全 文 ：　　收稿日期: 1999-03-16
基金项目: 国家自然科学基金项目“林分生长的地理和种源变异及其模型的研究”(编号: 39670609)以及中国林科院基
金课题“标准树高曲线模型机理及地区差异的研究”内容
作者简介: 王明亮( 1970-) ,男,山东寿光人,助理研究员.
　　文章编号: 1001-1498( 2000) 01-0075-05
非线性树高曲线模型的研究
王明亮, 李希菲
(中国林业科学研究院资源信息研究所,北京　100091)
摘要: 引入失拟检验的理论和方法检验了树高曲线模型的适度,应用全模型和选模型的检验理论
和方法对 3 参数模型的某个参数取定值作了检验, 结果表明 2参数模型描述树高曲线已经足够。比
较了 6 个 2 参数树高模型, 常用的幂函数式 H = aD b 和双曲线式 H = aD / (D+ b)以及本文提出的
Richards 式的特例即 H = a( 1- e- 0. 05D ) c 均表现良好,推荐作为基本的树高曲线模型。
关键词: 树高曲线; 失拟检验; 全模型; 选模型
中图分类号: S758. 5　　　　文献标识码: A
　　树高曲线模型在林业生产与实践中应用广泛,在生长与收获模型研究中受到重视 [ 1～4]。近
期,标准树高曲线模型研究方兴未艾[ 5～8]。作为该类研究基础的树高曲线基本形式不一而足,
有必要对树高曲线的基本形式作一比较和选择,为标准树高曲线的研究提供基础。
关于树高曲线模型的研究, 文献[ 1]、[ 2]和[ 3]分别作过比较系统的研究。文献[ 1]比较了
13 个线性树高曲线模型,文献[ 2]比较了 20个非线性模型, 文献[ 3]则比较了 33个线性和非
线性模型。文献[ 1]的研究表明 Schumacher 式(线性形式)拟合效果最好。文献[ 2]的研究表
明,许多上凸函数和S 型函数都可以用于描述树高曲线, 这些函数的拟合结果(均方误、相关指
数等)很接近;文献[ 3]得到类似结果。
文献[ 2]、[ 3]对树高曲线的比较是针对某树种树高曲线在地区的平均表现,没有具体到林
分。本文以杉木( Cunninghamia lanceolata ( Lamb. ) Hook. )材料将树高曲线的比较具体到林
分上。模型的研究,应首先检验模型本身适合与否, 即确定一个具体的回归函数是否适当地拟
合了数据。在此基础上,才谈得上模型之间的比较即模型的选优。本文引入失拟检验[ 9]的方法
来检验模型的适度。
文献[ 2]、[ 3]的研究都表明 4参数的树高曲线模型不足取, 3参数的模型一般要好于 2参
数模型。但这种“好于”在统计上是否显著? 文献[ 10]指出,任何模型都需要一定的弹性同时保
持一定的稳定性来拟合数据或预测。模型的弹性和稳定性是对立的,表现在模型参数上就是参
数个数的多寡。一般地,参数越多弹性越强但稳定性越弱。本文应用全模型和选模型的理论 [ 9]
来检验某些树高曲线模型的参数是否冗余。
下面列出了一些比较常用的树高曲线模型, 分别属于幂函数( ( 1) )、双曲线( ( 2)、( 4) )、
Schumacher 式( ( 5)、( 6) ( 7) )、单分子( ( 8) )、Richards 式( ( 9) )、Gompertz式( ( 10) )、Log ist ic
式( ( 11) )、Weibull式( ( 12) )或其扩展形式的范畴。( 13)、( 14)、( 15)分别为本文提出的( 9)、
林业科学研究　2000, 13( 1) : 75～79
Forest Research 　　 　　
( 10)、( 11)式的特例。15个非线性树高曲线模型如下:
H = aD
b
( 1) ; H = aD / ( D+ b) ( 2) ; H = a[ D / ( D+ 1) ] ( 3)
H = a/ ( 1+ bD
- c
) ( 4) ; H = ae
- b/D ( 5) ; H = ae
- bD- c ( 6)
H = ae
- b/ ( D+ c ) ( 7) ; H = a( 1- e
- bD ) ( 8) ; H = a( 1- e
- bD ) c ( 9)
H = ae
- be
- cD
( 10) ; H = a/ ( 1+ be- cD ) ( 11) ; H = a( 1- e
- bD
c
) ( 12)
H = a( 1- e- 0. 05D
c
) ( 13) ; H = ae
-be- 0. 1D ( 14) ; H = a/ ( 1+ be
- 0. 15D
) ( 15)
1　数据资料
　　浙江开化地区81块杉木测高样地,样地面积 400～600m 2, 年龄范围在12～26年生,密度
范围在 1 000～4 500株·hm- 2 ,立地指数范围在 8～18 m。每块样地内测高株数多于 30株。
