全 文 ：第 49 卷 第 10 期
2 0 1 3 年 10 月
林 业 科 学
SCIENTIA SILVAE SINICAE
Vol. 49，No. 10
Oct．，2 0 1 3
doi:10．11707 / j．1001-7488．20131019
收稿日期: 2012 － 11 － 22 ; 修回日期: 2013 － 03 － 01。
基金项目: 中国林业科学研究院林业新技术所基本科研业务费专项基金(CAFINT2010C01) ; 国家杰出青年科学基金项目(30825034)。
* 吕建雄为通讯作者。
木材快速生长期内早材与晚材密度分布的
数学描述初探*
郝晓峰1 俞昌铭2 蒋佳荔1，3 吕建雄1 徐 康4
(1．中国林业科学研究院木材工业研究所 国家林业局木材科学与技术重点实验室 北京 100091;
2．北京科技大学机械工程学院 北京 100083; 3． 中国林业科学研究院林业新技术研究所 北京 100091;
4．中南林业科技大学材料科学与工程学院 长沙 410004)
摘 要: 对树木生长及早晚材密度的分布规律进行理论研究。首先，利用正弦波函数与分段线性函数分别模拟
环境温度与降雨量随年份的周期性变化规律。其次，在分析环境温度与降雨量对树木生长速率影响的基础上，建
立以生长时间为自变量、以树干半径为因变量的树木生长速率模型; 在分析树木生长速率对木材早晚材的形成及
其密度分布影响的基础上，构建早晚材密度分布模型。最后，以人工林杉木为例，一方面，利用有限差分法分别求
解树木生长速率模型与早晚材密度分布模型; 另一方面，采用软 X 射线密度分析仪测定木材径向的密度分布值，
将密度的试验测量值与模型计算值进行比较，对早晚材密度分布模型进行验证。结果表明: 1) 可采用正弦波函数
量化树木生长环境中温度的周期性变化，函数拟合的决定系数为 0. 907; 树木生长环境中的降雨量周期性变化可
用分段线性函数定量描述; 2) 树木生长速率模型可以定量分析温度与降雨量对树木生长的影响; 3) 早晚材密度
分布模型可准确描述木材快速生长期内的早晚材密度沿径向的分布规律，为木材宏观密度与微观密度的内在联系
给出定量的表述。
关键词: 温度; 降雨量; 树木生长速率模型; 早晚材密度分布模型
中图分类号: S781 文献标识码: A 文章编号: 1001 － 7488(2013)10 － 0118 － 09
A Preliminary Study on Modeling of Earlywood and Latewood
Density Distribution during the Fast Growth Period
Hao Xiaofeng1 Yu Changming2 Jiang Jiali1，3 Lü Jianxiong1 Xu Kang4
(1 ． Key Laboratory of Wood Science and Technology of State Forestry Administration Research Institute of Wood Industry，CAF Beijing 100091;
2 ． School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing Beijing 100083; 3 ． Research Institute of New Technology，
CAF Beijing 100091; 4 ． College of Material Science and Engineering，Central South University of Forestry and Technology Changsha 410004)
Abstract: The theoretical study on the wood formation and density distribution of earlywood and latewood were
investigated in this paper． Firstly，the sine function and piecewise function were used to represent temperature and
rainfall，respectively． Secondly，considering the temperature and rainfall influence on the growth rate，the tree growth rate
model which tree radius was taken as dependent variable and time as independent variable was established． Furthermore，
