从理论上讲 o根据公式kul !kwl !kxl及k{l均可以估计参数 o但本研究认为 o用公式kwl估计较为简单 !稳
定 ∀为了根据公式kwl估计参数 o根据表 t数据整理出表 u中的实际值数据作为估计参数的原始数据 }依据
公式kwl的积分形式和图 t中阴影部分所示进行统计 ∀表 u中起始年龄列的 s表示 t度竹的积分起点 ot表
示 u度竹的积分起点 o等等 ~直径的 w1x表示 x ¦°径阶的积分起点 ox1x表示 y ¦°径阶的积分起点 o等等 ∀这
zt 第 tu期 葛宏立等 }浙江省毛竹直径与年龄的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型
样表示的目的是为了数学处理的方便 o是为了将离散变量k度和径阶均是离散的l作为连续变量处理 ∀参数
ντοταλ oαt oβt oχt oβu oχu 和 ρ的计算结果分别为 vu suw1s os1xxy {ys o{1txw {vs ov1yxx {y{ ot1xvx u|y ot1wuu xuz
和 s1|tw twt oΡu € s1||| ∀由于 ρ € s1|tw twt o接近于 t o表示 ∆ oΤ之间接近独立 o从模型的简单及稳定性出
发 o令 ρ € t okwl和k{l相应改写为 }
Σk ∆  δ oΤ  τl € ντοταλΠk ∆  δ oΤ  τl € ντοταλ ¬¨³ p ¾≈k δ p αtlΠβt Χt n kτΠβulΧu À k|l
和
Σk ∆ [ δ oΤ [ τl € νΤοταλ¾t p ¬¨³¾p ≈k δ p αtlΠβt Χt À p ¬¨³≈p kτΠβulΧu  
n ¬¨³¾p ≈k δ p αtlΠβt Χt n kτΠβulΧu À ∀ ktsl
用表 u的实际数据和公式k|l重新估计参数 o得到 ντοταλ oαt oβt oχt oβu 和 χu 分别为 vt w{v1s os1|t| uw{ o
z1{yv z{y ov1xyw uvz ot1x|u ytx和 t1wy{ twv oΡu € s1||| ∀模型值见表 u o可见模型的拟合结果是非常令人
满意的 ∀
表 2 毛竹生存株数的实际值与模型值
Ταβ .2 Ρεαλ ϖαλυε ανδ µ οδελ ϖαλυε οφ συρϖιϖαλινδιϖιδυαλσ
项目
Œ·¨°
起始年龄
≥·¤µ·¤ª¨
直径 ⁄¬¤°¨ ·¨µΠ¦°
w1x x1x y1x z1x {1x |1x ts1x tt1x tu1x tv1x tw1x
s u| {{t uz st{ uv w{| t{ xsx tv ssw z z{u v {|v t zyz zuu vxw us
实际值
• ¤¨¯ √¤¯∏¨ t tz |uu ty vtw tw u{u tt v|w { syu w |x{ u xyy t usu xst uvs tzu y {{z y vzu x y|z w yxv v vy| u tvu t tvy xvz uvs |s y
∴v u v{v u uxx u s{x t zz| t vzz |tx xtz uw| tst vy w
s u| yvv uz utw uv wxt t{ xvt tv s|t { swu w tzs t zy{ x|u txt u{
模型值
²§¨¯ √¤¯∏¨ t tz {{w ty wuw tw txv tt t{w z |st w {xw u xtz t syz vxz |t tzu z vu| y zvs x {ss w x{v v uv{ t |{| t svt wvz twy vz z
∴v u vxu u tys t {yt t wzt t sv| yv{ vvt tws wz tu u
图 v 各径阶和各龄阶的毛竹分布区域
ƒ¬ªqv ⁄¬¶·µ¬¥∏·¬²± ¤µ¨¤¥¼ §¬¤°¨ ·¨µ¦¯¤¶¶¤±§¤ª¨ ¦¯¤¶¶
x 各径阶和各度毛竹的模型株树k即模型密度值l
假设 Πk δ oτl表示落在龄阶为 τ o径阶为 δ的毛竹的株数概率 ∀
如图 v所示 o对阴影部分进行积分 o其值就是落在阴影部分的毛竹
株数概率 ∀方便起见 o作如下简化约定 }
Πτpt oδps qx € Πk Τ  τ p t o∆  δ p s qxl ∀
其他类推 ∀
显然 o当 t [ Τ [ v时 o有
Πk δ oτl € Πτpt oδps qx p Πτoδps qx p Πτpt oδns qx n Πτoδns qx ~ kttl
当 Τ€ w时 o
Πk δ oτl € Πτpt oδps qx p Πτpt oδns qx ∀ ktul
Πk δ oτl乘以 νΤοταλ就得到相应的毛竹株数的估计值 ∀也可以在kttl和ktul中直接考虑株数 ∀计算结果
见表 v ∀模型值合计为 u| yvt株 o比表 u中的模型值 u| yvv株略少 o这是因为表 u中的数值是 δ ψ ] oτ ψ ]
时的数据 o而表 v实际上不是k因为实际计算时 δ 和 τ不可能真正趋向无穷l o但二者相差非常小 o表明表 v
区域外的数据可忽略不计 ∀比较各单元格的实际值与模型值 o都很接近 o可见用二元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型描述毛竹