2　树高曲线模型的失拟检验
　　模型的比较, 应首先检验模型本身适合与否,即确定一个具体的回归函数是否适当地拟合
了数据或者说回归模型的形式是否正确。一般地,可以采用适应性检验的方法来判断模型有无
系统误差。这里,我们引入另外一种检验方法——失拟检验。失拟检验假设在给定 x 时,观察
值 y 独立、正态、等方差, 显然这些假设都是很一般的假设。文献[ 9]给出了线性回归函数失拟
检验的一般方法。通过分析线性回归函数失拟检验的推理过程,可以类似地应用到非线性回归
函数。下面简单介绍失拟检验。
一般地, 统计模型可表示为
y = E ( y
x ) + e = f ( x ) + e
y 为因变量观测值, x 为自变量观测值, E ( y
x )表示回归函数, f ( x )表示回归函数 E( y
x )的
某种具体形式, e为误差。
在重复观测条件下,将残差平方和S SE=
n
i= 1
( y i- y^ i)
2分解为两部分, 即

n
i= 1
( y i - y^ i )
2
=
C
j = 1


n
j
k= 1
( yj k - y^ j )
2
=
C
j= 1


n
j
k= 1
( y j k - y-j )
2
+
C
j= 1
nj ( y-j - y^ j )
2
y i 为第 i个观测值, y^ i 为拟合回归模型 y= f ( x )得到的第 i 个拟合值, n为样本个数, c为按 x
的水平分组个数, n j 为第 j 组样本个数、满足 n =
C
j= 1
nj , y j k为第 j 组第 k 个观测值, y^ j 为第 j
组观测的拟合值, 由回归模型 y = f ( x )得出, y-j 为第 j 组样本 yi 的观测均值即 y-j =
( 1/ nj )
nj
k= 1
y j k 。
SS E 的第一部分称为纯误差部分,记为 SS PE =
C
j = 1


n
j
k= 1
( yj k - y^ j ) 2 ,其基本思路是建立在
某些 x 水平有重复的事实之上,它反映观测值随机误差的影响。第二部分称为失拟部分,记为
SS L F=
C
j = 1
nj ( y-j- y^ j ) 2 ,是对“真实的”回归函数 E ( y
x ) (以不依赖于模型形式假设的组平均
数 y-j 来表示)与假定回归函数 y= f ( x )偏离程度的度量,反映回归模型形式 y= f ( x )是否为
真正的回归函数形式的这样一种非随机误差的影响。
在 yi 正态、独立、等方差以及 E ( y
x ) = f ( x )的假设条件下, 文献[ 9]指出, 统计量 F=
( S SL F/ c ) / [ S SPE/ ( n- c ) ]遵从第一自由度为 c、第二自由度为 n- c的 F 分布。给定显著性
76 林 业 科 学 研 究　　　　　　　　　　　　　　第 13 卷
水平(例如
= 0. 05) ,如果 F≤F ( c, n- c)则接受原假设 H o∶E ( y ) = f ( x ) , 表明给定的回归
模型形式 f ( x )正确;如果 F> F( c , n- c)则接受备择假设 H a: E ( y )≠f ( x ) , 表明给定的回归
模型形式 f ( x )不正确。
以本文数据, 胸径按 1 cm 分组取平均值,在此基础上计算。
失拟检验的结果见表 1。可以看出, ( 1)～( 12)模型中, ( 3)式 H = a[ D / ( D+ 1) ] b 和( 5)式
H = ae
- b/ D较之其余 10个模型不适于描述树高曲线,其余 10个模型更为适合。但需要指出,以
上 12个模型对 81个样地的适应性检验全部通过,这表明在对模型形式的检验方面失拟检验
要比适应性检验更加严格。
表 1　非线性树高曲线模型的失拟检验
模　型　 ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 10) ( 11) ( 12) ( 13) ( 14) ( 15)
通过检验样地数 77 76 60 76 57 72 78 74 77 78 76 77 76 73 77
通过率/ % 95. 1 93. 8 74. 0 93. 8 70. 4 88. 9 96. 3 91. 4 95. 1 96. 3 93. 8 95. 1 93. 8 90. 1 95. 1
3　模型参数的约简
　　注意到, ( 2)式为( 4)式参数 c= 1的特例; ( 5)式为( 6)式参数 c= 1的特例或者为( 7)式参
数 c= 0的特例; ( 8)式为( 9)式参数 c= 1的特例或者为( 12)式参数 c= 1的特例。由上面的失
拟检验结果可以看出, ( 2)式作为( 4)式特例、( 8)式作为( 9)式或( 12)式的特例同样可以很好地