based on the growth rate effect on the density，the density distribution model was developed to describe the relationships
between density and the growth rate． Finally，Chinese fir ( Cunninghamia lanceolata) plantation wood was taken as an
example to test the reliability and validity of the density distribution model． The density distributions along wood radius
direction were measured by Soft-X ray analysis system，and the measured results were compared to the theoretical values
which calculated by Finite Difference Scheme． The results showed: 1) The periodical change of temperature were obtained
by the sine function which was fitted with the temperature data from the forest farm and the coefficient of determination was
0. 907． The periodical change of rainfall could be described quantitatively by the piecewise function． 2) The tree growth
rate model could be used for quantitative analysis the temperature and rainfall influence on tree growth． 3) The density
distribution of earlywood and latewood in radial direction was accurately described by the density model，which provided a
第 10 期 郝晓峰等: 木材快速生长期内早材与晚材密度分布的数学描述初探
quantitative description of the relationship between the macroscopic density of wood and its microscopic density．
Key words: temperature; rainfall; tree growth rate model; early wood and latewood density distribution model
木材密度是木材重要的物理性质之一。一般而
言，木材密度是指木材的宏观密度，表示为 ρ
－ =
m /V = ∫VρdV /V，是木材质量 m 与其体积 V 的比
值; ρ 为木材的微观密度，是指木材内部在某一狭小
范围内的密度。研究木材生长轮内早、晚材密度的
变化规律，可以揭示不同生长条件下木材材质变异
规律，为生态木材学、树木年代学等学科提供研究方
法，而且也为速生林的人工抚育措施以及最佳轮伐
周期的确定提供理论依据，为木材加工提供重要的
质量参数(李坚，2002)。
木材宏观密度的研究主要体现在以下几个领
域: 在林产品加工利用方面，木材密度影响着纸浆
出浆率 ( Blair et al．，1976 )、结构用材强度 ( Zobel
et al．，1989; 吕建雄等，2009); 在树木育种改良方
面，木材密度具有可遗传的特性 ( Sprague et al．，
1983); 在人工林木材性质方面，针对幼龄材密度的
研究也是近些年研究的重点( Zobel et al．，1989; Lü
et al．，2003; 吕建雄等，2005); 在树木年代学方面，
木材密度对研究气候变化有辅助作用(Kim，1995;
Yasue et al．，1995; Anta et al．，2006; 徐金梅等，
2011)。
关于木材微观密度的研究，Ferrand(1982)研究
了生长轮的形状与密度分布，建立了回归分析模型，
但该模型中没有划分早晚材。Schweingruber(1988)
提出了 2 种确定过渡密度值的方法来定量描述生长
轮内早材和晚材的体积比率:第 1 种方法是设定一
个固定的密度值，在此密度值之上的为晚材，之下的