株数随直径 !年龄的变化规律是可行的 ∀
y 各种参数比较
本文分别建立了直径一元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型kyl式 !年龄一元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型kzl式 !带相关参数 ρ的二元 • ¬¨¥∏¯¯
模型kw式l与不带相关参数 ρ的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型k|式l o现对通过不同模型估计的参数进行比较k表 wl ∀
从表 w可看出 ou个二元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型的参数中 o除了位置参数 αt 相差较大外 o其余都很接近 o说明可以
认为直径和年龄两个变量是独立的 ∀而一元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型的参数与二元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型的参数除了 αt 之外 o也
{t 林 业 科 学 ww卷
表 3 各直径和各度毛竹的实际株数和理论株树
Ταβ .3 Ρεαλ νυµ βερσ ανδ µ οδελ νυµ βερσ βψ διαµετερ χλασσ ανδ αγε χλασσ
直径
⁄¬¤° ·¨¨µ
¦¯¤¶¶Π¦°
龄阶k度l „ª¨ ¦¯¤¶¶k⁄∏l
t u v ∴w
实际
• ¤¨¯
模型
²§¨¯
实际
• ¤¨¯
模型
²§¨¯
实际
• ¤¨¯
模型
²§¨¯
实际
• ¤¨¯
模型
²§¨¯
x t uxx |x| t s|v {yt v{z wsz tu{ t|u
y t w|z t w|u t vxz t vwt xsx yvt tzs u||
z u s|y t |xt t {ww t zxu zv{ {uz vsy v|s
{ u ty| u txz u sw{ t |v{ {{u |tv wsu wvu
| u t{{ u ssu t {yz t z|{ zzx {w{ wyu wst
ts t w|z t xvx t v|y t vz| x|{ yxt v|{ vsz
tt zyu |xu zyx {xy vvt wsv uy{ t|t
tu vww wyy v|w wt| tx| t|{ tw{ |v
tv |z tzx tvt txz zx zw yx vx
tw tut w| tu| ww xu t{ vu ts
tx v tt tt ts u x w u
很接近 ∀这说明 }毛竹二元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型
的 u个边际分布不仅在理论上是直径和年
龄的一元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型 o且在实际计算的参
数数值上也很接近 ~用 • ¬¨¥∏¯¯ 模型描述
毛竹分布是合适的 o且模型具有稳定性 ∀
z 结论与讨论
过去林业上应用的 • ¬¨¥∏¯¯ 分布基本
是一元的 o即只描述直径 ∀直径结构固然
重要 o但对异龄林来说 o年龄结构也很重
要 o尤其对于以发挥生态功能为主的森林
来说 ∀直径结构与年龄结构一起描述 o比
单纯描述其中一个结构更有意义 ∀本例说
明 o毛竹直径的分布接近正态分布 o年龄的
分布则介于指数分布和 ςu 分布之间 ∀
表 4 不同 Ωειβυλλ模型的参数比较
Ταβ .4 Χοµ παρισον οφ παραµετερσ οφ διφφερεντ Ωειβυλλ µ οδελ εξπρεσσιονσ
模型 ²§¨¯ αt βt χt βu χu
一元 • ¬¨¥∏¯¯模型 ˜±¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ °²§¨¯ u1suv t|t y1vuw ||| v1sxx |yt t1ysu uus t1ww| |ty
带 ρ的二元 • ¬¨¥∏¯¯模型 …¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ °²§¨¯ º¬·« ρ s1xxy {ys {1txw {vs v1yxx {y{ t1xvx u|y t1wuu xuz
不带 ρ的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 模型 …¬√¤µ¬¤·¨ • ¬¨¥∏¯¯ °²§¨¯ º¬·«²∏·ρ s1|t| uw{ z1{yv z{y v1xyw uvz t1x|u ytx t1wy{ twv
• ¬¨¥∏¯¯ 分布的适应性很好 o能描述常见的几种分布 o这种性质很适合在林业上应用 ∀本研究提出的方法对
于研究毛竹林二维结构具有重要的意义 o对于研究其他树木型的森林资源的二维结构也有积极的参考价值 ∀
本文介绍的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型具有严格的概率模型性质 o如 }分布函数非减 o密度函数非负 o分布函