拟合数据。考虑到模型参数在一定意义上表达了树种的生物学特性,我们期望模型的参数个数
尽可能地少以便于进一步的分析;并且,较多的模型参数(至少是部分地)造成了非线性回归分
析的不容易收敛或者不收敛。
引用全模型和选模型(无限制模型和限制模型)的假设检验理论和方法(见文献[ 9] )检验
( 4)式参数 c= 1、( 9)式 c= 1以及( 12)式 c= 1。记全模型为 y= f ( x ;
) + e,用最小二乘法拟合
这个全模型并求误差平方和 S SE ,记为 SSE ( F )。考虑假设条件 H o∶H
= C,此假设条件下
的模型称为选模型或限制模型。用最小二乘法拟合这个选模型并求误差平方和, 记为 SS E
( R )。比较 SS E( F )和 SS E( R ) ,一般地总会有 SSE ( F )≤SS E( R ) , 这是因为全模型中有较多
的参数, 可以更好地拟合数据,因此围绕拟合回归线的离差小。如果 SS E( F )接近于 SS E( R ) ,
全模型几乎与选模型一样反映了观察值围绕回归线的变差,在全模型中增加一个参数实际上
不能减少 y 的变差,因此 S SE ( R) - SSE ( F )小, 表明假设 H o 成立;另一方面, 如果变差大, 表
明备择假设成立, 因为模型中所加的参数大大地帮助减少了观察值 y 围绕回归线的变差。实际
使用的检验统计量是 SS E( R ) - S SE ( F)的函数,为
F
* =
( SS E( R ) - SSE ( F) ) / ( df R-df F )
S SE ( F) / df F
df F 和 df R 分别为对应于全模型和选模型的误差平方和 SSE ( F )与 SS E( R)的自由度,如果
H o成立,对线性模型而言,它服从 F 分布,即 F* ～( df R- df F , df F ) ;对非线性模型而言,在大
样本情况下, 它近似服从 F 分布。
这里,我们检验( 4)式参数 c= 1、( 6)式 c= 1、( 7)式 c= 0、( 9)式 c= 1以及( 12)式 c= 1; 另
一方面, 研究发现, Richards 式( 9)参数 b 取 0. 05, Gompertz式( 10)参数 c取 0. 1, Logistic 式
77第 1期　　　　　　　　　王明亮等:非线性树高曲线模型的研究
( 11)参数 c取 0. 15的拟合效果良好, 因此也检验了( 9)式 b= 0. 05、( 10)式 c= 0. 1、( 11)式 c=
0. 15并同时作了失拟检验(结果见表1, 即模型( 13)、( 14)、( 15) )。全模型和选模型检验的结果
见表 2。
表 2　非线性树高曲线模型的全模型、选模型检验
模　　型　 ( 4) ( 6) ( 7) (9) ( 12) ( 13) ( 14) ( 15)
通过检验样地数 77 36 36 71 72 78 63 69
通过率/ % 95. 1 44. 4 44. 4 87. 7 88. 9 96. 3 77. 8 85. 2
　　注:模型( 4)、( 6)、( 9)、( 12)分别表示对各自参数 c= 1的检验; ( 7)表示对参数 c= 0的检验; ( 13)、( 14)、( 15)分别表示
对( 9)、( 10)、( 11)式参数 c= 0. 05、c= 0. 1、c= 0. 15的检验。
　　由表2可以认为, ( 4)式 c= 1、( 9)式 c= 1或 b= 0. 05、( 10)式 c= 0. 1、( 11)式 c= 0. 15以及
( 12)式 c= 1的检验得以通过,而( 6)式 c= 1、( 7)式 c= 0的检验则不通过。
考虑前面失拟检验结果, 可以得出结论, 2参数的双曲线式( 2)和单分子式( 8)以及( 13)、
( 14)、( 15)描述树高曲线已经满足要求,无须采用相应的 3参数双曲线式( 4)、Richards式( 9)、
Weibull式( 12)以及Gompertz式( 10)和 Log ist ic 式( 11)。并且模型( 2)、( 13)、( 14)、( 15)均可
线性化,便于应用线性模型的理论和方法进行研究。
4　树高曲线的比较
　　由前面结果, 选择 2参数模型( 1)、( 2)、( 8)、( 13)、( 14)、( 15)共6个模型进行比较。比较指
标为残差平方和( SSE )。以各模型分别拟合 81块样地,求出任一模型(与其它模型比较)拟合
的优先数;采用符号检验,比较任一模型与其它模型拟合效果的优劣。符号检验原理[ 6]如下:令
n= n1+ n2 ( n1表示某模型优于其它任何一个模型的优先数, n2 表示非优先数) ,则当 n1> ( n+
1) / 2+ 0. 98 n+ 1, 有95%可靠性断言某模型优于其它某个模型。依本文数据, n1≈49. 87。表