为早材; 第 2 种方法是根据生长轮内最大密度值与
最小密度值的均值为界线来划分早材和晚材。
Pernestl 等(1995)认为低密度早材与高密度晚材之
间的过渡区域可用泊松分布描述，建立了木材生长
轮内的密度分布模型，并通过试验确定了模型中的
6 个参数。
本文基于生长环境影响树木生长速率、生长速
率进而影响木材的早晚材密度这一假定，将树木的
生长环境、生长速率与木材微观密度相结合，建立生
长轮内早晚材密度沿径向分布的数学模型。早晚材
的密度变化影响着木材干燥过程的传热传质行为。
在以往的研究中，研究者们在建立木材干燥传热传
质模型时将木材假定均质材料，即宏观密度等于微
观密度 ( Perre et al．，1993; Pang，1998; Yu et al．，
2007)。事实上，木材微观密度的不均匀性直接影
响着木材导热系数、水分扩散率等热物性参数。因
此，在构建木材干燥传热传质物理模型及相应数学
模型时，为提高模型的精确度，应考虑木材微观密度
的不均匀性这一特征(俞昌铭，2011)。本文旨在木
材宏观密度与微观密度之间建立一种内在的数学联
系，为优化木材干燥过程中传热传质模型提供理论
依据。
1 树木生长环境的物理与数学模型
树木生长是一种生理现象，由内因与外因共同
作用引起，内因是指树木自身的条件，包括树种、种
源、家系、枝下高、冠幅等遗传因素; 外因是指林分
密度、降雨量、温度、光照、土壤养分等外在因素
(Rennols et al．，1985; Kim，1995; Yasue et al．，
1995; 胡晓龙，2003; 张建国等，2004)。对于同一
片人工林，认为影响树木生长的内因相同，则影响树
木生长的因素为温度、光照、降雨量、土壤养分等。
图 1 是湖南省常德市 5 年间气温与光照时间
(此数据来源于中国气象科学数据共享服务网)的
变化曲线。由图可见，温度与光照二者的变化规律
基本相同; 温度与光照相比，其分布更规律，易于数
学描述。从树木生长的生理角度看，一般情况下，当
环境气温低于临界温度 T c (如 4. 4 ℃ )且持续 1 周
以上时，树木停止生长，进入休眠状态 (尹思慈，
1996)。
水分的供给也是树木生长的基本要素之一。
Fritts(1976)和 Kim(1995)认为土壤中的水分是影
响树木生长的重要因素之一。土壤中的水分主要来
源于大气降水，它直接影响土壤的含水量及肥沃程
度，因此降雨量对树木的生长起重要作用。与温度
相比，降雨量在 1 年内的分布具有较大随机性，不能
用连续函数进行描述，因此，采用阶梯函数表示。图
2 是湖南省常德市 5 年间的降雨量分布情况(此数
据来源于中国气象科学数据共享服务网)，从图 2
可看出，降雨量主要集中在春、夏两季。
本研究中，为了便于数学描述，对树木生长的环
境进行简化，引入以下假定进行物理模型的构建。
1. 1 物理模型
假定 1，将环境温度、光照、降雨量、土壤养分等
外部因素对树木生长的影响假定为只有温度与降雨
量 2 个因素的影响。由图 1 可看出，温度与光照随
911
林 业 科 学 49 卷
图 1 常德市 5 年间温度与光照变化
Fig． 1 The variation of temperature and lighting time in five years in Changde
图 2 5 年期间降雨量变化
Fig． 2 The variation of rainfall in five years in Changde
时间的变化趋势相似，假定温度的因素涵盖了光照
的因素; 同样，假定降雨量的因素涵盖了土壤中水
分的因素; 忽略了土壤养分等诸多环境因素对树木
生长的影响，完全忽略各种不测气候因素(如暴雨、
风灾等)的影响。
假定 2，寒温带 1 年内环境温度的变化按正弦
波起伏波动，波动的周期为 1 年。全年最高温度为
正弦波波峰，最低温度为正弦波波谷，振幅为最高
(最低)温度与年平均温度的差值。严格地说，环境
温度除了按年周期波动外，按天也是周期波动的。
这里，忽略了一天之内的温度变化。
假定 3，1 年内降雨量的分布用分段线性函数
表示。
假定 4，当环境温度低于某一临界值 T c 时，树木
的形成层细胞停止活动，处于休眠状态，树木停止生
长，此时不计降雨量对树木生长的影响。将当年春
天超过 T c 以上之日至夏天达到全年最高温度之日
定为早材生长期; 将该日起至冬天气温降到 T c 以
下之日定为晚材生长期，其余为休眠期。通常，将休
眠期合并在晚材生长期内。
1. 2 数学模型
1. 2. 1 温度的数学模型 由假定 2 可知，以正弦波
动的周期函数表示环境温度 T 随时间 t 的变化，可
写成:
T( t) = Tm + ΔTsin
2π
P
( t + t0[ ]) 。 (1)
式中:温度 T 的单位为℃ ; 时间 t 的单位为天; P 是