数的极限为 t ou个边际分布均是一元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布等 ∀一元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布不仅在理论和形式上是二元 • ¬¨¥∏¯¯
分布的边际分布 o而且用边际分布求得的参数与用联合分布求得的参数也很接近 ∀
本文实例是省级宏观模型 o它描述的是一个宏观区域的毛竹二维结构情况 o可用于宏观分析和宏观决
策 ∀但本文的方法从理论上讲是可以应用到林分水平上来的 o以指导毛竹林的的经营管理 o但实际情况如
何 o还需要继续研究 ∀
概率模型的参数估计有多种方法 o如最大似然法 !最小二乘法等 o本文采用的是最小二乘法 ∀用于估计
参数的模型表达式也可以是分布函数 !概率密度函数 !生存函数 o本文采用的是分布函数k一元l和生存函数
k二元l o而且作为因变量的是实际株数 o而不是概率 ∀用其他估计方法 !其他模型表达式 !其他因变量估计参
数会带来哪些变化 o本文均没有进行探讨 o留待以后研究 ∀
参 考 文 献
陈 辉 o洪 伟 o兰 斌 o等 qt||{1 闽北毛竹生物量与生产力的研究 q林业科学 ovwktl }ys p yw q
董文宇 o邢志远 o惠淑荣 o等 qussy1 利用 • ¬¨¥∏¯¯分布描述日本落叶松的直径结构 q沈阳农业大学学报 ovzkul }uux p uu{ q
何东进 o洪 伟 qussv1 武夷山毛竹天然林生物量与能量分配规律及其与人工林的比较研究 q西北植物学报 ouvkul }u|t p u|y q
洪 伟 o郑郁善 o陈礼光 qt||{¤1 毛竹枝叶生物量模型研究 q林业科学 ovwk≥³qtl }tt p tx q
洪 伟 o郑郁善 o邱尔发 qt||{¥1 毛竹丰产林密度效应研究 q林业科学 ovwk≥³qtl }t p w q
姜美辰 o叶慈南 o徐冬元 qussx1 一类二元相关威布尔分布及其参数估计 q系统科学与数学 ouxkyl }ztt p zt| q
亢新刚 o胡文力 o董景林 o等 qussv1 过伐林区检查法经营针阔混交林林分结构动态 q北京林业大学学报 ouxkyl }t p x q
寇文正 qt|{u1 林木直径分布的研究 q南京林产工业学院学报 okul }xt p yx q
刘君然 o赵东方 qt||z1 落叶松人工林威布尔分布参数与林分因子模型的研究 q林业科学 ovvkxl }wtu p wtz q
罗明灿 o刘惠民 o韩 灯 o等 qusst1 龙竹林分结构的初步研究 q竹子研究汇刊 ousktl }tx p t{ q
孟宪宇 qt|{x1 使用 • ¬¨¥∏¯¯ 分布对人工油松林直径分布的研究 q北京林学院学报 ozktl }vs p v| q
|t 第 tu期 葛宏立等 }浙江省毛竹直径与年龄的二元 • ¬¨¥∏¯¯ 分布模型
戚连忠 o朱杭瑞 o蔡 琳 o等 qusss1 从文献分析看浙江省竹类研究进展 q浙江林业科技 ouskyl }y{ p zu q
史道济 o唐爱丽 o汪 玲 qussv1 二元威布尔分布形状参数相等的检验 q天津大学学报 ovyktl }y{ p zt q
舒常庆 o曹流清 qt|||1 湖南省会同县肖家乡毛竹数量化地位指数表的研究 q华中农业大学学报 ot{ktl }|u p |x q
王韩民 o惠刚盈 qussx1 林木最近距离分布模型的研究 q林业科学研究 ot{kxl }xxy p xys q
王顺忠 o王 飞 o张恒明 o等 qussy1 长白山阔叶红松林径级模拟研究 ) ) ) 林分模拟 q北京林业大学学报 ou{kxl }uu p uz q
吴承祯 o洪 伟 qt||{1 杉木人工林胸径的 • ¬¨¥∏¯¯分布及其最优拟和研究 q江西农业大学学报 ousktl }{y p |s q
吴家森 o周国模 o徐秋芳 o等 qussx1 不同年份毛竹营养元素的空间分布及与土壤养分的关系 q林业科学 owtkvl }tzt p tzv q
杨锦昌 o江希钿 o许煌灿 o等 qussv1 马尾松人工林直径分布收获模型及其应用研究 q林业科学研究 otykxl }x{t p x{z q
尤添革 o林秀琴 qussw1 毛竹林的连续型直径分布变化方程 q生物数学学报 ot|kwl }wxv p wxy q
张 贵 o陈建华 qussu1 应用 • ¬¨¥∏¯¯分布研究毛竹林分直径结构规律 q经济林研究 ouskwl }vt p vv q
郑郁善 o洪 伟 qt||{1 毛竹林丰产年龄结构模型与应用研究 q林业科学 ovwkvl }vu p v{ q
周国模 o姜培坤 qussw1 毛竹林的碳密度和碳贮量及其空间分布 q林业科学 owskyl }us p uw q
周国模 o刘恩斌 o刘安兴 o等 qussy1 • ¬¨¥∏¯¯分布参数辨识改进及对浙江毛竹林胸径年龄分布的测度 q生态学报 ouyk|l }u|t| p u|uw q
周国模 qt||u1 杉木人工林直径分布的研究 q福建林学院学报 otukwl }v|| p wsx q
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k责任编辑 于静娴l
su 林 业 科 学 ww卷