3列出了各模型的优先数。
表 3　2 参数非线性树高模型比较
模　型 ( 1) ( 2) ( 8) ( 13) ( 14) ( 15) 模　型 ( 1) ( 2) ( 8) ( 13) ( 14) ( 15)
( 1) 0 35 39 34 47 56* ( 13) 47 40 51* 0 52* 57*
( 2) 46 0 53* 38 47 51* ( 14) 33 34 33 29 0 60*
( 8) 42 28 0 29 48 50* ( 15) 23 30 30 24 21 0
　　注:带* 者表示对应的横列模型优于对应的竖列模型。
　　由表 3 可见, 模型( 1)、( 2)、( 8)、( 13)、( 14)均优于( 15) , 模型( 2)、( 13)均优于( 8) , 模型
( 13)优于( 14)。应该指出,模型( 8) (单分子式)、( 13)都作为Richards( 9)式的特例,本文的数据
表明这两个特例中以( 13)式为好。
显然, 模型( 1)、( 2)、( 13)属于“最好”的树高曲线模型, ( 1)、( 2)分别是常用的幂函数式和
双曲线式。本文推荐的 Richards 式的特例( 13)式即 H = a( 1-e- 0. 05D ) c可作为树高曲线模型。
5　结论和讨论
　　( 1)引入了失拟检验的理论和方法检验了树高曲线模型的适度,应用全模型和选模型的检
验理论和方法对 3参数模型的某个参数取定值作了检验,从而对某些 3参数模型作了参数的
78 林 业 科 学 研 究　　　　　　　　　　　　　　第 13 卷
约简,结果表明 2参数模型描述林分树高曲线已经足够。
( 2)比较了 6个2参数树高模型,常用的幂函数式H = aD b 和双曲线式H = aD / ( D + b)以
及本文提出的 Richards式的特例即 H = a( 1-e- 0. 05D ) c均表现良好,推荐作为基本的树高曲线
模型。
( 3)模型参数在一定意义上体现了树种的生物学特性,尽可能地约简模型参数为研究参数
的生物学意义提供了一种手段。本文将 Richar ds( 9)式的 b参数取为 0. 05,以浙江开化地区的
杉木材料进行验证得到良好效果,该数值是否因地区和树种变化需要补充材料加以验证。
( 4)失拟检验要求有(同一实验水平上)重复观测数据,这使它在应用上受到限制。
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Research on Nonlinear Height-diameter Models
WA NG M ing-liang, L I X i-f ei
( Th e Research In st itute of Fores t Resou rces In format ion Techn iqu es , CAF, Beijing　100091, Ch ina)
Abstract: T he lack o f fit test w as int roduced to test aptness of some height-diameter( H-D)
models. T he full model and reduced model test w ere employed to test w hether it w as
reasonable to set some parameter o f three-parameter H-D models a fix ed value, w ith the
result that tw o-parameter models w ere enough to describe H-D relat ionship. With the
compar ison o f six two-parameter H-D models, the commonly used power funct ion H = aD
b
,
the hyper bol ic funct ion H = aD / ( D+ b) and the specail case of Richards funct ion suggested
by this paper H = a( 1- e
- 0. 05D ) c gave the most sat isfactory r esults, thus w er e recommended
as the basic H-D models.
Key words : height-diameter models; lack of f it test ; full model; reduced model
79第 1期　　　　　　　　　王明亮等:非线性树高曲线模型的研究