温度的正弦波周期，即为 1 年的时间，为便于计算，
P = 360 天，12 个月，每月为 30 天; Tm 为全年的平
均温度; ΔT 为正弦波函数的振幅，即最高(或最低)
温度与平均温度的差值; t0对应于正弦波的初相位，
即每年第 1 天所处的相位。例如，假定每年 1 月 20
日为最冷的一天 (大寒)，7 月 20 日为最热的一天
(大暑)，则对应于初相位的 t0 = 250 天。
表 1 是湖南省常德市花岩溪林场在 1980—
1989 年间月平均气温的数据(此数据来源于中国气
象科学数据共享服务网)，以此作为建立温度数学
模型的基础数据。
由表 1 可见，若用月作为时间单位，以此来表示
气温年度变化曲线，由于数据量太少致使曲线不光
滑。为绘制光滑曲线需增加数据量，对表 1 中数据
进行处理，采用三次样条插值法对每年按月平均气
温进行插值，每月插入 5 点。相应地，式(1)中的周
期 P 变为 72，初相位 t0 变为 50。由此，式 (1 )改
021
第 10 期 郝晓峰等: 木材快速生长期内早材与晚材密度分布的数学描述初探
写为:
T( t) = Tm + ΔTsin
π
36
( t + 50[ ]) 。 (2)
用插值后数据与式(2)所示的数学形式进行拟
合，结果如表 2。
表 1 湖南常德市花岩溪林场 1980—1989 年月平均气温
Tab． 1 The mean temperature of Huayanxi forest farm of Changde City，Hunan Province in 1980—1989
时间 Time 年份 Year
月 Month 日 Day 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989
1 30 4. 3 3. 2 5. 3 3. 9 2. 5 4. 7 5. 9 6. 7 4. 8 4. 0
2 60 5. 1 6. 8 5. 2 6. 4 4. 1 5. 8 6. 4 7. 6 4. 9 4. 9
3 90 7. 9 12. 5 10. 0 10. 1 10. 3 7. 8 11. 1 9. 4 8. 6 10. 1
4 120 15. 7 16. 6 15. 8 16. 6 16. 2 17. 4 16. 8 16. 8 18. 1 16. 6
5 150 22. 4 21. 1 23. 2 22. 6 20. 8 22. 4 23. 1 21. 7 22. 4 21. 3
6 180 25. 3 25. 8 23. 1 24. 8 26. 0 25. 2 25. 2 24. 2 26. 0 24. 6
7 210 26. 9 29. 7 28. 9 26. 8 28. 5 29. 0 27. 1 27. 3 30. 8 28. 6
8 240 25. 2 29. 2 26. 2 27. 7 27. 6 28. 9 27. 9 29. 0 27. 5 27. 2
9 270 22. 4 22. 4 21. 1 24. 2 22. 7 22. 8 23. 4 23. 8 22. 7 22. 8
10 300 18. 1 15. 4 18. 9 17. 5 17. 1 17. 9 16. 9 18. 5 17. 7 18. 3
11 330 14. 6 10. 2 12. 2 13. 2 12. 8 13. 0 11. 4 12. 1 13. 9 11. 3
12 360 7. 9 6. 6 6. 6 7. 5 4. 1 5. 2 6. 8 8. 2 8. 2 7. 6
表 2 拟合结果
Tab． 2 The fitting results
参数
Parameter
拟合值
Fitted value
置信区间
Confidence interval R
2
Tm 16. 6 16. 42 ～ 16. 79 0. 907 3
ΔT 11. 36 11. 09 ～ 11. 63
将表 2 中的拟合值代入式(2)，得
T( t) = 16 ． 6 + 11 ． 36sin π
36
( t + 50[ ]) 。 (3)
将式(3)用图 3 表示。由图可知，1 年中温度的
变化规律为: 年最低温度 5. 24 ℃，出现在 1 月 20
日; 年最高温度 27. 96 ℃，出现在 7 月 20 日; 年平
均温度 16. 6 ℃。该地区的全年温度高于临界值 T c，
树木全年都在生长。由假定 4 可知，早材生长期为
从 1 月 1 日—7 月 20 日共计 200 天; 晚材生长期为
从 7 月 21 日—12 月 30 日共计 160 天，早材期处在
春季与初夏，晚材期处在后夏、秋季与冬季。
图 3 全年环境温度的变化
Fig． 3 The variation of temperature in a year
根据式(3)计算出月平均温度，将它与湖南省
常德市花岩溪林场 1990—1999 年间实测的月平均
温度进行比较，结果绘于图 4 中，将二者进行线性回
归分析，决定系数达 0. 994，说明可用该温度模型准
确预测此地区的环境温度变化情况。
1. 2. 2 降雨量的数学模型 降雨量的分段阶梯函
数其数学形式为:
W( t) =
W1 t = t1，

Wn t = tn
{
。
(4)
式中:降雨量 W 的单位为 mm; 时间 t 的单位是日。
表 3 是湖南常德花岩溪林场 1975—2010 年间
月平均降雨量的数据(此数据来源于中国气象科学
数据共享服务网)，其中，权重系数是指月降雨量占
121
林 业 科 学 49 卷
图 4 温度模型预测值与实测值的比较
Fig． 4 The comparison of predicted and experimental temperature
全年降雨量的比重，日均降雨量通过月均降雨量除
以 30 得到。将日均降雨量数据作为构建降雨量数
学模型的基础数据。
当权重系数小于 0. 05 时，认为降雨量对树木生
长的影响甚微，对应的月份降雨量可以忽略; 当权
重系数大于 0. 1 时，认为降雨量对树木生长的影响
一致; 当权重系数介于 0. 05 与 0. 1 之间时，降雨量
与树木生长具有正相关关系。图 2 中的分段阶梯函
数在自变量时间区域内是不连续的，为便于计算，以
表 3 中数据为依据，将图 2 中的分段阶梯函数改写
成分段线性函数式(5)，即降雨量数学模型:
表 3 湖南常德花岩溪林场 1975—2010 年间月平均降雨量
Tab． 3 The mean rainfall of Huayanxi forest farm of Changde City，Hunan province in 1975—2010
时间 Time /month
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月均降雨量
Mean monthly rainfall /mm
57. 60 70. 71 111. 05 169. 64 172. 16 205. 97 162. 06 130. 87 64. 10 84. 60 72. 87 38. 39
日均降雨量
Mean daily rainfall /mm
1. 92 2. 36 3. 70 5. 66 5. 74 6. 87 5. 40 4. 36 2. 14 2. 82 2. 43 1. 28
权重系数 Weight coefficient 0. 043 0. 053 0. 083 0. 127 0. 128 0. 154 0. 121 0. 098 0. 048 0. 063 0. 055 0. 029
W( t) =
0 ［0 + 360n 30 + 360n);
5 ． 92( t － 360n － 30) /60 ［30 + 360n 90 + 360n);
5 ． 92 ［90 + 360n 210 + 360n);
5 ． 92 － 1 ． 89( t － 360n － 210) /30 ［210 + 360n 270 + 360n);
2 ． 14 － ( t － 360n － 270) /30 ［270 + 360n 330 + 360n);
0 ［330 + 360n 360 + 360n





)。
(5)
式中: 5. 92 为 4 月至 7 月的日均降雨量; 2. 14 为 9
月的日均降雨量。图 5 为降雨量数学模型的理论
曲线。
图 5 连续 5 年降雨量分布
Fig． 5 The distribution of rainfall in 5 years
2 树木生长过程中早晚材密度分布的物理
模型与数学模型
上述针对外部环境因素(温度与降雨量)建立
的数学模型可作为量化分析树木生长的外部条件，
为建立树木生长速率模型和早晚材密度分布模型需
要引入以下假定。
2. 1 物理模型
假定 1，树干以髓心为轴沿弦向对称生长，如图
6 所示。树干的横切面是直径为 D 的圆，圆的半径
为 R 。生长轮是以髄心为圆心、以不同 r 为半径的
同心圆。树龄为 N 年的树干直径 D 可表示为:
D = 2R = 2( r0 +∑
N
i = 1
Δri)。 (6)
式(6)表明树干半径 R 等于髓心半径 r0 与生长轮宽
度 Δri 之和，下标 i = 1 ～ N，表示该层的生长轮数。
假设原木为圆柱体，密度沿径向变化，在弦向与
长度方向上均匀分布。这一假定意味着忽略了一些
影响生长轮形成的因素，如树木光照的不对称性、株
间距对树木生长的影响等。
假定 2，在快速生长期内，树干直径随年份的增
加呈线性增大的趋势(胡云云等，2009)，这里忽略
了树木老年期生长速率逐年下降的影响。树干直径
D 在其生长周期 t 内按线性增长，树干直径增长率
为常数 c0，可表达为:
221
第 10 期 郝晓峰等: 木材快速生长期内早材与晚材密度分布的数学描述初探
图 6 树木内的生长轮分布
Fig． 6 The growth rings distribution in a tree
dD
dt
= c0。 (7)
用差分形式将式(7)改写为:
DN － DN－1
Δt
=
2(RN － RN－1)
Δt
=
2ΔrN
Δt
= c0
(N = 2，3…)。 (8)
式(8)可理解为生长宽度 Δri 是常数，即逐年形成的
生长轮宽度保持不变。
假定 3，每年气候的变化规律是相同的，即年复
一年的规律性周期变化; 且树木在一年内新生成一
层木材，使生长轮与年份一一对应。这里忽略了一
年内会形成多个生长轮的情况。
假定 4，环境温度高，降雨量充足，树木生长快;
温度低，降雨量少，树木生长慢。即温度与降雨量对
树木生长有交互作用，这与 Yasue 等 ( 1995 )、Kim
(1995)和刘刚等(2009)研究结果一致。
假定 5，树木生长速率不仅与环境温度有关，还
与温度变化率有关。春季和秋季温度大致相同，但
温度随时间的变化趋势相反。此外，当环境温度 T
低于某一临界值 T c 时，木材形成层细胞停止活动，
处于休眠状态，树木停止生长。
假定 6，在一个生长轮内，木材的微观密度 ρ( r)
随树木生长速率的增加而降低，即早材期的树木生
长快、密度小，晚材期的树木生长慢、密度大。
2. 2 数学模型
2. 2. 1 树木生长速率的数学模型 根据上述假定
2，若以年为时间单位，树干直径随时间的增长率为
常数; 而在一年内，以天或月为时间单位，树干直径
随时间的生长速率不再是常数。根据上述假定 4 和
5，树木生长速率( dr /dt )与环境温度( T )、降雨量
( W )及温度变化率( dT /dt )线性相关，可表示为:
dr
dt
= c1T( t) + c2W( t) + c3
dT( t)
dt
。 (9)
式中: c1 是树木生长速率的温度系数，即温度每提
高 1 ℃树木生长速率的增加量; c2 是树木生长速率
的降雨量系数，即降雨量每提高一个单位树木生长
速率的增加量; c3 反映了树木生长速率与温度变化
率的关系。从数学上讲，式(9)是一阶常微分方程，
应有初始条件，从而构成常微分方程初值问题。设
以下初始条件:
t = 0， r = r0。 (10)
即，时间 t = 0 时，树干半径 r为 r0 。时间 t = 0 可理
解为树木生长过程中某一年的第 1 天，r0 为髄心处
的半径。
由式(9)与式(10)构成的常微分方程初值问题
可用数值方法求解，为此，将式 (9)写成差分形式
如下:
rn +1 － rn
Δt
= c1T
n + c2W
n + c3
Tn+1 － Tn
Δt
。(11)
式(11)经整理可得:
rn +1 = rn + ( c1T
n + c2W
n)Δt + c3(T
n+1 － Tn)，
n = 1，2…。 (12)
根据式(10)可得:
r1 = r0。 (13)
上述式(9)中的 c1，c2 与 c3 是 3 个可调整的系
数，它们与树木生长环境(温度、降雨量)、树木种类
等因素有关。
2. 2. 2 早晚材密度分布的数学模型 根据上述假
定 6，木材的微观密度 ρ( r) 与树木的生长速率
( dr /dt )呈反比，表示为:
ρ( r) = c4 + c5 /
dr
dt
。 (14)
式(14)的差分形式为:
ρn +1 = c4 + c5
Δt
rn +1 － rn
。 (15)
由式(15)可见，木材的微观密度 ρ( r) 是随树
321
林 业 科 学 49 卷
干半径变化的单值函数。c4 和 c5 是 2 个可调整的系
数，c4 为木材髓心处的微观密度，c5 与树木生长速
率有关。
3 算例分析
从 湖 南 省 常 德 市 花 岩 溪 林 场 采 伐 杉 木
(Cunninghamia lanceolata)5 株，在胸径处沿树干纵向
截取长 10 cm 的圆盘，分别从各株髓心至树皮截取无
瑕疵试件 6 个，尺寸为长度 L = 5 mm，宽度 R = 165
mm，高度 T = 10 mm，如图 7 所示，试件在常规干燥条
件下干燥，烘至绝干后密封。采用软 X 射线密度分析
仪(JOYCE 3CS)测试木材密度沿径向的分布。
图 8 是根据湖南省常德市花岩溪林场的气候条
件由树木生长速率模型计算得到的杉木快速生长期
内的生长曲线。由图 8 可知，树干半径(实线)随时
间呈波动式上升趋势。若以年为单位时间，将树干
半径与时间进行线性回归分析，得回归曲线 (虚
线)，决定系数为 0. 999。说明若以年为单位时间，
树干半径生长是线性的，这与胡云云等(2009)得出
的针叶材和阔叶材的胸径与树龄呈正相关关系的结
论相同。此外，树木的生长速率 ( dr /dt )随时间 t
呈正弦规律的周期变化特征 (双点画线)，在一年
内，早材期的树木生长速率逐渐上升，晚材期的树木
生长速率逐渐下降。
图 7 试件示意
Fig． 7 The diagrammatic sketch of specimens
图 8 树干半径随时间增长曲线及生长速率
Fig． 8 The curve of tree growth and radial growth rate
图 9 是由早晚材密度分布模型计算得到的杉木
快速生长期内的密度分布曲线。从图 9 可以看出，
木材密度随着树木生长速率的增加而降低，曲线的
最低点为早材的最低密度，曲线的最高点为晚材的
最大密度。
分别截取图 8 与图 9 中的一部分，即一个生长
轮内树木生长速率、树干半径与木材密度的变化，
分别表示在图 10a 与图 10b 中。由图 10a 中树干
半径随时间的变化曲线 r( t) (实线)可知，树木在
全年生长过程中没有休眠期; 从 1 月 20 起，由于
环境温度上升、降雨量增加，树木生长速率迅速加
快，表现为图中的虚线陡然上升; 同时，树干半径
也迅速增加，此阶段为早材生长期。树木生长速
率在 7 月 6 日达到最大值，此时树干半径生长了
5 mm，木材密度为全年密度最小值(153 kg·m － 3 )
(图 10b) ; 此后，树木生长速率逐渐降低，树干半
径的增加减缓，木材密度逐渐增大，直至密度达到
最大值 (594 kg·m － 3 )。从图 10b 中可知，由于早
材和晚材的生长速率不同，它们在同一生长轮内
的宽度也不同。
421
第 10 期 郝晓峰等: 木材快速生长期内早材与晚材密度分布的数学描述初探
图 9 随半径增长树木密度的变化
Fig． 9 The density variation with radius
图 10 一年内半径生长及密度变化
Fig． 10 The radius and density variations in a year
图 11 是密度分布实测值与模型计算值的比较。
图中的 4 个样本从 30 个样本中随机选取，密度实测
值取自从髓心至第 11 个生长轮之间，此阶段可视为
杉木的快速生长期。从比较的结果看，实测值与模
型计算值在生长轮宽度与早晚材密度分布这 2 方面
基本一致。此外，早晚材密度分布模型还可以准确
反映木材的最大密度、最小密度、平均密度及生长轮
宽度(表 4)。
图 11 密度的模型计算值与试验值比较
Fig． 11 The comparison of predicted and experimental density
4 结论
本文假定了树木生长环境 (温度与降雨量)影
响树木生长速率，树木生长速率影响木材早晚材密
度。针对这种假定给出了定量描述，利用正弦波函
数、分段线性函数和一阶常微分方程构建了树木生
长速率模型和早晚材密度分布模型。并以湖南省常
德市花岩溪林场人工林杉木为例，一方面，利用软 X
射线密度分析仪实测了杉木密度的径向分布; 另一
方面，结合该地区的气象数据利用早晚材密度分布
模型预测了杉木早晚材密度沿径向的分布规律。将
密度的试验测量值与模型计算值进行比较，对早晚
521
林 业 科 学 49 卷
表 4 实测密度与模型预测值的比较
Tab． 4 The result of experiment and
numerical computation
最大密度
Maximum
density /
( kg·m － 3 )
最小密度
Minimum
density /
( kg·m － 3 )
平均密度
Mean density /
( kg·m － 3 )
平均生长
轮宽度
Mean ring
width /mm
30 个样本平均值
Samples mean
602. 56 169. 66 309. 67 9. 25
模型计算值
Predicted value
593. 77 153. 47 298. 33 9. 55
材密度分布模型进行验证。得出以下结论:
1) 利用正弦波函数拟合了树木生长环境中环
境温度的周期性变化，函数拟合的决定系数为
0. 907，正弦波函数可以准确反映环境温度的波动;
利用分段线性函数定量描述树木生长环境中降雨量
的周期性变化。
2) 树木生长速率模型可用于定量分析温度与
降雨量对树木生长速率的影响。
3) 早晚材密度分布模型准确描述了木材密度
沿径向的分布规律，为木材宏观密度与微观密度的
内在联系给出了定量的表述。该模型对建立诸如木
材干燥、人造板热压等木材加工过程中木材宏观密
度变化与内部微观密度分布的变化之间的联系提供
理论依据。
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(责任编辑 石红青)
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